2.2.2反证法(学、教案)

2. 2.2反证法
课前预习学案
一、预习目标：
使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.
二、预习内容：
提出问题：
问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。

你能解释这种现象吗？
学生尝试用直接证明的方法解释。

采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．
问题2：A 、B 、C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。

则C 必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C 没有撒谎, 则C 真.那么A 假且B 假;由A 假, 知B 真. 这与B 假矛盾.那么假设C 没有撒谎不成立;则C 必定是在撒谎. 推进新课
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、 学习目标
（1）使学生了解反证法的基本原理； （2）掌握运用反证法的一般步骤； （3）学会用反证法证明一些典型问题.
二、学习过程：
例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。

解析：让学生理解反证法的严密性和合理性； 证明：因为||a b ,
所以经过直线a , b 确定一个平面β。

因为a α⊄，而a β⊂， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α⊂，且b β⊂， 所以b α
β=.
下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则
P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利 变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例2、求证：2不是有理数
例3、设二次函数q px x x f ++=2)(， 求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于
2
1. 解析：直接证明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于2
1
.比较困难，我们应采用反证法
证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于
2
1
，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有
2
)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。

变式训练3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于4
1
反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。

3.应用反证法的情形： (1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题； （4结论为 “唯一”类命题；
当堂检测：
1. 证明357，，不可能成等差数列．
2．设23
3
=+b a ，求证.2≤+b a
证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而
.
2)1(68126,
61282
233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a
因为22)1(62≥+-b ，所以23
3
>+b a ，这与题设条件23
3
=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。

课后练习与提高 一、选择题
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数
Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数
2．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确
Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确
3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角 Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
二、填空题
4．.三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 至少有1个大于或等于60
的反面为_______． 5. 已知A 为平面BCD 外的一点，则AB 、CD 是异面直线的反面为_______．
三、解答题
6．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．。