第一章线性规划
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第一章 线性规划
(1-8)
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
例 1.5 （汽油混合问题） 一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数” 描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述，某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为 1，2， 3，4，其特性及库存量见表 1.5，将上述标准汽油适量混合，可得到两种飞机汽油，其标 号分别为 1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求见表 1.6，问应如何根据库存情况 适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又为最高。
注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了 12 个变量，10 个约束条件。
表 1.2 资源 住宅体系 砖混住宅 壁板住宅 大模住宅 资源限量 造价 (元/m2) 105 135 120 110000 (千元 钢材 (公斤/m2) 12 30 25 20000 (吨) 例 1.2 的数据表 水泥 (公斤/m2) 110 190 180 150000 (吨) 砖 (块/m2) 210 —— —— 147000 (千块) 人工 (工日/m2) 4.5 3.0 3.5 4000 (千工日)
3．线性规划模型的一般形式 以 MAX 型、≤约束为例 决策变量： x1 ,
(1-4)
, xn
目标函数： Maxz = c1 x1 +
+ cn x n
⎧a11 x1 + + a1n x n ≤ b1 ⎪ ⎪ 约束条件： s.t.⎨ ⎪a m1 x1 + + a mn x n ≤ bm ⎪ ⎩ x1 , , x n ≥ 0
2
Maxz = x1 + x 2 + x3 ⎧0.105 x1 + 0.135 x 2 + 0.120 x3 ≤ 110000 ⎪0.012 x1 + 0.030 x 2 + 0.025 x3 ≤ 20000 数学模型为: ⎪0.110 x1 + 0.190 x 2 + 0.180 x 3 ≤ 150000 (1-3) s.t ⎨ 0.210 x ≤ 147000 ⎪0.00451 x + 0.003x 2 + 0.0035 x 3 ≤ 4000 ⎪x , x , x 1 ≥ 0 ⎩ 1 2 3
第一章线性规划-模型和图解法
a22 am2
a1n
a2n amn
(P1,
P2 ,
, Pn )
用向量表示时，上述模型可写为：
max(min)Z CX
s.t
n j 1
Pj x j
(, )b
X 0
线性规划问题可记为矩阵和向量的形式：
max(min)Z CX
s.t
AX
X
(, )b 0
max(min)Z CX
x21 x23
x14
x23
x32
x41
xij 0(i 1, ,4;
15
x22 x31 12
x23 x32
j 1, ,4)
10 20
二。线性规划问题的数学模型 下面从数学的角度来归纳上述三个例子的共同点。 ①每一个问题都有一组变量---称为决策变量，一般记为
x1, x2 , , xn. 对决策变量每一组值：(x1(0) , x2(0) , xn(0) )T 代表了
表1-3
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
表1-4
单位；元/100m2
1个月 2个月 3个月 4个月
2800 4500 6000 7300
表1-2
月份
12
所需仓库面积 15 10
单位：100m2
34 20 12
合同租借期限 合同期内的租费
max(min) Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
s.t
a21x1
a22 x2
a2n xn
(, )b2
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm
第一章线性规划
一、线性规划问题及其数学模型 1、问题的提出
例1 某工厂用A,B,C,D四种设备生产I,II两种产品， 已知生产单位产品所需各种设备的数量、在计划期内 各种设备的拥有量以及每单位产品I,II的利润见下表 所示，问应如何安排生产才能使总利润最大？
设 备
A 2 2 12
B 1 2 8
C 4 0 16
D 0 4 12
线性规划介绍
历史悠久，理论成熟，应用广泛 运筹学的最基本的方法之一，网络规划、整 数规划、目标规划和多目标规划都是以线性规 划为基础的。 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出
的费用最小或获得的收益最大。
线性规划理论的发展： 1939年前苏联康托洛维奇（KOHTOPOBUZ） 《生产组织与计划中的 数学方法》提出 “解乘数法”。
产 品
单件利润 （元）
Ⅰ Ⅱ
有效台数
2 3
建立该问题的数学模型 解(1)决策变量:设生产产品I x1个单位，产品II x2个 单位； (2)目标：总利润最大，于是记成max z=2x1+3x2, z 称为目标函数； (3)限制条件 (约束条件) a:各种设备的数量有限，无论如何安排生产，x1,x2 均应满足如下条件：2 x 2 x 1 2
设司乘人员在各时间段一开始时上班，并连续 工作8小时，问该公司线路至少应配备多少司乘人 员。列出该问题的数学模型
设x1,x2,…,x6为各班新上班人数，考虑到在每个时间 段工作的人数既包括该时间段新上班的人又包括上一 个时间段上班的人员，按所需人员最少的要求可列出 本例的数学模型：
目标函数：
m in z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
min z 1000 x 1 800 x 2
第1章 线性规划
投资项目 1 2 3 4 5 6 风险（%） 18 6 10 4 12 8 红利（%） 4 5 9 7 6 8 增长（%） 22 7 12 8 15 8 信用度 4 10 2 10 4 6
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划
该公司想达到的目标为：投资 风险最小，每年红利至少为6.5万 元，最低平均增长率为12%，最低 平均信用度为7。请用线性规划方 法求解该问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
解：
（1）决策变量
线性规划
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （ i=1,2,,6）
（2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
Min z 0.18x1 0.06x2 0.10x3 0.04x4 0.12x5 0.08x6
线性规划
运筹学
线性规划
线性规划
本章内容要点
线性规划问题及其数学模型；
线性规划的电子表格建模； 线性规划的多解分析。
线性规划
本章内容
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 用Excel“规划求解”功能求解线性规划问题
1.4 线性规划问题求解的几种可能结果
本章主要内容框架图
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解 无穷多解 无解 可行域无界（目标值不收敛）
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解
线性规划问题具有 唯一解是指该规划 问题有且仅有一个 既在可行域内、又 使目标值达到最优 的解。例1.1就是一 个具有唯一解的规 划问题
(1-1)
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划
该公司想达到的目标为：投资 风险最小，每年红利至少为6.5万 元，最低平均增长率为12%，最低 平均信用度为7。请用线性规划方 法求解该问题。
1.1 线性规划问题及其数学模型
解：
（1）决策变量
线性规划
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （ i=1,2,,6）
（2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
Min z 0.18x1 0.06x2 0.10x3 0.04x4 0.12x5 0.08x6
线性规划
运筹学
线性规划
线性规划
本章内容要点
线性规划问题及其数学模型；
线性规划的电子表格建模； 线性规划的多解分析。
线性规划
本章内容
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 用Excel“规划求解”功能求解线性规划问题
1.4 线性规划问题求解的几种可能结果
本章主要内容框架图
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解 无穷多解 无解 可行域无界（目标值不收敛）
1.4 线性规划问题求解的 几种可能结果
线性规划
唯一解
线性规划问题具有 唯一解是指该规划 问题有且仅有一个 既在可行域内、又 使目标值达到最优 的解。例1.1就是一 个具有唯一解的规 划问题
(1-1)
第一章线性规划的基本概念
n ∑ P j x j ≤ ( =≥ ) b s .t . j = 1 X ≥ 0 其中： 其中：
Pj = (a1 j , a2 j ,⋯, amj ) , j = 1,2,⋯, n
T
三线性规划的标准形式
• LP的标准型： LP的标准型 的标准型： • 1、LP标准型的概念 LP标准型的概念 • （1）什麽是LP的标准型？ 什麽是LP的标准型 的标准型？ • （2）LP标准型的特点 LP标准型的特点 • 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min） 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min）; 约束条件均用等式表示; • 约束条件均用等式表示; • 决策变量限于取非负值; 决策变量限于取非负值; • 右端常数均为非负值 ;
（3）数学表达式: 数学表达式:
有几种形式? 有几种形式? 如何书写? 如何书写?
2、LP问题的标准化 LP问题的标准化 （1）目标函数的标准化 Z’=Z’=-Z
MinZ=CX
MaxZ’=MaxZ’=-CX
目 标 函 数 标 准 化 示 意 图
y’ = -f (x) -3 1 0 -1 2 5 x y 3 y=f (x)
第一步－ 建立平面直角坐标系； 第一步－－建立平面直角坐标系； 第二步－－ －－根据约束条件和非负条件画出 第二步 －－ 根据约束条件和非负条件画出 可行域。 可行域。 第三步－－ 作出目标函数等值线（ －－作出目标函数等值线 第三步 －－ 作出目标函数等值线 （ 至少两 结合目标函数优化要求， 条）， 结合目标函数优化要求，平移目 标函数等值线求出最优解。 标函数等值线求出最优解。
x2
无可行解
⑵ ⑴
x1
做这个题目
• 一个生产家具的公司计划生产两种产品－ 椅子和桌子，其可用资源包括400板英尺的 红木板和450个工时。已知生产每把椅子需 用红木板5板英尺，10个工时，其利润为45 美元，而生产每张桌子需要红木板20板英 尺和15个工时，其利润为80美元，问题是 要确定，在资源约束范围内，公司生产多 少把椅子和多少张桌子，其总利润最大？
Pj = (a1 j , a2 j ,⋯, amj ) , j = 1,2,⋯, n
T
三线性规划的标准形式
• LP的标准型： LP的标准型 的标准型： • 1、LP标准型的概念 LP标准型的概念 • （1）什麽是LP的标准型？ 什麽是LP的标准型 的标准型？ • （2）LP标准型的特点 LP标准型的特点 • 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min） 目标函数约定是极大化Max（或极小化Min）; 约束条件均用等式表示; • 约束条件均用等式表示; • 决策变量限于取非负值; 决策变量限于取非负值; • 右端常数均为非负值 ;
（3）数学表达式: 数学表达式:
有几种形式? 有几种形式? 如何书写? 如何书写?
2、LP问题的标准化 LP问题的标准化 （1）目标函数的标准化 Z’=Z’=-Z
MinZ=CX
MaxZ’=MaxZ’=-CX
目 标 函 数 标 准 化 示 意 图
y’ = -f (x) -3 1 0 -1 2 5 x y 3 y=f (x)
第一步－ 建立平面直角坐标系； 第一步－－建立平面直角坐标系； 第二步－－ －－根据约束条件和非负条件画出 第二步 －－ 根据约束条件和非负条件画出 可行域。 可行域。 第三步－－ 作出目标函数等值线（ －－作出目标函数等值线 第三步 －－ 作出目标函数等值线 （ 至少两 结合目标函数优化要求， 条）， 结合目标函数优化要求，平移目 标函数等值线求出最优解。 标函数等值线求出最优解。
x2
无可行解
⑵ ⑴
x1
做这个题目
• 一个生产家具的公司计划生产两种产品－ 椅子和桌子，其可用资源包括400板英尺的 红木板和450个工时。已知生产每把椅子需 用红木板5板英尺，10个工时，其利润为45 美元，而生产每张桌子需要红木板20板英 尺和15个工时，其利润为80美元，问题是 要确定，在资源约束范围内，公司生产多 少把椅子和多少张桌子，其总利润最大？
第一章 线性规划
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的基本算法——单纯形法。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的图解以及相应的概念。
包括：约束直线，可行半空间，可行解，可行域，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的基本概念。
包括：基，基础解，基础可行解，基变量，非基变量，进基变量，离基变量，基变换⏹单纯形法原理。
包括：基变量和目标函数用非基变量表出，检验数，选择进基变量的原则，确定离基变量的方法，主元，旋转运算⏹单纯形表。
包括初始单纯形表的构成，单纯形表运算方法⏹初始基础可行解，两阶段法⏹退化的基础可行解§1.1 运筹学和线性规划1.1.1 运筹学运筹学（Operations Research）是二十世纪三十年代二次大战期间由于战争的需要发展起来的一门学科。
当时，英国组织了一批自然科学和工程科学的学者，和军队指挥员一起，研究大规模战争提出的一些问题。
如轰炸战术的评价和改进、反潜艇作战研究等，研究结果在战争实践中取得了明显得效果。
这些研究当时在英国称为Operational Research，直译为作战研究。
战争结束以后，这些研究方法不断发展完善，并逐步形成学科理论体系，其中一些主要的理论和方法包括：线性规划，网络流，整数规划，动态规划，非线性规划，排队论，决策分析，对策论，计算机模拟等。
这些理论和方法在经济管理领域也得到了广泛应用，Operations Research也转义成为“作业研究”。
我国将Operations Research译成“运筹学”，非常贴切地将Operations Research这一英文术语所包含的作战研究和作业研究两方面的涵义都体现了出来。
现在，运筹学已经成为管理科学重要的基础理论和应用方法，是管理科学专业基本的必修课程之一。
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
第一章 线性规划
第四节 线性规划的典型案例
线性规划
【开篇案例】
一、人力资源分配的问题
某旅行社为了迎接旅 游黄金周的到来，对一日 游导游人员的需求经过统 计分析如表所示。为了保 证导游充分休息，导游每 周工作 5天，休息两天， 并要求休息的两天是连续 的。问应该如何安排导游 人员的作息，既满足工作 需要，又使配备的导游人
下午5时14分
什么是规划？
• 以上问题无一例外都属于规划问题，涉及到求解最大值 和最小值
• 人们经常谈规划，比如国家有5年规划、10年规划、城市 有城市规划，个人有自己的人生规划.
• 规划是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优 的全面、理性的计划
下午5时14分
线性规划
• 线性规划简介： • 运筹学中最成熟的一个分支 • 静态规划：单周期决策
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
1. 模型隐含假定
作为严密的数学模型，线性规划蕴含着以下假定： （1）线性化假定
函数关系式f(x)= c1x1+c2x2+… +cnxn，称线性函数。 经济学中大多数函数都是非线性，通过偏导求最优。但在企业
运营决策中，经常考虑比较短时间内的计划安排，通过线性化 更便于应用。
乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
线性规划
【开篇案例】
一、人力资源分配的问题
某旅行社为了迎接旅 游黄金周的到来，对一日 游导游人员的需求经过统 计分析如表所示。为了保 证导游充分休息，导游每 周工作 5天，休息两天， 并要求休息的两天是连续 的。问应该如何安排导游 人员的作息，既满足工作 需要，又使配备的导游人
下午5时14分
什么是规划？
• 以上问题无一例外都属于规划问题，涉及到求解最大值 和最小值
• 人们经常谈规划，比如国家有5年规划、10年规划、城市 有城市规划，个人有自己的人生规划.
• 规划是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优 的全面、理性的计划
下午5时14分
线性规划
• 线性规划简介： • 运筹学中最成熟的一个分支 • 静态规划：单周期决策
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
1. 模型隐含假定
作为严密的数学模型，线性规划蕴含着以下假定： （1）线性化假定
函数关系式f(x)= c1x1+c2x2+… +cnxn，称线性函数。 经济学中大多数函数都是非线性，通过偏导求最优。但在企业
运营决策中，经常考虑比较短时间内的计划安排，通过线性化 更便于应用。
乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
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所以运输问题的模型可记为 Min Z = 21x11 + 25x12 + 7x13 + 15x14 + 51x21 + 51x22 + 37x23 + 15x24 s.t.
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100 x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 xij ≥ 0（i = 1,2；j = 1,2,3,4）.
其中c =（c1,c2,…,cn）为行向量，称为价值向量，
a11 a A = 21 a m1 a12 a22 am 2
C
单500
75
解：(1) 确定决策变量：设x1，x2为下一个 生产周期产品甲和乙的产量；
(2) 所满足的约束条件:
对资源A的限制：3x1 + 2x2 ≤ 65 对资源B的限制：2x1 + x2 ≤ 40
对资源C的限制： 3x2 ≤ 75
基本要求：x1，x2 ≥ 0 ； (3) 明确目标函数: 获利最大，即求Z= 1500x1 + 2500x2的最大值，用 max表示最大值，s.t.（subject to的简写）表示约束条件，则该模型 可记为： max Z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 65 2 x1 + x2 ≤ 40 3 x2 ≤ 75
标准形式
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn (1.2a)
s.t. (LP)
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm (1.2b) xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
二．运筹学的定义
英国运筹学会的定义：运筹学是一系列科学方法 的应用，在工业、商业、政府部门及国防中用这 些方法处理大量的人员、机器、材料和资金等复 杂问题，这种方法的特点是科学的建立系统模型， 包括度量各种因素，例如分析机会和风险，以及 预测和比较各种决策、策略或控制的结果，使管 理机构科学地确定它的政策和行动。 美国运筹学会的定义：运筹学的研究内容是，在 需要对有限的资源进行分配的情况下，作出人机 系统最优设计和操作的科学决策。
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100
对销地需求量的约束
x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100
另外xij是运输量必须是非负。因而还应满足xij-≥0（i = 1,2；j = 1,2,3,4），目标函数为总运费 z = 21x11 + 25x12 + 7x13 + 15x14 + 51x21 + 51x22 + 37x23 + 15x24 最小
（1-5）
二、线性规划问题的数学模型 前三例的共同点
第一，求一组决策变量 xi，并往往要求它 们为非负；
第二，确定决策变量可能受到的约束，称 为约束条件，它们可以用决策变量的线性 等式或线性不等式来表示； 第三，在满足约束条件的前提下，使某个 函数值达到最大（如利润等）或最小（如 成本、运费等）.该函数称为目标函数，它 是决策变量的线性函数 为了用单纯形法解决线性规划问题必需将 线性规划问题化解为标准型
某工厂要做100套钢架，每套有长2.9米、 2.1米和1.5米的圆钢组成，已知原料长7.4 米，问应如何下料使需用的原材料最省。 解：如果从每根7.4米长的原料上各截一根 2.9米、2.1米和1.5米长的圆钢，则还余0.9 米，用100根原料，浪费预料共90米。现 采用套裁的办法，设计五种方案，如表1.2 所示。
三．运筹学解决问题五大过程
1．提出并形成问题（好坏评价系统——二 战时商船上配高射炮，从打下飞机情况看 是不经济或不可行的，但从保护商船来说 是可行的） 2．建立模型 3．分析并求解模型 4．检验并评价模型 5．应用实施
运筹学研究----分支
线性规划 目标规划 整数规划 网络规划与网络计划技术 非线性规划 动态规划 排队论 决策论 存贮论 对策论
本人理解运筹学的研究
分析具体问题找出各种优化方法就是运筹 学
当前的应用案例
2002年1月22日美国第二大连锁零售商卡马特以 163亿美元的资产103亿债务申请破产保护；而老 对手沃尔玛2001年以销售收入2200亿美元排名 销售收入第一。 1987年 2001年 卡马特 240亿美元 2114家连锁店 沃尔玛 120亿美元 4200家连锁店 原因：建立了从原料采购到连锁店管理的信息管 理系统 国内：中国石化，宝钢等都没有从运筹学角度来 管理原料采购、生产工艺、产品库存等问题
(1.2c)
这里等式右端 bi 全为非负值（ i = 1,2,…,m），称上述问题为 （LP）问题.
简记、矩阵形式、
1、简记形式
n
max z c j x j
j 1
n
(1.3a)
（LP）
s.t.
a
j 1
ij
x j bi（i = 1,2,…,m）
(1.3b) (1.3c)
xj≥0 （j = 1,2,…,n）
例1(资源的合理利用问题)某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品， 要消耗A、B和C三种资源，已知每件产品对这三种资源的消耗、这三种资源 的现有数量和每件产品可获得的利润如表所示.问：如何安排生产计划，使 得既能充分利用现有资源又使总利润最大？
产品 资源
甲
乙
资源限制
A B
3 2
2 1
65 40
第一章 线性规划及单纯形法
线性规划（Linear Programming， 简记为LP）是运筹学的一个重要分 支，是运筹学中研究较早、发展较 快、理论上较为成熟和应用上极为 广泛的一个分支.
§1 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的提出 建立数学模型三个步骤 (1) 根据影响所要达到目的的因素确定决策变量； (2) 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足 的约束条件； (3) 由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目 标函数
… …
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（或=，≥bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
(1.1c)
(1.1b)
其中aij、bi、cj（i = 1,2,…,m；j = 1,2,…,n）为已知常数， 式（1.1a）称为目标函数，式（1.1b）和（1.1c）称为约束条 件.
绪论
一．运筹学的产生和发展 1．二战期间 英、美的雷达系统从技术上说是可行的，但面对 德国的空袭实际运用并不好，如何更好的使用雷 达确定敌机的位置，为此英国军事部门召集了不 同学科的科学家，于1940年8月成立了一个由布 雷克特（P.M.S.Blackett）领导的跨学科的11人小 组，称为OR小组，小组成员：3个生物、2个数学、 4个物理、一个军官、一个测量员。
(2) 所满足的约束条件 配料平衡条件：x1 + x2 = 1
对化学成分A的要求：12 x1+ 3 x2 ≥ 4
对化学成分B的要求：2 x1 + 3 x2 ≥ 2 对化学成分C的要求：3 x1 + 15 x2 ≥ 5 基本要求：
x 1 ，x 2 ≥ 0
min Z= 3x1 + 2x2 s.t. 12x- + 3x2 ≥ 4 1 2x1 + 3x2 ≥ 2 3x1 + 15x2 ≥ 5
2、矩阵形式 max z = cx （LP） s.t. (1.4a) (1.4b) (1.4c)
Ax = b x ≥ 0
向量形式
3、向量形式 max z = cx
n j 1
(1.5a)
（LP） s.t. p j x j b
(1.5b)
(1.5c)
x ≥ 0
a1n a2 n amn
运筹学的其它研究
2．电话系统-----丹麦工程师爱尔郎（ERLANG） 3. 1947年（G.B.Dantzig)提出线性规划的单纯形 法---解决了美国空军军事规划的线性规划问题。 4．经济系统-----1939年苏联学者康托洛维奇-----投入产出模型 5．我国于50年代中期钱学森、许国志将运筹学 引入到导弹研究系统、投入产出、质量管理研究 中来，后来华罗庚等一皮数学家和经济学家加入 到运筹学研究中来。
美国的运筹学起源
1942年美国成立了17人的运筹学小组，这个小组 开展了护航舰队保护商船队的编队问题，和当船 队遭到德国潜艇攻击时，如何使船队损失最小的 问题研究，研究了反潜深水炸弹的合理爆炸深度 后，使德国潜艇被毁数增加到400%；研究了船只 在受到敌机攻击时，提出了大船应急转向和小船 应缓慢转向的逃避方法，研究结果是船只在受敌 机攻击时，中弹数由47%降到29%。美国空军称 为“运行分析”，陆军和海军叫做“运行研究和运 行评价”
圆钢套裁方案
方
案 长度 2.9 2.1 1.5
一
二
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100 x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100 xij ≥ 0（i = 1,2；j = 1,2,3,4）.
其中c =（c1,c2,…,cn）为行向量，称为价值向量，
a11 a A = 21 a m1 a12 a22 am 2
C
单500
75
解：(1) 确定决策变量：设x1，x2为下一个 生产周期产品甲和乙的产量；
(2) 所满足的约束条件:
对资源A的限制：3x1 + 2x2 ≤ 65 对资源B的限制：2x1 + x2 ≤ 40
对资源C的限制： 3x2 ≤ 75
基本要求：x1，x2 ≥ 0 ； (3) 明确目标函数: 获利最大，即求Z= 1500x1 + 2500x2的最大值，用 max表示最大值，s.t.（subject to的简写）表示约束条件，则该模型 可记为： max Z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 65 2 x1 + x2 ≤ 40 3 x2 ≤ 75
标准形式
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn (1.2a)
s.t. (LP)
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm (1.2b) xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
二．运筹学的定义
英国运筹学会的定义：运筹学是一系列科学方法 的应用，在工业、商业、政府部门及国防中用这 些方法处理大量的人员、机器、材料和资金等复 杂问题，这种方法的特点是科学的建立系统模型， 包括度量各种因素，例如分析机会和风险，以及 预测和比较各种决策、策略或控制的结果，使管 理机构科学地确定它的政策和行动。 美国运筹学会的定义：运筹学的研究内容是，在 需要对有限的资源进行分配的情况下，作出人机 系统最优设计和操作的科学决策。
x11 + x12 + x13 + x14 = 2000 x21 + x22 + x23 + x24 = 1100
对销地需求量的约束
x11 + x21 = 1700 x12 + x22 = 1100 x13 + x23 = 200 x14 + x24 = 100
另外xij是运输量必须是非负。因而还应满足xij-≥0（i = 1,2；j = 1,2,3,4），目标函数为总运费 z = 21x11 + 25x12 + 7x13 + 15x14 + 51x21 + 51x22 + 37x23 + 15x24 最小
（1-5）
二、线性规划问题的数学模型 前三例的共同点
第一，求一组决策变量 xi，并往往要求它 们为非负；
第二，确定决策变量可能受到的约束，称 为约束条件，它们可以用决策变量的线性 等式或线性不等式来表示； 第三，在满足约束条件的前提下，使某个 函数值达到最大（如利润等）或最小（如 成本、运费等）.该函数称为目标函数，它 是决策变量的线性函数 为了用单纯形法解决线性规划问题必需将 线性规划问题化解为标准型
某工厂要做100套钢架，每套有长2.9米、 2.1米和1.5米的圆钢组成，已知原料长7.4 米，问应如何下料使需用的原材料最省。 解：如果从每根7.4米长的原料上各截一根 2.9米、2.1米和1.5米长的圆钢，则还余0.9 米，用100根原料，浪费预料共90米。现 采用套裁的办法，设计五种方案，如表1.2 所示。
三．运筹学解决问题五大过程
1．提出并形成问题（好坏评价系统——二 战时商船上配高射炮，从打下飞机情况看 是不经济或不可行的，但从保护商船来说 是可行的） 2．建立模型 3．分析并求解模型 4．检验并评价模型 5．应用实施
运筹学研究----分支
线性规划 目标规划 整数规划 网络规划与网络计划技术 非线性规划 动态规划 排队论 决策论 存贮论 对策论
本人理解运筹学的研究
分析具体问题找出各种优化方法就是运筹 学
当前的应用案例
2002年1月22日美国第二大连锁零售商卡马特以 163亿美元的资产103亿债务申请破产保护；而老 对手沃尔玛2001年以销售收入2200亿美元排名 销售收入第一。 1987年 2001年 卡马特 240亿美元 2114家连锁店 沃尔玛 120亿美元 4200家连锁店 原因：建立了从原料采购到连锁店管理的信息管 理系统 国内：中国石化，宝钢等都没有从运筹学角度来 管理原料采购、生产工艺、产品库存等问题
(1.2c)
这里等式右端 bi 全为非负值（ i = 1,2,…,m），称上述问题为 （LP）问题.
简记、矩阵形式、
1、简记形式
n
max z c j x j
j 1
n
(1.3a)
（LP）
s.t.
a
j 1
ij
x j bi（i = 1,2,…,m）
(1.3b) (1.3c)
xj≥0 （j = 1,2,…,n）
例1(资源的合理利用问题)某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品， 要消耗A、B和C三种资源，已知每件产品对这三种资源的消耗、这三种资源 的现有数量和每件产品可获得的利润如表所示.问：如何安排生产计划，使 得既能充分利用现有资源又使总利润最大？
产品 资源
甲
乙
资源限制
A B
3 2
2 1
65 40
第一章 线性规划及单纯形法
线性规划（Linear Programming， 简记为LP）是运筹学的一个重要分 支，是运筹学中研究较早、发展较 快、理论上较为成熟和应用上极为 广泛的一个分支.
§1 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的提出 建立数学模型三个步骤 (1) 根据影响所要达到目的的因素确定决策变量； (2) 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足 的约束条件； (3) 由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目 标函数
… …
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤（或=，≥bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
(1.1c)
(1.1b)
其中aij、bi、cj（i = 1,2,…,m；j = 1,2,…,n）为已知常数， 式（1.1a）称为目标函数，式（1.1b）和（1.1c）称为约束条 件.
绪论
一．运筹学的产生和发展 1．二战期间 英、美的雷达系统从技术上说是可行的，但面对 德国的空袭实际运用并不好，如何更好的使用雷 达确定敌机的位置，为此英国军事部门召集了不 同学科的科学家，于1940年8月成立了一个由布 雷克特（P.M.S.Blackett）领导的跨学科的11人小 组，称为OR小组，小组成员：3个生物、2个数学、 4个物理、一个军官、一个测量员。
(2) 所满足的约束条件 配料平衡条件：x1 + x2 = 1
对化学成分A的要求：12 x1+ 3 x2 ≥ 4
对化学成分B的要求：2 x1 + 3 x2 ≥ 2 对化学成分C的要求：3 x1 + 15 x2 ≥ 5 基本要求：
x 1 ，x 2 ≥ 0
min Z= 3x1 + 2x2 s.t. 12x- + 3x2 ≥ 4 1 2x1 + 3x2 ≥ 2 3x1 + 15x2 ≥ 5
2、矩阵形式 max z = cx （LP） s.t. (1.4a) (1.4b) (1.4c)
Ax = b x ≥ 0
向量形式
3、向量形式 max z = cx
n j 1
(1.5a)
（LP） s.t. p j x j b
(1.5b)
(1.5c)
x ≥ 0
a1n a2 n amn
运筹学的其它研究
2．电话系统-----丹麦工程师爱尔郎（ERLANG） 3. 1947年（G.B.Dantzig)提出线性规划的单纯形 法---解决了美国空军军事规划的线性规划问题。 4．经济系统-----1939年苏联学者康托洛维奇-----投入产出模型 5．我国于50年代中期钱学森、许国志将运筹学 引入到导弹研究系统、投入产出、质量管理研究 中来，后来华罗庚等一皮数学家和经济学家加入 到运筹学研究中来。
美国的运筹学起源
1942年美国成立了17人的运筹学小组，这个小组 开展了护航舰队保护商船队的编队问题，和当船 队遭到德国潜艇攻击时，如何使船队损失最小的 问题研究，研究了反潜深水炸弹的合理爆炸深度 后，使德国潜艇被毁数增加到400%；研究了船只 在受到敌机攻击时，提出了大船应急转向和小船 应缓慢转向的逃避方法，研究结果是船只在受敌 机攻击时，中弹数由47%降到29%。美国空军称 为“运行分析”，陆军和海军叫做“运行研究和运 行评价”
圆钢套裁方案
方
案 长度 2.9 2.1 1.5
一
二