陕西省商洛市2018-2019学年高一下学期期末教学质量检测 数学 Word版含答案
2018-2019学年高一下学期期末数学试题(解析版)
2019年下学期教学质量检测试卷高一 数学一、选择题1.若集合{}{}|21,|02A x x B x x =-<<=<<, 则集合A B ⋂=( ) A. {}|11x x -<< B. {}|21x x -<<C. {}|22x x -<<D. {}|01x x <<【答案】D 【解析】试题分析：作数轴观察易得A B ⋂={}|01x x <<. 考点：集合的基本运算.2.空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A. ()2,3,5--- B. ()2,3,5 C. ()2,3,5-- D. ()2,3,5-【答案】A 【解析】 【分析】关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数．【详解】关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数． 所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---． 故选：A ．【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称问题．属于基础题． 3.过两点(2,)A m -，(),4B m 的直线倾斜角是045，则m 的值是（ ） A. 1- B. 3C. 1D. 3-【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率公式计算即可.【详解】根据直线斜率的计算公式有4tan 451(2)mm ︒-==--,解得1m =．【点睛】本题考查直线斜率的计算，属于基础题． 4.若偶函数()af x x =在(),0-∞上是增函数，则（ ）A. 0a >B. 0a <C. 0a =D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质与幂函数性质可得．【详解】偶函数()af x x =在(),0-∞上是增函数，则它在(0,)+∞上是减函数，所以0a <．故选：B ．【点睛】本题考查幂函数的性质，考查偶函数性质，属于基础题． 5.下列说法不正确的．．．．是（ ） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B. 同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 【答案】D 【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面； 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 6.已知函数()f x 是定义在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则()2f -=（ ）A.14B. 114-C. 1D. 1-【答案】D 【解析】试题分析：函数()f x 是定义在上的奇函数，，故答案为D ．考点：奇函数的应用．7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，则异面直线11A C 与MN 所成的角等于（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】 【分析】连接11,,AB AC B C ，可证1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，求出此角即可．【详解】连接11,,AB AC B C ，因为M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，所以1//MN AB ，又正方体中11//A C AC ，所以1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，1AB C ∆是等边三角形，1B AC ∠＝60°．所以异面直线11A C 与MN 所成的角为60°．故选：B ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所成的角，同时给出证明，然后在三角形中计算．8.圆()2221x y -+=与直线y x =的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切C. 相离D. 直线过圆心【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较．【详解】圆()2221x y -+=的圆心是(2,0)C ，半径为1，圆心到直线3y x =即0x -=的距离为1d r ===，直线与圆相切．故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆人位置关系，判断方法是：利用圆心到直线的距离与半径的关系判断．9.设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<【答案】A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．10.经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上的圆方程为（ ） A. ()()22122x y +++= B. ()()22122x y -+=+ C. ()()22122x y ++-= D. ()()22122x y -+-=【答案】B 【解析】 【分析】设出圆心坐标，由圆心到切线的距离和它到点A 的距离都是半径可求解． 【详解】由题意设圆心为(,2)C a a -2221(2)(21)2a a a a --=-+-+1a =，即圆心为(1,2)C -，半径为12122r --==。
【全国百强校】陕西省-2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题+答案
高一期末考试题数学第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（12*5=60分）1. 在“世界读书日”前夕，为了了解某大学5000名学生某天的阅读时间，从中抽取了200名学生的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名学生的阅读时间的全体是A. 个体B. 总体C. 样本的容量D. 从总体中抽取的一个样本2. 下列各式中S的值不可以用算法求解的是A. S＝1＋2＋3＋4B. S＝1＋2＋3＋4＋…C.D. S＝12＋22＋32＋…＋10023. 某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为，但现在丢失了一个数据，该数据应为A. 2B. 3C. 4D. 54. 直线被圆截得的弦长为A. B. C. D.5. 若三个正数，，成等比数列，其中，，则A. B. C. D.6. 已知直线：，则直线的倾斜角是A. B. C. D.7. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A. B. C. D.8. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 至少有一个红球与至少有一个白球D. 恰有一个红球与恰有二个红球9. 函数的部分图像如图所示，则（）A. B.C. D.10. 下列命题中正确的是A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点;B. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行;C. 若直线上有无数个点不在平面内，则;D. 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.11. 海上两小岛到海洋观察站的距离都是，小岛在观察站的北偏东，小岛在观察站的南偏东，则与的距离是A. B. C. D.12. 关于空间直角坐标系中的一点，有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③点关于轴对称的点的坐标为；④点关于坐标原点对称的点的坐标为；⑤点关于坐标平面对称的点的坐标为.其中正确的个数是A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（4*5=20分）13. 一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为______．14. 已知函数则不等式f（x）＞1的解集为______．15. 在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为_________．16. 等差数列前项和为，已知为________时，最大．三、解答题（共70分，其中17，18，19，20，21各12分，22题10分）17. 已知变量，满足约束条件.（1）求上述不等式组表示的平面区域的面积；（2）求的最大值和最小值.18. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.19. 在锐角⊿中，角的对边分别为若.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求.20. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．21. ．已知等差数列的首项，公差，前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：．22. 将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？(III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？一、选择题（12*5=60分）1. 在“世界读书日”前夕，为了了解某大学5000名学生某天的阅读时间，从中抽取了200名学生的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名学生的阅读时间的全体是A. 个体B. 总体C. 样本的容量D. 从总体中抽取的一个样本【答案】B【解析】由统计相关概念的定义可知：5000名学生的阅读时间的全体是总体.本题选择B选项.2. 下列各式中S的值不可以用算法求解的是A. S＝1＋2＋3＋4B. S＝1＋2＋3＋4＋…C.D. S＝12＋22＋32＋…＋1002【答案】B【解析】算法重要的特征之一是有穷性，选项B中计算的是无穷级数，无法用算法实现.本题选择B选项.3. 某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为，但现在丢失了一个数据，该数据应为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】由题意可得：，回归方程过样本中心点，则：，设缺失的数据为，则：，解得： .本题选择C选项.4. 直线被圆截得的弦长为B. C. D.A.【答案】D【解析】圆心过直线，则解得的弦为直径，则弦长为 . 本题选择D选项.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|＝|x1－x2|5. 若三个正数，，成等比数列，其中，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合等比中项的定义可得： .本题选择B选项.6. 已知直线：，则直线的倾斜角是A. B. C. D.【答案】C【解析】直线方程即：，直线的斜率，则直线的倾斜角为 .本题选择C选项.7. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】B考点：几何概型.8. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )．A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 至少有一个红球与至少有一个白球D. 恰有一个红球与恰有二个红球【答案】D【解析】试题分析：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立考点：互斥事件与对立事件9. 函数的部分图像如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由图可得：函数的最大值为2，最小值为−2，故A=2，，故T=π，ω=2，故y=2sin(2x+φ)，将(,2)代入可得：2sin(+φ)=2，则φ=−满足要求，故y=2sin(2x−)，故选：A.10. 下列命题中正确的是A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点;B. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行;C. 若直线上有无数个点不在平面内，则;D. 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.【答案】A【解析】对于A，用反证法易知，直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，命题正确；对于B，若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线无公共点，所以l与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行或异面，B错误；对于C，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，所以命题错误；对于D，如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面平行或在平面内，所以命题错误．故选：A．11. 海上两小岛到海洋观察站的距离都是，小岛在观察站的北偏东，小岛在观察站的南偏东，则与的距离是A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意画出图形，得出∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，AC=BC=10km，则AB==10km．故选：C．点睛：解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．12. 关于空间直角坐标系中的一点，有下列说法：①点到坐标原点的距离为；②的中点坐标为；③点关于轴对称的点的坐标为；④点关于坐标原点对称的点的坐标为；⑤点关于坐标平面对称的点的坐标为.其中正确的个数是A. B. C. D.【答案】A【解析】由空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），知：在①中，点P到坐标原点的距离为d=，故①错误；在②中，由中点坐标公式得，OP的中点坐标为，故②正确；在③中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），故③不正确；在④中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），故④错误；在⑤中，由对称的性质得与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3），故⑤正确．故选：A．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（4*5=20分）13. 一个正三棱柱的正视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为______．【答案】【解析】左视图为一矩形,高为3,宽为正三角形的高 ,所以面积为14. 已知函数则不等式f（x）＞1的解集为______．【答案】【解析】当时,;当时,;综上解集为15. 在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为_________．【答案】【解析】试题分析：由B＝135°，C＝15°得A=30°，由正弦定理得，最大边为考点：正弦定理解三角形16. 等差数列前项和为，已知为________时，最大．【答案】7【解析】试题分析：因为等差数列的前n项和是关于n的二次函数，由知，该二次函数的对称轴为=7，所以n=7时，最大.考点：等差数列的前n项和；二次函数最值三、解答题（共70分，其中17，18，19，20，21各12分，22题10分）17. 已知变量，满足约束条件.（1）求上述不等式组表示的平面区域的面积；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为4，最小值为．【解析】试题分析：(1)绘制出不等式组表示的可行域，结合三角形的顶点坐标可得三角形的面积为4；(2)结合目标函数的几何意义可得目标函数的最大值为4，最小值为．试题解析：（1）如图，作出可行域，易知不等式组表示的平面区域是一个三角形，容易求三角形的三个顶点坐标为，，，三角形面积；（2）可求得的最大值为4，最小值为．点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.18. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.19. 在锐角⊿中，角的对边分别为若.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知及正弦定理可得2sinAsinB=sinB，结合B为锐角可求，结合A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．（2）由三角形面积公式可求c，利用余弦定理即可求a的值．试题解析:（1）（2）由，得由余弦定理得：20. 如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据余弦定理得 ,再利用正弦定理得 ,（2）由等腰三角形性质得底边上的高为，所以三角形面积为试题解析：解：（Ⅰ）=．（Ⅱ）△BCD的面积．21. ．已知等差数列的首项，公差，前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）已知等差数列的首项，公差，由等差数列的前项和公式即可求得数列前项和为，再由，进而求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用裂项求和法，即可求得，最后放缩即可得证．试题解析：（Ⅰ）因为数列是首项，公差的等差数列所以由等差数列的前项和公式得，数列前项和为由，得（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以又，所以考点：1．等差数列的求和公式；2．数列的求和方法．22. 将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？(III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？【答案】（I） 36种；（II）12种；（III）．【解析】试题分析：（I）共有种结果4分（II）若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有:（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种．8分（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝．12分考点：随机事件的概率；古典概型。
2018-2019学年陕西省商洛市高一下学期期末教学质量检测数学试题(解析版)
2018-2019学年陕西省商洛市高一下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题 1．360︒化为弧度是 A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】D【解析】由于180π=，则3602π︒=. 【详解】因为180π=，所以2360π=，故选D. 【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化.2．现有60瓶矿泉水，编号从1至60．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ） A ．3，13，23，33，43，53 B ．2，14，26，38，42，56 C ．5，8，31，36，48，54 D ．5，10，15，20，25，30【答案】A【解析】根据系统抽样原则，可知编号成公差为10的等差数列，观察选项得到结果. 【详解】根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为10的等差数列B 选项编号公差为12；C 选项编号不成等差；D 选项编号公差为5；可知,,B C D 错误A 选项编号满足公差为10的等差数列，正确本题正确选项：A 【点睛】本题考查抽样方法中的系统抽样，关键是明确系统抽样的原则和特点，属于基础题. 3．sin300°的值为A B ． C ．12-D ．12【答案】B【解析】利用诱导公式化简sin300sin(60)sin 60=-=-，再求出值为. 【详解】因为3sin 300sin(60)sin 602=-=-=-，故选B. 【点睛】本题考查诱导公式的应用，即终边相同角的三角函数值相等及sin()sin x x -=-. 4．已知向量()2,0,1,1a b a b =⋅=-=，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.π3D.2π3【答案】D【解析】先求出a 的模长，然后由cos ,a b a b a b⋅=可求出答案.【详解】由题意，2a =，1cos ,2a ba b a b ⋅==-，所以a 与b 的夹角为2π3.故选D. 【点睛】本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题. 5．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．5.6B ．3.56C ．1.4D ．0.35【答案】A【解析】根据几何概型直接进行计算即可. 【详解】月牙形图案的面积约为：35044 5.61000⨯⨯= 本题正确选项：A【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题. 6．已知α是第三象限的角，若1tan 2α=，则cos α= A．5-BCD． 【答案】D【解析】根据α是第三象限的角得cos 0α<，利用同角三角函数的基本关系，求得cos α的值.【详解】因为α是第三象限的角，所以cos 0α<，因为1tan 2α=，所以22sin cos 1,sin 1,cos 2αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得：cos α= D. 【点睛】本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知tan α值，求cos α的值.7．已知2()sin(),36f x x x N ππ=+∈，则()f x 的值域为 A ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】利用2||T πω=求函数()f x 的周期为3，计算(0),(1),(2)f f f 即可得到函数的值域. 【详解】因为1(0)sin62f π==，51(1)sin62f π==，43(2)sin()sin 1362f πππ=+==-， 因为函数()f x 的周期2323T ππ==，(0)(3),(1)(4),(2)(5),f f f f f f === 所以函数的值域为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，故选C. 【点睛】本题考查函数的周期运算，及利用函数的周期性求函数的值域.8．如图，在ABC ∆中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b 表示AD ，正确的是A ．1144AD a b =+ B ．5414AD a b =+ C ．3414AD a b =+ D ．5414AD a b =- 【答案】C【解析】由4BC BD =得14BD BC =，再由向量的加法得14AD AB BD AB BC =+=+，最后把,AB a AC b ==代入，求得答案. 【详解】因为111()44344AD AB BD AB BC AB AC AB a b =+=+=+-=+，故选C. 【点睛】本题考查向量的加法和数乘运算的几何意义，考查平面向量基本定理在图形中的应用. 9．已知π7cos 2625α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π02α<<，则πcos 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.35C.45D.45-【答案】B【解析】由二倍角公式可得2ππ7cos 22cos 161225αα⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合π02α<<，可求出πcos 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】 因为2ππ7cos 22cos 161225αα⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3cos 125α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，又因为π02α<<，所以3cos 125πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.10．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（）A.2800B.3000C.3200D.3400【答案】D【解析】先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比，所以总交稿数为，高二年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数占总交稿数的，所以高三年级交稿数为．故选：D【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.11．某程序框图如图所示,若输出的S=26,则判断框内应填()A．k>3? B．k>4?C．k>5? D．k>6?【解析】程序在运行过程中，各变量的值变化如下表：可得,当4k = 时，26S = 此时应该结束循环体，并输出S 为26 ，所以判断框应该填入的条件为3k > ，故选A .【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.12．已知2(2)222a sinαα=-，(cos ,)2b m α=，若对任意的[1,1]m ∈-，12a b ⋅>恒成立，则角α的取值范围是 A ．713(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ B ．57(2,2)()1212k k k z ππππ++∈ C ．5(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ D ．7(2,2)()1212k k k z ππππ-+∈ 【答案】B【解析】由向量的数量积得2sin cos 22a b m αα⋅=+，对任任意的[1,1]m ∈-，12a b ⋅>恒成立，转化成关于m 的一次函数，保证在1m =和1m =-的函数值同时小于0即可. 【详解】212sincoscos 2222222a b m m ααααα⋅=⋅+⋅-=+>，因为12a b ⋅>对任意的[1,1]m ∈-恒成立，则1212αααα+>->，1sin(),421sin(),42παπα⎧->⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩522,646522,646k k k k ππππαπππππαπ⎧+<-<+⎪⎪⇒⎨⎪+<+<+⎪⎩k Z ∈， 解得：5722,1212k k k Z πππαπ+<<+∈，故选B. 【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算、三角恒等变换及不等式恒成立问题，求解的关键是变换主元的思想，即把不等式12a b ⋅>看成是关于变量m 的一次函数，问题则变得简单.二、填空题13．若数据2,3,5,7,,10x 的平均数为6，则x =____________. 【答案】9【解析】根据求平均数的公式，得到关于x 的方程23571066x +++++=，求得9x =.【详解】 由题意得：23571066x +++++=，解得：9x =，故填：9.【点睛】本题考查求一组数据的平均数，考查基本数据处理能力. 14．已知函数()2()4cos 22f x x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，，，该函数零点的个数为_____________ 【答案】3【解析】令()0f x =，可得240x x -=或cos 0x =；当240x x -=时，可解得0x =为函数一个零点；当cos 0x =时，可知2x k ππ=-+，根据x 的范围可求得零点；综合两种情况可得零点总个数. 【详解】令()24cos 0x x x -=，可得：240x x -=或cos 0x =当240x x -=时，0x =或4x =（舍） 0x ∴=为函数的一个零点 当cos 0x =时，2x k ππ=-+，k Z ∈,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2x π∴=-，2x π=为函数的零点综上所述，该函数的零点个数为：3个 本题正确结果：3 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，涉及到余弦函数零点的求解.15．已知向量a ，b 满足(,1),(3,4)a m m b =+=-，且a 在b 方向上的投影是1-，则实数m =_______. 【答案】1【解析】a 在b 方向上的投影为||cos ||a ba b θ⋅=，把向量坐标代入公式，构造出关于m 的方程，求得1m =. 【详解】因为||||cos a b a b θ⋅=，所以4||cos 15||a b m a b θ⋅--===-，解得：1m =，故填：1. 【点睛】本题考查向量的数量积定义中投影的概念、及向量数量积的坐标运算，考查基本运算能力.16．已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④5π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）.【答案】②④【解析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】①要得到()5sin 2g x x =的图象，应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移π8个单位长度，所以①错误；②令ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，解得3ππ82k x =+，k ∈Z ，所以直线3π8x =是()y f x =的一条对称轴，故②正确；③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+，k ∈Z ，解得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，所以③错误；④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以该说法正确. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握，属于中档题.三、解答题17．已知53sin cos cos(3)22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）化简()fθ；（2）若3sin 5θ=，且,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f θ的值．【答案】（1）()cos f θθ=-；（2）4()5f θ=. 【解析】（1）利用诱导公式化简即得()f θ；（2）利用同角的平方关系求出4cos 5θ=-的值，即得解. 【详解】解：（1）53sin cos cos(3)22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos (sin )(cos )(sin )cos θθθθθ--=-cos θ=-．（2）因为3sin 5θ=，且,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4cos 5θ=-，所以4()5f θ=． 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.18．已知()()()1,1,3,1,,OA OB OC a b ==-=. （1）若,,A B C 三点共线，求,a b 的关系； （2）若2AC AB =,求点C 的坐标. 【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).【解析】（1）求出AB 和AC 的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出,AC AB 的坐标，根据2AC AB =得到关于,a b 的方程组，解方程组可得所求点的坐标． 【详解】由题意知，()2,2AB OB OA =-=-，()1,1AC OC OA a b =-=--． （1）∵,,A B C 三点共线， ∴AB ∥AC ，∴()()()21210b a ---⨯-=， ∴2a b +=． (2)∵2AC AB =，∴()()()1,122,24,4a b --=-=-，∴1414a b -=⎧⎨-=-⎩，解得53a b =⎧⎨=-⎩，∴点C 的坐标为()5,3-． 【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．19．假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y (万元)有如下表的统计资料(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧∧∧=+的回归系数a ∧，b ∧(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:2122111ˆ,,90,112.3ni in ni i i i ni i ii x y nxyb ay bx x x y xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 【答案】（1）见解析；（2）0.08a =， 1.23b =；（3）12.38万元 【解析】（1）在坐标系中画出5个离散的点；（2）利用最小二乘法求出 1.23b =，再利用回归直线过散点图的中心，求出0.08a =； （3）将10x =代入（2）中的回归直线方程，求得12.38y =. 【详解】（1）散点图如下：所以从散点图年，它们具有线性相关关系.（2）2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.57.055y ++++==，于是有2112.354512.31.23905410b -⨯⨯===-⨯， 51,2340.08a y bx =-=-⨯=.（3）回归直线方程是 1.230.08,y x =+当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元）， 即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元. 【点睛】本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当10x =时，y 的值，考查数据处理能力.20．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示(试卷满分为100分)(1)试计算这12份成绩的中位数；(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平,哪个班更稳定一些? 【答案】(1)80；(2) （1）班.【解析】（1）从茎叶图可直接得到答案；（2）通过方差公式计算出两个半的方差，方差更小的更稳定. 【详解】（1）从茎叶图中可以看到，这12份成绩按从小到大排列，第6个是78，第7个是82，所以中位数为7882802+=. （2）由表中数据，易得（1）班的6份成绩的平均数180x =，（2）班的6份成绩的平均数280x =，所以（1）班的6份成绩的方差为()2222222111811342251263s =+++++=；（2）班的6份成绩的方差为()2222222212661287591363s =+++++=.所以有2212s s <，说明（1）班成绩波动较小，（2）班两极分化较严重些，所以（1）班成绩更稳定. 【点睛】本题主要考查中位数，平均数，方差的相关计算和性质，意在考查学生的计算能力及分析能力，难度不大.21．为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位: )进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在之间的男生人数比身高在之间的人数少1人.(1)若身高在以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人? (2)从所抽取的样本中身高在和的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185的概率是多少?【答案】(1)12600；(2) .【解析】（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率，于是可得答案； （2）先计算出样本容量，再找出样本中身高在中的人数，从而利用古典概型公式得到答案. 【详解】（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有人.（2）由所抽取样本中身高在的频率为，可知身高在的频率为，所以样本容量为，则样本中身高在中的有3人，记为，身高在中的有2人，记为，从这5人中再选2人，共有，，，，，，，，，10种不同的选法，而且每种选法都是互斥且等可能的，所以，所选2人中至少有一人身高大于185的概率.【点睛】本题主要考查频率分布直方图，古典概型的相关计算，意在考查学生的转化能力，计算能力和分析能力，难度中等.22．已知1a ≥，函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()sin cos 1g x x x x =--. （1）若()f x 在[],b b -上单调递增，求正数b 的最大值；（2）若函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）4π（2）4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）求出()πsin 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间，令0k =，得3ππ44x -≤≤，可知区间[],b b -3ππ,44⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，即可求出正数b 的最大值；（2）令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣，可将问题转化为()21122h t t at =-+-在⎡⎣的零点问题，分类讨论即可求出答案. 【详解】解：（1）由πππ2π2π242k x k -≤+≤+，k ∈Z 得3ππ2π2π44k x k -≤≤+，k ∈Z . 因为()f x 在[],b b -上单调递增， 令0k =，得3ππ44x -≤≤时()f x 单调递增， 所以π43π4b b ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩解得π4b ≤，可得正数b 的最大值为4π.（2）()()sin cos 1g x x x x =--()sin cos sin cos 1x x a x x =-++-，设πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣.它的图形如图所示.又()()2211sin cos sin cos 1122x x x x t ⎡⎤=+-=-⎣⎦，则()sin cos sin cos 1x x a x x -++-21122t at =-+-，t ⎡∈⎣，令()21122h t t at =-+-，则函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，可知()21122h t t at =-+-在⎡⎣内最多一个零点.①当0为()h t 的零点时，102-=显然不成立； ②()h t302-=，得a =a =211022t at -+-=中，得211022t -+-=，解得1t =，2t =，不符合题意. ③当零点在区间(时，若210a ∆=-=，得1a =，此时零点为1，即1t =，由4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知不符合题意；若210a ∆=->，即1a >，设211022t at -+-=的两根分别为1t ，2t ，由121t t =，且抛物线的对称轴为1t a =>，则两根同时为正，要使()21122h t t at =-+-在⎡⎣内恰有一个零点，则一个根在()0,1内，另一个根在)+∞内，所以()()10000h h h ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩解得4a >综上，a的取值范围为4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.。
2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断高一数学试题参考答案
2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断高一数学试题参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.A5.B6. D7.C8.C9.A 10.C 11.BC 12.ABD 13.ACD二、填空题14. 89- 15. 16. 6π- 17., 1 三、解答题18.解：（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ， ……………3分所以2+==a b ……………6分（2）(1,2)m -=--a b ， ……………9分因为与-a b 共线，所以1212m --=，解得4m =. ……………13分 19.解：（1）原式 2sin 3cos 3sin cos αααα+=+………………………………4分 2tan 3183tan 113αα+==+； ……………………………6分（2）因为(0,)2πα∈，3sin 5α=，所以4cos 5α==. ………8分 又因为(0,),(,)22ππαβπ∈∈，所以(,0)αβπ-∈-，所以12sin()13αβ-==-. ……………10分于是sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=--- ……12分3541263()51351365=⨯-⨯-=. ……………13分 20.解：（1）因为A c C a A b cos cos cos 2+=，所以由正弦定理可得 2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,……2分即2sin cos sin()sin B A A C B =+=, ……………………………4分因为sin 0B ≠,所以1cos 2=A ，21cos =A ， ……………5分 ),0(π∈A Θ,故3π=A . ……………6分（2）由已知得1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ……………9分 所以222144+999AD AB AB AC AC =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g……………11分 164443cos 99939π=+⨯⨯+⨯769=, 所以219AD =u u u r . ……………13分 21.解：（1）31()cos 2sin 2sin(2)223f x x x x πωωω=+=+， ………………2分 由πωπ=22,得1=ω. ……………3分 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.……………6分 （2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k ∈Z 得 ……………8分 54433k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 所以函数)(x g 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………10分 由ππk x =+32，解得22()3x k k ππ=-∈Z . ……………12分 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . ……………13分 22.解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---sin(2)x A =-. ……………3分 因为()f x 在512x π=时取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k ∈Z , ………………………4分即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=， 所以()sin(2)3f x x π=-. ………………………………………5分 因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)123x π-<-≤， ……………7分 因为关于的方程()=f x t有解，所以的取值范围为(,1]2-．………8分 （2）因为5=a ，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin ()10+=+B C b c ．又sin sin +=B C ，所以8+=b c . ……………11分 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ，所以13=bc ， ……………14分所以1sin 2ABC S bc A ∆== ……………15分 23. 解：（1）因为点为靠近点的三等分点，13BP =，1tan 3PAB ∠=. ①又因为60PAQ ∠=o ，所以16tan tan(30)13DAQ PAB -∠=-∠==o ； ………3分 ②（法1）122()()339PA PQ DA BA DA CQ CQ =+-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g , ………5分而11CQ DQ =-==u u u r u u u r ,所以219145913117PA PQ --=-+=u u u r u u u r g ； ……………7分（法2）以为坐标原点，分别以,AB AD u u u r u u u r 所在方向为,x y 轴的正方向，建立直角坐标系xAy ，则()0,0A ,1(1,)3P，6(,1)13Q ， ……………5分 所以1(1,)3PA =--u u u r，2)3PQ =u u u r ， ……………6分所以192145139117PA PQ --=-=u u u r u u u r g ； ……………7分（2）（法1）由题意[0,]6πθ∈，1cos AP θ=， 1cos()6AQ πθ=-， …………9分 所以11sin 602cos cos()6APQ S πθθ∆=⋅⋅⋅-o 1cos cos()6πθθ=⋅-.………10分而1cos cos()cos (sin )622πθθθθθ⋅-=+21sin cos 2θθθ=+112sin 2)22θθ=++1sin(2)23πθ=+, ……………12分[0,]6πθ∈Q ，22[,]333πππθ∴+∈， 当232ππθ+=，即12πθ=时cos cos()6πθθ⋅-取最大值为4，……14分此时APQ ∆的面积最小值为34. ……………15分注：θ的取值范围[0,]6πθ∈，学生写为开区间或半开半闭区间不扣分.（法2）以为坐标原点，分别以,AB AD u u u r u u u r 所在方向为,x y 轴的正方向，建立直角坐标系xAy ， 则(0,0)A ,(1,tan )P θ，(tan(),1)6Q πθ-，[0,]6πθ∈. ……………8分所以1sin 23APQ S AP AQ π∆=⋅=14cos cos()6πθθ==-，……10分 以下同解法1.。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
【KS5U解析】陕西省商洛市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由 ，所以存在唯一实数ｔ，使得 ，建立方程组可得答案；
（2）由已知求得 ，再由 得 ，可解得 ，再利用向量的模的计算方法可求得答案.
【详解】（1）因为 ，所以存在唯一实数ｔ，使得 ，即 ，
在②中，由于总体个数较多，故采用系统抽样较好；
在③中，由于高收入家庭、中等收入家庭和低收人家庭的消费水平差异明显，
故采用分层抽样较好.
故选：D．
【点睛】本题考查抽样的概念，掌握系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念是解题关键．
4.据市场调查的数据可知，某商品受季节影响，各月的价格波动比较大，2019年1月到12月，该商品价格的涨跌幅度的折线图如图所示.
18.某校高一年级举行“抗击新冠肺炎”在线知识问答比赛，现将60名参赛学生 成绩（60）
18
0.30
[60，70）
24
0.40
[70，80）
9
0.15
[80，90）
6
0.10
[90，100]
3
0.05
（1）根据上面的统计表，作出这些数据的频率分布直方图；
（2）求这60名参赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数.
A.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样B.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
【答案】D
【解析】
【分析】
根据系统抽样、简单随机抽样、分层抽样的概念判断．
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_5
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.3. 全部答案在答题卷完成，答在本卷上无效.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】得到倾斜角为.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2.某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（）摄氏温度4（）A. 12.6B. 13.2C. 11.8D. 12.8【答案】A【解析】【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案.【详解】，，中心点为代入回归方程故答案选A【点睛】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.3.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面【答案】D【解析】【分析】当时与相交，当时与异面.【详解】当时与相交，当时与异面.故答案为D【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.4.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案B【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5.圆被轴所截得的弦长为（）A. 1B.C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】，圆心为圆心到轴的距离弦长故答案选C【点睛】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.6.在中，角、、所对的边分别为、、，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.7.在正方体中，直线与直线所成角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接易知：直线与直线所成角为为等边三角形，夹角为故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8.圆与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B【解析】【分析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系.【详解】圆心距相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.9.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（）A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.10.过点且与圆相切的直线方程为（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示：当斜率不存在时：当斜率存在时：设故答案选C【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出每个面积，相加得到答案.详解】故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.12.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.【详解】如图所示：在中，利用正弦定理：当时，有最小值为当时，有最大值为（不能取等号）的取值范围是故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.13.已知直线：与直线：平行，则______.【答案】4【解析】【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线：与直线：平行故答案为4【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.14.如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.【答案】【解析】【分析】先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15.在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.【答案】2【解析】【分析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26平均值为：方差为：故答案为2【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16.已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【详解】三棱锥底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于为中点，为外心，连接，平面球心在上设半径为故答案为【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.（1）求直线的方程；（2）求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算，过点，得到答案.（2）联立直线方程：解得答案.【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得，则.又∵，∴直线的方程为，即（或）.（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：.解得：，即点坐标为.【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力. 18.在四棱锥中，四边形是正方形，平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明得到平面.（2）先证明就是三棱锥的高，再利用体积公式得到三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连结交于，连结.∵四边形是正方形，在中，为中点，又∵为中点∴.又∵平面，平面.∴平面.（2）解：取中点，连结.则且.∵平面，∴平面，∴就是三棱锥的高.在正方形中，.∴.【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到，利用余弦定理得到，计算得到答案.详解】解：（1）由得.∴.又∵，∴.（2）∵，∴，则.把代入得即.∴，则.∴的周长为.【点睛】本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.20.据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在内的男女司机人数比为，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.【答案】（1），中位数的估计值为75（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算，再判断中位数落在第三组内，再计算中位数.（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为1得.则.第一组和第二组的频率和为，则中位数落在第三组内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75.（2）设事件：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.的人数为人.∴该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.5人抽取2人进行座谈有：，，，，，，，，，共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为.∴.∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是.【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图1，在中，，，，分别是，，中点，，.现将沿折起，如图2所示，使二面角为，是的中点.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明面得到面面.（2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面.∵，∴面.∵面，∴，又∵，∴，∵，，∴面.面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.法二：同法一得面.又∵，面，面，∴面.同理面，，面，面.∴面面.∴面，面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.（2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影.∴为直线与平面所成的角，∵且，∴二面角的平面角是.∵，∴，∴.又∵面，∴.在中，.在中，.∴在中，.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.（1）求斜率的取值范围；（2）为坐标原点，求证：直线与的斜率之和为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：.韦达定理得计算，化简得到答案.【详解】解：（1）直线的方程为：即.由得圆心，半径.直线与圆相交得，即.解得.所以斜率的取值范围为.（2）联立直线与圆方程：.消去整理得.设，，根据韦达定理得.则.∴直线与的斜率之和为定值1.【点睛】本题考查了斜率的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.3. 全部答案在答题卷完成，答在本卷上无效.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】得到倾斜角为.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.2.某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（）摄氏温度4（）A. 12.6B. 13.2C. 11.8D. 12.8【答案】A【解析】【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案.【详解】，，中心点为代入回归方程故答案选A【点睛】本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.3.若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（）A. 相交B. 平行C. 异面D. 相交或异面【解析】【分析】当时与相交，当时与异面.【详解】当时与相交，当时与异面.故答案为D【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.4.在中，角、、所对的边分别为、、，若，则是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案B【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5.圆被轴所截得的弦长为（）A. 1B.C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】，圆心为圆心到轴的距离弦长故答案选C【点睛】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.6.在中，角、、所对的边分别为、、，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.7.在正方体中，直线与直线所成角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接易知：直线与直线所成角为为等边三角形，夹角为故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8.圆与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含【答案】B【解析】【分析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系.【详解】圆心距相交故答案选B【点睛】本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.9.2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（）A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.10.过点且与圆相切的直线方程为（）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示：当斜率不存在时：当斜率存在时：设故答案选C【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出每个面积，相加得到答案.详解】故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.12.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.【详解】如图所示：在中，利用正弦定理：当时，有最小值为当时，有最大值为（不能取等号）的取值范围是故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.13.已知直线：与直线：平行，则______.【答案】4【解析】【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线：与直线：平行故答案为4【点睛】本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.14.如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.【答案】【解析】【分析】先计算，再计算【详解】在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为则在中，故答案为【点睛】本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.15.在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.【答案】2【解析】【分析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26平均值为：方差为：故答案为2【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.16.已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.【详解】三棱锥底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于为中点，为外心，连接，平面球心在上设半径为故答案为【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.（1）求直线的方程；（2）求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算，过点，得到答案.（2）联立直线方程：解得答案.【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得，则.又∵，∴直线的方程为，即（或）.（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：.解得：，即点坐标为.【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.18.在四棱锥中，四边形是正方形，平面，且，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明得到平面.（2）先证明就是三棱锥的高，再利用体积公式得到三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连结交于，连结.∵四边形是正方形，在中，为中点，又∵为中点∴.又∵平面，平面.∴平面.（2）解：取中点，连结.则且.∵平面，∴平面，∴就是三棱锥的高.在正方形中，.∴.【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到，利用余弦定理得到，计算得到答案.详解】解：（1）由得.∴.又∵，∴.（2）∵，∴，则.把代入得即.∴，则.∴的周长为.【点睛】本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.20.据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在内的男女司机人数比为，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.【答案】（1），中位数的估计值为75（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算，再判断中位数落在第三组内，再计算中位数.（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为1得.则.第一组和第二组的频率和为，则中位数落在第三组内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75.（2）设事件：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.的人数为人.∴该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.5人抽取2人进行座谈有：，，，，，，，，，共10个基本事件.其中2人均为女司机的基本事件为.∴.∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是.【点睛】本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.如图1，在中，，，，分别是，，中点，，.现将沿折起，如图2所示，使二面角为，是的中点.（1）求证：面面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）证明面得到面面.（2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面.∵，∴面.∵面，∴，又∵，∴，∵，，∴面.面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.法二：同法一得面.又∵，面，面，∴面.同理面，，面，面.∴面面.∴面，面，∴.又∵且是中点，∴，∴，∴面.∵面，∴面面.（2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影.∴为直线与平面所成的角，∵且，∴二面角的平面角是.∵，∴，∴.又∵面，∴.在中，.在中，.∴在中，.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.22.已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.（1）求斜率的取值范围；（2）为坐标原点，求证：直线与的斜率之和为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：.韦达定理得计算，化简得到答案.【详解】解：（1）直线的方程为：即.由得圆心，半径.直线与圆相交得，即.解得.所以斜率的取值范围为.（2）联立直线与圆方程：.消去整理得.设，，根据韦达定理得.则.∴直线与的斜率之和为定值1.【点睛】本题考查了斜率的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.。
陕西省重点名校2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题含解析
陕西省重点名校2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()1,0252sin2,0,6xxf xx xππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<<⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a=恰有三个不同的解，记为123,,x x x，则123x x x++的取值范围是( )A．10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B．552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C．10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D．551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】由方程()f x a=恰有三个不同的解，作出()f x的图象，确定123,,x x x，的取值范围，得到23,x x的对称性，利用数形结合进行求解即可．【详解】设123x x x<<作出函数()f x的图象如图：由522,626x k k Z x kπππππ+=+∈⇒=-则当1k=时 ,566xπππ=-=, 即函数的一条对称轴为56xπ=，要使方程()f x a=恰有三个不同的解，则12a<<, 此时23,x x , 关于56xπ=对称，则232355263x xx xππ+=⇒+=当1212xx=⇒=-，即110x-<<，则 123153x x x x π++=+110x -<<1123555551133333x x x x πππππ∴-<+<⇒-<++< 则 123x x x ++的取值范围是551,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选D. 【点睛】本题主要考查了方程与函数，数学结合是解决本题的关键，数学结合也是数学中比较重要的一种思想方法． 2．数列{}n a 满足“对任意正整数n ，都有312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是（ ） A ．{}n a 是等差数列 B ．21{}n a -与2{}n a 都是等差数列C ．2{}n a 是等差数列D ．21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等【答案】D 【解析】 【分析】将312n n n n a a a a ++++=+变形为422n n n n a a a a +++-=-和5331n n n n a a a a ++++-=-，根据等差数列的定义即可得出21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等，反过来，利用等差数列的定义得到312n n n n a a a a +++-=-，变形即可得出312n n n n a a a a ++++=+，从而得到“312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”. 【详解】由312n n n n a a a a ++++=+ 得：312n n n n a a a a +++-=-即数列2{}n a 与21{}n a -均为等差数列且公差相等，故 “312n n n n a a a a ++++=+”是“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”的充分条件 反之，21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等 必有312n n n n a a a a +++-=-成立 变形得：312n n n n a a a a ++++=+故“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”是“312n n n n a a a a ++++=+”的必要条件 综上，“312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的判断，考查了充分必要条件的判断，属于中等题.3．若集合，则A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据交集定义计算．【详解】由题意．故选B．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三4．设A B C D-体积的最大值为棱锥D ABCA．123B．183C．243D．543【答案】B【解析】【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当DM⊥平面ABC时，三棱锥D ABC-体积最大，然后进行计算可得．详解：如图所示，点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，-体积最大当DM⊥平面ABC时，三棱锥D ABC此时，OD OB R 4===2393ABCSAB == AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心2BM 233BE ∴== Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM =-=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE ==，再由勾股定理得到OM ，进而得到结果，属于较难题型． 5．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度40AB =米，拱高10OP =米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P 的高度大约是（ ）A ．9.7米B ．9.1米C ．8.7米D ．8.1米【答案】A 【解析】 【分析】以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设出圆心坐标与半径，可得圆拱所在圆的方程，将4x =-代入圆的方程，可求出支柱22A P 的高度 【详解】由图以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为()0,a ，()0,10P ，()20,0A -， 则圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=，()222210400a r a r ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得15a =-，25r =， ∴圆的方程为()2215625x y ++=，将4x =-代入圆的方程，得229.7y A P =≈()m .故选：A 【点睛】本题考查了圆的标准方程在生活中的应用，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 6．在空间直角坐标系中，点(3,4,5)P 关于z 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,4,5)-- B ．(3,4,5)-C ．(3,4,5)--D ．(3,4,5)-【答案】A 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，点(,,)a b c 关于z 轴对称的点的坐标为(,,)a b c --. 【详解】根据对称性，点()3,4,5P 关于z 轴对称的点的坐标为(3,4,5)--. 故选A. 【点睛】本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题. 7．在数列中，，（，），则A ．B ．C ．2D ．6【答案】D 【解析】 【分析】 将代入递推公式可得，同理可得出和。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_7
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合诱导公式和特殊角的三角函数值整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合诱导公式可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m的值．【详解】向量，（m+1，﹣m），当⊥时，•0，即﹣（m+1）﹣2m＝0，解得m．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题．3.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A. 至少有一次中靶B. 只有一次中靶C. 两次都中靶D. 两次都不中靶【答案】C【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．详解：一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：C．点睛：本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．4.已知则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【详解】tan（α+β），tan（β），则tan（α）＝tan（（α+β）﹣（β））．故选：B．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式的应用，考查计算能力．5.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根据直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1＝0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【详解】∵直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1＝0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等关系，属于基础题．6.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点然后求出，即可求出函数解析式.【详解】由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以函数图象过所以，并且，的解析式是故选：A．【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，读懂图象是解题关键，并结合图象求出三角函数的解析式，本题是基础题．7.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（）A. 640B. 520C. 280D. 240【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数．【详解】初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.65．∴获得复赛资格的人数为：065×800＝520．故选：B．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，是基础题．8.若，，与的夹角为，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得||•||•cos，，再利用二倍角公式求得结果．【详解】由题意可得||•||•cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故选：C．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，二倍角公式的应用属于基础题．9.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，则＝（）A. B. 1 C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】根据已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式化简即可求值得解．【详解】∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，可得：4﹣a2＝4﹣4cos272°＝4sin272°，∴2sin72°，a2cos72°•2sin72°＝2sin144°＝2sin36°，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设OA＝2，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．【详解】设OA＝2，则AB，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣2，黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣2）＝2，图Ⅲ部分的面积为π﹣2．设整个图形的面积为S，则p1，p2，p3．∴p1＝p2＞p3，故选：D．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．二、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全对得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分）11.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A. 函数g（x）的图象关于点对称B. 函数g（x）的周期是C. 函数g（x）在上单调递增D. 函数g（x）在上最大值是1【答案】ABD【解析】【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】将函数f（x）＝2sin（x）﹣1的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）＝2sin（2x）﹣1的图象，由于当x时，f（x）＝﹣1，故函数g（x）的图象关于点（，1）对称，故A错误；函数g（x）的周期为π，故B错误；在（0，）上，2x∈（，），g（x）单调递增，故C正确；在（0，）上，2x∈（，），g（x）的最大值趋向于1，故D错误，故选：ABD．【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．12.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：498%则下列判断中正确的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．13.已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是：（）A. 线段A、B的中点的广义坐标为（）；B. A、B两点间的距离为；C. 向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；D. 向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0【答案】AC【解析】【分析】运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得．【详解】根据题意得，由中点坐标公式知A正确；只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；由向量平行的充要条件得C正确；与垂直的充要条件为x1x2+y1y2＝0，因此D不正确；故选：AC．【点睛】本题考查向量的坐标运算，共线向量的知识，向量垂直和平行的充要条件．三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应横线上）14.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = .【答案】13【解析】(解法1)由分层抽样得，解得n＝13.(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.15.若八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的方差是______【答案】5.5【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【详解】八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的平均数为：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴这组数据的方差为：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝5.5．故答案为：5.5．【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．16.已知圆C:，点M的坐标为(2，4)，过点N(4，0)作直线交圆C于A，B两点，则的最小值为________【答案】8【解析】【分析】先将所求化为M到AB中点的距离的最小值问题，再求得AB 中点的轨迹为圆，利用点M到圆心的距离减去半径求得结果.【详解】设A、B中点为Q，连接QC，则QC，所以Q的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为P（5，0），半径为1，又，即求点M到P的距离减去半径，又，所以，故答案为：8【点睛】本题考查了向量的加法运算，考查了求圆中弦中点轨迹的几何方法，考查了点点距公式，考查了分析解决问题的能力，属于中档题.17.正方形和内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设，若两正方形面积分别为=441，=440，则=______【答案】【解析】【分析】首先根据在正方形S1和S2内，S1＝441，S2＝440，分别求出两个正方形的边长，然后分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式，求出sin2α的值即可．【详解】因为S1＝441，S2＝440，所以FD21，MQ＝MN，因为AC＝AF+FC2121，AC＝AM+MC MNcosαcosα，所以：21cosα，整理，可得：（sinαcosα+1）＝21（sinα+cosα），两边平方，可得110sin22α﹣sin2α﹣1＝0，解得sin2α或sin2α（舍去），故sin2α．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的求值问题，考查了正方形、直角三角形的性质，属于中档题，解答此题的关键是分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式．四、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知.（1）若三点共线，求实数的值；（2）证明：对任意实数，恒有成立.【答案】(1)-3；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）由题意可得，结合三点共线的充分必要条件可得.（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得，则恒有成立.详解：（1），∵三点共线，∴，∴.（2），∴，∴恒有成立.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数，(1)求的值；(2)求的单调递增区间.【答案】（1）（2）【解析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，(1)将代入，利用特殊角的三角函数可得的值；(2)利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.详解：（Ⅰ）===（Ⅱ）由题可得，函数的单调递增区间是点睛：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的恒等变换，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.20.某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间进行一次社会实践活动，每个小组有5名同学，在活动结束后，学校团委会对该班的所有同学进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学得分（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组同学的平均分高一分．（1）若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率；（2）现从A、B两组学生中分别随机抽取1名同学，设其分数分别为m、n，求的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出A组学生的平均分可得B组学生的平均分，设被污损的分数为X，列方程得X，从而得到B组学生的分数，其中有3人分数超过86分，由此能求出B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率．（2）利用列举法写出在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．【详解】（1）A组学生的平均分为，所以B组学生的平均分为86分设被污损的分数为，则，解得所以B组学生的分数为91、93、83、88、75，其中有3人分数超过86分在B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率为.（2）A组学生的分数分别是94、80、86、88、77,B组学生的分数为91、93、83、88、75，在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的基本事件（m，n），有（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），（8691），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25个随机各抽取1名同学的分数满足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10个∴的概率为.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、茎叶图等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．21.一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）附注：①参考数据：=14.45，=27.31，=0.850，=1.042，=1.222．②参考公式：相关系数：r=．回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-【答案】（1）见解析；（2）①；②3.385万元．【解析】【分析】（1）由已知条件利用公式，求得的值，再与比较大小即可得结果；（2）根据所给的数据，做出变量的平均数，根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；将代入所求线性回归方程求出对应的的值即可.【详解】（1）由已知条件得：，这说明与正相关，且相关性很强．（2）①由已知求得，所以所求回归直线方程为．②当时，（万元），此时产品的总成本为3.385万元．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.22.已知函数（）在同一半周期内的图象过点，，，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点，为等腰直角三角形.（1）求的值；（2）将绕原点按逆时针方向旋转角，得到，若点恰好落在曲线（）上（如图所示），试判断点是否也落在曲线（）上，并说明理由.【答案】（1）2；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由已知利用周期公式可求最小正周期，由题意可求Q坐标为（4，0）．P坐标为（2，），结合△OPQ为等腰直角三角形，即可得解；（2）由（Ⅰ）知，，，可求点P′，Q′的坐标，由点在曲线，（x>0）上，利用倍角公式，诱导公式可求，又结合，，可求的值，由于，即可证明点Q′不落在曲线（）上.试题解析：（1）因为函数（）的最小正周期，所以函数的半周期为，所以，即有坐标为，又因为为函数图象的最高点，所以点的坐标为.又因为为等腰直角三角形，所以.（2）点不落在曲线（）上，理由如下：由（1）知，，所以点，的坐标分别为，.因为点在曲线（）上，所以，即，又，所以.又.所以点不落曲线（）上.23.在平面直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程;若不存在，请说明理由；（2）求证:过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）存在，（2）证明见解析，圆方程恒过定点或【解析】【分析】（1）将曲线Γ方程中的y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．利用韦达定理求出C，通过坐标化，求出m得到所求圆的方程．（2）设过A，B，C的圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可．【详解】由曲线Γ：y＝x2﹣mx+2m（m∈R），令y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．设A（x1，0），B（x2，0），则可得△＝m2﹣8m＞0，x1+x2＝m，x1x2＝2m．令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）．（1）若存在以AB为直径的圆过点C，则，得，即2m+4m2＝0，所以m＝0或．由△＞0，得m＜0或m＞8，所以，此时C（0，﹣1），AB的中点M（，0）即圆心，半径r＝|CM|故所求圆的方程为．（2）设过A，B，C的圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2满足代入P得展开得（﹣x﹣2y+2）m+x2+y2﹣y＝0当，即时方程恒成立，∴圆P方程恒过定点（0，1）或．【点睛】本题考查圆的方程的应用，圆系方程恒过定点的求法，考查转化思想以及计算能力．2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合诱导公式和特殊角的三角函数值整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合诱导公式可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m的值．【详解】向量，（m+1，﹣m），当⊥时，•0，即﹣（m+1）﹣2m＝0，解得m．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题．3.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A. 至少有一次中靶B. 只有一次中靶C. 两次都中靶D. 两次都不中靶【答案】C【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．详解：一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：C．点睛：本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．4.已知则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【详解】tan（α+β），tan（β），则tan（α）＝tan（（α+β）﹣（β））．故选：B．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式的应用，考查计算能力．5.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根据直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1＝0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【详解】∵直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1＝0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等关系，属于基础题．6.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点然后求出，即可求出函数解析式.【详解】由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以函数图象过所以，并且，的解析式是故选：A．【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，读懂图象是解题关键，并结合图象求出三角函数的解析式，本题是基础题．7.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（）A. 640B. 520C. 280D. 240【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数．【详解】初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.65．∴获得复赛资格的人数为：065×800＝520．故选：B．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，是基础题．8.若，，与的夹角为，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得||•||•cos，，再利用二倍角公式求得结果．【详解】由题意可得||•||•cos，故选：C．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，二倍角公式的应用属于基础题．9.黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，则＝（）A. B. 1 C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】根据已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式化简即可求值得解．【详解】∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，可得：4﹣a2＝4﹣4cos272°＝4sin272°，∴2sin72°，a2cos72°•2sin72°＝2sin144°＝2sin36°，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式、诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设OA＝2，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．【详解】设OA＝2，则AB，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣2，黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣2）＝2，图Ⅲ部分的面积为π﹣2．设整个图形的面积为S，则p1，p2，p3．∴p1＝p2＞p3，故选：D．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．二、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全对得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分）11.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数g （x）的图象，则下列说法不正确的是（）A. 函数g（x）的图象关于点对称B. 函数g（x）的周期是C. 函数g（x）在上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】将函数f（x）＝2sin（x）﹣1的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）＝2sin（2x）﹣1的图象，由于当x时，f（x）＝﹣1，故函数g（x）的图象关于点（，1）对称，故A错误；函数g（x）的周期为π，故B错误；在（0，）上，2x∈（，），g（x）单调递增，故C正确；在（0，）上，2x∈（，），g（x）的最大值趋向于1，故D错误，故选：ABD．【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．12.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：498%则下列判断中正确的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．【详解】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确．故选：ACD．【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题．13.已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，则称有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题正确的是：（）A. 线段A、B的中点的广义坐标为（）；B. A、B两点间的距离为；C. 向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；D. 向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0【答案】AC【解析】【分析】运用向量的坐标，共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的距离公式可得．【详解】根据题意得，由中点坐标公式知A正确；只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试测试试题(含解析)
2018-2019学年高一数学下学期期末考试测试试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、考试科目、班级和考生号等信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡答卷交给监考老师。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中，只有一项符合要求）1.直线的倾斜角的大小为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由直线方程可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选．2.下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ①②【答案】B【解析】试题分析：：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．考点：变量间的相关关系3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 400，40B. 200，10C. 400，80D. 200，20【答案】A【解析】【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.【点睛】该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知识的灵活应用，属于简单题目.4.直线与直线平行，则=（）A. B. C. －7 D. 5【答案】D【解析】【分析】由两直线平行的条件计算．【详解】由题意，解得．故选D．【点睛】本题考查两直线平行的条件，直线与平行的条件是：在均不为零时，，若中有0，则条件可表示为．5.若圆和圆相切，则等于( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得的值并验证即可得结果.【详解】圆的圆心，半径为5；圆的圆心，半径为r.若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题. 两圆半径为，两圆心间的距离为，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.6.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得，解得（舍去），选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！7.中，角所对的边分别为，若，则为( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求.【详解】∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，∴sinA＞0．∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0 又sinA＞0∴cosB＜0 即B为钝角故选：B．8.甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小．【详解】由茎叶图可看出甲的平均数是，乙的平均数是，两组数据的平均数相等．甲的方差是乙的方差是甲的标准差小于乙的标准差，故选：B．【点睛】本题考查两组数据平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．9.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( )A. 若,则B. 若,则C. 若则D. 若,则【答案】C【解析】试题分析：对于平面、、和直线、,真命题是“若，，，则”.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.10.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是( )A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm【答案】C【解析】【分析】设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可．【详解】设球半径为，则由，可得，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题．11.已知PA，PB是圆C:的两条切线(A，B是切点)，其中P是直线上的动点，那么四边形PACB的面积的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】配方得圆心坐标，圆的半径为1，由切线性质知，而的最小值为C点到的距离，由此可得结论．【详解】由题意圆的标准方程为，∴圆心为，半径为．又，到直线的距离为，∴．故选C．【点睛】本题考查圆切线的性质，考查面积的最小值，解题关键是把四边形面积用表示出来，而的最小值为圆心到直线的距离，从而易得解．12.我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，，，当堑堵的外接球的体积为时，则阳马体积的最大值为A. 2B. 4C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知求出三棱柱外接球的半径，得到，进一步求得AB，再由棱锥体积公式结合基本不等式求最值．【详解】解：堑堵的外接球的体积为，其外接球的半径，即，又，．则．．即阳马体积的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查多面体的体积、均值定理等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______．【答案】0.75【解析】【分析】根据随机模拟的方法，先找到20组数据中至少含有2,3,4,5,6,7,8,9中的3个数字的组数，然后根据古典概型求出概率．【详解】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次击中3次的有：7527,0293,9857,0347,4373,8636,6947,4698,6233,2616,8045 ,3661,9597,7424,4281，共15组随机数，所以所求概率为.【点睛】本题考查随机模拟的应用，考查理解能力和运用能力，解题时读懂题意是解题的关键，然后在此基础上确定基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式求解．14.若某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是__________．【答案】【解析】【分析】由轴截面面积求得轴截面边长，从而得圆锥的底面半径和母线长．【详解】设轴截面等边三角形边长为，则，，∴．故答案为．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题基础．15.已知直线与圆相交于A、B两点，则∠AOB大小为________．【答案】60°【解析】【分析】由垂径定理求得相交弦长，然后在等腰三角形中求解．【详解】圆心到直线的距离为，圆心半径为，∴，∴为等边三角形，．【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一般用垂径定理求解，即求出弦心距，则有．16.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________．【答案】45°【解析】【分析】先确定直线PA与平面ABCD所成的角，然后作两异面直线PA和BE所成的角，最后求解．【详解】∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴就是直线PA 与平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等边三角形，AC＝PA＝2，设BD与AC交于点O，连接OE，则OE是的中位线，即，且，∴是异面直线PA与BE所成的角，正四棱锥P－ABCD中易证平面PAC，∴，中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．∴异面直线PA与BE所成的角是45°．故答案为45°．【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查正四棱锥的性质．要注意在求空间角时，必须作出其“平面角”并证明，然后再计算．三、解答题：17.已知的三个顶点为，为的中点.求：(1)所在直线的方程；(2)边上中线所在直线的方程；(3)边上的垂直平分线的方程．【答案】（1）x+2y-4=0．（2）2x-3y+6=0．（3）y=2x+2．【解析】试题分析：（1）直线方程的两点式求出所在直线的方程；（2）先求BC的中点D坐标为（0,2），由直线方程的截距式求出AD所在直线方程；（3）求出直线)BC的斜率，由两直线垂直的条件求出直线DE的斜率，再由截距式求出DE的方程。
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商洛市2018～2019学年度第二学期期末教学质量检测
高一数学试卷
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分，考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：北师大版必修3，必修4。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.360°化为弧度是 A.
2
π
B.π
C.32π
D.2π
2.现有60瓶矿泉水，编号从1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为
A.3，13，23，33，43，53
B.2，14，26，38，42，56
C.5，8，31，36，48，54
D.5，10，15，20，25，30 3.sin300°的值为
B.-
C.12-
D.1
2
4.已知向量a ＝(2，0)，b ＝1，a ∙b ＝－1，则a 与b 的夹角为 A.
6π B.4π C.3
π
D.23π
5.如图，在一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙形图案的面积约为
A.5.6
B.3.56
C.1.4
D.0.35 6.已知α是第三象限的角，若1
tan 2
α=
，则cos α＝
A.5-
B.5
C.5
D.5
- 7.已知2()sin(
)36
f x x ππ
=+，x N ∈，则f(x)的值域为 A.11{,}22- B.11{,,1}22-- C.1{,1}2- D.1{,1}2
8.如图，在△ABC 中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b 表示AD ，正确的是
A.1144AD a b =
+ B.5144AD a b =+ C.3144AD a b =+ D.51
44
AD a b =- 9.已知7cos(2)625πα-=-，02πα<<，则cos()12
π
α-=
A.35-
B.35
C.45
D.45
-
10.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图。
又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为
A.2800
B.3000
C.3200
D.3400 11.某程序框图如图所示，若输出的S ＝26，则判断框内应填
A.k>3？
B.k>4？
C.k>5？
D.k>6？
12.已知2
cos
)2
2
2a sin
α
α
=-
，(cos ,)2
b m α=，若对任意的[11]m ∈-， ，1
2a b ⋅>
恒成立，则角α的取值范围是 A.713(2,2)()1212k k k Z ππππ++∈ B.57(2,2)()1212k k k Z ππ
ππ++∈
C.5(2,2)()1212k k k Z ππππ-+∈
D.7(2,2)()1212k k k Z ππ
ππ-+∈
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中的横线上。
13.若数据2，3，5，7，x ，10的平均数为6，则x ＝ ▲ 。
14.已知函数2
()(4)cos f x x x x =-，[,]22
x ππ
∈-
，该函数零点的个数为 ▲ 。
15.已知向量a ，b 满足a ＝(m ，m+1)，b ＝(3，－4)且a 在b 方向上的投影是－1，则实数m ＝ ▲ 。
16.已知函数()5sin(2)()4
f x x x R π
=-∈，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，
只需将()f x 的图象向左平移
4
π
个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线38x π=对称；
③()y f x =在[,]ππ-内的单调递减区间为37[
,]88ππ；④5()8
y f x π
=+为奇函数。
则上述说法正确的是 ▲ (填入所有正确说法的序号)。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知53
sin()cos()cos(3)
22()3
cos()sin()
22
f θππθθπθπθπθ+-+=----
(1)化简()f θ； (2)若3sin 5θ=，且[,]2
π
θπ∈，求()f θ的值。
18.(12分)
已知(11)OA
＝，，(31)OB ＝，-，OC =(a,b)。
(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系； (2)若2AC AB =，求点C 的坐标。
19.(12分)
假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y(万元)有如下表的统计资料。
(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系。
(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+的回归系数ˆˆ,a b ； (3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
（参考公式及相关数据：1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，21
90n i i x ==∑，1
112.3n
i i
i x y ==∑。
）
20.(12分)
某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示(试卷满分为100分)。
(1)试计算这12份成绩的中位数；
(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平，哪个班更稳定一些？ 21.(12分)
为了了解当下高二男生的身高状况，某地区对高二年级男生的身高(单位：cm)进行了抽样调查，得到的频率分布直方图如图所示，已知身高在(185，190]之间的男生人数比身高在(150，155]之间的人数少1人。
(1)若身高在(160，175]以内的定义为身高正常，而该地区共有高二男生18000人，则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人？
(2)从所抽取的样本中身高在(150，155]和(185，190]的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响，则所选出的2人中至少有一人身高大于185cm 的概率是多少？ 22.(12分)
已知1a ≥，函数()sin()4
f x x π
=+
，()sin cos 1()g x x x x =--。
(1)若()f x 在[,]b b -上单调递增，求正数b 的最大值； (2)若函数()g x 在3[0,]4
π
内恰有一个零点，求a 的取值范围。