微分中值定理
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用
微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表述了连续函数在某些情况下一定存在某一点的导数等于函数在另外一点的斜率。
常见的微分中值定理包括：
1. 罗尔定理：如果连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上满足$f(a) = f(b)$，并且在$(a,b)$内可导，那么存在一个$c \\in (a,b)$，使得$f'(c) = 0$。
2. 拉格朗日中值定理：如果连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，那么存在一个$c \\in (a,b)$，使得$\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$。
3. 柯西中值定理：如果连续函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上可导，并且$g'(x) \
eq 0$，那么存在一个$c \\in (a,b)$，使得$\\frac{f(b)-
f(a)}{g(b)-g(a)} = \\frac{f'(c)}{g'(c)}$。
微分中值定理的应用非常广泛，它可以用于证明其他定理、求解极值问题、证明函数的单调性、确定函数的凸凹性等。
比如，可以用拉格朗日中值定理证明介值定理，用柯西中值定理证明洛必达法则，用罗尔定理证明泰勒定理。
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
微分中值定理(2024版)
由 的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式 证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证 设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()
微分中值定理
证 x1, x2 [a,b]，且 x1 x2
则 y f (x)在 x1, x2 上连续，在( x1, x2 )内可导，
由拉格朗日中值定理的条件，
至少存在一个 ( x1, x2 )
使 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( )( x1 x2 ) f ( ) 0. f (x1) f (x2) 0
件 f (a) f (b).
F(x) 0
结 论
f ( ) 0
f ( ) f (b) f (a)
ba
f ( ) f (b) f (a) . F( ) F(b) F(a)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
21
2.三个中值定理之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F(x) x Cauchy
(a
x
b)
则曲线上点(X，Y )
(F(a), f (a))A o F(a)
F ( )
D
X F (b)
处的切线的斜率为：dY f ( x) ， dX F ( x)
而弦 AB的斜率为 f (b) f (a) ，假定点C 对应于 F(b) F(a)
参数x ， 那么点C 处的切线平行于弦AB，
则有 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0, 使 f (x1) 0.
f (x) 在 x0, x1之间满足罗尔定理的条件
则至少存在一个 （在x0, x1 之间）使得 f () 0.
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
本文将介绍微分中值定理的概念、原理以及应用，并探讨其在实际问题中的价值。
一、概念微分中值定理是指对于连续函数f(x)在[a,b]区间及(a,b)内可导，存在一点c使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。
这里的c表示在(a,b)内的某一点。
二、原理微分中值定理基于导数的性质推导而来。
根据导数的定义，当函数在某一点可导时，其导数可以表示为函数在该点的切线的斜率。
利用这一性质，微分中值定理表明，对于某个区间上的连续函数，存在一点使得切线的斜率等于函数在该区间上的平均斜率。
三、应用微分中值定理有许多应用场景。
以下是其中几个常见的应用：1. 判断函数的增减性：根据微分中值定理，当函数在某个区间上的导数恒为正时，可以判断函数在该区间上是单调递增的；当导数恒为负时，则函数为单调递减的。
2. 寻找函数极值点：使用微分中值定理可以找到函数在某个区间内的极值点。
根据定理，当导数为零时，存在某个点使得函数的增量等于零，即函数在该点上取得极小值或极大值。
3. 证明数学定理：微分中值定理是许多重要数学定理的基础。
比如拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，都是基于微分中值定理推导而来的。
4. 解决实际问题：微分中值定理可以应用于实际问题的解决。
例如，用微分中值定理可以证明某一时刻速度为零的时候必然存在于加速度为零的时刻，或者在一段时间内至少存在过某一特定速度等。
总结：微分中值定理是微积分中非常重要的定理，它描述了函数在某个区间上的局部性质。
通过对它的研究与应用，我们可以判断函数的增减性，找到函数的极值点，证明数学定理以及解决实际问题。
它在数学和实际问题的研究中发挥了重要的作用。
注：为满足字数要求，本文对微分中值定理的概念、原理和应用进行了展开解释，并适当增加了相关实例和讨论。
希望对您有所帮助。
第四章微分中值定理
第四章微分中值定理4.1 微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。
一、罗尔定理我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。
定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：（1）在闭区间[a、b]上连续；（2）在开区间（a、b）内可导；（3）f（a）=f（b）,则至少存在一点罗尔定理也有十分明显的几何意义，设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（a≤x≤b），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A 和B的纵坐标相同。
定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线的切线是水平的，即罗尔定理的几何意义是：当曲线弧在[a、b]上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。
例1 在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（）[答疑编号10040101：针对该题提问]解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间[-1，1]上不满足罗尔定理的条件。
三大微分中值定理的关系
三大微分中值定理的关系
微分中值定理是微积分中的基础理论之一，它是研究函数在某个区间内的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
其中，三大微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和洛必达中值定理。
这三大微分中值定理都是基于连续函数和可导函数的前提条件
下得出的。
其中，拉格朗日中值定理是指如果函数f在区间[a,b]上
连续，在(a,b)上可导，则存在x∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)。
柯西中值定理是指如果函数f和g在区间[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且g'(x)≠0，则存在x∈(a,b)，使得
[f(b)-f(a)]g'(x)=[g(b)-g(a)]f'(x)。
洛必达中值定理是指如果函
数f(x)和g(x)在x→a的过程中都趋于0或∞，且在a的某个去心邻域内f'(x)/g'(x)存在或趋于∞或-∞，则f(x)/g(x)在x→a的过程
中也趋于这个极限值。
这三个微分中值定理之间存在一定的关系。
在某些条件下，它们可以相互推导和应用。
例如，在证明极限存在时，可以用洛必达中值定理将分子和分母同时求导，然后运用拉格朗日中值定理得到极限存在的结论。
在证明某些不等式时，也可以运用柯西中值定理将函数f 和g进行组合，然后利用拉格朗日中值定理推导出不等式的形式。
总之，三大微分中值定理是微积分中重要的理论基础，它们之间的关系也体现了微积分中不同理论的联系和互补性。
- 1 -。
微分中值定理公式
微分中值定理公式
微分中值定理：
1、定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其在该区间上具有一阶导数，那么，存在一个c属于[a,b]，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2、应用：
（1）求解函数f(x)在闭区间[a,b]中的最值。
（2）确定区间上函数的局部极大值和极小值，以及单调区间。
（3）确定函数凹凸变化，如果有拐点，则根据导数解一元二次不等式获取。
（4）计算凸函数f(x)的极限值，如极限存在的话，就用微分中值定理来确定它。
3、几何意义：围绕着函数曲线c，有两个相交面积相等，其一个为上和下凸函数组成的不规则四边形的面积，而另一个则为分别以端点a，b为对角的矩形的面积之和：S=(f(a)+f(b))(b-a)
4、优势：
（1）微分中值定理是由微积分中基础概念构成；
（2）它是通过计算数学原理而不是函数曲线平移，形变等操作来确定突变点；
（3）它是通过极值解决拐点计算的有力工具；
（4）它可以用来计算凸函数极限值，是一种快捷有效的方法。
微分中值定理
22此sin x在[ 3 π, π]上满足罗
2
2
22
尔定理.应选C.
对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可 导，因此应排除Ｄ.
综合之，本例应单选Ｃ.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，
弦线的方程为 y f (a) f (b) f (a) (x a) . ba
作辅助函数
(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
ba
即可. ( x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线
弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
第一节 微分中值定理
一、引理 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理
一、引理
引理 设f(x)在 x0 处可导,且在 x0 的某邻域内恒有 f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )), 则有 f (x0 ) 0 . 证 若对x0的某邻域内的任何x,恒有f(x)≤f(x0).
还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必 要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定 理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
例如 f (x) (x 1)2 在[0,3]上不满足罗尔定理的条
件( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3) ，使 f (1) 0 .
三、拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
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2. 函数f (x) sin x在区间－ , 上满足罗尔定理，则罗尔定理结
论中的 ＝ _________。
3. 函数 f (x) x 3在区间 [0,1] 上满足拉格朗日中值定理，则拉格朗
日中值定理结论中的＝ ______。
4. 函数 f (x) ln x在区间 [1,e] 上满足拉格朗日中值定理，则拉格
f (x) g(x) C
4.1 微分中值定理
经济数学 4.1.3 拉格朗日中值定理推论
(2) 推论2
思考： 设函数f(x)、g(x)在区间（a，b）内可导且有 f (x) g(x)
则f(x)与g(x)之间有何关系？
?
推论4.2
若在区间（a，b）内恒有 f (x) g(x)，则在区间（a，b）内有
一个常数，即
f (x) C
4.1 微分中值定理
经济数学 4.1.3 拉格朗日中值定理推论
(2) 推论2
思考： 设函数f(x)、g(x)在区间（a，b）内可导且有 f (x) g(x4.2
若在区间（a，b）内恒有 f (x) g(x)，则在区间（a，b）内有
则在区间(a, b)内至少存在一点 , 使得 f (b) f (a) f ( )
ba
4.1 微分中值定理
经济数学
4.1.2 拉格朗日中值定理
(4) 举例
例２
问函数 f (x) = x3 – 3x 在 [0, 2] 满足拉格朗日定理的条件吗？
如果满足请写出其结论.
解：显然 f(x)在[0,2]上连续；在(0,2)内可导；定理条件满足。且 f (x) = 3x2 – 3，
经济数学
4.1.1 罗尔定理 (1) 几何意义
一条闭区间[a,b]上的连续曲线，在相应的开区间 （a,b）内光滑，并且区间端点的函数值相等，那么，区 间内是否存在这样点呢，使得过这点的切线水平？
?
4.1 微分中值定理
经济数学
4.1.1 罗尔定理 (1) 几何意义
结论：一条闭区间上的连续曲线y=f(x),如果连续曲线除端 点外处处都具有不垂直于 x 轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，
所以有以下等式：
f (2) f (0) f ( ).
20
由于 f (2) = 2，f (0) = 0， f () = 3 2 – 3，将这些值代入，可解
得 2 ，显然 2 是在开区间 (0, 2)内的，为所求结论.
3
3
4.1 微分中值定理
经济数学 课堂练习
1. 函数 y x 2 x在区间 [0,1] 上满足罗尔定理，则罗尔定理结
结论：如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直于 x 轴的切线， 那么该曲线上至少有这样一点
存在，在该点处曲线的切线平 y
行于联结两端点的直线(如图
B
所示).
C1
C2
A
o a Q1
Q2 b
x
4.1 微分中值定理
经济数学 4.1.2 拉格朗日中值定理
(3) 拉格朗日中值定理
定理4.2
如果函数 f (x)满足下列条件： （1）在闭区间 [a, b] 上连续； （2）在开区间 (a, b) 内可导；
4.1 微分中值定理
经济数学 4.1.2 拉格朗日中值定理 (1) 引子
思考： 当罗尔定理的条件(1)、(2)成立，而条件(3)不成立
时，即闭区间[a,b]上连续，相应的开区间(a,b)光滑，其图
形会有什么现象？是否还会存在某点，使得其切线与端点的
连线平行呢？
?
4.1 微分中值定理
经济数学
4.1.2 拉格朗日中值定理 (2) 几何意义
f (x) g(x) C
4.1 微分中值定理
经济数学
4.1.2 拉格朗日中值定理推论
(3) 举例
+例3
证明 arcsin x arccos x , x [1, 1] 2
证明： 由于 (arcsin x arccos x) 1 1 0 由推论1可知 1 x2 1 x2
arcsin x arccos x C, x (1, 1)
上连续；
又因为 f (x) 3x2 6x，所以 f (x)在 (3, 0)内可导；而 f (3) f (0)
所以满足定理的条件。且
f (x) = 3x2 +6x，
所以有以下等式：
f () 32 6 0.
解得 0， 2 . 因为 0不在开区间 (-3, 0)内.故舍去.
所以，取 2 ，使得 f () 0.
取x=0，则 C arcsin0 arccos0 0
即 arcsin x arccos x ,
2 x (1, 1)
2
又当
x
1
2
时，arcsin(1)
arccos(1)
综上所述可得 arcsin x arccos x ,
2 x [1, 1]
2
4.1 微分中值定理
朗日中值定理结论中的＝ ______。
1 答案：1. 2
2. 2
3
3.
3
4. e-1
4.1 微分中值定理
经济数学 4.1.3 拉格朗日中值定理推论
(1) 推论1
思考：常数函数的导数为零，在某个开区间内导数恒为零的 函数一定是常数函数吗？
?
推论4.1
如果函数 f (x)在(a, b)上导数恒为零，则 f (x)在区间(a, b)上是
那么其上至少有一条平行于 Ox 轴的切线(如图所示).
y
C1
A
B
C2
o
a Q1
Q2 b x
4.1 微分中值定理
经济数学 4.1.1 罗尔定理
(2) 罗尔定理
定理4.1
如果函数 f (x) 满足下列条件： ⑴ 在闭区间 [a, b] 上连续； ⑵ 在开区间 (a, b) 内可导； ⑶ f (a) f (b) ；
则在区间(a, b)内至少存在一点 ,使得 f ( ) 0
经济数学
4.1.1 罗尔定理
(3) 举例
例１
验证罗尔中值定理对函数 f (x) x3 3x2 ，在区间 [3, 0]
上的正确性。并求出罗尔定理结论中的 。
解：因为 f (x) x3 3x2 是初 等函数，所以f (x) [3,在0]