状态转移矩阵的性质与计算
状态转移矩阵名词解释
状态转移矩阵名词解释
状态转移矩阵是一个用于描述马尔可夫链的概率矩阵。
马尔可夫链是一个具有特定性质的随机过程，即未来的状态只依赖于当前的状态，与过去的状态无关。
状态转移矩阵的每个元素表示从当前状态到下一个状态的转移概率。
假设有n个可能的状态，则状态转移矩阵是一个n×n的方阵。
矩阵的第i行第j列元素表示从状态i到状态j的转移概率。
状态转移矩阵要求其每一行的元素之和等于1，即一个状态必须以某个转移概率转移到所有其他可能的状态之一。
这体现了马尔可夫链的特性，即无论当前的状态如何，下一个状态都是确定的。
状态转移矩阵在许多领域中有广泛的应用，如自然语言处理、图像处理、金融预测等。
通过利用状态转移矩阵，可以计算出马尔可夫链在不同时间步的状态分布，从而预测未来的状态。
马尔可夫模型转移矩阵怎么算
马尔可夫模型转移矩阵怎么算马尔可夫模型是用来描述离散随机过程的数学模型，常用于解决序列问题。
在马尔可夫模型中，转移矩阵是一个重要的概念，用来描述状态之间的转移概率。
那么，如何计算马尔可夫模型的转移矩阵呢？首先，我们需要明确什么是马尔可夫链。
马尔可夫链是指一个满足马尔可夫性质的随机过程，即在给定当前状态下，未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这一性质使得马尔可夫链能够简洁地描述一系列随机事件的演化过程。
在马尔可夫模型中，转移矩阵用来表示状态之间的转移概率。
假设我们有n个状态，那么转移矩阵的维度就是n×n。
矩阵中的每个元素表示从当前状态转移到下一个状态的概率。
计算转移矩阵的方法有多种，常见的有频率法和极大似然估计法。
频率法是根据观测数据中的频率来计算转移概率。
具体而言，我们需要统计每个状态出现的频率以及每个状态转移对出现的频率，然后将频率归一化得到概率。
这种方法的优点是简单直观，但对于数据量较小的情况下可能存在估计偏差。
极大似然估计法是基于最大似然估计原理来计算转移概率。
在这种方法中，我们假设转移概率服从某个分布，然后通过最大化观测数据的似然函数来选择合适的分布参数。
这种方法的优点是可以更准确地估计转移概率，但需要对分布进行假设，并且对于数据量较大的情况下计算量较大。
除了这两种方法，还有其他一些基于贝叶斯估计等的计算转移概率的方法，具体选择哪种方法可以根据实际问题和数据情况来确定。
总之，计算马尔可夫模型的转移矩阵是描述离散随机过程中状态之间转移概率的重要步骤。
通过统计观测数据或者使用估计方法，我们可以得到转移矩阵，从而进一步分析和预测随机事件的演化过程。
状态转移矩阵的三种求法
状态转移矩阵的三种求法一、状态转移矩阵的定义状态转移矩阵，也称为转移概率矩阵，是描述马尔可夫链中状态转移概率的一种数学工具。
在马尔可夫链中，系统的状态会随时间发生改变，而状态转移矩阵则可以描述不同状态之间的转移概率。
二、基本概念和符号定义在讨论状态转移矩阵之前，我们先来了解一些基本概念和符号定义。
1. 状态：指系统所处的特定情况或条件。
在马尔可夫链中，状态可以是离散的，也可以是连续的。
2. 状态空间：指所有可能的状态组成的集合。
3. 转移概率：指一个状态转移到另一个状态的概率。
4. 状态转移矩阵：是一个方阵，其元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
下面将介绍三种常见的求解状态转移矩阵的方法。
1. 统计法统计法是最常见的求解状态转移矩阵的方法之一。
该方法基于大量的历史数据，通过统计分析来确定状态之间的转移概率。
假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s1, s2, ..., sn}，观测到的历史数据为{X1, X2, ..., Xm}，其中Xi表示第i次观测到的状态。
根据统计法，可以通过计算状态转移的频率来估计状态转移概率。
具体做法是统计历史数据中每个状态之间的转移次数，然后除以总的观测次数，得到转移概率的估计值。
2. 最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，也可以用于求解状态转移矩阵。
该方法通过最大化观测数据的似然函数，估计状态转移概率。
假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s1, s2, ..., sn}，观测到的历史数据为{X1, X2, ..., Xm}，其中Xi表示第i次观测到的状态。
根据最大似然估计法，可以通过最大化观测数据的似然函数来求解状态转移概率。
具体做法是构建一个似然函数，然后求解使得似然函数取得最大值时的参数值。
3. 马尔可夫链蒙特卡洛法马尔可夫链蒙特卡洛法是一种基于模拟的求解状态转移矩阵的方法。
该方法通过在马尔可夫链上进行随机游走，来估计状态之间的转移概率。
现代控制理论 状态转移矩阵
= 0 = 0 − (− ) − =()() (−)
故有： + =
从- 到t的转移，可以看作是从- 转移到0，再从0转移到t的组合。
2. 可逆性
−
= −
证明： 由性质1
− = − =
再从 1 转移到 2 。
证明：由状态转移矩阵的物理意义：
2 = 2 − 0 (0 )
2 = 2 − 1 (1 ) = 2 − 1 1 − 0 (0 )
故有： 2 − 1 1 − 0 = 2 − 0
4. 倍时性 ()
状态转移矩阵实质上就是矩阵指数函数，其求解方法与矩阵指数函数相同。
例：已知线性定常系统的状态转移矩阵 为：
1 −
1
3
( + )
(− − + 3 )
4
= 2
1 −
−
3
− +
( + 3 )
2
求系统矩阵。
ሶ
解：由状态转移矩阵的定义：()
=A ， 0 = ， ≥ 0
求解矩阵微分方程可得，状态转移矩阵为： − 0 = (−0 ) ， ≥ 0
当 0 = 0时，状态转移矩阵可表示为: = ， ≥ 0
系统的零输入响应可用状态转移矩阵表示：
=
−0
0 = − 0 0 ， ≥ 0
或 = 0 = 0 ， ≥ 0
《现代控制理论》MOOC课程
2.2 状态转移矩阵
2.2 状态转移矩阵
一. 状态转移矩阵的定义
定义：对于给定的线性定常系统 ሶ =A + 其中，x为n维状态向量
转移矩阵描述
转移矩阵描述
转移矩阵（Transition Matrix），又称跃迁矩阵，是俄国数学家马尔科夫提出的。
他发现，一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1次结果的影响，即只与当前所处状态有关，而与过去状态无关。
这种性质被称为“无后效性”或“马尔科夫性”。
在具有这种性质的系统中，状态转移的概率可以用转移矩阵来描述。
转移矩阵是一个矩阵，其元素都是非负的，且各行元素之和等于1。
这些元素用概率表示，表示在一定条件下，从一个状态转移到另一个状态的概率。
例如，在市场决策中，转移矩阵的元素可以表示市场或顾客的保留、获得或失去的概率。
转移矩阵有以下特征：
每个元素都是非负的，表示概率不能为负。
每一行元素之和等于1，这是因为一个状态转移到其他所有可能状态的概率之和必须等于1。
转移矩阵在马尔科夫链分析中有着广泛的应用。
马尔科夫链是一种随机过程，其中每个状态的未来变化只依赖于其当前状态，而与过去状态无关。
通过转移矩阵，我们可以计算出在给定初始状态下，经过一定步数后系统处于各个状态的概率分布。
除了马尔科夫链分析外，转移矩阵还广泛应用于其他领域，如物理学中的量子力学、化学中的反应动力学、生态学中的种群
动态等。
在这些领域中，转移矩阵被用来描述系统状态之间的转移概率和动态变化过程。
状态转移矩阵的性质和计算
状态转移矩阵的性质和计算状态转移矩阵（Transition Matrix）是概率论和随机过程中常用的一种数学工具。
它描述了一个马尔可夫链（Markov Chain）中不同状态之间的转移概率，并允许我们通过矩阵运算来计算系统的长期行为。
1.性质：（1）非负性：状态转移矩阵的所有元素都是非负数。
（2）行概率和为1：转移矩阵的每一行的元素之和等于1，即每个状态转移到其它状态的概率之和为1（3）稳定分布性：对于马尔可夫链的状态转移矩阵，存在一个稳定分布向量（Steady State Distribution Vector），使得转移矩阵作用于稳定分布向量后，得到的向量仍然等于稳定分布向量。
2.计算：（1）初等概率法：对于已知的初态概率向量（Initial Probability Vector），可以通过矩阵乘法来计算下一步的状态概率向量。
设初态概率向量为P，状态转移矩阵为T，则下一步的状态概率向量为P' = PT。
持续迭代可以得到任意步后的状态概率向量。
（2）幂法：幂法是计算稳定分布向量的一种有效算法。
设初始向量为P，状态转移矩阵为T，则稳定分布向量为P'=PT，持续迭代可以得到趋于稳定的分布向量。
（3）马尔可夫链的收敛：马尔可夫链的收敛指的是经过多次状态转移后，状态转移概率不再发生变化，系统趋于稳定。
可以通过计算状态转移矩阵的幂次来判断马尔可夫链是否收敛，若存在一个正整数n，使得T^n=T^(n+1)，则认为马尔可夫链收敛。
3.应用：（1）马尔可夫链模型：状态转移矩阵是马尔可夫链模型的核心之一，用于描述和分析系统状态的动态变化。
（2）媒体传播：状态转移矩阵可以用于描述媒体传播的行为，比如在社交网络中用户之间的关注关系、消息传播等。
（3）金融市场：状态转移矩阵可以用于描述金融市场中不同状态之间的转移，并通过矩阵运算来计算投资组合的风险和收益。
（4）自然语言处理：状态转移矩阵可以用于语言模型中，描述不同词语之间的转移概率，帮助进行语言生成和理解。
状态转移矩阵的性质和计算
2
约旦规范形法 (1/8)
2. 约旦规范形法
上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形 式矩阵的矩阵指数函数
由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦 矩阵,因此
可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩 阵或约旦矩阵, 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计 算矩阵矩阵指数函数
2 0 0 ~ A P 1 AP 0 1 1 0 0 1
级数求和法(1/3)
1. 级数求和法
由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:
A2t 2 Ak t k e I At ... ... 2! k!
At
矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算 由于上述定义式是一个无穷级数, 故在用此方法计算eAt时必 须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题
e t 0 0 ~ At e 0 e 2t 0 3t 0 0 e
约旦规范形法 (6/8)
4. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系, 得
e Pe P 1
At ~ At
3e t - 3e 2t e 3t 5e t / 2 - 4e 2t 3e 3t / 2 - 2e t 3e 2t - e 3t 2t 3t 2t 3t 2t 3t - 8e 9e 6e - 6e - 6e 6e 3e t - 12e 2t 9e 3t 5e t / 2 - 16e 2t 27e 3t / 2 - 2e t 12e 2t - 9e 3t
d At e Ae At e At A, (t ) A(t ) (t ) A dt
[Φ(t)]n Φ(nt) Φ(t2t1)Φ(t1t0) Φ(t2t0)
矩阵指数函数-状态转移矩阵
1 0 0 1 1 0 1 2 1 0 1 3 e t 2! t 3! t 0 1 2 3 2 3 2 3 2 7 3 1 t2 t3 t3 t 2 6t 2 7 3 7 2 5 3 1 3t 2 t 2 t 2t 3t 3 t
, n ].
【例2－2】求 解: 1) 特征值
e，
At
0 1 A 2 3
1 I A 2 3 2 ( 1)( 2) 2 3
1 1, 2 2
2) 特征向量 由 Api =i pi 得：
1 1 p1 ，p2 -1 -2
1 0 0 A 0 0 1 12 16 7
， 求e
At
。
解：1）求特征值
I A 0 1 2 2
1
0 1 ( 2) 2 ( 3) 0
12 16 7 二重特征值,
3 3
2) 计算特征向量和广义特征向量，求变换矩阵
2t te 2t 0 3 4 1 1 0 1 e 0 e 2t 0 6 5 1 e At Te JtT 1 2 1 3 3 t 0 e 4 4 9 4 4 1 0 3e 2t 6te 2t 4e3t 4e 2t 5te 2t 4e3t e 2t te 2t e3t 2t 2t 3t 2t 2t 3t 2t 2t 3t 12e 12te 12e 13e 10te 12e 3e 2te 3e 36e 2t 24te 2t 36e3t 36e 2t 20te 2t 36e3t 8e 2t 4te 2t 9e3t
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2et e2t (t ) (-t ) t 2t 2e 2e
1
et e2t t 2t e 2e
状态转移矩阵计算(1/1)
3.3.3 状态转移矩阵计算
在状态方程求解中, 关键是状态转移矩阵(t)的计算 对于线性定常连续系统, 该问题又归结为矩阵指数函数 eAt的计算 上一节已经介绍了基于拉氏反变换技术的矩阵指数函数 eAt的计算方法, 下面讲述计算矩阵指数函数的下述其他 两种常用方法 级数求和法 约旦规范形法
x (t ) e
A( t t 0 )
x (t 0 ) e A(t ) Bu( )d
t0
t t0
t
x (t ) (t t 0 ) x (t 0 ) (t ) Bu( )d (t ) x 0 (t ) Bu( )d
0 t
1 t ... 1 ... i t 0 e ... ... ... 0 0 ... 0 0 ...
t mi 2 (mi 2)! t mi 3 (mi 3)! ... 1 0
t mi 1 (mi 1)! t mi 2 (mi 2)! ... t 1
2
约旦规范形法 (1/8)
2. 约旦规范形法
上节给出了对角线矩阵、块对角矩阵和约旦块三种特殊形 式矩阵的矩阵指数函数
由于任何矩阵都可经线性变换成为对角线矩阵或约旦 矩阵,因此
可通过线性变换将一般形式的矩阵变换成对角线矩 阵或约旦矩阵, 再利用上述特殊形式矩阵的矩阵指数函数来快速计 算矩阵矩阵指数函数
对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数, 可利用矩阵指数函数的展开式证明
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/4)
3.2.2 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义, 可证明 矩阵指数函数和状态转移矩阵Φ(t)具有如下性质
1) Φ(0) eA0 I 2) eA(t+s) eAteAs, Φ(t+s) Φ(t)Φ(s), 式中t和s为两个独立 的标量自变量 证明: 由指数矩阵函数的展开式, 有
t0
t t0
t
(t t0 ) e A(t t
0)
x (t ) (t t 0 ) x (t 0 ) (t ) Bu( )d (t ) x 0 (t ) Bu( )d
0 t
状态转移矩阵的性质与计算(1/1)
3.2.1 状态转移矩阵的定义
Φ(t ) e At block - diag e A1t e A2t ... e Al t
式中, block-diag{…}表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩 阵
状态转移矩阵的定义(4/4)
(3) 约旦块矩阵 当Ai为特征值为i的mimi维约旦块, 则分块矩 阵的矩阵指数函数为
e Ai t
e t 0 0 ~ At e 0 e 2t 0 3t 0 0 e
约旦规范形法 (6/8)
4. 由系统矩阵和矩阵指数函数的变换关系, 得
e Pe P 1
At ~ At
3e t - 3e 2t e 3t 5e t / 2 - 4e 2t 3e 3t / 2 - 2e t 3e 2t - e 3t 2t 3t 2t 3t 2t 3t - 8e 9e 6e - 6e - 6e 6e 3e t - 12e 2t 9e 3t 5e t / 2 - 16e 2t 27e 3t / 2 - 2e t 12e 2t - 9e 3t
d At e Ae At e At A, (t ) A(t ) (t ) A dt
[Φ(t)]n Φ(nt) Φ(t2t1)Φ(t1t0) Φ(t2t0)
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(3/4)
由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0) 而 x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)
例3-6 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
0 1 0 A 0 0 1 2 3 0
约旦规范形法 (7/8)
解 1. 先求A的特征值 由特征方程可求得特征值为
1 2 2 3 1
2. 由于矩阵A为友矩阵, 故将A变换成约旦矩阵的变换矩阵P和 其逆阵P1分别为
矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(2/4)
3) [Φ(t2t1)]1 Φ(t1t2)
e
5) 6) 7)
A(t 2 t1 ) 1
e A(t 2 t1 ) e A(t1 t 2 )
4) 对于nn阶的方阵A和B,下式仅当AB BA时才成立 e(A+B)t eAteBt
非解析方法, 难以得到计算结果的简洁的解析表达 式
级数求和法(3/3)
例3-4 用直接计算法求下述矩阵的矩阵指数函数:
1 0 A 2 3
解 按矩阵指数函数的展开式计算如下:
2 2 k k A t A t At e I At ... ... 2! k!
下面讨论之
约旦规范形法 (2/8)
下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: 对矩阵A, 经变换矩阵P作线性变换后,有
A P 1 AP
则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系
e
At
Pe P
~ At
1
e
~ At
P 1e At P
约旦规范形法 (3/8)
该结论可简单证明如下: ~2 2 ~k k ~ At ~ At At e I At ... ... 2! k! 1 2 2 1 k k ( P AP ) t ( P AP ) t 1 I P APt ... ... 2! k! 2 2 k k A t A t 1 P I At 2! ... k! ... P
Ch.3 线性系统的时域分析
状态转移矩阵的性质与计算(1/1)
3.2 状态转移矩阵的性质与计算
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵, 主要内容为:
基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
状态转移矩阵的性质
x (t ) e
A( t t 0 )
x (t 0 ) e A(t ) Bu( )d
级数求和法(1/3)
1. 级数求和法
由上一节对矩阵指数函数的定义过程中可知:
A2t 2 Ak t k e I At ... ... 2! k!
At
矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算 由于上述定义式是一个无穷级数, 故在用此方法计算eAt时必 须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题
2 0 0 ~ A P 1 AP 0 1 1 0 0 1
x(t0 )
x(t1 ) e A(t1 t0 ) x(t0 )
x(t2 ) e A(t2 t1 ) x(t1 ) e A(t2 t0 ) x(t0 )
t0
t1
t2
t
系统的状态转移
因此, 性质 7)表明, 在系统的状态转移过程中, 既可以将系统 的一步状态转移分解成多步状态转移, 也可以将系统的多步 状态转移等效为一步状态转移, 如上图所示
P 1e At P
根据上述性质, 对矩阵A, 可通过线性变换方法得到对角线矩 阵或约旦矩阵, 然后利用该类特殊矩阵的矩阵指数函数, 由 矩阵指数函数的变换关系来求原矩阵A的矩阵指数函数
约旦规范形法 (4/8)
例3-5 试求如下系统矩阵的矩阵指数函数
1 1 0 A 6 11 6 6 11 5
e e
At As
A2 2 Ak k A2 2 Ak k I As I At t ... t ... s ... s ... 2! k! 2! k! A2 2 Ak 2 I A(t s ) (t 2ts s ) ... (t s ) k ... 2! k! e A( t s )
Φ(t ) e At diag e1t e2t ... ent
式中, diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵
状态转移矩阵的定义(3/4)
(2) 块对角矩阵 当A为如下块对角矩阵: A block-diag{A1 A2 … Al},
其中Ai为mimi维的分块矩阵, 则状态转移矩阵为
1 0 1 t2 1 0 0 t ... 0 1 2 3 2 3 2! 3 2 2 1 t ... t t ... 2 2t 3t 2 ... 1 3t ...
级数求和法(2/3)
显然, 用此方法计算eAt一般不能写成封闭的和简洁的解析形 式, 只能得到数值计算的近似计算结果
其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的 项数的多少 如果级数收敛较慢, 则需计算的级数项数多, 人工计算 是非常麻烦的, 一般只适用于计算机计算 因此, 该方法的缺点: 计算量大 精度低
约旦规范形法 (5/8)
故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P1为
1 1 1 P 0 2 6 1 4 9
3 5/ 2 2 P 1 3 4 3 1 3/ 2 1
3. 对角线规范形及对应的转移矩阵:
1 0 0 ~ 1 A P AP 0 2 0 0 0 3