转移概率与转移概率矩阵1 PPT
数据科学基础课件-第5章 随机游走与马尔可夫链
重复以上过程得到n个接受的样本z0,z1,...zn−1
24
Markov Chain Monte Carlo
基本思路：要得到给定概率分布P(x)的样本，利用马尔可
Weights Hidden Markov Model
2
Introduction
计算机科学的发展中，出现了一些领域独立的方 法，在处理各种领域的问题时，取得了很大成功
机器学习 马尔可夫链
3
马尔可夫与随机过程
安德烈·马尔可夫(Andrey Markov, 1856－1922)，俄国数学家，主要研究领 域在概率和统计方面，开创了随机过程 这个新的领域。
pj(t) = ∑ipi(t-1)pij
10
long-term probability distribution
Long-term probability distribution(长期概率分布)
设P(t) 是t步随机游走后的顶点概率分布，则 Long-term probability distribution a(t) 定义为：
Stationary Distribution
平稳分布示例
初始概率分布：
社会学家经常把人按其经 济状况分成3类：下层、 中层、上层，分别用1,2,3 表示
前n代人的分布状况：
P：
13
细致平稳条件
带有边概率强连通图的随机游走平稳概率分布的 一种求法
如果分布π满足 对于任意x, y,
，则π
是马尔可夫链的平稳分布，该式称为细致平稳条件。
6.2.16.2连续时间Markov链的转移概率矩阵
在标准转移概率的假设下，转移概率矩阵还有进一步性质：
60 i, j E, Pij t 是t的一致连续函数.
70
i E, Pii 0
lim
t 0
Pii
t 1
t
qii存在,且-
qii
0.
当i
j时, Pij
0
lim t 0
Pij t
t
qij存在，且0 qij
.
即 P0 存在.
4
转移概率矩阵的性质
目录
6.2 连续时间Markov链的转移概率矩阵
转移概率矩阵的性质
pij t 1.
20 t 0,i E, pij t 1, 即P t 为随机矩阵. jE
30 Chapman-Kolmogorov方程
s, t 0,有P s t P s P t .
f t et ,且 f 0 . 即f t 的变换完全由决定.
4) 由此猜测，在标准转移概率下，描述P t 演化进程的 最基本的量也应该是P 0.
5
与离散时间Markov链的转移概率矩阵的对比：
1) 由离散时间马氏链的C-K方程,P(n) P n，可知， 多步转移矩阵是由一个“最小元”P所生成的.
2) 而连续时间马氏链，在P t 中找不到直接生成它的“最小元”, 但P s t P s P t , P 0 I具有类似的属性.
3) 参考函数性质，由f s t f s f t , f 0 1可得，
i, j E, pij s t pik s pkj t . kE
2
转移概率矩阵的性质
40
Pij
0
ij
1, i 0, i
j , j
即 P 0 I.
50
人教版A版高中数学选修4-9转移概率与转移概率矩阵
2、马尔可夫链——转移概率
引入转移概率：
表示已知在时刻 m 系统处于状态 ， 或说 取值 的条件下，经 ( n-m ) 步转 移到状态 的概率，也可理解为已知在 时刻 m 系统处于状态 i 的条件下，在时刻 n 系统处于状态 j 的条件概率。
3、转移概率的性质
3、转移概率性质
时，
等在时刻n后质
点所处的状态仅与
有关，而与时刻n以前
的状态无关，故它是一个齐次马尔可夫链。
随机游走－转移概率矩阵
一步转移概率
n步转移概率
5、带有两个反射壁的随机游走
考虑一个质点在直线段上作随机游 走，直线段的两个终端为反射壁， 此随机游走所取得的状态空间为 I={ 0 , 1 , 2 , … , c } 。其中0状态和 c 状态均为反射态。一旦质点进入0状 态，则下一步必以概率1向前游走一 步，进入 c 状态，必以概率1向后游 走一步，其余各点与上题同。
p(m) ik
n
p(r kj
)
(n
m),ij源自SkSi
pi(km)(n)
k
p(r) kj
(n
m)
j
l
tn
tnm
tnmr
2、齐次马尔可夫链－CK方程
p(mr ) ij
p(m ik
)
p(r kj
)
,
ij
S
kS
用一步转移概率表达多步转移概率。
3、CK方程的矩阵表示
转移概率矩阵
7、艾伦费斯特模型
该模型可以用一个模型来说明。设一个 坛中装有c个球，它们或是红色的，或者 黑色的。随机地从坛子中取出一个球， 并换以另一个颜色的球放回坛中。经过n 次摸换，研究坛中的黑球数。
状态转移矩阵的三种求法
状态转移矩阵的三种求法一、状态转移矩阵的定义状态转移矩阵，也称为转移概率矩阵，是描述马尔可夫链中状态转移概率的一种数学工具。
在马尔可夫链中，系统的状态会随时间发生改变，而状态转移矩阵则可以描述不同状态之间的转移概率。
二、基本概念和符号定义在讨论状态转移矩阵之前，我们先来了解一些基本概念和符号定义。
1. 状态：指系统所处的特定情况或条件。
在马尔可夫链中，状态可以是离散的，也可以是连续的。
2. 状态空间：指所有可能的状态组成的集合。
3. 转移概率：指一个状态转移到另一个状态的概率。
4. 状态转移矩阵：是一个方阵，其元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
下面将介绍三种常见的求解状态转移矩阵的方法。
1. 统计法统计法是最常见的求解状态转移矩阵的方法之一。
该方法基于大量的历史数据，通过统计分析来确定状态之间的转移概率。
假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s1, s2, ..., sn}，观测到的历史数据为{X1, X2, ..., Xm}，其中Xi表示第i次观测到的状态。
根据统计法，可以通过计算状态转移的频率来估计状态转移概率。
具体做法是统计历史数据中每个状态之间的转移次数，然后除以总的观测次数，得到转移概率的估计值。
2. 最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，也可以用于求解状态转移矩阵。
该方法通过最大化观测数据的似然函数，估计状态转移概率。
假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s1, s2, ..., sn}，观测到的历史数据为{X1, X2, ..., Xm}，其中Xi表示第i次观测到的状态。
根据最大似然估计法，可以通过最大化观测数据的似然函数来求解状态转移概率。
具体做法是构建一个似然函数，然后求解使得似然函数取得最大值时的参数值。
3. 马尔可夫链蒙特卡洛法马尔可夫链蒙特卡洛法是一种基于模拟的求解状态转移矩阵的方法。
该方法通过在马尔可夫链上进行随机游走，来估计状态之间的转移概率。
马尔柯夫状态转移图与转移矩阵(ppt 24页)
马尔柯夫过程
将上述过程推广到一般，则马尔柯夫过程是这样一种 随机过程，即其随机变量在任意时刻tn时的状态X(tn)， 仅与其前有限次数之内的状态X(tn-i-1), X(tn-i-2), …,X(tn-i) 有关，而与以前的状态无关。
22.03.2022
马尔柯夫状态转移图
用马尔可夫状态转移图可以简单而清晰地反映这一过程。 因此，在用马尔可夫过程求解系统或设备的状态概率时， 应首先作出相应的状态转移图，并填入有关概率值，则 会一目了然并方便求解。
Pij 1/ 3
Pii 2/3
i
j
Pjj 3/ 4
22.03.2022
Pji 3/ 4
懒 鬼 起 来 吧 ！别再 浪费时 间，将 来在坟 墓内有 足够的 时间让 你睡的 。---富 兰克林 （美国 ）
人 生 太 短 暂 了，事 情是这 样的多 ，能不 兼程而 进吗？ ---爱迪 生（美 国）真 正的敏 捷是一 件很有 价值的 事。因 为时间 是衡量 事业的 标准， 一如金 钱是衡 量货物 的标准 ；所在 在做事 我有两个忠实的助手，企业在市场竞争中输赢的关键在于其 核心竞 争力的 强弱， 而实现 核心竞 争力更 新的惟 一途径 就是创 新。 一项权威的调查显示：与缺乏创新的 企业相 比，成 功创新 的企业 能获得20％甚 至更高 的成长 率；如 果企业80％的 收入来 自新产 品开发 并坚持 下去， 五年內 市值就 能增加 一倍； 全球83％的高 级经理 人深信 ，自己 企业今 后的发 展将更 依赖创 新。
忽 视 当 前 一 刹那的 人，等 于虚掷 了他所 有的一 切。---富 兰克 林（美 国） 时 间 不 可 空 过，惟 用之于 有益的 工作； 一切无 益的行 动，应 该完全 制止。 ---富兰 克林（ 美国）
人教版高中选修4-92.转移概率与转移概率矩阵课程设计
人教版高中选修4-92.转移概率与转移概率矩阵课程设计一、前言本文主要介绍人教版高中选修4中的重要内容——转移概率和转移概率矩阵。
转移概率和转移概率矩阵是研究马尔科夫过程的重要工具，也是统计学、概率论、随机过程及应用数学等领域的重要内容。
本文将介绍这个概念的定义、性质以及其在实际应用中的一些例子。
二、转移概率1. 定义在马尔可夫过程中，如果对任意状态 i、j（i ≠ j）有下列关系式：P(X n=j|X n−1=i)=p ij(n=1,2,3...)则称p ij为状态 i 到状态 j 的转移概率。
其中X n为随机变量，代表系统在时刻 n 的状态，而状态 i 和状态 j 只要满足p ij概率大于零，则称状态 i 和状态 j 连通。
2. 性质转移概率p ij满足以下性质：•非负性：$p_{ij}\\geq 0$•归一性：对于任意状态i，有$\\sum\\limits_j P_{ij}=1$•状态不变性：$$\\sum\\limits_j P(X_n = j | X_{n-1} = i) = 1$$3. 例子考虑一个简单的例子：一辆汽车在两个交通灯中间行驶。
两个交通灯的状态分别为红灯和绿灯。
假设在红灯状态下，汽车在下一个时间段内仍然保持红灯状态的概率为 0.7，转移到绿灯状态的概率为 0.3；在绿灯状态下，汽车在下一个时间段内仍然保持绿灯状态的概率为0.9，转移到红灯状态的概率为 0.1。
则该问题可以用一个转移矩阵表示：红灯状态绿灯状态红灯状态0.7 0.3绿灯状态0.1 0.9假设该汽车最开始处于红灯状态，则有：$$ P(X_1 = \\text{红灯状态}) = 1, P(X_1 = \\text{绿灯状态}) = 0 $$则可以用转移矩阵中的元素逐步推导出该汽车在不断变换状态的过程中处于任意状态的概率。
三、转移概率矩阵1. 定义将所有的转移概率p ij组成的矩阵称为转移概率矩阵，记为P。
例如，在上述例子中，P矩阵为：$$ P = \\begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 \\\\ 0.1 & 0.9\\end{bmatrix} $$2. 性质转移概率矩阵P也有一些性质：•非负性：$p_{ij}\\geq 0$•归一性：对于任意状态i，有$\\sum\\limits_i\\sum\\limits_j P_{ij}=1$•状态不变性：$$\\sum\\limits_j P(X_n = j | X_{n-1} = i) = 1$$•矩阵相乘：对于任意的转移矩阵P和长度为n的状态序列 $x_0,x_1,\\cdots,x_{n-1}$，有：$$ \\begin{bmatrix}P_{x_0 x_1} & P_{x_0 x_2} & \\cdots &P_{x_0 x_n}\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}P_{x_0 x_0} &P_{x_0 x_1} & \\cdots & P_{x_0 x_{n-1}}\\end{bmatrix}\\cdot P $$3. 例子考虑一个更为复杂的例子：一家电视台每天晚上有三档节目，分别是体育、新闻和娱乐，观众每个晚上的选择都是由前一晚收视率来决定的。
状态转移概率矩阵计算
状态转移概率矩阵计算（原创实用版）目录1.状态转移概率矩阵的概念2.状态转移概率矩阵的计算方法3.状态转移概率矩阵的应用正文一、状态转移概率矩阵的概念状态转移概率矩阵是在马尔可夫过程中，描述系统从某一状态转移到另一状态的概率矩阵。
在马尔可夫过程中，系统的状态转换是随机的，且只与当前状态有关，与过去的状态无关。
状态转移概率矩阵是一个方阵，行和列分别对应系统的所有可能状态。
矩阵中的每个元素表示从当前状态转移到对应状态的概率。
二、状态转移概率矩阵的计算方法状态转移概率矩阵的计算方法依赖于系统的具体性质。
以下是两种常见的计算方法：1.对于离散状态的马尔可夫链，可以利用统计方法估计状态转移概率。
例如，在训练数据中，可以通过计数每个状态转移的次数来估计概率。
假设训练数据包含 S 个长度相同的观测序列和对应的状态序列(O1,I1),(O2,I2),...,(O_S,I_S)，可以计算每个状态转移的概率：P(i|j) = (Σ_k O_k=i, I_k=j) / N，其中 N 为训练数据的总数。
2.对于连续状态的马尔可夫过程，可以利用数学方法计算状态转移概率矩阵。
例如，对于线性定常连续系统，可以利用矩阵指数函数 eAt 计算状态转移矩阵。
具体地，状态转移矩阵 T 可以表示为 eAt，其中 A 是系统矩阵，t 是时间步长。
三、状态转移概率矩阵的应用状态转移概率矩阵在许多领域都有广泛应用，例如机器学习、控制系统和信号处理等。
在机器学习中，状态转移概率矩阵可以用于构建隐马尔可夫模型（HMM），从而对具有时序性的数据进行建模和预测。
HMM 模型包括三个矩阵：状态转移概率矩阵、观测概率矩阵和初始状态概率分布。
通过这三个矩阵，可以计算出系统在给定观测序列下的概率，从而实现对未知状态的推测。
在控制系统中，状态转移概率矩阵可以用于分析系统的稳定性和动态性能。
根据状态转移概率矩阵，可以计算系统的稳态概率分布，从而判断系统是否稳定。
Cha电信PPT课件
p(bi | a j ) 1或0 • 噪声熵H(Y|X) ＝ 0
p(ai
|
bj
)
1或0
• 损失熵H(X|Y) ≠ 0
I(X ,Y ) H (Y ) H (X )
C max I (X ;Y ) max H (Y ) p(ai )
信道中接收到 符号Y后不能 完全消除对X 的不确定性, 信息有损失。 但输出端Y的 平均不确定性 因噪声熵等于 零而没有增加。26
内容
3.1 信道分类和表示参数 3.2 离散单个符号信道及其容量 3.3 离散序列信道及其容量
1
3.1 信道分类和表示参数
2
信道
• 信道：信息传输的通道
–在通信中,信道按其物理组成常被分成微波信 道、光纤信道、电缆信道等。信号在这些信 道中传输的过程遵循不同的物理规律, 通信 技术必须研究信号在这些信道中传输时的特 性
C
max
p(ai )
I
(X
;Y
)
max
H
(Y
)
log
2
m
29
3.2.2 对称DMC信道
• 对称离散无记忆信道：
• 对称性:
–每一行都是由同一集合{q1, q2,…qm}的诸
元素不同排列组成——输入对称
–每一列都是由{p1, p2,…pn}集的诸元素不
同排列组成——输出对称
1 1 1 1
P
3
3
6
6
31
对称DMC信道
• 对称离散信道的平均互信息为
I(X ,Y ) H (X ) H (X |Y ) H (Y ) H (Y | X )
H (Y | X ) p(ai ) p(bj | ai ) logp(bj | ai )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 状态转移概率矩阵的计算。
计算状态转移概率矩阵P，就是求 从每个状态转移到其它任何一个状态的 状态转移概率 Pij (i,j 1,2, , n) 。
为了求出每一个，一般采用频率近 似概率的思想进行计算。
• 例题： 考虑某地区农业收成变化的三个状态
，即“丰收”、“平收”和“欠收”。记
E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态， E3为“欠收”状态。表1给出了该地区 1960～1999年期间农业收成的状态变化情 况。试计算该地区农业收成变化的状态转
0.2000 0.4667 0.3333 P 0.5385 0.1538 0.3077 （5）
0.3636 0.4545 0.1818
单位时间转化为状态j的概率规律，也是Pij为转 移概率的原因。
如果利用矩阵则可以更直观地表达马尔可夫链的 各个状态间的转移概率，并且这种表达方式还为 研究马尔可夫链的随机变化提供了方便。例如， 在表示机器运行状态的马尔可夫链｛Xn｝中，Xn 的分布列可以表示为：
P23
P(E2
E3 )
P(E3
E2 )
4 13
0.3077
4 P31 P(E3 E1) P(E1 E3 ) 11 0.3636
5 P32 P(E3 E2 ) P(E2 E3 ) 11 0.4545
P33
P(E3
E3 )
P(E3
E3 )
2 11
0.1818
② 结论：该地区农业收成变化的状态转 移概率矩阵为
P11 P12 P1n
P
P21
P22
P2n
Pn1
Pn2
Pnn
称为状态转移概率矩阵。
• 概率矩阵。
（2）
0 Pij 1
n
Pij 1
j 1
(i, j 1,2,, n) (i 1,2,, n)
（3）
一般地，将满足条件（3）的任何矩 阵都称为随机矩阵，或概率矩阵。
不难证明，如果P为概率矩阵，则对于任何整数m>0，矩阵都 是概率矩阵。
P(E1
E1 )
3 15
0.2000
P12
P(E1
E2 )
P(E2
E1 )
7 15
0.4667
5 P13 P(E1 E3 ) P(E3 E1) 15 0.3333
同理可得：
7 P21 P(E2 E1) P(E1 E2 ) 13 0.5385
2 P22 P(E2 E2 ) P(E2 E2 ) 13 0.1538
1963
4 E3 1973 14 E3 1983 24 E1 1993 34 E1
1964
5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1
1965
6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2
1966
7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2
• 状态:指某一事件在某个时刻（或时期）出 现的某种结果。
• 状态转移过程:事件的发展，从一种状态转 变为另一种状态，称为状态转移。
• 马尔可夫过程:在事件的发展过程中，若每 次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关 ，而与过去的状态无关，或者说状态转移 过程是无后效性的，则这样的状态转移过 程就称为马尔可夫过程。
（P（1n） P（2n）），
Xn-1的分布列可以表示为：
（P P ）， （n+1） 1
（n+1） 2
｛Xn｝的两个状态间的转移概率可以用矩阵表示为：
P=
P11 P12 P21 P22
=
0.9 0.1 0.8 0.2
1967
8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3
1968
9 E1 1978 19 E3 1988 29 E1 1998 39 E1
1969
10 E2 1979 20 E1 1989 30 E2 1999 40 E2
① 计算：
解： 从表1中可以知道，在15个从E1出发（转移 出去）的状态中，
移概率矩阵。
表1 某地区农业收成变化的状态转移情况
年份
序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态
1960
1 E1 1970 11 E3 1980 21 E3 1990 31 E1
1961
2 E1 1971 12 E1 1981 22 E3 1991 32 E3
1962
3 E2 1972 13 E2 1982 23 E2 1992 33 E2
状态转移概率。在事件的发展变化过程中 ，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它 状态的可能性，称为状态转移概率。由状态 Ei转为状态Ej的状态转移概率 P(Ei E j ) 是
P(Ei E j ) P(E j / Ei ) Pij （1）
状态转移概率矩阵。假定某一个事件的发展 过程有n个可能的状态，即E1，E2，…， En。记为从状态Ei转变为状态Ej的状态转移概 率 P(Ei E j )，则矩阵
转移概率与 转移概率矩阵
本节主要内容：
• 几个基本概念
状态； 状态转移过程； 马尔可夫过程； 状态转移概率； 状态转移概率矩阵。
• 马尔可夫预测法
状态转移概率； 状态转移概率矩阵。
对事件的全面预测，不仅要能够指出 事件发生的各种可能结果，而且还必须给 出每一种结果出现的概率。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一 种预测事件发生的概率的方法。它是基于 马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其 将来各个时刻（或时期）变动状况的一种 预测方法。马尔可夫预测法是对地理事件 进行预测的基本方法，它是地理预测中常 用的重要方法之一。
标准概率矩阵、平衡向量。
如果P为概率矩阵，而且存在整数m>0，使得
概率矩阵 Pm中诸元素皆非零，则称P为标准概率矩
阵。可以证明，如果P为标准概率矩阵，则存在非 零向量
[x1, x2 ,, xn ]，而且 x i 满足
使得：
n
0
xi
1 ， xi 1 i 1
P （4）
这样的向量α称为平衡向量，或终极向量。这 就是说，标准概率矩阵一定存在平衡向量。
(1)ห้องสมุดไป่ตู้3个是从E1转移到E1的
（即1→2，24→25，34→35）
(2)有7个是从E1转移到E2的
（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30， 35→36，39→40）
(3)有5个是从E1转移到E3的
（即6→7，17→18，20→21，25→26，31→32）
所以
P11
P(E1
E1 )