广东省粤西“四校”2017-2018学年高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含答案
“四校”2017-2018学年度高三第一次联考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合11,2,,32A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,B y y x x A ==∈，则A B =（ ）．A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}2C ．{}1D ．∅2、在复平面内，复数312iz i=-+的共轭复数的虚部为（ ）．A ．35iB ．35i -C ．35-D ．353、下列中的假是（ ）．A ．2,log 0x R x ∃∈=B ．0,2>∈∀x R xC ．0tan ,=∈∃x R xD ．,30xx R ∀∈> 4、若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是（ ）． A ．4B ．5C ．6D ．75、已知1122log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）．A ．11a b >B ．11()()43a b < 错误！未找到引用源。
C ．ln()0a b -> D ．31a b -< 错误！未找到引用源。
6、下列函数既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ）．A ．()sin f x x =B ．2()ln 2xf x x-=+ C ．()|1|f x x =-+ D ．1()()2x x f x e e -=-7、已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图像不可能．．．是（ ）．A. B ． C. D.8、已知点(5,4)Q ，若动点(,)P x y 满足2202010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则PQ 的最小值为（ ）．A(BC ．5D ．以上都不正确9、已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为（ ）． ABC．D ．56或7 10、某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1， 则该三棱锥的体积为（ ）． A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 211、定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[)13l o g (1),0,2()14,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为A ．31a -B ．13a -C ．31a --D ．13a--12.已知函数1ln 1)(-+=x x x f ,*)()(N k xkx g ∈=，若对任意的1c >,存在实数b a ,满足 0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13、在等比数列{}n a 中，81=a ，534a a a ⋅=，则=7a ．14、设A ＝7254361634527777773333,3331C C C B C C C +++=+++，则A B -=15、已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 .16、设,x y 为实数，若2241,x y xy ++= 则2x y +的最大值是_________.三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17. (本题满分12分)在错误！未找到引用源。
中，角错误！未找到引用源。
的对边分别是错误！未找到引用源。
满足222.b c bc a +=+ 错误！未找到引用源。
（1）求角错误！未找到引用源。
的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且错误！未找到引用源。
，且错误！未找到引用源。
成等比数列，求错误！未找到引用源。
的前错误！未找到引用源。
项和错误！未找到引用源。
.18、(本题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中,x y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．19．(本小题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A .(1)证明：1BC AB ⊥；(2)若OC OA =，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12412+=x y C ，设00(,)R x y 是椭圆C 上任一点，从原点O 向圆()()2200:8-+-=R x x y y 作两条切线，切点分别为,P Q .BA CD1A1B1CO（1）若直线,OP OQ 互相垂直，且R 在第一象限，求圆R 的方程； （2）若直线,OP OQ 的斜率都存在，并记为12,k k ，求证：12210.+=k k21.（本小题12分）设函数()()2ln f x ax x a R =--?.（I ）若()()(),f x e f e 在点处的切线为0,x ey b a -+=求，b 的值； （II ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()xg x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲. 如图，⊙O 的半径为 6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，=4AC ，BOD A ∠=∠，OB 与⊙O 相交于点E . （1） 求BD 长； （2）当CE ⊥OD 时，求证：AO AD =.AEODC B（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为1(2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=．（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|||3|,f x x a x a =--+∈R ． （Ⅰ）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求a 的取值范围．“四校”2015—2016学年度高三第一次联考理科数学评分标准一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．18 14．128 15．13p 16三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、【解】(1)∵222b c a bc +-=， ∴2221222b c a bc bc bc +-==. …………1分∴1cos 2A =. …………2分 又(0,)A π∈ …………3分 ∴3A π=. …………4分(2)设{}n a 的公差为d ， 由已知得112cos a A==， …………5分 且2428a a a =.∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++ ． …………6分 又0d ≠, ∴2d =. ∴2n a n =. …………7分∴14111(1)1n n a a n n n n +==-++. …………9分 ∴1111111(1)()()()223341n S n n =-+-+-++-+ …………10分1111nn n =-=++ …………12分18、【解】（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=． …………3分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90) 有5人，分数在[90,100] 有2人，共7人． …………4分 抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数的可能取值为，…………5分则12523751(1)357C C p C ξ====， …………6分 215237204(2)357C C p C ξ====， …………7分 3537102(3)357C p C ξ====． …………8分所以，的分布列为所以，1237777E ξ=⨯+⨯+⨯=． …………12分19、【解】(1)由题意tan AD ABD AB ∠==11tan AB AB B BB ∠==，…………1分 又0ABD <∠，12AB B π∠<，1ABD AB B ∴∠=∠，1112AB B BAB ABD BAB π∴∠+∠=∠+∠=，2AOB π∠=，1AB BD ∴⊥. …………3分又11CO ABB A ⊥平面，111AB ABB A ⊂平面 1AB CO ∴⊥， …………4分BD CO O =，,CO BD CBD ⊂平面1AB CBD ∴⊥平面， …………5分又BC CBD ⊂平面，1AB BC ∴⊥. …………6分 (2)如图，分别以1,,OD OB OC 所在直线为,,x y z 轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系O xyz -， …………7分…………10分则(0,(A B，C D , …………8分262323236(,,0),(0,,),(,0,AB AC CD =-==， 设平面ABC 的法向量为(,,)n x yz =，则0n AB nAC ì=ïíï=î，即00x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令1y =，则1z =-，x =，所以2(,1,1)n =-. …………10分设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则(3sin cos ,||||CD nCD n CD n α⋅===⋅==， …………11分 所以直线CD 与平面ABC. ……………………12分20、【解】（1）由题圆R 的半径为因为直线,OP OQ 互相垂直，且与圆R 相切， 所以4==OR ，即220016,+=x y ① …………1分又00(,)R x y 在椭圆C 上，所以22001,2412+=x y② …………2分 由①②及R 在第一象限，解得00==x y …………3分所以圆R 的方程为：((228-+-=x y …………4分（2）证明：因为直线12:,:==OP y k x OQ y k x 均与圆R 相切，= …………5分化简得222010010(8)280,--+-=x k x y k y …………6分 同理有222020020(8)280,--+-=x k x y k y所以12,k k 是方程2220000(8)280--+-=x k x y k y 的两个不相等的实数根，所以2012208.8-=-y k k x …………8分 又因为00(,)R x y 在椭圆C 上，所以22001,2412+=x y 即2200112,2=-y x …………10分 所以2012201412,82-==--x k k x …………11分 即12210.+=k k…………12分21、【解】（I ）∵()()2ln f x ax x a R =--?∴ 11'()ax f x a x x-=-=…………1分 又()()(),f x e f e 在点的切线的斜率为e1∴ 11'()ae f e e e -== ∴ea 2= …………2分∴切点为)1,(-e 把切点代入切线方程得: e b 2-= …………3分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知：11'()(0)ax f x a x x x-=-=> ①当0a ≤时，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立()f x ∴在(0,)+∞上是单调减函数 …………4分②当0a >时，令'()0f x = 解得：1x a=…………5分 当x 变化时，'(),()f x f x 随x 变化情况如下表：由表可知：()f x 在1(0,)a上是单调减函数，在(,)a+∞上是单调增函数 …………6分 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调减区间为1(0,)a ，单调增区间为1(,)a+∞ …………7分 （Ⅲ）当0x >时，要证()0x f x ax e -+>，即证ln 20xe x --> …………8分 令()ln 2(0)x h x e x x =-->，只需证 ()0h x >1'()x h x e x=- …………9分由指数函数及幂函数的性质知：1'()xh x e x=-在(0,)+∞上是增函数 又131'(1)10,'()303h e h e =->=-< ∴1'(1)'()03h h <'()h x 在)1,31(内存在唯一的零点，也即'()h x 在(0,)+?上有唯一零点设'()h x 的零点为t ,则1'()0,t h t e t =-=即11(1),3t e t t =<< …………10分 由'()h x 的单调性知：当),0(t x ∈时，'()'()0h x h t <=，()h x 为减函数 当(,)x t ??时，'()'()0h x h t >=，()h x 为增函数，所以当0x >时，11()()ln 2ln 212220t t h x h t e t t e t t?--=--=+-?=又11,3t <<，等号不成立∴()0h x > …………12分22、【解】（1）,OC OD = OCD ODC ∴∠=∠， …………1分…………11分OCA ODB ∴∠=∠ ．∵BOD A ∠=∠，∴OBDAOC ∆∆ ． …………3分∴AC ODOC BD =，∵6,4OC OD AC === ， ∴466=BD ，∴9BD =． ……………5分 （2）证明：∵OC OE = ，CE OD ⊥．∴.COD BOD A ∠=∠=∠∴180180ooAOD A ODC COD OCD ADO ∠=-∠-∠=-∠-∠=∠ ∴AD AO = ……………………10分23、【解】（Ⅰ）由1C 的参数方程消去参数t 得普通方程为10x y -+= ………2分圆2C 的直角坐标方程22(1)(4x y ++=, …………3分所以圆心的直角坐标为(-， …………4分 因此圆心的一个极坐标为2(2,)3π. …………5分 (答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心(-到直线10x y -+=的距离d ………8分所以AB == ………………10分24．【解】（Ⅰ）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤ …………1分 当3x ≤-，不等式转化为(1)(3)21x x -+++=≤，不等式解集为空集； …………2分当31x -<<-，不等式转化为(1)(3)1x x -+-+≤，解之得512x -≤<-；…………3分当1x ≥-时，不等式转化为(1)(3)21x x +-+=-≤，恒成立； …………4分综上不等式的解集为5[,)2-+∞. …………5分（Ⅱ）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤恒成立，即||7x a x -≤+， …………7分亦即727a x -≤≤+恒成立， …………8分 又因为[0,3]x ∈，所以77a -≤≤， …………9分 所以a 的取值范围为[7,7]-. …………10分。
广东省2017届高三上学期阶段性测评(一)理数试题Word版含答案
理科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}1 ln 2A x x B x y x =≥-==-，，则R A C B =（ ） A ．[)1 2-，B ．[)2 +∞，C ．[]1 2-，D ．[)1 -+∞， 2.设函数()()1232 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.若实数 x y ，满足230x y -+≥，则z 的最小值为（ ） A ．3 BC4.在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为（ ） A.14 B ．12 C.34 D ．135.已知命题：2: 2sin 10p x R x x θ∀∈-+≥，；命题(): sin sin sin q R αβαβαβ∀∈+≤+，，.则下列命题中的真命题为（ ）A ．()p q ⌝∧B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∨ D ．()p q ⌝∨6.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．48π B ．32π C.12π D ．8π7.已知向量 AB AC AD ，，满足 2 1AC AB AD AB AD =+==，，， E F ，分别是线段BC CD ，的中点，若54DE BF ⋅=-，则向量AB 与AD 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C.23π D ．56π 8.已知双曲线()222210 0x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12 F F ，，且2F 为抛物线224y x =的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若12PF F △的面积为 ）A ．221927x y -=B ．221279x y -= C.221169x y -= D ．221916x y -=9.执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（ ） A ．2- B ．3- C.253 D ．12611.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于 M N ，两点，若4MF FN =，则直线l 的斜率为（ ）A ．32±B ．23± C.34± D ．43±12.函数()sin 1f x x x ωω=++的最小正周期为π，当[] x m n ∈，时，()f x 至少有12个零点，则n m -的最小值为（ ） A ．12π B ．73π C.6π D ．163π第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.复数z 在复平面内的对应点是()1 1-，，则z = ．14.定积分)1x dx +⎰的值为 ．15.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()37.5f 等于 ．16.将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 2cm ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC △中，内角 A B C ，，所对的边分别是 a b c ，，，已知60 5 4A b c =︒==，，. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求sin sin B C 的值. 18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且122 21n n a d a a ==-，. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19.（本小题满分12分）某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A 、B 、C 、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：（Ⅰ）试确定图中a 与b 的值；（Ⅱ）规定等级D 为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.20.（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，底面ABC 为正三角形.（Ⅰ）证明：AC PB ⊥；（Ⅱ）若平面PAC ABC ⊥平面，2AC PC ==，求二面角A PC B --的余弦值. 21.（本小题满分12分）椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12 F F ，.（Ⅰ）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）若椭圆E 过点()0 2A -，，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点 B C ，，且ABC △的面积为509c，求椭圆E 的方程. 22.（本小题满分10分）已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a R ∈. （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.2016-2017学年度高三年级阶段性测评（一）理科数学参考答案及评分参考一、选择题1-5:CCDAB 6-10:CBAAC 11、12：DD 解析：1.C 【解析】[)()(]1 2 2R A B C B =-+∞=+∞=-∞，，，，，，∴[]1 2R A C B =-，. 2.C 【解析】()()()()032log 3122f f f f e ===⨯=. 3.D【解析】z.4.A 【解析】2y x >的概率为11112214⨯⨯=. 5.B 【解析】()()22222:2sin 1sin 1sin sin cos 0p x x x x θθθθθ-+=-+-=-+≥，∴p 为真命题.:q 当54παβ==时，52παβ+=，()sin 1αβ+=，sin sin αβ+= ∴()sin sin sin αβαβ+>+，∴q 为假命题，∴()p q ∨⌝为真命题.6.C 【解析】如图，由题可知矩形11AA C C 的中心O 为该三棱柱外接球的球心，OC =.∴该球的表面积为2412ππ=.7.B 【解析】 22AD ABDE AB BF AD =-=-，，∴225555224244AB AD AD AB DE BF AB AD ⋅⋅=--+=-+⋅=-.∴1AB AD ⋅=，1cos 2AB AD <>=，，∴AB 与AD 的夹角为3π. 8.A 【解析】设P 点为第一象限点，且()11 P x y ，，1211122PF F S y =⨯⨯=△1y =，19x =，∴1226a PF PF =-=，∴ 2 a b ==，，故双曲线方程为221927x y -=.9.A 【解析】程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，，的函数值， 如图可知[]2 a b ∈，，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥.10.C 【解析】令1x =，得01283a a a a ++++=…，()7822256a =⨯-=-，∴0783253a a a ++=--=….11.D 【解析】不妨设()()()111122 0 0 M x y x y N x y >>，，，，，∵4MF FN =，∴124y y =-，又212y y p =-，∴22 28p py x =-=，，∴042382MN pk p p --==-.根据对称可得直线l 的斜率为43±.12.D 【解析】由题知()()2sin 2 1 0 2sin 2133f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∴1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由周期性可知16533n m πππ-≥+=，∴()min 163n m π-=. 二、填空题13.1i + 14.142π+15.0.5【解析】13.1z i =-，∴1z i =+.14.)110x dx xdx =+⎰⎰⎰，由几何意义得4π=⎰，又121001122xdx x ==⎰.∴)1142x dx π=+⎰. 15.∵()()2f x f x +=-，∴()()4f x f x +=且()()f x f x -=-，01x ≤≤时，()f x x =， ∴()()11137.5 1.5222f f f f ⎛⎫⎛⎫==--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16.由正视图为正三角形可知，图（1）中2PD CD =，∴23PD =⨯，∴正三角形的边长为PO∴四棱锥的体积为183=三、解答题17.解：（Ⅰ）由余弦定理得：2222cos 21a b c bc A =+-=，∴a =分 （Ⅱ）∵()222228sin a R A ==， ∴()25sin sin 72bcB C R ==.……………………………………………………………………10分 18.解：（Ⅰ）由题可得：()()11112412211a n a a n a +-=+--，解得1 1 2a d ==，.∴()()*1121n a a n d n n N =+-=-∈.………………………………………………5分 （Ⅱ）∵2122n n n n a n b -==， ∴231135232122222n n n n n S ---=+++++…. ① ∴231111252321222222n n n n n n n S -+3---=+++++….② -①②得：23111111212222222n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ (2232321)112111112123121132222222222n n n n n n n n n S ---+⎛⎫=++++-=++++++-=-⎪⎝⎭…….……12分19.解：（Ⅰ）15 0.5a b ==，；……………………4分 （Ⅱ）记1E 表示事件“甲校国学成绩等级为A “，则()1654P E =；2E 表示事件“甲校国学成绩等级为B ”，则()21554P E =；20.（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接PO ，BO ， ∵PA PC =， ∴PO AC ⊥， 又AB CB =， ∴AC POB ⊥平面，∴AC PB ⊥.………………………………5分（Ⅱ）平面PAC ABC ⊥平面且交于AC ，PO AC ⊥，∴PO ABC ⊥平面，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.又 2PA PC AC PC ===，，ABC △为正三角形，∴(()()0 0 0 0 1 0 0P B C -，，，，，，，()()0 3 3 1 0PB BC =-=-，，，，，.设() n x y z =，，为平面PBC 的法向量，则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴00x =-=⎪⎩，∴z y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1y =-，则)1 1n =--，，为平面PBC 的一个法向量，又()0 0OB =，为平面PAC 的一个法向量，∴cos n OB <>==，则二面角A PC B -=.……………………………………12分 21.（Ⅰ）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，∴()22222222 42 42b a c b a ac c a c a ac c =+=++-=++，，， ∴223520a c ac --=，两边同除以2a 得，25230c c +-=， 解得35c e a ==.………………………………5分 （Ⅱ）由已知得2b =，把直线22:2AF y x c=-代入椭圆方程22214x y a +=，得()222220a c x a cx +-=，∴()22222422c c a cx a c c +==++.∴()224 2c c C y c ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭，.由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为：()()222241222222c c S x y x c c c ⎡⎤+⎢⎥=⋅+==+⎢⎥⎣⎦， ∴()222425029c c c c c ⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦，解得21c =， ∴25a =.故所求椭圆的方程为22154x y +=.……………………………………12分22.解：（Ⅰ）函数()2ln f x a x x x =+-的定义域为()0 +∞，， ()22'21a x x af x x x x -+=+-=， 设()22 18g x x x a a =-+∆=-，， （1）当18a ≥时，()0 0g x ∆≤≥，成立，故()'0f x ≥成立，()f x 在()0 +∞，上为增函数；（2）当108a <<时，0∆>，令()0g x =，得12 x x ==，显然220x x >>，当()10 x x ∈，时，()()0 '0g x f x >>，，()f x 为增函数， 当()12 x x x ∈，时，()()0 '0g x f x <<，，()f x 为减函数， 当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为增函数， 综上，当18a ≥时，()f x 在()0 +∞，上为增函数，当108a <<时，()f x 在0 ⎛ ⎝⎭， ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上为增函数，在⎝⎭上为减函数.…………………………5分 （Ⅱ）显然()10f =，由1x ≥可知：当0a ≥时，2ln 0 0a x x x ≥-≥，，故()0f x ≥成立；当0a <时，180a ∆=->.令()0g x =，得12 x x ，显然120 0x x <>，，当()20 x x ∈，时，()()()0 '0 g x f x f x <<，，为减函数， 当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为减函数； 若10a -≤<，则21x ≤，当1x ≥时，()f x 为增函数，故()()10f x f ≥=成立；若1a <-，则21x >，由()f x 在()20 x ，上为减函数可知，当()21 x x ∈，时，()f x 为减函数，()()10f x f <=与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是[)1 -+∞，.。
广东省广州市2018届高三上学期第一次调研数学(理)试卷(含答案)
广州市2018届高三上学期第一次调研测试理科数学2017．12本试卷共5页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则A B =IA ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35CD3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．65．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为22226．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是 A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x -7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23B ．12C ．16D ．138．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种10．()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．6πB ．12πC ．4π D ．3π 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1x f x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩ ()411,0,2120,0.x x x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b P ，则向量a 的模为________． 14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若201822a =，则2017201912a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-． （1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA P ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．19.（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该EDBCAP台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式∑∑∑===----=ni i ni i ni iiy y x x y yx x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b+=()0a b >>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12 ，且过点261,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H •=u u u r u u u u r，且MO MA =，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+． （1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．2018届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．4 15．4 16．11π三、解答题 17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，…………………………………………1分即sin()2sin cos A B C A +=．…………………………………………………………………………2分因为sin()sin()sin A B C C π+=-=，…………………………………………………………………3分所以sin 2sin cos C C A =．………………………………………………………………………………4分因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．………………………………………………………………………5分因为0A <<π，所以3A π=．…………………………………………………………………………6分解法2：由已知根据余弦定理，得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯．……………………1分即222b c a bc +-=．……………………………………………………………………………………3分所以2221cos 22b c a A bc +-==．…………………………………………………………………………5分 因为0A <<π， 所以3A π=．…………………………………………………………………………6分（2）解法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+，………………………………………………………………………………………7分即2()34b c bc +=+．……………………………………………………………………………………8分因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………9分所以223()()44b c b c +≤++． 即4b c +≤（当且仅当2b c == 时等号成立）．……………………………………………………11分所以6a b c ++≤．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分解法2：因为2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =，3A π=，所以b B =，c C =．…………………………………………………………………8分所以)2sin sin a b c B C ++=+22sin sin 33B B ⎡π⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦………………………9分 24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………10分因为203B π<<，所以当3B π=时，a b c ++取得最大值6． 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA P ，且12OF PA =， 因为DE PA P ，且12DE PA =，所以OF DE P ，且OF DE =．………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF P ，即BD EF P ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分因为BD EF P ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分（2）解法1：因为直线 PC 与平面ABCD 所成角为o45，所以ο45=∠PCA ，所以2AC PA ==．………………………………………………………………7分所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形． 设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系xyz A -（如图）．则()20,0，P ，()01,3，C ，()12,0，E ，()02,0，D ， ()21,3-=，PC ，()11,3，-=CE ，()10,0，=DE ．…………………………9分设平面PCE 的法向量为{}111,,x y z n =，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n n即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 11,y =令则11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．……………………………………………………………10分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m ．…………11分设二面角D CE P --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos cos ,4θ⋅=-=-==-⋅n m n m n m．所以二面角D CE P --的余弦值为46-．…………………………………………………………12分解法2：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45o，且⊥PA 平面ABCD ，所以45PCA ∠=o，所以2==AC PA ．………………………………………………………………7分因为2AB BC ==，所以∆ABC 为等边三角形． 因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ， 所以⊥OF 平面ABCD ．因为⊂OB 平面ABCD ，⊂OC 平面ABCD ，所以⊥OF OB 且⊥OF OC ． 在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．以点O 为原点，OB ，OC ，OF 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系-O xyz （如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，则(0,2,2),(1,1),(1,0)=-=-=-u u u r u u u r u u u rCP CE CD ．……………………………………………9分设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11=y ，则111,1.y z =⎧⎨=⎩，则法向量()0,1,1=n ．……………10分设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m即222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令21=x，则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩则法向量()1,=m ．………………………………………………z OyxPACBDE11分设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos ,θ⋅=-=-==⋅n m n m n m．所以二面角--P CE D的余弦值为．…………………………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====．……………………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==…………………………………………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．………………………………………………………7分②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，当30<X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y=2×3000=6000元，故Y的分布列为所以20000.260000.85200EY=⨯+⨯=元．………………………………………………………9分③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，当30<X≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元，故Y的分布列为所以10000.250000.790000.14600EY=⨯+⨯+⨯=元．………………………………………11分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．…………………………12分20．解：（1）因为椭圆C的离心率为12，所以12ca=，即2a c=．……………………………………1分又222+a b c=，得22=3b c，即2234b a=，所以椭圆C的方程为2222134y xa a+=．把点⎛⎝⎭代人C中，解得24a=．………………………………………………………………2分所以椭圆C的方程为22143y x+=．……………………………………………………………………3分（2）解法1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=．…………………………………………………………4分设(),A A A x y ， (),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+，…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+．所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭……………………………………………………………………………6分因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上， 所以1M y =，因为2M M y kx =+，所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………………7分设(,0)H H x ，又直线HM 垂直l ，所以1MH k k =-，即111H k x k=---．…………………………8分所以1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………9分又()10,1F ，所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u r ，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ． 因为110F B F H ⋅=u u u r u u u u r ，所以2221249034341k k k k k k --⎛⎫⋅-= ⎪+⎝⎭-+，………………………………………10分解得283k =．……………………………………………………………………………………………11分12分解法2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=，…………………………………………………………4分设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+．…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+． 所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u r ，()1,1H F H x =-u u u u r．…………………………………………………6分因为110F B F H ⋅=u u u r u u u u r ，所以21234H kx k -⋅+2249034k k --=+，解得29412H k x k -=．………………………7分因为MO MA =u u u u r u u u r ，所以()22222M M M M x y x y +=+-，解得1M y =．………………………………8分 所以直线MH 的方程为219412k y x k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．………………………………………………………9分联立22,194,12y kx k y x k k =+⎛⎫-=--⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩解得()22920121M k y k +=+．……………………………………………10分由()229201121M k y k+==+，解得283k =．………………………………………………………………11分12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增， (2)分取10e ax -=，则211e 1e 0a af --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………………………………3分（或：因为00x <<01e x <时，所以()200001ln ln ln 0ef x a x x a x a a a =+<+<+=．） 因为()11f =，所以()()010f x f <g ，此时函数()f x 有一个零点．………………………………4分②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则ln 02af a ==即2e a =-．………………………5分综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2e a =-或0a >．………………………………………6分（2）因为对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()max min e 2f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………………………………………………………………7分因为0a b +=，则a b =-．所以()ln b f x b x x =-+，所以()()11bb b x b f x bx x x---'=+=． 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()()min 11f x f ==⎡⎤⎣⎦，………………8分因为1e e bf b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+，所以()()max 1max ,e e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭． (9)分设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e220bbg b -'=+->=．所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．从而()maxf x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………10分所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤，设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．……………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分（2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==8分 当cos +=14απ⎛⎫ ⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-．……………9分当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩ (6)分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，…………………………………7分 所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ． 所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．…………………………………………………10分。
广东省2017-2018学年高三10月百校联考理数试题 Word版含答案
2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{|(1)(5)0}M x x x =--<，集合{|N x y =，则M N 等于（ ）A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[4,5)D ．(4,5) 2.设复数z 为纯虚数，a R ∈，且1013x a i+=-，则a 的值为（ ） A ． 3 B ． -3 C ．1 D ．-13.下面是2010年3月安徽省芜湖楼市商品住宅板块销售对比饼状图，由图可知，戈江区3月销售套数为（ ）A ．350B ．340C ．330D ． 306 4.若sin cos tan 390αα+=，则sin 2α等于（ ） A. 23-B.34-C. 23D. 345.如图所示的五边形是由一个矩形截去一个角而得，且1BC =，2DE =，3AE =，4AB =，则CD 等于（ ）A ．1223AB AE + B ．1223AB AE -C. 1223AB AE -+ D ．1223AB AE -- 6.直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左支、右支分别交于A B 、两点，O 为坐标原点，且AOB ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2．32 C. 5 D ．57.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 40B ．48 C. 56 D ．928.执行如图所示的程序框图，若输入的2x =，4n =，则输出的s 等于（ ）A ．94B ． 99 C. 45 D ．2039.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000m ，速度为1000/km h ，飞行员先看到山顶的俯角为18，经过108s 后又看到山顶的俯角为78，则山顶的海拔高度为（ ）A．(15cos78)km - B．(15sin78)km -C. (15cos78)km - D．(15sin78)km - 10.已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A，()B p ,且||PA||BF 等于（ ）A ． 4B ．92C. 5 D ．11211.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>在区间(0,)π上存在3个不同的0x ，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ）A ．523(,]26 B ．523(,)26 C. 319(,)26 D ．319(,]2612.已知函数3,1()2,1x x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若关于x 的方程(())f f x a =存在2个实数根，则a 的取值范围为（ ）A ．[24,0)-B ．(,24)[0,2)-∞-C.(24,3)- D ．(,24][0,2]-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x y ，满足约束条件802020x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为_________.14.函数()426xxf x =--的零点为___________.15.设32340123455(12)2481632x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____________.16.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，且1611a a =，3412a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列112{}2n nn a a ++-的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）为调查了解某高等院校毕业生参加工作后，从事的工作与大学所学专业是否专业对口，该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生，得到具体数据如下表：（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）．附表：（2）求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率；（3）以（2）中的频率作为概率.该校近几年毕业的2000名大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事的工作与大学所学专业对口的人数为X ，求X 的数学期望()E X . 19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，3AB AP ==，2AD PB ==，E 为线段AB 上一点，且:7:2AE EB =，点F G M ，，分别为线段PA PD BC 、、的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）若平面EFG 与直线CD 交于点N ，求二面角P MN A --的余弦值. 20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆2221(1)x y a a+=>的长轴长是短轴长的2倍，右焦点为F ，点,B C 分别是该椭圆的上、下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ，记直线BM ，BP 的斜率分别为12k k ，.（1）当直线PM 过点F 时，求PB PM 的值；（2）求12||||k k +的最小值，并确定此时直线PM 的方程. 21. （本小题满分12分）设函数()2cos (1)ln(1)f x x x x x =--+++，22()()g x k x x=+.其中0k ≠.（1）讨论函数()g x 的单调区间；（2）若存在1(1,1]x ∈-，对任意21(,2]2x ∈，使得12()()6f x g x k -<-成立，求k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过点A 分别作O 的切线AP 与割线AC ，P 为切点，AC 与O 交于B C 、两点，圆心O 在PAC ∠的内部，//BD AP ，PC 与BD 交于点N .（1）在线段BC 上是否存在一点M ，使A P O M 、、、四点共圆？若存在，请确定点M 的位置；若不存在，请说明理由. （2）若CP CD =，证明：CB CN =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22((1)9x y ++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线:6OP πθ=()p R ∈与圆C 交于点M N ，，求线段MN 的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|f x x x =+--，M 为不等式()0f x >的解集. （1）求M ；（2）求证：当,x y M ∈时，||15x y xy ++<.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5: ACDAC 6-10:BCADB 11、12：AB 二、填空题13.-2 14. 2log 3 15. 1- 16.6349π三、解答题17.解：（1）∵163412a a a a +=+=，………………1分∴16,a a 是2212110x x -+=方程的两根，且16a a <，………………2分 解得11a =，611a =，………………4分∴61510a a d -==，即2d =，………………5分 ∴21n a n =-.………………6分280(3053510)80 2.051 3.8414040651539k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”.………5分（2）这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的频率为65138016=.………………7分 （3）由题意可得13~(4,)16X B ，………………9分 ∴1313()4164E x =⨯=.……………………12分 19.（1）证明：在等腰APB ∆中，112cos 3PBABP AB ∠==，则由余弦定理可得22222132()2223339PE =+-⨯⨯⨯=，∴3PE =.………………2分 ∴2224PE BE PB +==，∴PE AB ⊥.………………3分∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，∴PE ⊥平面ABCD .………………4分（2）解：由已知可得//EN AD ，………………5分以E 为坐标原点，EP EB EN 、、分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则2((0,,1)(0,0,2)33P M N ，，，从而2(,1)33PM =-，2(0,,1)3MN =-.………………7分设平面PMN 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PM =，0n MN =，即2033x y z -++=，203y z -+=，令3y =，可得平面PMN的一个法向量为2)n =.………………9分 由（1）知平面AMN的一个法向量为4(3EP =，………………10分cos ,n EP ==，………………11分 由图可知二面角P MN A --的平面角为锐角， 故二面角P MN A --.………………12分20.解：（1）由椭圆2221(1)x y a a+=>的长轴长是短轴长的2倍得2a =.………………1分由题意(0,1)B ，(0,1)C -，焦点F ，当直线PM 过点F 时，则直线PM 的方程为11y =-，即1y x =-，令2y =-得x=(2)P -.………………3分联立22141x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M .………………4分 因为(3,3)PB =，15()77PM =，………………5分 所以454590777PB PM =+=.………………6分 （2）设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--，………………7分 联立221114y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++，………………8分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--，………………10分则1231||||||||4k k m m +=-+≥=31||||4m m -=，即m =±时取等号.所以12||||k k +此时直线PM 的方程为1y x =-.………………12分 21.解：（1）32222(1)'()2k k x g x kx x x -=-=，………………1分当0k >时，令'()0g x >，得1x >，∴()g x 的递增区间为(1,)+∞.………………2分令'()0g x <，得1x <，0x ≠，∴()g x 的递减区间为(,0)(0,1)-∞，...................3分 0k <当时，同理得()g x 的递增区间为(,0)(0,1)-∞，；递减区间为(1,)+∞. (5)分（2）'()2sin 1ln(1)12sin ln(1)f x x x x x =-+++=++，………………6分 ∵当(1,1]x ∈-时，2sin y x =及ln(1)y x =+均为增函数， ∴'()f x 在(1,1]-为增函数，又'(0)0f =，………………7分 ∴当(1,0)x ∈-时，'()0f x <；当(0,1]x ∈时，'()0f x >. 从而，()f x 在(1,0)-上递减，在(0,1]上递增，………………8分 ∴()f x 在(1,1]-上的最小值为(0)2f =-.………………9分 ∵12()()6f x g x k -<-，∴12()6()f x k g x <-+，∴min min ()6()f x k g x <-+，当0k >时，∴min ()(1)3g x g k ==，∴462k ->-，∴1k >.当0k <时，min ()(2)5g x g k ==，∴662k ->-，∴23k >， 又0k <，∴0k <时不合题意. 综上，(1,)k ∈+∞.………………12分22.（1）解：当点M 为BC 中点时，A P O M 、、、四点，证明如下： ∵M 为BC 的中点，故OM BC ⊥，即90OMA ∠=. 又∵OP AP ⊥，∴90OPA ∠=，∴OMA ∠与OPA ∠互补，∴A P O M 、、、四点共圆.………………5分 （2）证明：∵//BD AP ，∴CNB CPA ∠=∠， 连接PD ，∵AP 为切线，∴PDC CPA ∠=∠，∴CNB PDC ∠=∠，∵CP CD =，∴CPD PDC ∠=∠，又∵CBN CPD ∠=∠，∴CBN CNB ∠=∠，∴CB CN =.………………10分23.解：（1）22((1)9x y ++=可化为22250x y y +-+-=，故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=.………………5分（2）将6πθ=代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=，得2250ρρ--=，∴122ρρ+=，125ρρ=-，∴12||||MN ρρ=-==.………………10分 24.解：（1）3,2,1()31,2,213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩， 当2x <-时，由30x ->得，3x >，舍去； 当122x -≤≤时，由310x +>得，13x >-，即1132x -<≤； 当12x >时，由30x -+>得，3x <，即132x <<. 综上，1(,3)3M =-.………………6分 （2）∵,x y M ∈，∴||3x <，||3y <，∴||||||||||||||||||||333315x y xy x y xy x y xy x y x y ++≤++≤++=++<++⨯=.………………10分。
全国省级联考广东省2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案解析
全国省级联考⼴东省2018届⾼三第⼀次模拟考试数学（理）试题及答案解析2018年普通⾼等学校招⽣试卷全国统⼀考试⼴东省理科数学模拟考试（⼆）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1.已知,x y R ∈，集合{}32,log A x =，集合{},B x y =，若{}0A B ?=，则x y +=（） A.13B. 0C. 1D. 3【答案】C 【解析】分析：⾸先应⽤{0}A B =I 确定出3log 0x =，从⽽求出x 的值，再进⼀步确定出y 的值，最后求得结果即可.详解：因为{0}A B =I ，所以3log 0x =，解得1x =，所以0y =，所以101x y +=+=，故选C.点睛：该题考查的是有关集合的知识点，涉及到集合的交集中元素的特征，从⽽找到等量关系式，最后求得结果.2.若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（） A. 12z z ?是实数 B.12z z 是纯虚数 C. 24122z z =D. 22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进⾏相应的运算，对选项中的结果⼀⼀对照，从⽽选出满⾜条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ?=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题⼀⼀检验，从⽽找到正确的结果.3.已知()1,3a =-v ，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v ，若a b v P v，则b c ?=v v （）A. -7B. -2C. 5D. 8【答案】A 【解析】分析：利⽤向量平⾏列⽅程求出m 的值,然后直接利⽤向量数量积的坐标表⽰求解即可. 详解：因()1,3a v =-，(),4b m m =-v ，()2,3c m =v，所以由//a b r r，可得()340m m +-=，则1,m =()()1,3,2,3b c ∴=-=v ，12337b c ?=?-?=-v v，故选A.点睛：利⽤向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题⽅式有两个：（1）两向量平⾏，利⽤12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利⽤12120x x y y +=解答.4.如图，?AD 是以正⽅形的边AD 为直径的半圆，向正⽅形内随机投⼊⼀点，则该点落在阴影区域内的概率为（）A.16πB.316C.4π D.14【答案】D 【解析】分析：先由圆的对称性得到图中阴影部分的⾯积，再⽤⼏何概型的概率公式进⾏求解. 详解：连接AE ，由圆的对称性得阴影部分的⾯积等于ABE ?的⾯积，易知1=4ABE ABCDS S ?正⽅形，由⼏何概型的概率公式，得该点落在阴影区域内的概率为14P =.故选D. .点睛：本题的难点是求阴影部分的⾯积，本解法利⽤了圆和正⽅形的对称性，将阴影部分的⾯积转化为求三⾓形的⾯积.5.已知等⽐数列{}n a 的⾸项为1，公⽐1q ≠-，且()54323a a a a +=+91239a a a a =L （） A. 9- B. 9C. 81-D. 81【答案】B 【解析】分析：⾸先利⽤等⽐数列的项之间的关系，求得公⽐q 的值，之后判断根式的特征，化简求得是有关数列的第⼏项，再结合题中所给的数列的⾸项得出结果.详解：根据题意可知254323a a q a a +==+，942991239551139a a a a a a a q ?===?=?=，故选B.点睛：该题考查的是等⽐数列的有关问题，涉及到项与项之间的关系，还有就是数列的性质，两项的脚码和相等，则数列的两项的积相等，将式⼦化简，利⽤⾸项和公⽐求出结果.6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的⼀个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的⽅程为( )A. 22188x y -=B. 2211616x y -=C. 22188y x -=D. 22188x y -=或22188y x -= 【答案】A 【解析】分析：先利⽤双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利⽤焦点位置确定双曲线的类型，最后利⽤⼏何元素间的等量关系进⾏求解. 详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a b =，⼜双曲线2222:x y C a b-=的⼀个焦点坐标为()4,0，所以2216a =，即228a b ==，即该双曲线的⽅程为22188x y -=.故选D.点睛：本题考查了双曲线的⼏何性质，要注意以下等价关系的应⽤：等轴双曲线的离⼼率为2，其两条渐近线相互垂直. 7.已知某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A. 86π+B. 66π+C. 812π+D. 612π+【答案】B 【解析】由三视图可得该⼏何体是由圆柱的⼀半（沿轴截⾯截得，底⾯半径为1，母线长为3）和⼀个半径为1的半球组合⽽成（部分底⾯重合），则该⼏何体的表⾯积为12π+π2π3236π62S =+??+?=+. 【名师点睛】先利⽤三视图得到该组合体的结构特征，再分别利⽤球的表⾯积公式、圆柱的侧⾯积公式求出各部分⾯积，最后求和即可.处理⼏何体的三视图和表⾯积、体积问题时，往往先由三视图判定⼏何体的结构特征，再利⽤相关公式进⾏求解. 8.设x ，y 满⾜约束条件0,2,xy x y ≥??+≤?则2z x y =+的取值范围是（）A. []22-,B. []4,4-C. []0,4D. []0,2【答案】B 【解析】分析：⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，是两个三⾓形区域，结合⽬标函数的属性，可知其为截距型的，从⽽确定出在哪个点处取得最⼩值，哪个点处取得最⼤值，从⽽确定出⽬标函数的范围. 详解：直线2x y +=-与x 轴交于(2,0)A -点，与y 轴交于(0,2)B -点，直线2x y +=与x 轴交于(2,0)C 点，与y 交于(0,2)D 点，题中约束条件对应的可⾏域为,AOB COD ??两个三⾓形区域，移动直线2y x z =-+，可知直线过点A 时截距取得最⼩值，过点C 时截距取得最⼤值，从⽽得到min max 2(2)04,2204z z =?-+=-=?+=，从⽽确定出⽬标函数的取值范围是[4,4]-，故选B.点睛：该题属于线性规划的问题，需要⾸先根据题中所给的约束条件画出相应的可⾏域，判断⽬标函数的类型，属于截距型的，从⽽判断出动直线过哪个点时取得最⼩值，过哪个点时取得最⼤值，最后求得对应的范围，在求解的时候，判断最优解最关键.9.在印度有⼀个古⽼的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明⼈——宰相宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个⼩格⾥，赏给我1粒麦⼦，在第2个⼩格⾥给2粒，第3⼩格给4粒，以后每⼀⼩格都⽐前⼀⼩格加⼀倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆⼈吧！”国王觉得这要求太容易满⾜了，就命令给他这些麦粒．当⼈们把⼀袋⼀袋的麦⼦搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚⾄全世界的麦粒全拿来，也满⾜不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下⾯是四位同学为了计算上⾯这个问题⽽设计的程序框图，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】分析：先分析这个传说中涉及的等⽐数列的前64项的和，再对照每个选项对应的程序框图进⾏验证. 详解：由题意，得每个格⼦所放麦粒数⽬形成等⽐数列{}n a ，且⾸项11a =，公⽐2q =，所设计程序框图的功能应是计算2641222S =++++，经验证，得选项B 符合要求.故选B . 点睛：本题以数学⽂化为载体考查程序框图的功能，属于基础题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满⾜()()21252341615n n n a n a n n +-=-+-+，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最⼩值为（）A. 494-B. 498-C. 14-D. 28-【答案】C 【解析】分析：⾸先对题中所给的数列的递推公式进⾏变形，整理得出数列25n a n ??-为等差数列，确定⾸项和公差，从⽽得到新数列的通项公式，接着得到{}n a 的通项公式，利⽤其通项公式，可以得出哪些项是正的，哪些项是负的，哪些项等于零，从⽽能够判断出n m S S -在什么情况下取得最⼩值，并求出最⼩值的结果. 详解：根据题意可知1(25)(23)(25)(23)n n n a n a n n +-=-+--，式⼦的每⼀项都除以(25)(23)n n --，可得112325n na a n n +=+--，即112(1)525n na a n n +-=+--，所以数列25n a n ??-??是以15525=--为⾸项，以1为公差的等差数列，所以5(1)1625na n n n =-+-?=--，即(6)(25)n a n n =--，由此可以判断出345,,a a a 这三项是负数，从⽽得到当5,2n m ==时，n m S S -取得最⼩值，且5234536514n m S S S a a S a -=-=++=---=-，故选C.点睛：该题考查的是数列的有关问题，需要对题中所给的递推公式变形，构造出新的等差数列，从⽽借助于等差数列求出{}n a 的通项公式，⽽题中要求的n m S S -的值表⽰的是连续若⼲项的和，根据通项公式判断出项的符号，从⽽确定出哪些项，最后求得结果.11.已知菱形ABCD 的边长为060BAD ∠=，沿对⾓线BD 将菱形ABCD 折起，使得⼆⾯⾓A BD C --的余弦值为13-，则该四⾯体ABCD 外接球的体积为( )A.B.C.D. 36π【答案】B 【解析】【分析】⾸先根据题中所给的菱形的特征，结合⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义，先找出⼆⾯⾓的平⾯⾓，之后结合⼆⾯⾓的余弦值，利⽤余弦定理求出翻折后AC 的长，借助勾股定理，得到该⼏何体的两个侧⾯是共⽤斜边的两个直⾓三⾓形，从⽽得到该四⾯体的外接球的球⼼的位置，从⽽求得结果. 【详解】取BD 中点M ,连结,AM CM ，根据⼆⾯⾓平⾯⾓的概念，可知AMC ∠是⼆⾯⾓A BD C --的平⾯⾓，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得32AM CM ===，此时满⾜ 2199233()243AC =+--=，从⽽求得AC =，22222AB BC AD CD AC +=+=，所以,ABC ADC ??是共斜边的两个直⾓三⾓形，所以该四⾯体的外接球的球⼼落在AC 中点，半径2ACR ==所以其体积为34433V R ππ==?=，故选B. 【点睛】该题所考查的是有关⼏何体的外接球的问题，解决该题的关键是弄明⽩外接球的球⼼的位置，这就要求对特殊⼏何体的外接球的球⼼的位置以及对应的半径的⼤⼩都有所认识，并且归类记忆即可. 12.已知函数()()ln 3xf x e x =-+，则下⾯对函数()f x 的描述正确的是（）A. ()3,x ?∈-+∞，()13f x ≥B. ()3,x ?∈-+∞，()12f x >- C. ()03,x ?∈-+∞，()01f x =- D. ()()min 0,1f x ∈【答案】B 【解析】分析：⾸先应⽤导数研究函数的单调性，借助于⼆阶导来完成，在求函数的极值点的时候，发现对应的⽅程，在中学阶段是解不出来的，所以⽤估算的办法求出来，之后进⾏⽐较，对题中各项的结果进⾏对⽐，排除不正确的，最后得到正确答案.详解：根据题意，可以求得函数的定义域为(3,)-+∞，1'()3x f x e x =-+，21''()(3)xf x e x =++，可以确定''()0f x >恒成⽴，所以'()f x 在(3,)-+∞上是增函数，⼜11'(1)02f e -=-<，11'()0522f -=->，所以01(1,)2x ?∈--，满⾜0'()0f x =，所以函数()f x 在0(3,)x -上是减函数，在0(+)x ∞，上是增函数，0()f x 是最⼩值，满⾜00103xe x -=+，000()ln(3)x f x e x =-+00x e x =+在1(1,)2--上是增函数，从⽽有01()()(1)1f x f x f e ≥>-=-，结合该值的⼤⼩，可知最⼩值是负数，可排除A,D ，且111e->-，从⽽排除C 项，从⽽求得结果，故选B.点睛：该题考查的是利⽤导数研究函数的性质，本题借着⼆阶导来得到⼀阶导函数是增函数，从⽽利⽤零点存在性定理对极值点进⾏估算，最后不是求出的确切值，⽽是利⽤估算值对选项进⾏排除，从⽽求得最后的结果.第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数()g x 的图象，则?的最⼤值是________________．【答案】6π- 【解析】分析：先利⽤三⾓函数的变换得到()g x 的解析式，再利⽤诱导公式和余弦函数为偶函数进⾏求解. 详解：函数()()()2sin 20f x x =+<的图象向左平移3π个单位长度，得到π2π2sin[2()]2sin(2)33y x x ??=++=++，即2π()2sin(2)3g x x ?=++，⼜()g x 为偶函数，所以2πππ,32k k Z ?+=+∈，即ππ,6k k Z ?=-+∈，⼜因为0?<，所以的最⼤值为π6-. 点睛：本题的易错点是：函数()()()2sin 20f x x ??=+<的图象向左平移3π个单位长度得到 ()g x 的解析式时出现错误，要注意平移的单位仅对于⾃变量""x ⽽⾔，不要得到错误答案“π()2sin(2)3g x x ?=++”. 14.已知0a >，0b >，6b ax x ??+ ??展开式的常数项为52，则2+a b 的最⼩值为__________．【答案】2 【解析】分析：由题意在⼆项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式的常数项，再根据展开式的常数项为52，确定出12ab =，再利⽤基本不等式求得2+a b 的最⼩值.详解：6()bax x+展开式的通项公式为666166()()rrr r r r r r r b T C ax a b C x x----+==，令620r -=，得3r =，从⽽求的333652C a b =，整理得12ab =，⽽22a b +≥==，故答案是2. 点睛：该题考查的是有关⼆项式定理以及基本不等式的问题，解题的关键是要清楚⼆项展开式的通项公式以及确定项的求法，之后是有关利⽤基本不等式求最值的问题，注意其条件是⼀正⼆定三相等.15.已知函数()()2log 41xf x mx =++，当0m =时，关于x 的不等式()3log 1f x <的解集为__________．【答案】()0,1 【解析】分析：⾸先应⽤条件将函数解析式化简，通过解析式形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的⾃变量，从⽽将不等式转化为3(log )(0)f x f <，进⼀步转化为3log 0x <，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.详解：当0m =时，2()log (41)xf x =+是R 上的增函数，且2(0)log (11)1f =+=，所以()3log 1f x <可以转化为3(log )(0)f x f <，结合函数的单调性，可以将不等式转化为3log 0x <，解得01x <<，从⽽得答案为(0,1).点睛：解决该题的关键是将不等式转化，得到x 所满⾜的不等式，从⽽求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.16.设过抛物线()220y px p =>上任意⼀点P （异于原点O ）的直线与抛物线()280y px p =>交于A ，B两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另⼀个交点为Q ，则ABQ ABOS S ??=__________．【答案】3 【解析】分析：画出图形，将三⾓形的⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后转化为坐标⽐，设出点的坐标，写出直线的⽅程，联⽴⽅程组，求得交点的坐标，最后将坐标代⼊，求得⽐值,详解：画出对应的图就可以发现，1ABQ Q P Q ABOP PS x x y PQ S OP x y ??-===-设211(,)2y P y p ，则直线121:2y OP y x y p=，即12p y x y =，与28y px =联⽴，可求得14Q y y =，从⽽得到⾯积⽐为11413y y -=，故答案是3. 点睛：解决该题的关键不是求三⾓形的⾯积，⽽是应⽤⾯积公式将⾯积⽐转化为线段的长度⽐，之后将长度⽐转化为坐标⽐，从⽽将问题简化，求得结果.三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17.在ABC ?中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =o ，8c =. （1）若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，13BM BC =，ANBM =，求AM 的值；（2）若12b =，求ABC ?的⾯积.【答案】（1）213（2）24283+. 【解析】分析：第⼀问根据题意得出两个点的位置，从⽽设出对应的边长，在三⾓形中，应⽤余弦定理求得x所满⾜的等量关系式，求得对应的值，再放在三⾓形中应⽤余弦定理求得对应的边长，第⼆问根据正弦定理找出⾓所满⾜的条件，最后利⽤⾯积公式求得三⾓形的⾯积.详解：（1）由题意得M，N是线段BC的两个三等分点，设BM x=，则2BN x=，23AN x=，⼜60B=o，8AB=，在ABN中，由余弦定理得22 12644282cos60x x x=+-??o，解得2x=（负值舍去），则2 BM=.在ABN中，22182282522132AM=+-==.(2）在ABC中，由正弦定理sin sinb cB C=，得38sin32sin12c BCb===.⼜b c>，所以B C>，则C为锐⾓，所以6cos C=.则()3613323sin sin sin cos cos sin2A B C B C B C+=+=+=?+?=，所以ABC的⾯积1323sin48242832S bc A+==?=+.点睛：该题所考查的是有关利⽤正余弦定理解三⾓形的问题，在解题的过程中，需要时刻关注正余弦定理的内容，在求解的过程中，注意边长所满⾜的条件，对解出的结果进⾏相应的取舍，将⾯积公式要⽤活.18.如图，在五⾯体ABCDEF中，四边形EDCF是正⽅形，AD DE=，090ADE∠=，120ADC DCB∠=∠=.(1)证明：平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF ； (2)求直线AF 与平⾯BDF 所成⾓的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】分析：第⼀问证明⾯⾯垂直，在证明的过程中，利⽤常规⽅法，抓住⾯⾯垂直的判定定理，找出相应的垂直关系证得结果，第⼆问求的是线⾯⾓的正弦值，利⽤空间向量，将其转化为直线的⽅向向量与平⾯的法向量所成⾓的余弦值的绝对值，从⽽求得结果.详解：（1）证明：因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，AD ，CD ?平⾯ABCD ，且AD CD D =I ，所以DE ⊥平⾯ABCD .⼜DE ?平⾯EDCF ，故平⾯ABCD ⊥平⾯EDCF . （2）解：由已知//DC EF ，所以//DC 平⾯ABFE . ⼜平⾯ABCD ?平⾯ABFE AB =，故//AB CD . 所以四边形ABCD 为等腰梯形.⼜AD DE =，所以AD CD =，易得AD BD ⊥，令1AD =，如图，以D 为原点，以DA u u u v的⽅向为x 轴正⽅向，建⽴空间直⾓坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A，12F ??- ? ???，()B ，所以3,12FA ??=- ? ???u u u v，()DB =u u u v，12DF ??=- ? ???u u u v . 设平⾯BDF的法向量为(),,n x y z =，由0,0,n DB n DF ??=??=?u u u v u u u v 所以0,10,22x y z ?=??-++=??取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =， cos ,FA n FA n FA n ?===u u u vu u u v u u u v .设直线与平⾯BDF 所成的⾓为θ，则sin θ=. 所以直线AF 与平⾯BDF点睛：该题在解题的过程中，第⼀问⽤的是常规法，第⼆问⽤的是空间向量法，既然第⼆问要⽤空间向量，则第⼀问也可以⽤空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题⽅法是不唯⼀的.19.经销商第⼀年购买某⼯⼚商品的单价为a （单位：元），在下⼀年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠⼒度越⼤，具体情况如下表：上⼀年度销售额/万元[)0,100[)100,200[)200,300[)300,400[)400,500[)500,+∞商品单价/元 a0.9a 0.85a 0.8a 0.75a 0.7a为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了50个经销商⼀年的销售额，得到下⾯的柱状图.已知某经销商下⼀年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）该⼯⼚针对此次的调查制定了如下奖励⽅案：经销商购买单价不⾼于平均估计单价的获得两次抽奖活动，⾼于平均估计单价的获得⼀次抽奖活动.每次获奖的⾦额和对应的概率为记Y （单位：元）表⽰某经销商参加这次活动获得的资⾦，求Y 的分布及数学期望. 【答案】（1）0.873a （2）见解析【解析】分析：第⼀问根据题意，列出对应的变量的分布列，利⽤离散型随机变量的期望公式求得对应的平均值；第⼆问也是分析题的条件，将事件对应的情况找全，对应的概率值算对，最后列出分布列，利⽤公式求得其数学期望.详解：（1）由题可知：X 的平均估计值为：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=.（2）购买单价不⾼于平均估计单价的概率为10.240.120.10.040.52+++==. Y 的取值为5000，10000，15000，20000. ()1335000248P Y ==?=，()1113313100002424432P Y ==?+??=，()2111331500024416P Y C ===，()11112000024432P Y ==??=.所以Y 的分布列为()31331500010000150002000093758321632E Y =?+?+?+?=（元）.点睛：该题属于离散型随机变量的分布列及其期望值的运算，在解题的过程中，⼀定要对题的条件加以分析，正确理解，那些量有⽤，会提⽰我们得到什么样的结果，还有就是关于离散型随机变量的期望公式⼀定要熟记并能灵活应⽤.20.已知椭圆1C ：2221(0)8x y b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线2C ：28y x =的焦点．（1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为(1,1)，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值．【答案】（1）1 2-（2解:因为抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0),所以284b -=,故2b =.所以椭圆222:184x y C +=.(1)设1122(,),(,)M x y N x y ,则221122221,84{1,84x y x y +=+= 两式相减得1212()()8x x x x +-+1212()()04y y y y +-=，⼜MN 的中点为(1,1),所以12122,2x x y y +=+=.所以21211 2y y x x -=--. 显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN 的斜率为12-. (2)椭圆右焦点2(2,0)?F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时,11 m n +=+8=. 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的⽅程为(2)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ,联⽴⽅程得22(2),{28,y k x x y =-+=消去y 并化简得222(12)8k x k x +-2880k +-=，因为222(8)4(12)k k ?=--+22(88)32(1)0k k -=+>，所以2122812k x x k +=+，21228(1)12k x x k -=+.所以m =22)12k k+=+同理可得22)2k n k +=+.所以11 m n +=2222122()118k k k k +++=++为定值. 【解析】分析：（1）先利⽤抛物线的焦点是椭圆的焦点求出284b -=，进⽽确定椭圆的标准⽅程，再利⽤点差法求直线的斜率；（2）设出直线的⽅程，联⽴直线和椭圆的⽅程，得到关于x 的⼀元⼆次⽅程，利⽤根与系数的关系进⾏求解.详解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=.（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ?+=+=?? 两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，⼜MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=.所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-.（2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，11m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的⽅程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联⽴⽅程得()222,28,y k x x y ?=-?+=?消去y 并化简得()2222128880k xk x k +-+-=，因为()()()()222228412883210k k k k ?=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+.所以)22112k m k +==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ??+++=+=?++?为定值. 点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利⽤点差法进⾏求解，⽐联⽴⽅程的运算量⼩，另设直线⽅程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解. 21.已知()'fx 为函数()f x 的导函数，()()()2'200x x f x e f e f x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()xaf x e x <-恒成⽴，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）[]1,0- 【解析】分析：第⼀问给⾃变量赋值求得解析式，利⽤导数研究函数的单调性即可，第⼆问关于恒成⽴问题可以转化为求函数最值问题来解决，最值也离不开函数图像的⾛向，所以离不开求导确定函数的单调区间. 详解：（1）由()()0120f f =+，得()01f =-. 因为() ()2220xx f x ee f =-'-'，所以()()0220f f =-'-'，解得()00f '=.所以()22xx f x ee =-，()()22221x x x xf x e e e e ='=--，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则函数()f x 在(),0-∞上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,+∞上单调递增. （2）令()()()221xxx g x af x e x aea e x =-+=-++，根据题意，当()0,x ∈+∞时，()0g x <恒成⽴.()()()()222211211x x x x g x ae a e ae e '=-++=--.①当102a <<，()ln2,x a ∈-+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()ln2,a -+∞上是增函数，且()()()ln2,g x g a ∈-+∞，所以不符合题意；②当12a ≥，()0,x ∈+∞时，()0g x '>恒成⽴，所以()g x 在()0,+∞上是增函数，且()()()0,g x g ∈+∞，所以不符合题意；③当0a ≤时，因为()0,x ∈+∞，所有恒有()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，于是“()0g x <对任意()0,x ∈+∞都成⽴”的充要条件是()00g ≤，即()210a a -+≤，解得1a ≥-，故10a -≤≤. 综上，a 的取值范围是[]1,0-.点睛：该题属于导数的综合应⽤问题，在解题的过程中，确定函数解析式就显得尤为重要，在这⼀步必须保持头脑清醒，第⼆问在证明不等式恒成⽴的时候，可以构造新函数，恒成⽴问题转化为最值来处理即可，需要注意对参数进⾏讨论.请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．22.选修4-4：坐标系与参数⽅程在直⾓坐标系xOy 中,直线l的参数⽅程为34x y a ?=?=?,（t 为参数），圆C 的标准⽅程为22(3)(3)4x y -+-=.以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系.(1)求直线l 和圆C 的极坐标⽅程； (2)若射线(0)3πθρ=>与直线l 的交点为M ,与圆C 的交点为,A B ,且点M 恰好为线段AB 的中点,求a 的值.【答案】（1）cos sin ρθρθ-304a -+=.26cos 6sin 140ρρθρθ--+=（2）94a = 【解析】分析：（1）将直线l 的参数⽅程利⽤代⼊法消去参数，可得直线l 的直⾓坐标⽅程，利⽤cos x ρθ=，sin y ρθ=可得直线l 的极坐标⽅程，圆的标准⽅程转化为⼀般⽅程，两边同乘以ρ利⽤利⽤互化公式可得圆C 的极坐标⽅程；（2）联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得3,23M π??+ ? ???，将323M π??+ ? ???代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，解⽅程即可得结果.详解：（1）在直线l 的参数⽅程中消去t 可得，304x y a --+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代⼊以上⽅程中，所以，直线l 的极坐标⽅程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标⽅程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. （2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ??，2,3A πρ??，3,3B πρ??. 联⽴2,366140,cos sin πθρρρθ?=-∞-+=?可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB 的中点，所以1ρ=，即3M π.把3M π代⼊3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a ++=，所以94 a =.。
2017-2018学年广东省高三(上)12月联考数学试卷(理科)Word版(解析版)
2017-2018学年广东省三（上）12月联考试卷（理科数学）一、选择题1．（6分）设复数z满足z﹣3i=3+zi，则z=（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i2．（6分）求值=（）A．1 B．2 C．D．3．（6分）“a≤﹣3”是“f（x）=﹣|x+a|在[3，+∞）上为减函数”的什么条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．不充分不必要4．（6分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种5．（6分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．6．（6分）如图是一个水平放置的透明无盖的正方体容器，高12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm37．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC的三等分点，若=，=，则=（）A．=+B．=+C．=+D．=+8．（6分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．9．（6分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数10．（6分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x2项为（）A．0 B．﹣80x2C．80x2D．160x211．（6分）如图是一个圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径r=3）组成一个几何体，该几何图体三视中的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．63πB．80πC．36+27πD．36+45π12．（6分）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，] C．（，1）D．[，1）二、填空题13．（8分）若函数f（x）=为奇函数．则a=．14．（8分）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是．15．（8分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．16．（8分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c ﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，+++…+=a n﹣2（n≥2），且a1=2．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和B n．18．（12分）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．19．如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分，底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂直于底面ABCD，GC=3，AB=2，BC=．四边形AEGF为菱形，经过C且垂直于AG的平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N；（1）求证：CN⊥BH；（2）求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值．20．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M（2，0）的动直线l与椭圆C相交于D、E两点，求△ODE面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）x﹣2lnx+a﹣2，g（x）=xe1﹣x（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x0）在（0，e]上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．请在22、23、24、题中任选一题作答.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）过C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）若C1上的点P对应的参数为t=π，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最大值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（﹣∞，1）∪（7，+∞），求实数a，m的值；（2）当a=﹣1时，当x≤﹣2时，不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，求t的取值范围．2017-2018学年广东省三（上）12月联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题1．（6分）（2016•北海一模）设复数z满足z﹣3i=3+zi，则z=（）A．3 B．﹣3 C．3i D．﹣3i【分析】设出z=a+bi，代入z﹣3i=3+zi，得到关于a，b的方程组，解出即可．【解答】解：设z=a+bi，∵z﹣3i=3+zi，∴（a+bi）﹣3i=3+（a+bi）i，∴a+b﹣3+（b﹣a﹣3）i=0，∴，解得：，则z=﹣3，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查计算能力，是一道基础题．2．（6分）（2015秋•凯里市校级期末）求值=（）A．1 B．2 C．D．【分析】需利用公式1﹣sin2α=（sinα﹣cosα）2、cos2α=cos2α﹣sin2α、cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）解决．【解答】解：原式=======．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的倍角公式及和（差）角公式．3．（6分）（2015秋•广东校级月考）“a≤﹣3”是“f（x）=﹣|x+a|在[3，+∞）上为减函数”的什么条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．不充分不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合绝对值的性质，进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=﹣|x+a|在[3，+∞）上为减函数，∴﹣a≤3，∴a≥﹣3，∴“a≤﹣3”是“f（x）=﹣|x+a|在[3，+∞）上为减函数”的，不充分不必要故选：D．【点评】本题考查充要条件的判断和已知函数单调性求参数范围问题，对函数f（x）=﹣|x﹣a|的图象要熟练掌握4．（6分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题5．（6分）（2013•三门峡模拟）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．【点评】挖掘题设条件，合理运用双曲线的性质能够准确求解．6．（6分）（2015秋•广东校级月考）如图是一个水平放置的透明无盖的正方体容器，高12cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【分析】根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积．【解答】解：根据几何意义得出：边长为12的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：6，∵球面恰好接触水面时测得水深为8cm，∴d=12﹣8=4，∴球的半径为：R=，R=∴球的体积为π×（）3=cm3故选D．【点评】本题考查了球的几何性质，运用求解体积面积，属于中档题．7．（6分）（2015秋•广东校级月考）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC的三等分点，若=，=，则=（）A．=+B．=+C．=+D．=+【分析】根据平面向量的线性表示与运算性质，利用与表示出即可．【解答】解：△ABC中，D、E分别是AB和BC的三等分点，∴==，==（﹣）=（﹣），∴=+=+（﹣）=+．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题目．8．（6分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题9．（6分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．10．（6分）（2015秋•运城期末）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x2项为（）A．0 B．﹣80x2C．80x2D．160x2【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后写出（2x﹣）5 的展开式的通项，进一步求得展开式中含x2项．【解答】解：令x=1，则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5 ，（2x﹣）5 的展开式的通项为=，则展开式（x+）（2x﹣）5 中含x2项为．故选：A．【点评】本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出含x2项，是中档题．11．（6分）（2015秋•广东校级月考）如图是一个圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径r=3）组成一个几何体，该几何图体三视中的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．63πB．80πC．36+27πD．36+45π【分析】由已知可得该几何图体是一个半圆柱与半球的组合体，半球和圆柱的底面半径r=3，半圆柱的高为2r=6，累加各个面的面积，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何图体是一个半圆柱与半球的组合体，半球和圆柱的底面半径r=3，半圆柱的高为2r=6，故该几何体的表面积S=×4πr2+2××πr2+×2πr×2r+2r×2r=5πr2+4r2=36+45π，故选：D．【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积和表面积，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12．（6分）（2015秋•广东校级月考）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，] C．（，1）D．[，1）【分析】设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax ﹣1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a﹣1且h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，h （2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=h（x）=ax﹣1的下方，∵g′（x）=lnx+1﹣，∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a﹣1＜0，即a≤1．直线y=ax﹣1恒过定点（0，﹣1）且斜率为a，由题意结合图象可知，存在唯一的整数x0=2，f（x0）＜0，故h（2）=2a﹣1＞g（2）=0，h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，解得＜a≤．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题13．（8分）（2015秋•广东校级月考）若函数f（x）=为奇函数．则a=±2．【分析】由函数f（x）=为奇函数，可知：f（﹣x）=﹣f（x）在[﹣2，2]上恒成立，进而解得a值．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数．∴f（﹣x）=﹣f（x）在[﹣2，2]上恒成立，即=﹣在[﹣2，2]上恒成立，解得：a=±2，故答案为：±2【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．14．（8分）（2015秋•深圳校级期末）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是x2+y2﹣2x+y﹣15=0．【分析】求出双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的坐标，利用待定系数法进行求解即可．【解答】解：双曲线的左顶点A（﹣3，0）、虚轴上端点B（0，4）、右焦点F（5，0），设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，得D=﹣2，E=，F=﹣15，即圆的一般方程为x2+y2﹣2x+y﹣15=0，故答案为：x2+y2﹣2x+y﹣15=0【点评】本题主要考查双曲线的图象和性质以及圆的方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．15．（8分）（2016•河南二模）若x，y满足约束条件，则的最小值为．【分析】做出不等式表示的平面区域，将化成1+，即求过点（1，﹣1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解：=1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．【点评】本题考查了简单的线性规划，是基础题．16．（8分）（2014•新课标I）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2015秋•广东校级月考）已知S n为数列{a n}的前n项和，+++…+=a n﹣2（n≥2），且a1=2．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和B n．【分析】（1）利用递推关系与“累乘求积”方法即可得出；（2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵+++…+=a n﹣2（n≥2），∴+++…++=a n+1﹣2，∴=a n+1﹣a n，化为=，∴a n=••…••a1=•…••2=n+1，∴a n=n+1．（2）b n====，∴数列{b n}的前n项和B n=+…+==．【点评】本题考查了递推关系与“累乘求积”方法、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•白银模拟）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．【分析】（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3），由此能求出X的分布列和期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）频率分布直方图如右图．…（3分）所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46…（5分）（2）男居民幸福的概率为：=0.5．女居民幸福的概率为：=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为：0.5×0.6=0.3…（7分）因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，0.3）于是…（9分）∴E（X）=np=4×0.3=1.2…（12分）【点评】本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（2015秋•广东校级月考）如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分，底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂直于底面ABCD，GC=3，AB=2，BC=．四边形AEGF为菱形，经过C且垂直于AG的平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N；（1）求证：CN⊥BH；（2）求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明CN⊥面BAH即可证明CN⊥BH；（2）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：连结BH，由题知AB⊥面BCGF又∵CN⊂面BCGF，∴AB⊥CN∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN又∵AG∩AB=A，AG、AB⊂面BAH，∴CN⊥面BAH又∵BH⊂面BAH，∴CN⊥BH（2）解：以DA、DC、DE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系∵四边形AEFG为菱形，可设AE=EG=a，DE=b由AE2=AD2+DE2，得a2=5+b2，①由EG2=（GC﹣DE）2+DC2，得a2=（3﹣b）2+8，②以上面两式解得：a=3，b=2∴E（0，0，2）、A（，0，0）、G（0，2，3）∴=（﹣，0，2）、=（﹣，2.3），设=（x，y，z）为面AFGE的一个法向量，则由，解得=（8，﹣，4）为面AFGE的一个法向量由题知=（0，0，1）为面ABCD的一个法向量∴cos＜，＞==，∴所求二面角的余弦值为．【点评】本题综合考查空间中线线垂直和空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．20．（2015秋•广东校级月考）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M（2，0）的动直线l与椭圆C相交于D、E两点，求△ODE面积的最大值．【分析】（1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得=+=0．把点P（，）代入椭圆C的方程为：+=1，与b2+c2=a2联立解出即可得出．（2）设my=x﹣2，D（x1，y1），E（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（2+m2）y2+4my+2=0，△＞0，再利用弦长公式与点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：（1）A（0，b）．∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，∴=•（c，﹣b）=+=0．把点P（，）代入椭圆C：+=1的方程为：+=1，解得a2=2，∴b2+c2=2，可得b2=2﹣c2，代入+=0，解得c=1，b=1．∴椭圆C的方程为+y2=1．（2）设my=x﹣2，D（x1，y1），E（x2，y2）．联立，化为：（2+m2）y2+4my+2=0，△=16m2﹣8（2+m2）＞0，解得或m．∴y1+y2=，y1y2=．∴|DE|===．原点O到直线DE的距离d=．∴S△ODE=d|DE|=××=．设=t＞0，则m2=t2+2．∴S△ODE==≤，当且仅当t=2时取等号．∴m=，满足△＞0．∴当m=时，△ODE面积的最大值为．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2015秋•运城期末）已知函数f（x）=（2﹣a）x﹣2lnx+a﹣2，g（x）=xe1﹣x（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x0）在（0，e]上总存在两个不等的实根，求实数a 的取值范围．【分析】（1）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；（2）求出g′（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a≠2时，求出f′（x）=0时x的值，根据x∈（0，e]列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x 的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而，l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（2）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；当a≠2时，f′（x）=2﹣a﹣=，x∈（0，e]当x=时，f′（x）=0．由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故0＜＜e，即a＜2﹣①，f（）=a﹣2ln，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2，所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不等的实根，使得f（x）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即，令h（a）=a﹣2ln，a∈（﹣∞，2﹣），则h′（a）=1﹣2[ln2﹣ln（2﹣a）]′=1﹣=，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当a∈（0，2﹣）时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．所以，对任意a∈（﹣∞，2﹣），有h（a）≤h（0）=0，即②对任意a∈（﹣∞，2﹣）恒成立．由③式解得：a≤2﹣．④综合①④可知，当a∈（﹣∞，2﹣]时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的两个不等的实根使f（x）=g（x0）成立．【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题．请在22、23、24、题中任选一题作答.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2016•榆林一模）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．【分析】（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．【解答】解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C．又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，∵∠APC=∠BPA，∵AC=AP，∴∠APC=∠C∴∠APC=∠C=∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BPA中∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴．∴．…（10分）【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015秋•广东校级月考）在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）过C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）若C1上的点P对应的参数为t=π，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最大值．【分析】（1）消去参数，求出C1，C2的普通方程即可；（2）求出P的坐标，设出Q的坐标，表示出M的坐标，代入点到直线的距离公式即可．【解答】解：（1）∵C1：（t为参数），∴C1：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1，表示以（3，2）为圆心，1为半径的圆；∵C2：（θ为参数），∴C2：+=1，表示以长轴是8，短轴是6的椭圆；（2）t=π时，P（2，2），设Q（4cosθ，3sinθ），则M（2cosθ+1，sinθ+1），而C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7，即：x﹣2y﹣7=0，故M到C3的距离是：d==≤．（其中sinβ=，cosβ=，当且仅当sin（β﹣α）=﹣1时“=”成立．【点评】本题考查了求曲线的普通方程，考查点到直线的距离公式以及三角函数的最值问题，是一道中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2015秋•广东校级月考）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（﹣∞，1）∪（7，+∞），求实数a，m的值；（2）当a=﹣1时，当x≤﹣2时，不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，求t的取值范围．【分析】（1）先求出不等式的解集，再根据f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（﹣∞，1）∪（7，+∞），即可求出a，m的值，（2）f（x）+t≥f（x+2）恒成立，得到f（x）min+t≥f（x+2）max，分别根据函数的性质求出最值即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣a|=当x≥a时，x﹣a＞m，即x＞a+m，当x＜a时，﹣x+a＞m，即x＜a﹣m，∵f（x）＞m（m＞0）的解集为x∈（﹣∞，1）∪（7，+∞），∴，解得a=4，m=3，（2）当a=﹣1时，f（x）=，当x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣1，函数为减函数，故f（x）min=f（﹣2）=2﹣1=1，当x≤﹣2时，则（x+2）≤0，∴f（x+2）=，由于当﹣3≤x≤﹣2时，函数f（x+2）为增函数，故f（x+2）max=f（﹣2）=1，由于当x＜3时，函数f（x+2）为减函数，故f（x+2）max=f（﹣3）=0，故函数f（x+2）max=1，∵不等式f（x）+t≥f（x+2）恒成立，∴1+t≥1，解得t≥0，故t的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及求能成立问题参数范围；关键是转化的思想应用．。
2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学(理科)答案 (校对版)
肇庆市中小学教学质量评估 2018届高中毕业班第一次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13． 0.8413 14． 120- 15． 22π+ 16． 1700三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 满意度评分的众数=6070652+= （2分） 因为()()0.010.02100.30.5,0.010.020.03100.60.5+⨯=<++⨯=>，所以满意度评分的中位数在[60,70)之间，设中位数为a ，则()600.030.50.3a -⨯=-，得66.7a ≈ （5分） （Ⅱ）（9分）()22802430101610.03 6.63540403446K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， （11分）所以有99.9%的把握认为用户满意度与地区有关. （12分）（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取VD 的中点F ，连接,EF AF . （1分）在VCD ∆中，EF 是中位线，所以1//2EF CD ， （2分）又1//2AB CD ，所以//EF AB ， （3分） 所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF . （4分） 又,BE VAD AF VAD ⊄⊂面面，所以//BE VAD 面. （6分） （Ⅱ）因为//,AB CD CD VD ⊥，所以AB VD ⊥， （8分） 又因为AB VA ⊥，VA VD V =，,VA VD 都在VAD 面内，所以AB VAD ⊥面. （10分） 又AB ABCD ⊂面，所以面ABCD ⊥VAD 面. （12分）（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设“小王恰好抽奖3次停止”为事件A ，则()1123223515C C A P A A ==. （4分） （2）X 可取200，300，400，500 （5分）()2225120010A P X A ===，()()1123223513005C C A P X P A A ====， （7分） ()21332345340010C C A P A ==，()3143245525005C C A P A ==. （9分） X 的分布列如下表200300400500400105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （12分）（20）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图，取AD 的中点E ，连接,SE BE . （1分） 因为SA SD =，所以AD SE ⊥. （2分） 在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，所以ABD ∆是等边三角形，所以AD BE ⊥. （3分） 又因为,,SEBE E SE SBE BE SBE =⊂⊂面面，所以AD SBE ⊥面. （5分）因为BS SBE ⊂面，所以AD BS ⊥. （6分）（Ⅱ）因为ABD ∆和ASD ∆是等边三角形，经计算，22SE BE ==. （7分） 由（Ⅰ）知，SEB ∠是二面角S AD B --的平面角， （8分）222cos 27SE BE SB SEB SE SB +-∠==-， （11分） 所以二面角S AD B --的余弦值为. （12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt BEC ∆中，03cos302CE CB ==，12AE AC CE =-=，03sin 30BE CB ==由tan BEBAC AE∠==，得060BAC ∠= 0000180603090ABC ∠=--=，即BC AB ⊥. （1分）又因为PAB ABC ⊥面面，PABABC AB =面面，BC ABC ⊂面所以BC PAB ⊥面，所以BC PA ⊥ （3分） 由BE AC ⊥，同理可得BE PA ⊥，又BEBC B =，所以PA ABC ⊥面. （4分）（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则10,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0C ，()0,0,1P，3,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,1CP =-. （5分） 设(),,n x y z =是面PBC 的一个法向量，则00BC n PC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30220y y z ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，方程组的一组解为12x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即()3,1,2n = （7分）设()01CF CP λλ=≤≤则AF AC AP AC λλ-=-， 即()1AF AP AC λλ=+-=()022,λλ-，，30,2,2EF AF AE λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭（8分）依题意有385cos ,68EF n EF n EF n==，得1=10λ或11=10λ（舍去） （10分）则有410,,510F ⎛⎫⎪⎝⎭，即三棱锥F CBE -的高为110，（11分） 113132210F CBE V -=⨯⨯=（12分）（22）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）24cos ,4cos ρθρρθ=∴=， （1分）由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=. （3分）所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （4分）（Ⅱ）把 1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y x +=，整理得26cos 50t t α-+= （5分）设其两根分别为 12,t t ，则12126cos ,5,t t t t α+==（6分）12PQ t t ∴=-===（7分）得cos 2α=±，566ππα=或，（9分）所以直线l 的斜率为 （10分）（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当2x ≥时，125,x x ++-≤ ∴3x ≤，∴23x ≤≤； （1分） 当12x -<<时，125,x x +-+≤∴12x -<<； （2分） 当1x ≤-时，125,x x ---+≤∴2x ≥-，∴21x -≤≤- （3分） 综上所述，23x -≤≤，即不等式()5f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤. （4分） （Ⅱ）当[]0,2x ∈时，()123f x x x =+-+=， （5分）()22f x x x m ≥-++ ，即232x x m ≥-++，即2230x x m --+≥. （6分）也就是 ()2120x m --+≥，在[]0,2x ∈恒成立， （7分） 当1x =时，()212x m --+取得最小值2m -， （8分） 由20m -≥，得2m ≤，即m 的取值范围是{|2}m m ≤. （10分）。
广东省粤西“四校”高三数学上学期第一次联考试卷 理(
2015-2016学年广东省粤西“四校”高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2， }，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅2．在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（）A．B．C． D．3．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，tanx=0 D．∀x∈R，3x＞04．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜16．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=lnC．f（x）=﹣|x+1| D．f（x）=7．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．8．已知点Q（5，4），若动点P（x，y）满足，则PQ的最小值为（）A．B． C．5 D．以上都不对9．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B．C．或D．或710．某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．5 B．4 C．3 D．211．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a ＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则a7= ．14．设A=37+C7235+C7433+C763，B=C7136+C7334+C7532+1，则A﹣B= ．15．已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．16．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．18．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．20．在平面直角坐标系中，已知椭圆C： =1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣e x，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，共1小题，满分10分[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．2015-2016学年广东省粤西“四校”高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2， }，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，∴B={1，4， }，∴A∩B={1}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（）A．B．C． D．【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求．【解答】解：z==，∴，则复数z=的共轭复数的虚部为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，tanx=0 D．∀x∈R，3x＞0【考点】特称命题．【专题】简易逻辑．【分析】A、B、C可通过取特殊值法来判断；D、由指数函数的值域来判断．【解答】解：A、x=1成立；C、x=0成立；D、由指数函数的值域来判断．对于B选项x=0时，02=0，不正确．故选：B．【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题．4．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．【解答】解：当输入的值为n=5时，n不满足上判断框中的条件，n=16，k=1n不满足下判断框中的条件，n=16，n满足上判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足下判断框中的条件，n=8，n满足判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n满足判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足下判断框中的条件，n=2，n满足判断框中的条件，n=1，k=5，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选B．【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．5．已知，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意得出a＞b＞0；利用指数函数y=与幂函数y=x b的单调性判断A 正确，利用作差法判断B错误，利用分类讨论法判断C错误，根据指数函数的性质判断D错误．【解答】解：∵y=x是定义域上的减函数，且，∴a＞b＞0；又∵y=是定义域R上的减函数，∴＜；又∵y=x b在（0，+∞）上是增函数，∴＜；∴＜，A正确；∵﹣=＜0，∴＜，B错误；当1＞a﹣b＞0时，ln（a﹣b）＞0，当a﹣b≥1时，ln（a﹣b）≤0，∴C错误；∵a﹣b＞0，∴3a﹣b＞1，D错误．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数以及幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了作差法与分类讨论思想的应用问题，是基础题目．6．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=lnC．f（x）=﹣|x+1| D．f（x）=【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】根据正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，奇函数的定义，减函数的定义即可判断每个选项的正误，从而得到正确选项．【解答】解：A．f（x）=sinx在[﹣1，1]上单调递增；B．f（x）=，解得该函数的定义域为[﹣2，2]；又f′（x）=；∴f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数；又f（﹣x）==﹣f（x）；∴f（x）是奇函数；∴该选项正确；C．f（x）=﹣|x+1|，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0；而这里f（0）=﹣1；∴该函数不是奇函数；D.，f（﹣1）=；∴该函数在[﹣1，1]上不是减函数．故选B．【点评】考查正弦函数的单调性，函数导数符号和函数单调性的关系，以及奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时f（0）=0，减函数的定义．7．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=1+asinax的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选D．【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键．8．已知点Q（5，4），若动点P（x，y）满足，则PQ的最小值为（）A．B． C．5 D．以上都不对【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出P点的区域，求出BQ连线的斜率，求得的斜率小于1，可知过Q 点作直线x+y﹣2=0的垂线，垂足在直线上B的下方，由此可知当P在B点处PQ的距离最小．【解答】解：由约束条件足，得P（x，y）所在区域如图，联立，得B（1，1），∵，过Q点与直线x+y﹣2=0垂直的直线的斜率为1，∴过Q点作直线x+y﹣2=0的垂线，垂足在直线上B的下方，∴可行域内的点P为点B时PQ的值最小，最小值为．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是找出使PQ 值最小的点，是中档题．9．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B．C．或D．或7【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由实数4，m，9构成一个等比数列，得m=±=±6，由此能求出圆锥曲线的离心率．【解答】解：∵实数4，m，9构成一个等比数列，∴m=±=±6，当m=6时，圆锥曲线为，a=，c=，其离心率e=；当m=﹣6时，圆锥曲线为﹣，a=1，c=，其离心率e==．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比中项公式的应用．10．某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解答】解：由已知中三棱锥的三视图，可得该三棱锥的直观图如下所示：其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故其底面面积S=×3×3=，高h=2，故体积V==3，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）=，x≥0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选：B【点评】本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a ＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B【点评】本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．在等比数列{a n}中，a1=8，a4=a3•a5，则a7= ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=8，a4=a3•a5，∴8q3=8q2•8q4，化为（2q）3=1，解得q=．∴a7==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．14．设A=37+C7235+C7433+C763，B=C7136+C7334+C7532+1，则A﹣B= 128 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】作差，利用二项式定理，即可得出结论．【解答】解：∵A=37+C7235+C7433+C763，B=C7136+C7334+C7532+1，∴A﹣B=37﹣C7136+C7235﹣C7334+C7433﹣C7532+C763﹣1=（3﹣1）7=128．故答案为：128．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．15．已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为13π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为=13π．故答案为：13π．【点评】本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．16．设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出a n=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a1==2，且=a2•a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴a n=2n，∴==，∴S n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．【点评】本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图可得[50，60），总共有8人，结合频率分布直方图，可求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则，，．所以，ξ的分布列为ξ 1 2 3P所以，．【点评】本题考查茎叶图、频率分布直方图，考查随机了的分布列及其数学期望，考查学生的识图能力，考查学生的计算能力，属于中档题．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．20．在平面直角坐标系中，已知椭圆C： =1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，可得OR=4，再由R在椭圆上，满足椭圆方程，求得点R的坐标，即可得到圆R的方程；（2）运用直线和圆相切的条件：d=r，结合二次方程的韦达定理和点R满足椭圆方程，化简整理，即可得证．【解答】解：（1）由题圆R的半径为，因为直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，所以，即，①又R（x0，y0）在椭圆C上，所以，②由①②及R在第一象限，解得，所以圆R的方程为：；（2）证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，所以，化简得，同理有，所以k1，k2是方程的两个不相等的实数根，所以．又因为R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，以及韦达定理的运用，考查运算化简能力，属于中档题．21．设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=ax﹣e x，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（I）通过f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，可得f′（e）=，解得，再将切点（e，﹣1）代入切线方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；（III）通过变形，只需证明g（x）=e x﹣lnx﹣2＞0即可，由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，根据函数的单调性及零点判定定理即得结论．【解答】解：（I）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）∴f′（x）==（x＞0），∵f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，即f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为，∴f′（e）==，∴，∴切点为（e，﹣1），将切点代入切线方程x﹣ey+b=0，得b=﹣2e，所以，b=﹣2e；（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），下面对a的正负情况进行讨论：①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当x变化时，f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：0 （a，+∞）f′（x）﹣ 0 +f（x）↓↑由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x）的单调递增区间为（，+∞）；（III）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣e x，∴要证：当x＞0时，f（x）＞g（x），即证：e x﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=e x﹣lnx﹣2 （x＞0），则只需证：g（x）＞0，由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，g′（x）=在（0，+∞）上是增函数，∵g（1）=e﹣1＞0， =，∴g（1），∴g（x）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设g（x）的零点为t，则g（t）=，即（），由g（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g（x）＜g（t）=0，g（x）为减函数；当x∈（t，+∞）时，g（x）＞g（t）=0，g（x）为增函数，所以当x＞0时，，又，故等号不成立，∴g（x）＞0，即当x＞0时，f（x）＞g（x）．【点评】本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，共1小题，满分10分[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【考点】相似三角形的判定．【专题】推理和证明．【分析】（1）证明△OBD∽△AOC，通过比例关系求出BD即可．（2）通过三角形的两角和，求解角即可．【解答】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．∴AD=AO …【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为 x﹣y+1=0，圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，所以圆心的直角坐标为（﹣1，），所以圆心的一个极坐标为（2，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离 d==，所以AB=2=．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）依题意知，|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7，当x∈[0，3]时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1；当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7．当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是[﹣7，7]．…【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．。
2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学理科试题(终稿) 精品
试卷类型：A肇庆市中小学教学质量评估2018届高中毕业班第一次统一检测理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：22⨯列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=. )(2k K P ≥与k 对应值表：第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合(){}|40M x R x x =∈-<，集合{}0,4N =，则MN =A ．[]0,4B ．∅C ．{}0,4D ．()0,4 （2）设i 为虚数单位，复数3iz i+=，则z 的共轭复数z = A ．13i --B ．13i -C ．13i -+D ．13i +（3）已知向量()(),2,1,1m a n a ==+，若//m n ，则实数a 的值为A ．23-B ．2或1-C ．2-或1D ．2- （4）设复数z 满足()1(i z i i +=为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（5）原命题p ：“设,,a b c R ∈，若22ac bc >，则a b >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．4（6）执行右边的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5B ．4C ．3D ．2（7）变量,x y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值等于A ．15-B ．9-C ．1D ．9（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为 A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，7 （9）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生， 根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性 相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为A. 160B. 163C. 166D.170（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A.4n m B.2n mC.4m nD.2m n（11）四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均为1，且1160AAB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则1AC 的长为A ．3BC ．6D （12）下列命题中正确的是A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B ．将圆心角为23π，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为5π C ．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的值至多等于4D ．过两条异面直线外的一点，有且只有一个平面与这两条异面直线都平行第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）若随机变量ξ～N (2，1)，且P (ξ>3)＝0.1587，则P (ξ≥1)＝ ▲ . （14）()522x x +-的展开式中3x 的系数是 ▲ .（用数字作答）.（15）由一个长方体和两个14圆柱体构成 的几何体的三视图如右图，则该几 何体的体积为 ▲ .（16）A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是 ▲ 元． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表（Ⅰ）求A 地区用户满意度评分的众数和中位数；（Ⅱ）填写下列的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为用户满意度与地区有关？（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥V ABCD -，1//2AB CD ，,AB VA CD VD ⊥⊥，E 是VC 的中点. （Ⅰ）证明：//BE VAD 平面；（Ⅱ）证明：平面ABCD ⊥平VAD 面.405060708090满意度评分100 频率/C（19）（本小题满分12分）某公司进行抽奖活动，某抽奖箱里有2张印有“中奖”的卡片和3张印有“谢谢惠顾”的卡片.现场员工小王进行抽奖，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回，假如小王一定要将2张印有“中奖”的卡片全部抽完才停止.（Ⅰ）求小王恰好抽奖3次停止的概率；（Ⅱ）若抽奖一次需要费用100元，设X 表示小王停止抽奖前所需要的费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）.（20）（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=︒，SA SD == 2SB =.（Ⅰ）证明：AD SB ⊥；（Ⅱ）求二面角S AD B --的大小.（21）（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ABC ⊥平面平面，PAC ABC ⊥平面平面，BE AC ⊥于点E ，BC =30ACB ∠=︒，2,AC =1PA =，F 为线段PC 上的一点.（Ⅰ）证明：PA ABC ⊥平面； （Ⅱ）若直线EF 与平面PBC 所成角的，求三棱锥F CBE -的体积.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数，[0,)απ∈)，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程;（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 若PQ =l 的斜率.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()12f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式()5f x ≤的解集；（Ⅱ）当[]0,2x ∈时，()22f x x x m ≥-++恒成立，求m 的取值范围.。
广东省中山一中2017-2018学年高三上学期第一次统测数学理试卷 Word版含解析
2017-2018学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．32．已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）3．以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x04．已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣25．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f （﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣36．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．127．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题11．已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]12．设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．15．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．16．已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g （x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2016-2017学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2015春•定州市期末）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（）A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】本题考察集合间的包含关系，分成B=∅，B={1}，或B={2}讨论，求解即可．【解答】解：集合A={1，2}，若B⊆A，则B=∅，B={1}，或B={2}；①当B=∅时，a=0，②当B={1}时，a﹣3=0，解得a=3，③当B={2}时，2a﹣3=0，解得a=，综上，a的值是0，3，，故选：A．【点评】本题容易忽略B=∅的情况．2．（2016秋•广东校级月考）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．[﹣2，0）B．[﹣2，0] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），B={x|y=}=[﹣2，+∞）∴A∩B=[﹣2，0），故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（2016秋•广东校级月考）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（）A．f（x）=+g（x）=B．f（x）=g（x）=（）3 C．f（x）=•g（x）=D．f（x）=g（x）=x0【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．【解答】解：A中f（x）的定义域是{x|x=1}，g（x）的定义域是{x|x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数；B中f（x），h（x）的定义域是R，且对应关系相同，∴是同一函数；C中f（x）的定义域是{x|x≥1}，g（x）的定义域是{x|x≥1，或x≤﹣3}，∴不是同一函数；D中f（x）与g（x）的定义域都是{x|x≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数；故选：C．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．4．（2015春•温州校级期中）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，图象过点（3，），∴3α=，∴α=，∴f（x）=（x≥0）；∴log4f（2）=log4=log42=×=；故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题．5．（2014•兴安盟二模）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣1）=（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选D．【点评】解决奇函数的问题，常利用函数若在x=0处有意义，其函数值为0找关系．6．（2015•新课标II）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．7．（2012•东莞二模）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），故选C．【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．8．（2015•山东）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】不等式比较大小．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接判断a，b的大小，然后求出结果．【解答】解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，可知：c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．9．（2016•株洲一模）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．10．（2014•南昌模拟）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．11．（2016秋•广东校级月考）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2]D．（﹣3，﹣2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．（1）若方程在（0，3]有一个根，①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，②若3不是方程的根，则或．解得a=﹣或无解．（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，解得：﹣＜x≤﹣，综上，a的范围是[﹣，﹣]．故选B．【点评】本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题．12．（2013•广东模拟）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j=A k，其中k 为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）总共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】元素与集合关系的判断．【专题】新定义．【分析】由题目给出的新定义可知满足关系式（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，分别取i=1，j=1，2，3；i=2，j=1，2，3；i=3，j=1，2，3验证后即可得到答案．【解答】解：有定义可知满足（A i⊕A j）⊕A i=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，i=1，j=1，（1+1）除以3的余数是2，（2+1）除以3的余数是0；i=1，j=2，（1+2）除以3的余数是0，（0+1）除以3的余数是1；i=1，j=3，（1+3）除以3的余数是1，（1+1）除以3的余数是2；i=2，j=1，（2+1）除以3的余数是0，（0+2）除以3的余数是2；i=2，j=2，（2+2）除以3的余数是1，（1+2）除以3的余数是0；i=2，j=3，（2+3）除以3的余数是2，（2+2）除以3的余数是1；i=3，j=1，（3+1）除以3的余数是1，（1+3）除以3的余数是1；i=3，j=2，（3+2）除以3的余数是2，（2+3）除以3的余数是2；i=3，j=3，（3+3）除以3的余数是3，（3+3）除以3的余数是0．所以满足条件的数对有（1，1），（2，2），（3，3）共3对．故选C．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，是新定义题，解答的关键是对题意的理解，是基础题型．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（2016秋•广东校级月考）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，∴0≤2x≤8，即0≤x≤4，∴f（2x）的定义域为[0，4]，∴g（x）=，∴3﹣x≠0，解得x≠3，故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，故答案为：[0，3）∪（3，4]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，只要用g（x）∈[a，b]，求解x的范围即可，此题是基础题．14．（2016秋•广东校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f （x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=﹣2．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】推导出f（x+2）=f（x），f（1）=0，由此利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，能求出f （﹣）+f（1）的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），f（1）=f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∵当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（﹣）+f（1）=﹣f（）+0=﹣f（）=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15．（2015春•潍坊期末）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．16．（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】创新题型；开放型；函数的性质及应用．【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，则②错误；对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2x ln2，当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，h′（x）=2x+a+2x ln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013秋•浏阳市校级期中）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域是实数集，说明对任意实数x都有ax2﹣2x+a＞0成立，则该二次三项式对应的二次函数应开口向上，且图象与x轴无交点，由二次项系数大于0，且判别式小于0联立不等式组求解a的取值范围；（2）只有内层函数（二次函数）对应的图象开口向上，且与x轴有交点，真数才能取到大于0的所有实数，由此列式求解a的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域为R，∴对任意x∈R都有ax2﹣2x+a＞0恒成立，则，解得：a＞1．∴使f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是（1，+∞）；（2）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，∴ax2﹣2x+a能取到大于0的所有实数，则，解得：0＜a≤1．∴使f（x）的值域为R的实数a的取值范围是（0，1]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域问题，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对题意的理解，是中档题．18．（12分）（2014春•泉州校级期末）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】本题的关键是给出命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“”为真时a的取值范围，在根据p、q中至少有一个为假，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴若p是真命题．则a≤x2，∵x∈[1，2]，∴a≤1；∵命题q：“”，∴若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，若p真q也真时∴a≤﹣2，或a=1∴若“p且q”为假命题，即实数a的取值范围a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．19．（12分）（2009•湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个则（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024f′（x）=640×（﹣+）=640×∵f′（26）=0且x＞26时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704∴需新建桥墩个．【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．20．（12分）（2015秋•肇庆期末）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ），对称轴，定义域x∈[2，5]，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（）∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，∴x1﹣x2＜0，＞0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ）解：对称轴，定义域x∈[2，5]①g（x）在[2，5]上单调递增，且g（x）＞0，②g（x）在[2，5]上单调递减，且g（x）＞0，无解综上所述【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）（2009•湖北校级模拟）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f （x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①（1分）又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0且由知即4a﹣b2=0②由①②得a=1，b=2（3分）∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．∴（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=，（7分）当或时，即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（9分）（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，∴，（11分）∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，∴|m|＞|﹣n|（13分）∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015春•武汉校级期末）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．（Ⅰ）求证：PA=PC；（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】立体几何．【分析】（1）由于PA与圆O相切于点A，可得OA⊥AP，于是∠OAC+∠PAC=90°．由于OB⊥OP，可得∠OCB+∠B=90°．利用OA=OB，可得∠OAC=∠OBC．可得∠PAC=∠OCB．利用对顶角相等可得∠OCB=∠PCA，进而得到∠PAC=∠PCA，即可证明PA=PC．（2）在Rt△OAP中，利用勾股定理可得，即可得出PC=4．进而得到OC=OP﹣CP．在Rt△OBC中，利用勾股定理可得BC2=OB2+OC2即可．【解答】（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，∴OA⊥AP，∴∠OAC+∠PAC=90°．∵OB⊥OP，∴∠OCB+∠B=90°．∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC．∴∠PAC=∠OCB，又∵∠OCB=∠PCA，∴∠PAC=∠PCA，∴PA=PC．（2）解：在Rt△OAP中，=4．∴PC=4．∴OC=OP﹣CP=1．在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=32+12=10．∴．【点评】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、圆的性质、对顶角相等的性质、等角对等边的性质等基础知识，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015春•武汉校级期末）已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）消去参数t，可得曲线C1的参数方程化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设出Q，求出M，然后利用点到直线的距离公式以及三角函数的最值求解即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），消去参数可得：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．化为ρcosθ﹣2ρsinθ=7，它的普通方程为：x﹣2y﹣7=0．（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，Q的直角坐标为：（﹣4，4），设P（8cost，3sint），故M（﹣2+4cost，2+），PQ中点M到曲线C2上的点的距离d==（其中tanβ=），当sint=，cost=时，PQ中点M到曲线C2上的点的距离最小值为：．【点评】本题考查椭圆的参数方程以及直线的极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•商洛模拟）已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
精编广东省湛江一中等“四校”2017年高三上学期第一次联考数学理科试题和答案
绝密★使用完毕前“四校”2016-2017学年度高三第一次联考理科数学试题本试题卷共4页，24题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将答题卡上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}|(3)(1)0A x x x =-->，{}|lg(23)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．3[,3)2C ．3(1,)2D ．3(,3)22．设复数z 满足(1)i z i +=，其中i 为虚数单位，则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A ．B ．(1,1)-C ．(1,)i -D ．(2,2)i - 3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有懒女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个懒惰的女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）A ．30尺B ．90尺C ．150尺D ．180尺 4．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）A ． ()()f x fx -是奇函数 B ． ()()f x f x -是奇函数 C ． ()()f x f x --是偶函数 D ． ()()f x f x +-是偶函数5．若函数1.ln ,(0),()2,(0)x x x f x e x +>⎧=⎨-≤⎩，则1(())f f e =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．36．执行如图所示的程序框图，如果输入4n =，则输出的S =A ．67 B ．37 C ．49D ．897．如图，格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是 某几何体的三视图，则该几何体的体积是( ) A ．6π B ．7π C ．12π D ．14π8．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的 距离之比为（ ）A ．12B ．2C D9．已知函数2()4f x x =-，()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，第1(21)(21)ssi i第7题图当0x >时，()ln g x x =，则函数()()y f x g x =的大致图象为（ ）10．设F 为抛物线:C 23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A ．6332B ．C ．94 D11．函数x b x a x f cos sin )(-=（0≠a ）的图象关于4π=x 对称，则)43(x f y -=π是（ ） A ．图象关于点)0,(π对称的函数 B ．图象关于点)0,23(π对称的函数 C ．图象关于点(,0)2π对称的函数 D ．图象关于点(,0)4π对称的函数12．已知函数()xaf x x e =-存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线x y e =相切，则符合情况的切线l （ ）A ．有3条B ．有2条C ． 有1条D ．不存在第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选考题，考生根据要求作答.:二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知实数x 、y 满足0401x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则y x +2的最小值是 .ABCD14．已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a =，13a b +=，则b = . 15．25(32)x x ++的展开式中x 的系数是 .16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n a S +=，则数列{}n a 的通项公式为 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6BC =，1cos 3ABC ∠=-.(Ⅰ)若4BAC π∠=，求AC 的长；(Ⅱ)若9BD =，求BCD ∆的面积.18．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：1()f x x =，22()f x x =，33()f x x =，4()sin f x x =，5()cos f x x =，6()2f x =．（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且CD DE ==22CE EB ==.(Ⅰ) 证明：DE ⊥平面PCD ； (Ⅱ) 求二面角A PD C --的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为36，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程;(Ⅱ) 设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23， 求AOB ∆面积的最大值.21．（本小题满分12分）B已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)若对任意的12(3,2),,[1,3]a x x ∈--∈，恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立， 求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。