【全国百强校】高考总复习精品课件17同角三角函数的基本关系
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同角三角函数的基本关系课件
重要性
积化和差公式是和差角公式的推广，它反映了三角函数之间更为复杂的相互关系，对于后续公式的推导有重要的 作用。
和差化积公式
定义
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)
诱导公式是一组基本的三角函数 关系式，可以通过对角度的变换 来简化求值。
和差角公式可以将两个角度的三 角函数值转化为一个角度的三角 函数值，从而简化计算。
三角函数的化简技巧
消去分母
对于分式形式的三角函数表达式，可以通过乘以分母的余 数来消去分母，从而将表达式转化为整式。
01
提取公因数
对于多个项相乘的表达式，可以寻找公 因数并提取出来，使表达式更加简洁。
在物理学中的应用
波动和振动
同角三角函数在波动和振动 的分析中有着广泛的应用， 例如简谐振动可以用同角三
角函数来描述。
电磁学
在电磁学中，同角三角函数 被广泛应用于电场和磁场的 研究，例如在计算电磁波的 传播方向和极化状态时常常
会用到同角三角函数。
量子力学
在量子力学中，波函数的模 平方等于粒子在某个特定位 置的概率密度，而波函数的 解析需要用到同角三角函数 。
在工程学中的应用
01
信号处理
在信号处理领域，同角三角函数被广泛应用于信号的调制 和解调，例如在模拟通信系统中常常会用到同角三角函数 进行调制。
02
声学
在建筑声学中，同角三角函数被用于计算房间的声学特性 ，例如混响时间和频率响应等。
03
地球物理学
在地球物理学中，同角三角函数被用于计算地球磁场和地 震波的传播方向等。
积化和差公式是和差角公式的推广，它反映了三角函数之间更为复杂的相互关系，对于后续公式的推导有重要的 作用。
和差化积公式
定义
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)
诱导公式是一组基本的三角函数 关系式，可以通过对角度的变换 来简化求值。
和差角公式可以将两个角度的三 角函数值转化为一个角度的三角 函数值，从而简化计算。
三角函数的化简技巧
消去分母
对于分式形式的三角函数表达式，可以通过乘以分母的余 数来消去分母，从而将表达式转化为整式。
01
提取公因数
对于多个项相乘的表达式，可以寻找公 因数并提取出来，使表达式更加简洁。
在物理学中的应用
波动和振动
同角三角函数在波动和振动 的分析中有着广泛的应用， 例如简谐振动可以用同角三
角函数来描述。
电磁学
在电磁学中，同角三角函数 被广泛应用于电场和磁场的 研究，例如在计算电磁波的 传播方向和极化状态时常常
会用到同角三角函数。
量子力学
在量子力学中，波函数的模 平方等于粒子在某个特定位 置的概率密度，而波函数的 解析需要用到同角三角函数 。
在工程学中的应用
01
信号处理
在信号处理领域，同角三角函数被广泛应用于信号的调制 和解调，例如在模拟通信系统中常常会用到同角三角函数 进行调制。
02
声学
在建筑声学中，同角三角函数被用于计算房间的声学特性 ，例如混响时间和频率响应等。
03
地球物理学
在地球物理学中，同角三角函数被用于计算地球磁场和地 震波的传播方向等。
2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
【例3】 （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos
论正确的是（
A.
π
θ∈（ ，π）
2
C. tan
3
θ＝－
4
）
B. cos
3
θ＝－
5
D. sin θ－ cos
7
θ＝－
＋2＝
＋2＝
＋2
1
2
2
2
2
+1
si ＋
（2） +1
si2
13
＝ .
5
2
诱导公式的应用
【例4】 （1）已知α为锐角，且 cos
3π
）＝（
4
A.
1
－
2
C. －
3
2
）
1
B.
2
D.
3
2
π
1
（α＋ ）＝－ ，则
4
2
cos （α＋
π
π
3π
解析：由α为锐角得 ＜α＋ ＜ ，所以
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋ cos α， sin α cos α，
sin α－ cos α这三个式子，利用（ sin α±cos α）2＝1±2 sin α cos α，
可以知一求二.
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
5
A.
6
17
B.
18
8
C.
9
2
D.
3
同角三角函数基本关系 课件
1-si n 2
|1-sin |
|1+sin |
=
+
|cos |
|cos |
1-sin +1+sin
=
-cos
=-
2
cos
.
探究三证明三角恒等式
【例 4】 求证:
sin
1-cos
=
1+cos
sin
分析:思路一:平方关系
.
平方差公式展开→作商→结论
思路二:作差:左-右
4si n-3cos
6cos +2sin
化弦为切.
解:(1)∵tan θ=2,∴
sin
cos
=2.①
又 sin2θ+cos2θ=1,②
∴由①②解得
sin =
2 5
5
5
cos =
2 5
∵cos θ<0,∴sin θ=(2)方法一:
5
4sin -3cos
6cos +2sin
(1)sin2α+cos2α=1的变形公式:
sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α;
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
(2)tan α= sin 的变形公式:
cos
sin α=tan αcos α;cos α=
sin
si n 2 -si n 2
(1-cos )·
sin
(1-cos )·
sin
sin
1+cos
∴1-cos =
|1-sin |
|1+sin |
=
+
|cos |
|cos |
1-sin +1+sin
=
-cos
=-
2
cos
.
探究三证明三角恒等式
【例 4】 求证:
sin
1-cos
=
1+cos
sin
分析:思路一:平方关系
.
平方差公式展开→作商→结论
思路二:作差:左-右
4si n-3cos
6cos +2sin
化弦为切.
解:(1)∵tan θ=2,∴
sin
cos
=2.①
又 sin2θ+cos2θ=1,②
∴由①②解得
sin =
2 5
5
5
cos =
2 5
∵cos θ<0,∴sin θ=(2)方法一:
5
4sin -3cos
6cos +2sin
(1)sin2α+cos2α=1的变形公式:
sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α;
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
(2)tan α= sin 的变形公式:
cos
sin α=tan αcos α;cos α=
sin
si n 2 -si n 2
(1-cos )·
sin
(1-cos )·
sin
sin
1+cos
∴1-cos =
同角三角函数的基本关系课件
正弦函数和余切函数是互为倒数的。
2
互为倒数
余弦函数和正切函数是互为倒数的。
正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函 数的图像及性质
正弦函数
正弦函数的图像是一条连续的波浪线。它的性质包 括周期性、对称性和取值范围在-1到1之间。
余弦函数
余弦函数的图像是一条连续的波浪线。它的性质也 包括周期性、对称性和取值范围在-1到1之间。
三角函数和平面几何
同角三角函数与平面图形相互联系，通过它们可以推导出诸如正多边形面积、三角形面积等几何问题。
三角函数和三角方程
同角三角函数可以用于求解涉及角度的各类方程，包括线性、二次和三角方程。
三角函数的简单应用题
通过解答一些简单的应用题，我们可以加深对同角三角函数的理解和应用。
怎样掌握好同角三角函数的基 本关系
掌握同角三角函数的基本关系需要多做练习，理解其定义、图像和性质，灵 活运用三角恒等式和诱导公式。数，而正切函数和余切函数都是奇函数。
三角函数的单调性和最值
正弦函数和余弦函数在一定区间内是周期性增减的，而正切函数和余切函数 在某些区间内都是单调增或单调减的。
三角函数的极值和拐点
正弦函数和余弦函数存在极值点和拐点，而正切函数和余切函数没有极值点。
三角函数的定义及各种符号
正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)，它们分别代表 着角度和三角比例之间的关系。
弧度制和角度制的转换
角度可以通过弧度来表示，1弧度等于180/π度。弧度制和角度制之间的转换可以通过简单的乘除运算完成。
同角三角函数间的基本关系
1
互为倒数
相关角的概念及与同角三角函数的关系
相关角是指在平面几何中具有特定关系的两个角。同角三角函数可以用于描述相关角之间的关系。
高考数学(理)总复习课件：同角三角函数的基本关系与诱导公式
D. 1＋k2
[解析] 由cos α＝k，k∈R，α∈ π2，π ，可知k＜0，设
角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以 k2＋y2＝1，得
y＝ 1－k2，由三角函数定义可知sin α＝ 1－k2.
返回
1 (2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝___4_4_2___. [解析] 因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝ cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋ sin246°＝1，而sin245°＝12，故原式＝44＋12＝4412.
返回
考点二 诱导公式的应用[师生共研过关]
返回
[典例精析]
(1)设f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋cos32π＋α－sin2π2＋α
(1＋2sin
α≠0)，则f－236π＝____3____.
[解析] 因为f(α)＝
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1. (3)若α∈R，则tan α＝csions αα恒成立． (4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (5)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝
sin2α＋sin αcos α sin2α＋cos2α
＋2＝
tan2α＋tan tan2α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
考法(三) “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用 返回
同角三角函数的基本关系 课件
[类题尝试] 已知ccooss42AB＋ssiinn42AB＝1， 求证：ccooss42BA＋ssiinn42BA＝1. 证明：设 sin2A＝m(0＜m＜1)，sin2B＝n(0＜n＜1)， 则 cos2A＝1－m，cos2B＝1－n. 由ccooss42AB＋ssiinn42AB＝1，得（11－－mn）2＋mn2＝1，即(m －n)2＝0. 所以 m＝n， 所以ccooss42BA＋ssiinn42BA＝（11－－nm）2＋nm2＝1－n＋n＝1.
值．
2．整体代入求值．
如果三角函数式能化为关于“sin α”与“cos α” 的齐次式，可除以 cos α或“cos2α”转化为切函数求值．
3．一般地，知 sin α±cos α，sin α·cos α三式中
一式的值，便可求另外两式的值．其关键在于运用方程思
想及(sin α±cos α)2＝1±2sinα cos α的等价转化，分
(2)解：因为α为第三象限的角， 所以－1<sin α<0，－1<cos α<0，1＋sin α>0，1 －sin α>0.
1＋sin α
1－sin α
则
－
＝
1－sin α
1＋sin α
（1＋sin α）2
－
（1－sin α）（1＋sin α）
（1－sin α）2
＝
（1－sin α）（1＋sin α）
（1＋sin α）－（1－sin α） 2sin α
＝
＝
|cos α|
－cos α
－2tan α.
归纳升华 1．化简三角函数式的一般要求： (1)函数种类最少，项数最少，次数最低； (2)尽量使分母不含三角函数式，根号内的三角函数 式尽量开出来； (3)能求值的把值求出来．
同角三角函数基本关系式课件
电磁学
在电磁学中，同角三角函数基本关系式用于描述电流、电压、磁场和电场之间的 关系。例如，利用三角函数计算交流电的有效值和相位差。
波动和振动
在波动和振动的研究中，同角三角函数基本关系式用于描述波动和振动的规律。 例如，利用三角函数描述简谐振动的运动轨迹和波动传播的方向。
PART 04
同角三角函数基本关系式 的扩展
REPORTING
WENKU DESIGN
三角恒等式
三角恒等式是数学中常用的公式之一，它描述了三角函数之 间的一些恒等关系。这些恒等式在解决三角函数问题时非常 有用，可以帮助我们简化复杂的表达式。
常用的三角恒等式包括：sin^2(x) + cos^2(x) = 1、1 + tan^2(x) = sec^2(x)、1 + cot^2(x) = csc^2(x)等。这些恒 等式可以通过三角函数的定义和性质推导得到。
振幅与相位
振幅与相位总结
同角三角函数的基本关系式还具 有振幅和相位的变化。
振幅与相位描述
振幅是函数图像离开x轴的距离， 而相位是函数图像相对于x轴的偏 移量。这些属性可以影响函数的形 状和大小。
振幅与相位意义
振幅和相位在解决三角函数问题时 非常重要，因为它们可以改变函数 的值，从而影响物理现象和数学运 算的结果。
解决三角函数问题
同角三角函数基本关系式是解决三角函数问题的基础，可 以用于求解三角函数的值、化简表达式、证明恒等式等。
三角恒等变换
同角三角函数基本关系式是三角恒等变换的基础，可以用 于将一个复杂的三角函数表达式化简为简单的形式，或者 将一个表达式转换为另一个表达式的形式。
三角函数图像变换
同角三角函数基本关系式可以用于研究三角函数的图像变 换，例如平移、伸缩、对称变换等。
在电磁学中，同角三角函数基本关系式用于描述电流、电压、磁场和电场之间的 关系。例如，利用三角函数计算交流电的有效值和相位差。
波动和振动
在波动和振动的研究中，同角三角函数基本关系式用于描述波动和振动的规律。 例如，利用三角函数描述简谐振动的运动轨迹和波动传播的方向。
PART 04
同角三角函数基本关系式 的扩展
REPORTING
WENKU DESIGN
三角恒等式
三角恒等式是数学中常用的公式之一，它描述了三角函数之 间的一些恒等关系。这些恒等式在解决三角函数问题时非常 有用，可以帮助我们简化复杂的表达式。
常用的三角恒等式包括：sin^2(x) + cos^2(x) = 1、1 + tan^2(x) = sec^2(x)、1 + cot^2(x) = csc^2(x)等。这些恒 等式可以通过三角函数的定义和性质推导得到。
振幅与相位
振幅与相位总结
同角三角函数的基本关系式还具 有振幅和相位的变化。
振幅与相位描述
振幅是函数图像离开x轴的距离， 而相位是函数图像相对于x轴的偏 移量。这些属性可以影响函数的形 状和大小。
振幅与相位意义
振幅和相位在解决三角函数问题时 非常重要，因为它们可以改变函数 的值，从而影响物理现象和数学运 算的结果。
解决三角函数问题
同角三角函数基本关系式是解决三角函数问题的基础，可 以用于求解三角函数的值、化简表达式、证明恒等式等。
三角恒等变换
同角三角函数基本关系式是三角恒等变换的基础，可以用 于将一个复杂的三角函数表达式化简为简单的形式，或者 将一个表达式转换为另一个表达式的形式。
三角函数图像变换
同角三角函数基本关系式可以用于研究三角函数的图像变 换，例如平移、伸缩、对称变换等。
《同角三角函数的基本关系》三角函数PPT课件
解：因为 < 0, ≠ −1，所以是第三象限角或第四象限角.
3
5
由2 �� + 2 = 1得： 2 = 1 − 2 = 1 − (− )2 =
如果是第三象限角，那么 < 0.于是 = −
从而 =
3
5
5
4
=
4
− ，
5
= (− ) × (− ) = .
如果是第四象限角，那么 > 0.于是 =
从而 =
16
25
3
5
5
4
= (− ) × = − .
16
25
=
16
.
25
4
，
5
思维升华
{
sin cos 1
2
2
sin
tan
cos
方程(组)思想
这两个关系是不是很给力？可以做到知一求二！
思维升华
思考：结合例1、变式1能否总结出求同角三角函数值的一般步骤？
求同角三角函数值的一般步骤：
1.根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限；
2.对角所在象限进行分类讨论；
3.利用两个基本关系式求出其他三角函数值；
4.根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值.
1.从一边开始证明它的另一边，一般由繁到简，通过恒
等式变形得到另一个式子，例2证法1。
2.考虑选取与原式等价的式子，通过等价转化推出原式，
例3证法2。
3.作差比较大小，例3证法3。
能力提升
4
1．已知 cosα＝ - ， 且α是第三象限角， 则sinα，tanα分别等于( )
同角三角函数的基本关系式与诱导公式-高考数学复习课件
4
2
sin2
1
cos2
α＝ · 2
＋ · 2
2
3 sin ＋cos
4 sin ＋cos2
2 tan2
1
1
2
22
1
1
7
＝ · 2
＋ · 2
＝ × 2 ＋ × 2 ＝ .
3 tan +1
4 tan +1
3
2 +1
4
2 +1
12
考点三
例3
(
sin α± cos α， sin α cos α之间的关系问题
[知识梳理]
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1 .
sin
π
(α≠ ＋ k π， k ∈Z)
2
2. 商数关系：tan α＝ cos
.
知识点二 诱导公式
公式
一
余弦
正切
三
四
π＋α
－α
π－α
－ sin α
－ sin α
sin α
2 k π＋α
角
1
θ＝ ，
25
∴ sin θ－ cos θ＝ 1 − 2sincos ＝ 1 −
∴ sin
4
θ＝ ，
5
∴tan
4
θ＝－ ，∴A，B，D正确.
3
cos
3
θ＝－ ，
5
24
−
25
＝
49
7
＝ ，
25
5
方法总结
对于 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α这三个式子，知一可
2
sin2
1
cos2
α＝ · 2
＋ · 2
2
3 sin ＋cos
4 sin ＋cos2
2 tan2
1
1
2
22
1
1
7
＝ · 2
＋ · 2
＝ × 2 ＋ × 2 ＝ .
3 tan +1
4 tan +1
3
2 +1
4
2 +1
12
考点三
例3
(
sin α± cos α， sin α cos α之间的关系问题
[知识梳理]
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1 .
sin
π
(α≠ ＋ k π， k ∈Z)
2
2. 商数关系：tan α＝ cos
.
知识点二 诱导公式
公式
一
余弦
正切
三
四
π＋α
－α
π－α
－ sin α
－ sin α
sin α
2 k π＋α
角
1
θ＝ ，
25
∴ sin θ－ cos θ＝ 1 − 2sincos ＝ 1 −
∴ sin
4
θ＝ ，
5
∴tan
4
θ＝－ ，∴A，B，D正确.
3
cos
3
θ＝－ ，
5
24
−
25
＝
49
7
＝ ，
25
5
方法总结
对于 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α这三个式子，知一可
同角三角函数基本关系 (PPT课件)
题型四 三角恒等式的证明
例 4 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ1＋tan1 θ＝
1 sin
θ＋co1s
θ.
思维启迪 证明三角恒等式的原则是由繁到
简，常用的方法有：
①从一边开始证明等于另一边，即化简左边，
使左边＝右边；
②证明左、右等于同一个式子；
③变更论证，即通过化除为乘、左右相减等转
α＝csions
αα＝－
2 4.
(2)∵sin α＝13>0，∴α 为第一或第二象限角．
∴cos α＝±
1－sin2α＝±2
3
2 .
∴tan
α＝csions
αα＝±
2 4.
(3)∵sin α＝m (m≠0，m≠±1)，∴α 为象限角．
当 α 为第一、四象限角时， cos α＝ 1－sin2α＝ 1－m2，tan α＝ 1－m m2；
变偶不变”的含义，
再就是将 α“看成”锐角(可能并不是锐角，也 可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是 任意角)，然后分析π2·k＋α (k∈Z)为第几象限 角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在 此象限是正还是负，也就是公式右边的符号． 诱导公式的应用是：一是求任意角的三角函数 值，其一般步骤：①负角变正角，再写成 2kπ ＋α，0≤α<2π；②转化为锐角．
(1)求 tan α 的值； (2)把cos2α－1 sin2α用 tan α 表示出来，并求其值． 思维启迪 (1)由 sin α＋cos α＝15及 sin2α＋cos2α＝1， 可求 sin α，cos α 的值； (2)1＝sin2α＋cos2α，分子、分母同除以 cos2α 即可．
解 (1)方法一 联立方程
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[剖析] 条件给出了含有参数的正余弦的函数值,而参数值要 受到正余弦的平方关系“sin2θ+cos2θ=1”的限制,而上述 解法就忽视了这个制约关系,以致扩大了解的范围而错.
[正解]由已知有 m 3≥0, 4 2m ≤0, m5 m5
且
m 3 2 m 5
联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但
tanα=
1mm,原2 因是m此时小于0,所以形式上tanα的表
达式前面仍不带负号.
类型二
诱导公式及其应用
解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公 式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负 号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导 公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化 负为正—化大为小—锐角求值”.
类型四 关于sinα与cosα的二次齐次式的求值问题
解题准备:这类已知某个三角函数值,求其余三角函数值的问 题的常规思路是:利用同角间的三角函数关系,求出其余三 角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定α角所在的象限 ,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用 “1”的代换,将所求值的式子的分子､分母同除以cosnα, 用tannα表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练掌握这 种解法.更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的 辩证思想方法.
5
24 25
,
所以 1
2tan tan2
24 ,所以12tan2
25
25tan
12 0,
解得tan 3 .
4
[剖析]上面解答忽略了角的范围, 扩大了三角函数值的
2.
cos
5. 5
答案:B
类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值
解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､ 灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式 sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符 号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指 定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定 其他角的三角函数值.
α); (3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;
(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -α2.
3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k²2π)=sinα,cos(α+k²2π)=cosα,tan(α+k²2π)=t
anα,其中k∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.
答案:C
2.若sin 4 ,且是第二象限角,则tan的值等于
5
A. 4
B. 3
3
4
C. 3 4
D. 4 3
解析 : 为第二象限角,
cos
1 sin2
1
4 5
2
3, 5
tan
sin cos
4 5
5 3
第十七讲 同角三角函数的基本关系
式及诱导公式
回归课本
1.同角三角函数基本关系式
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:tanα=
sin . cos
2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-
=-sin30°= 1 . 2
[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α
3 ,为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二 2 象限中余弦取负号,且k=-3为奇数.
∴cosβ=cos(-3•
2
+α)=-sinα.
类型三
sinα±cosα与sinα²cosα关系的应用
1
2 1
3 1
5. 3
2
2sin2 sincos 2
sin2 sincos 2 cos2 sin2
3sin2
sincos 2cos2 sin2 cos2
3tan2 tan tan2 1
2
3
sin
3
1 3
.
答案:B
4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6³360°-152°, ∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0, cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限. 答案:C
总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k² ±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角
2
时原函数值的符号.
考点陪练
1.(2010²全国Ⅰ)cos300°=( )
A. 3 2
B. 1 2
C. 1
D. 3
2
2
解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°= 1 ,故选C. 2
【典例4】已知 tan 1,求下列各式的值. tan 1
(1) sin 3cos ; sin cos
2sin2 sincos 2.
[解]由已知得tan 1 .
2
1
sin 3cos sin cos
tan tan
3 1
∴cosα=± 1 sin2=± 1 m(当2 α为第一､四象限角时
取正号,当α为第二､三象限角时取负号),
m
所以当α为第一､四象限角时,tanα=
1 m2;
当α为第二､三象限角时,tanα= m .
1 m2
[反思感悟] 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌
握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相
1sin3x cos3x sinx cosx3 3sinxcosx sinx cosx
1 2
3
3
1 4
1 5 28
2;
2sin4x cos4x sin2x cos2x 2 2sin2xcos2x
1
2
cos
3
2
cos(3
2
)
sin ,sin
1 5
,
cos 52 1 2 6,f ( ) 2 6.
5
5
5
(3)∵-1860°=-21³90°+30°, ∴f(-1860°)=-cos(-1860°) =-cos(-21³90°+30°)
【典例1】已知sin
m m
3 5
, cos
4 2m m5
, 其中
2
,
,
则下列结论正确的是
A.m∈[3,9]
B.m∈(-∞,5)∪[3,+∞)
C.m=0,或m=8
D.m=8
[错解] 由已知有 m 3≥0, 4 2m ≤0,
m5 m5
解得m<-5或m≥3,选B.
4. 3
答案:A
3.已知sin
3
1 3
, 则cos
6
的值为
A. 1
B. 1
3
3
C. 2 3 D. 2 3
3
3
解析 :
6
2
3
,
cos
6
cos
2
3
【典例2】已知 是第三象限角, 且
f
( )
sin(
)cos(2
)tan
3
2
.
cot( )sin( )
1化简f ;
2若coscos
3
2
1 5
, 求f
的值;
3若 1860,求f 的值.
【典例3】 已知sinx+cosx= 1 ,求下列各式的值: 2
(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.
[解] sinx cosx 1 , 2
sinx
cosx 2
1 2
2
1 2
.
sinxcosx 1 . 4
2 sinxcosx 2
1
2
1 4
2
7 8
;
3
tan2x
cot
2x
tanx
cotx
2
2
sin2x cos2 sinx cosx
x
2
2
1 sin2 x cos2x
[正解]由已知有 m 3≥0, 4 2m ≤0, m5 m5
且
m 3 2 m 5
联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但
tanα=
1mm,原2 因是m此时小于0,所以形式上tanα的表
达式前面仍不带负号.
类型二
诱导公式及其应用
解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公 式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负 号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导 公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化 负为正—化大为小—锐角求值”.
类型四 关于sinα与cosα的二次齐次式的求值问题
解题准备:这类已知某个三角函数值,求其余三角函数值的问 题的常规思路是:利用同角间的三角函数关系,求出其余三 角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定α角所在的象限 ,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用 “1”的代换,将所求值的式子的分子､分母同除以cosnα, 用tannα表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练掌握这 种解法.更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的 辩证思想方法.
5
24 25
,
所以 1
2tan tan2
24 ,所以12tan2
25
25tan
12 0,
解得tan 3 .
4
[剖析]上面解答忽略了角的范围, 扩大了三角函数值的
2.
cos
5. 5
答案:B
类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值
解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､ 灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式 sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符 号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指 定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定 其他角的三角函数值.
α); (3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;
(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -α2.
3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k²2π)=sinα,cos(α+k²2π)=cosα,tan(α+k²2π)=t
anα,其中k∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.
答案:C
2.若sin 4 ,且是第二象限角,则tan的值等于
5
A. 4
B. 3
3
4
C. 3 4
D. 4 3
解析 : 为第二象限角,
cos
1 sin2
1
4 5
2
3, 5
tan
sin cos
4 5
5 3
第十七讲 同角三角函数的基本关系
式及诱导公式
回归课本
1.同角三角函数基本关系式
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:tanα=
sin . cos
2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-
=-sin30°= 1 . 2
[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α
3 ,为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二 2 象限中余弦取负号,且k=-3为奇数.
∴cosβ=cos(-3•
2
+α)=-sinα.
类型三
sinα±cosα与sinα²cosα关系的应用
1
2 1
3 1
5. 3
2
2sin2 sincos 2
sin2 sincos 2 cos2 sin2
3sin2
sincos 2cos2 sin2 cos2
3tan2 tan tan2 1
2
3
sin
3
1 3
.
答案:B
4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6³360°-152°, ∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0, cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限. 答案:C
总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k² ±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角
2
时原函数值的符号.
考点陪练
1.(2010²全国Ⅰ)cos300°=( )
A. 3 2
B. 1 2
C. 1
D. 3
2
2
解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°= 1 ,故选C. 2
【典例4】已知 tan 1,求下列各式的值. tan 1
(1) sin 3cos ; sin cos
2sin2 sincos 2.
[解]由已知得tan 1 .
2
1
sin 3cos sin cos
tan tan
3 1
∴cosα=± 1 sin2=± 1 m(当2 α为第一､四象限角时
取正号,当α为第二､三象限角时取负号),
m
所以当α为第一､四象限角时,tanα=
1 m2;
当α为第二､三象限角时,tanα= m .
1 m2
[反思感悟] 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌
握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相
1sin3x cos3x sinx cosx3 3sinxcosx sinx cosx
1 2
3
3
1 4
1 5 28
2;
2sin4x cos4x sin2x cos2x 2 2sin2xcos2x
1
2
cos
3
2
cos(3
2
)
sin ,sin
1 5
,
cos 52 1 2 6,f ( ) 2 6.
5
5
5
(3)∵-1860°=-21³90°+30°, ∴f(-1860°)=-cos(-1860°) =-cos(-21³90°+30°)
【典例1】已知sin
m m
3 5
, cos
4 2m m5
, 其中
2
,
,
则下列结论正确的是
A.m∈[3,9]
B.m∈(-∞,5)∪[3,+∞)
C.m=0,或m=8
D.m=8
[错解] 由已知有 m 3≥0, 4 2m ≤0,
m5 m5
解得m<-5或m≥3,选B.
4. 3
答案:A
3.已知sin
3
1 3
, 则cos
6
的值为
A. 1
B. 1
3
3
C. 2 3 D. 2 3
3
3
解析 :
6
2
3
,
cos
6
cos
2
3
【典例2】已知 是第三象限角, 且
f
( )
sin(
)cos(2
)tan
3
2
.
cot( )sin( )
1化简f ;
2若coscos
3
2
1 5
, 求f
的值;
3若 1860,求f 的值.
【典例3】 已知sinx+cosx= 1 ,求下列各式的值: 2
(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.
[解] sinx cosx 1 , 2
sinx
cosx 2
1 2
2
1 2
.
sinxcosx 1 . 4
2 sinxcosx 2
1
2
1 4
2
7 8
;
3
tan2x
cot
2x
tanx
cotx
2
2
sin2x cos2 sinx cosx
x
2
2
1 sin2 x cos2x