材料力学修改第四章
清华大学土木工程系材料力学-4修正_80330637
扭转切应力
圆轴扭转时 横截面上的切应力
反对称分析论证平面保持平面 由平面保持平面导出变形协调方程 由物性关系得到应力分布 切应力公式
扭转切应力
圆轴扭转时 横截面上的切应力
变
形
平面假定
应变分布
物性关系
应力分布
静力方程
应力公式
扭转切应力
圆轴扭转时 横截面上的切应力
反对称分析论证平面保持平面
根据反对称要求， 根据圆轴的轴对称性质C、D两 根据反对称要求，C、D两点不 根据圆轴的轴对称性质 两点不 两 可能有轴向位移， 点必须具有相同的位移， 可能有轴向位移，因而必须仍然 点必须具有相同的位移，因而二 位于原来所在的圆周上。 者必须位于同一圆周上。 位于原来所在的圆周上 者必须位于同一圆周上。
扭转切应力
圆轴扭转时的应力变形特征
扭转切应力
圆轴扭转时的应力变形特征
外加力偶矩与功率和转速的关系 变形特征 横截面和纵截面都有切应力存在 — 切应力互等定理
扭转切应力
圆轴扭转时的应力变形特征
外加力偶矩与功率和转速的关系
P(kW) (N•m) T=9549 n(r/min)
扭转切应力
圆轴扭转时的应力变形特征
例题1
圆轴扭转时 横截面上的切应力
解： 实心轴
d1=45 mm d2＝23 mm
空心轴， 空心轴， D2＝46 mm 二轴的横截面面积之比为
2 −3 2
A d1 1 45×10 1 = 2 = ＝ .28 1 × 2 −3 2 A2 D2 (1−α ) 46×10 1− 0.5
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力公式
扭转切应力
矩形截面杆扭转切应力
建筑材料力学第四章静定结构的位移计算
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
材料力学第四章平面弯曲
得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0
A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
材料力学 第4章_扭转
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
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§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学性能_第四章
4.2 裂纹体的应力分析
线弹性断裂力学研究对象是带有裂纹的线弹性体。严格 讲，只有玻璃和陶瓷这样的脆性材料才算理想的弹性体。 为使线弹性断裂力学能够用于金属，必须符合金属材料 裂纹尖端的塑性区尺寸与裂纹长度相比是一很小的数值条 件。 在此条件下，裂纹尖端塑性区尺寸很小，可近似看成理 想弹性体。 在线弹性断裂力学中有以Griffith-Orowan为基础的能量 理论和Irwin为应力强度因子理论。
小，消耗的变形 功也最小，所以
平面应力
裂纹就容易沿x方
向扩展。
4.5 裂纹尖端的塑性区
为了说明塑性区对裂纹在x方向扩展的影响。
当 ＝0（在裂纹面上），其塑性区宽度为：
r0 (r ) 0
1 KI 2 ( ) 2 s
K1 y r ,0 2r
4.5 裂纹尖端的塑性区
由各应力分量公式也可直接求出在裂纹线上的
切应力平行于裂纹 面，而且与裂纹线 垂直，裂纹沿裂纹 面平行滑开扩展。
III型（撕开型）断裂
切应力平行作用于 裂纹面，而且与裂 纹线平行，裂纹沿 裂纹面撕开扩展。
4.2 裂纹体的应力分析
4.2.2 I型裂纹尖端的应力场
裂纹扩展是从其尖端开始向前进行的，所以应该分析裂纹 尖端的应力、应变状态，建立裂纹扩展的力学条件。
4.2 裂纹体的应力分析
4.2.1 裂纹体的基本断裂类型
在断裂力学分析中，为了研究上的方便，通常 把复杂的断裂形式看成是三种基本裂纹体断裂的组 合。 I 型（张开型）断裂 （最常见 ）
拉应力垂直于裂纹面扩展面，裂纹沿作用力方向 张开，沿裂纹面扩展。
4.2 裂纹体的应力分析
II 型（滑开型）断裂
根据应力强度因子和断裂韧性的相对大小，可以建 立裂纹失稳扩展脆断的断裂K判据，平面应变断裂最 危险，通常以KIC为标准建立，即： 应用：用以估算裂纹体的最大承载能力、允许的裂 纹尺寸，以及材料的选择、工艺优化等。
工程材料力学第四章轴向拉压杆的应力与变形
第四章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
FN s d A
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与剪应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时 可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN； 横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。
s0
2
sin 2
s ()
t ()
t ()
15
第四章 轴向拉伸和压缩
k
F F F
k
45
思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力s和剪应
力t与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离 体的斜截面k-k上的指向。 2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在 什么截面上？绝对值最大的剪应力又出现在什么样的截面
F (l / 3) C lCD EA F (l / 3) l EA
27
第四章 轴向拉伸和压缩
例题4-4 求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量Δd。
已知 E 210 GPa，d 200 mm, 5 mm, p 2 MPa。
28
第四章 轴向拉伸和压缩
解：1. 前已求出圆环径向截面上的 正应力此值小于钢的比例极限(低碳钢
s
s
s
E
←单轴应力状态下的胡克定律
22
第四章 轴向拉伸和压缩
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
某一方向的线应变 与和该方向垂直的方向(横向)的线应 变'的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或 泊松比(Poisson’s ratio)：
材料力学性能第四章 断裂与断口分析
材料的力学性能－断裂与断口分析材料的断裂断裂是工程材料的主要失效形式之一。
工程结构或机件的断裂会造成重大的经济损失，甚至人员伤亡。
如何提高材料的断裂抗力，防止断裂事故发生，一直是人们普遍关注的课题。
任何断裂过程都是由裂纹形成和扩展两个过程组成的，而裂纹形成则是塑性变形的结果。
对断裂的研究，主要关注的是断裂过程的机理及其影响因素，其目的在于根据对断裂过程的认识制定合理的措施，实现有效的断裂控制。
✓材料在塑性变形过程中，会产生微孔损伤。
✓产生的微孔会发展，即损伤形成累积，导致材料中微裂纹的形成与加大，即连续性的不断丧失。
✓损伤达到临界状态时，裂纹失稳扩展，实现最终的断裂。
按断裂前有无宏观塑性变形，工程上将断裂分为韧性断裂和脆性断裂两大类。
断裂前表现有宏观塑性变形者称为韧性断裂。
断裂前发生的宏观塑性变形，必然导致结构或零件的形状、尺寸及相对位置改变，工作出现异常，即表现有断裂的预兆，可能被及时发现，一般不会造成严重的后果。
脆性断裂断裂前，没有宏观塑性变形的断裂方式。
脆性断裂特别受到人们关注的原因：脆性断裂往往是突然的，因此很容易造成严重后果。
脆性断裂断裂前不发生宏观塑性变形的脆性断裂，意味着断裂应力低于材料屈服强度。
对脆性断裂的广义理解，包括低应力脆断、环境脆断和疲劳断裂等。
脆性断裂一般所谓脆性断裂仅指低应力脆断，即在弹性应力范围内一次加载引起的脆断。
主要包括：与材料冶金质量有关的低温脆性、回火脆性和蓝脆等；与结构特点有关的如缺口敏感性；与加载速率有关的动载脆性等。
材料的断裂比较合理的分类方法是按照断裂机理对断裂进行分类。
微孔聚集型断裂、解理断裂、准解理断裂和沿晶断裂。
有助于→揭示断裂过程的本质→理解断裂过程的影响因素→寻找提高断裂抗力的方法。
材料的断裂将环境介质作用下的断裂和循环载荷作用下的疲劳断裂按其断裂过程特点单独讨论。
金属材料的断裂－静拉伸断口材料在静拉伸时的断口可呈现3种情况：(a)(b)：平断口；(c)(d)：杯锥状断口；(e)尖刃断口平断口：材料塑性很低、或者只有少量的均匀变形，断口齐平，垂直于最大拉应力方向。
材料力学第四章
Q1 QC左 R A 4 KN
M 1 M C左 R A 1 4 KN.m
RA
A
10KN.m 2 1
1m 2.5m
RB
B
C 1 C
2
求 2 截面的内力： 右侧
Q2 QC右 RB ( 4) 4 KN
M 2 M C右 RB ( 2.5 1) ( 4) 1.5 6 KN.m
b
RA
记 E 截面处的剪力
A
a E c
P1
C
P2
D
RB
B
为 QE 和弯矩 ME ，
且假设 QE 和弯矩
F
d
l
QE
E
C
ME 的指向和转向
均为 正值。
RA
A
ME
b
y 0, RA QE 0
RA
A
a E c
P1
C
P2
D
RB
B
mE 0, M E R A c 0
F
d
解得
l
第四章
弯曲内力
§4-1(2) 平面弯曲的概念及计算简图 §4-2 梁的剪力和弯矩 §4-3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
§4-4 弯矩，剪力与分布荷载集度之间的关系及应用
§4-5 平面桁架和曲杆的内力图
§4-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
I. 弯曲的概念 弯曲变形 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系 （有时还包括力偶）。
横截面上的 弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁段上的 外力对该截面形心的力矩之代数和 。
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
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一、单项选择题
1、图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成I和II两部分。
在以下各式中哪一个一定成立（）
(A)I Izc+I IIzc=0； (B) I Izc- I IIzc=0
(C) S Izc+S IIzc=0； (D) A I = A II。
2、集中力作用处，图突变，图斜率突变（）
A.弯矩、剪力
B.弯矩、弯矩
C.剪力、弯矩
D.剪力、剪力、
3、在平面图形的几何性质中，（）的值可正、可负、也可为零。
A、静矩和惯性矩；
B、极惯性矩和惯性矩；
C、惯性矩和惯性积；
D、静矩和惯性积
4．下图（a）和（b）两梁抗弯刚度相同，荷载相同，则下列正确的是（）。
A．内力不同，位移相同B．内力相同，位移不同
C．两梁对应截面的内力、位移相同D．两梁对应截面的内力、位移不同
5. 图4所示拉压强度不相等的铸铁材料制成的简支梁，跨中受向下集中力作用，有四种截面供选择，其中（）截面合理。
6．T形截面铸铁梁，设各个截面的弯矩均为负值。
则将其截面按哪个所示的方式布置，梁的强度最高？（）
7
z
(A) I
8、
Z（
9 直径为d 的圆形截面和边长为a 的正方形截面对其各自形心轴的惯性半径分别是（ ） . A. /4d 和 /(23)a B. /(22)d 和
/6
a
C. /4d 和 /2a
D. /(22)d 和 /(23)a
10 梁的内力符号与坐标系的关系是: （ ） (A)剪力、弯矩符号与坐标系有关； (B)剪力、弯矩符号与坐标系无关；
(C)剪力符号与坐标系有关，弯矩符号与坐标系无关； (D)弯矩符号与坐标系有关，剪力符号与坐标系无关。
11 已知平面图形的形心为C ，面积为A ，对z 轴的惯性矩为I z ，则图形对z 1轴的惯性矩有四种答案（ ）
(A)I z +b 2A ； (B)I z +(a+b)2A ；(C)I z +(a 2-b 2)A ； (D)I z +(b 2-a 2
)A 。
z
z C z 1
a
b
C
18题图 19题图 20题图
12．图示矩形截面，则m~m 线以上部分和以下部分对形心抽z 的两个静距的（ ）。
A ．绝对值相等，正负号相同 B ．绝对值相等，正负号不同 C ．绝对值不等，正负号相同 D ．绝对值不等，正负号不同 20．在图示悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。
A ．剪力相同，弯矩不同
B ．剪力不同，弯矩相同
C ．剪力和弯矩均相同
D ．剪力和弯矩均不同
13．在图示十字形截面上，剪力为S F ，欲求m-m 线上的切应力，则公式Ib
w )
(S F Z S =τ中，（ ）
A )(w S Z 为截面的阴影部分对z '轴的静矩，δ4=b
B )(w S Z 为截面的阴影部分对z '轴的静矩，δ=b
C )(w S Z 为截面的阴影部分对z 轴的静矩，δ4=b
D )(w S Z 为截面的阴影部分对z 轴的静矩，δ=b
14、直梁弯曲强度条件[]σW M σZ
max
max ≤=
中，max σ应是（ ）上的最大正应力． A ．梁的任意截面； B ．梁的最大横截面； C ．梁的最小横截面； D ．梁的危险截面。
15． T 形截面梁在剪切弯曲时，其横截面上的( )
(A) σmax 发生在离中性轴最远的点处，τmax 发生在中性轴上； (B) σmax 发生在中性铀上，τmax 发生在离中性轴最远的点处；
(C) σmax 和τmax 均发生在离中性轴最远的点处； (D) σmax 和τmax 均发生在中性轴上。
二、填空题
1、下图所示正方形截面简支梁，若载荷不变而将截增加一倍，则其最大弯曲正应力为原来的_______倍，最大弯曲剪应力为原来的_______倍。
2、梁在弯曲时，横截面上的正应力沿高度是按________________分布的。
中性轴上的正应力为________________；矩形截面梁横截面上的剪应力沿高度是按________________分布的
3、简支梁受力如图，若不计自重，则C 点处的m ax τ= ，D 点处的
=m ax σ 。
4、如图所示，挖去阴影圆后，图形对y 轴的惯性矩I y = 。
（3题图） （4题图） （5题图）
5 图示边长为a 的正方形图形，对Z 轴的Z I = ,Z W =
6 图示梁在CD 段的变形称为________________。
此段内力情况为________________。
（6题图） （7题图）
7、铸件⊥字形截面梁的许用应力分别为：许用拉应力[σ+]=50MPa ，许用压应力[σ-]=200MPa ，则上、下边缘距中性轴的合理比值应该是y 1:y 2=________________。
（图中C 为形心） 9.几何形状完全相同的两根梁，一根为钢材，一根为铝材。
若两根梁受力情况也相同，则它们的 相同， 不同。
三、作图题
1．绘下图结构的弯矩图。
2．绘图示结构的弯矩图。
3．绘图示桁梁组合结构中梁式杆的M图。
4 作图示梁的FQ图和M图
5、带中间铰的联合梁受载如图，作梁的Q 、M 图。
A
B
C
P=2qa
qa
2
q
a
a
2a
6 作外伸梁的剪力图和弯矩图。
四、判断题
1、若平面弯曲梁只受均布载荷作用，则梁上各截面弯矩相等，正应力也相等。
（ ）
2、要提高梁的强度需加大梁的截面尺寸或采用高强度优质材料。
（ ）
3、梁的两端受大小相等、方向相反的一对力偶作用所产生的变形叫做纯弯曲变形。
（ ）
4、弯矩图表示梁的各横截面上弯矩沿轴线变化的情况，是分析梁的危险截面的依据之一。
（ ）
五、分析题
1 某T 形截面梁的弯矩图及截面几何量如图，试画出B 、C 截面上的应力分布图并注明应力值。
2 图示简支梁的m-m截面，如用截面左侧的外力计算剪力和弯矩，则Q和M便与q无关；如用截面右侧的外力计算剪力和弯矩，则Q和M便与F无关。
这样的论断正确吗？何故
六、计算题
1. 试求图示组合截面对其形心轴C x的惯性矩。
2、铸铁梁受力及截面尺寸如图示。
已知M=40kN.m，许用拉应力[]+σ
=30Mpa，许用压应
力[]-σ
=90Mpa。
若要截面最为合理，试确定T形截面的尺寸b1，并校核此梁的强度
3．矩形截面梁b×h=100×200mm，受力情况如图所示。
试求梁中最大弯曲应力和剪应力。
4、等截面工字形梁受力和尺寸如图所示。
已知梁材料的容许正应力[]120
σ=MPa
,容许剪
应力[]MPa
60
=
τ
，P=80k N，不考虑梁的自重。
试：（1）校核的正应力强度。
（2）
校核的剪应力强度。
（3）采用第三强度理论校核梁B的右截面腹板上、腹板与翼板的交接处a点的强度。
5、试用积分法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定形心的坐标
6、试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的x轴的惯性矩
7、计算半圆形对形心轴的y c的惯性矩
8 圆截面悬臂梁受载如图。
当梁长为l，直径为d时，最大弯曲正应力达到许用值。
今欲将梁增长至2l，为满足强度要求，直径应增为d的多少倍。
q
9 图示T形截面铸铁梁，已知[σt]=30MPa，[σc]=60MPa，试计算许用载荷[P]之值。
(C为形心)
80
20
120
20
52
(单位:mm)
88
2.5P P
I
z
=7.6310-6m4
10、铸铁梁的荷载及横截面尺寸如图所示。
许用拉应力许用拉应力[]tσ=40MPa，许用压应力[]cσ=160MPa，试按正应力强度条件校核该梁的强度。
若荷载不变，但将T形横截面倒置，即翼缘在下成为⊥形，是否合理？为什么？。