对勾函数最值的十种求法
对勾函数绝对经典
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+ (接下来写作对勾函数f(x)二ax+二的图象与性质X繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像f(x)=ax+b/x )。
当a丰0 , b工时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x "叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a, b同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y = ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故加”而成。
(请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
ab异号）般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
（二）对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，g = 是2耐当且黯心扌时取等号），此时卞=卡。
当x<0时，f（£ = 3龙十g玉一2耳旺律且尽当= £时IR等号卜此时耳=-皆。
即对勾函数的定点坐标：ulr2,-2 vabA;（三）对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
定义域：図£ = 0% 值域；｛y|y >厶飯或v< -2VaS）（四）对勾函数的单调性对于函数f(x)= ax-1-单调增区间’fl U 卡卄）；单调减2>（五）对勾函数的渐进线由图像我们不难得到:对于函它的渐进线有两離"Xiy = is；F =0；X（六）对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数,利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明:1、求函数yx2 2x 4 .x22x 的最小值。
(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,ab ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0）二、对勾函数的变形形式 类型一：函数by ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质 1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2；当0x >时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,ab ），（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞，0），（0，+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac xcbx ax x f 。
对勾函数专题讲解
对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。
0) ∪ (0.+∞)。
2) 值域：(-∞。
-2ab] ∪ [2ab。
+∞)。
3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。
4) 单调性：(-∞。
-a/b)，(a/b。
+∞) 上是增函数；(-a/b。
0)，(0.a/b) 上是减函数。
3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。
求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。
特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。
4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。
5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。
当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。
例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。
(2) [3,4]。
(3) [-3,-1]。
变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。
例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。
变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。
强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。
A。
y = x^4 + x^2B。
y = x^4 + xC。
y = x^4 - xD。
y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。
x∈(1,3] 的值域为 ()。
对勾函数详细分析
一、对勾函数 y ax bx 1. 定义域： ( ,0)对勾函数的性质及应用( a 0, b 0) 的图像与性 质：(0,)2. 值域： (, 2 ab ] [ 2 ab ,)3. 奇偶性：奇函数， 函数图像整体呈两个“对勾” 的形状，且函数图像对于原点呈中心对称，即 f (x) f ( x) 04. 图像在一、 三象限 , 当 x0 时， y ax b 2 ab （当x且仅当 xb取等号），即 f (x) 在 x=b时，取最小值 2 abaa由奇函数性质知：当 x<0 时， f ( x) 在 x=b时，取最大值2 aba5. 单一性：增区间为（b ），（,b） ,减区间是（ 0，b），（b,0）, aaaa二、对勾函数的变形形式 种类一： 函数 y axb(a 0, b 0) 的图像与性质x1.定义域： ( ,0) (0, )2. 值域： (, 2 ab ] [ 2 ab ,)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状 .4.图像在二、四象限 , 当 x<0 时， f (x) 在 x= b时，取 a最小值 2 ab ；当 x时， f (x) 在 x= b时，取最大值 2 aba5.单一性：增区间为（ 0， b ），（b,0）减区间是（b , ），（,b） ,a aaa种类二： 斜勾函数 yax b(ab 0)x① a 0, b 0 作图以下 1.定义域： (,0) (0, ) 2. 值域： R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值 .5.单一性：增区间为（ -， 0），（0， +） .② a 0, b 0 作图以下：1.定义域： ( ,0) (0, )2. 值域： R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单一性：减区间为（ -， 0），（0， + ） .种类三： 函数 f ( x) ax2bx c(ac 0) 。
x此类函数可变形为f ( x)axc b ，可由对勾函数 y axc上下平移获得xx练习 1. 函数 f ( x)x2x 1的对称中心为x种类四： 函数f ( ) x a ( a 0, k 0)x x kaa 此类函数可变形为f (x) ( x k) k ，则 f ( x) 可由对勾函数 y xx左右平移，上下平移获得1kx练习 1. 作函数 f ( x)x 与 f ( x)x 3x 2 xx 的草图22.求函数f ( x)x 1在 ( 2,) 上的最低点坐标2x43.求函数f (x)xx 的单一区间及对称中心x 1种类五：函数f ( x)ax(a 0,b 0) 。
对勾函数
对勾函数图象性质对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号） yXOy=ax(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、类耐克函数性质探讨 函数xbax y +=，在时或00==b a 为简单的单调函数，不予讨论。
对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用一.对勾函数的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数的图像与性质1.定义域：2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,类型二：斜勾函数①作图如下1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.②作图如下：1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数。
此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到练习1.函数的对称中心为类型四：函数此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图2.求函数在上的最低点坐标3. 求函数的单调区间及对称中心类型五：函数。
此类函数定义域为，且可变形为a.若，图像如下：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是练习1.函数的在区间上的值域为b. 若，作出函数图像：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最小值，当x<0时，在x=时，取最大值5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是练习1.如，则的取值范围是类型六：函数.可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知，求函数的最小值；3.已知，求函数的最大值类型七：函数练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为2.求函数在区间上的最大值类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：练习1.求函数的最小值；2．求函数的值域；3.求函数的值域类型九：函数。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数最值的十种求法
关于求函数y = x • 1 x . 0最小值的十种解法 x一、 均值不等式1 1x 0, . y=x ・一_2，当且仅当x ，即x=1的时候不等式取到“=”。
x x当X =1的时候，y min =2 二、 厶法1 2 y=x — : x -yx1=0 x若y 的最小值存在，则 厶=y 2 -4亠0必需存在，即y 亠2或y _ -2 （舍） 找到使y =2时，存在相应的x 即可。
通过观察当x =1的时候，y min =2三、单调性定义1 1 f X 1 - f X2 = x 1 -X 2 X 1 X 2 当对于任意的X 1,X 2，只有X 1,X 2三〔0,1时，f X 1 - f X 2 2 0, •此时f x 单调递增; 当对于任意的x 1,x 2，只有X —X 2三［时，f x 1 - f x 2 ::： 0，•此时f X 单调递减。
当X - 1取到最小值，『min = f 1 =2四、复合函数的单调性t = Jx ——2在（0,母）单调递增，y =t 2 +2在（—°°,0 ｝单调递减；在 b,畑）单调递增 x 又 x 三〔0,1 二 t '：L ~0 x 1, • ：： = t 0,::-原函数在 0,1上单调递减；在1, 上单调递增 即当X =1取到最小值，丫皿山二f 1 =2= ：［X1-X 2 1 二 X 1 -X 2 3 X 1X 2y =x 12 x五、求一阶导1 ' 1y = X — ： y =1 2 XX 当 10,1时，y' :：: 0，函数单调递减；当 X ，1, 时，y' .0,函数单调递增。
当X =1取到最小值，y min = f 1 =2六、二角代换厂兀） 1 a € 0, — 1,则一 =COta I 2丿X广JI 、 a = 0,— 1= 2a E （0,兀）I 2丿 '八、图象相减11 ，即y 表示函数y = x 和y 两者之间的距离X X求y min ，即为求两曲线竖直距离的最小值1平移直线y = x ，显然当y = x 与y 相切时，两曲线竖直距离最小。
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关于求函数()01>+=x x
x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式
0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x
x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。
∴当1=x 的时候，2min =y
二、∆法
0112=+-⇒+=yx x x
x y 若y 的最小值存在，则042≥-=∆y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍）
找到使2=y 时，存在相应的x 即可。
通过观察当1=x 的时候，2min =y
三、单调性定义
设210x x <<
()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。
∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y
四、复合函数的单调性
2112
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+=x x x x y x x t 1
-=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又 ∈x ()1,0()0,∞-∈⇒t ∈x [)+∞,1[)+∞∈⇒,0t
∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增
即当1=x 取到最小值，()21min ==f y
五、求一阶导
2'111x
y x x y -=⇒+= 当()1,0∈x 时，0'<y ，函数单调递减；当[)+∞∈,1x 时，0'>y ，函数单调递增。
∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y
六、三角代换
令αtan =x ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则αcot 1=x α
αα2sin 2cot tan 1=+=+=x x y ⎪⎭⎫ ⎝
⎛∈2,0πα()πα,02∈⇒ ∴当4π
α=，即22π
α=时，()12sin max =α，2min =y ，显然此时1=x
七、向量
x x x x y ⋅=⋅+⋅=+=1111， ()1,1,1,=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x
⋅θ
=θ 根据图象，为起点在原点，终点在x
y 1=()0>x
θ的几何意义为a 在b 上
的投影，显然当=θ取得最小值。
此时，1=x ，222min =⋅=y
八、图象相减
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=+=x x x x y 11，即y 表示函数x y =和x y 1-=两者之间的距离 求min y ，即为求两曲线竖直距离的最小值
平移直线x y =，显然当x y =与x
y 1-=相切时，两曲线竖直距离最小。
x y 1-=关于直线x y -=轴对称，若x y =与x
y 1-=在1>x 处有一交点，根据对称性，在10<<x 处也必有一
个交点，即此时x y =与x
y 1-=相交。
显然不是距离最小的情况。
所以，切点一定为()1,1-点。
此时，1=x ，2min =y
九、平面几何 依据直角三角形射影定理，设x EB x AE 1,=
=，则x x AD AB 1+== 显然，x
x 1+为菱形的一条边，只用当AD AB ⊥，即AD 为直线AB 和CD 之间的距离时，
x
x 1+
取得最小值。
即四边形ABCD 为矩形。
此时，x x 1=，即1=x ，2min =y 十、对应法则
设()[]t x f =min
()=2x f 221x
x + ()+∞∈,0x ，()+∞∈,02x ，对应法则也相同
∴()[]t x f =min 2
()()211222++=⇒+
=x
x x f x x x f 左边的最小值=右边的最小值 ∴122-=⇒+=t t t （舍）或2=t
当2
x P x ==，即1=x 时取到最小值，且2min =y
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