5.2 二元函数的偏导数与全微分
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系【摘要】二元函数的连续偏导数和全微分之间的关系是数学分析领域一个重要的研究课题。
本文从二元函数的偏导数和全微分的定义入手，深入探讨了二元函数连续偏导数与全微分之间的关系。
通过证明思路和数学推导，揭示了二元函数各阶偏导数存在且连续时，全微分存在且连续的结论。
进一步分析了这一关系在实际问题中的意义，探讨了其在科学研究和工程技术中的应用。
展望了相关研究的未来方向，为这一领域的深入发展提供了借鉴。
通过本文的研究，读者将更加深入地了解二元函数连续偏导数和全微分之间的关系，对其在实际问题中的应用有更清晰的认识。
【关键词】二元函数、偏导数、全微分、连续、关系、证明、推导、实际意义、研究展望1. 引言1.1 研究背景二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是微积分领域一个重要而复杂的问题。
在实际应用中，我们常常需要对二元函数进行微分运算，而二元函数的连续性和偏导数性质对于微分的计算有着至关重要的作用。
深入研究二元函数的连续偏导数和全微分之间的关系对于提高我们对函数性质的认识和应用具有重要意义。
1.2 问题提出偏少或者格式指导等。
在研究二元函数连续偏导数和全微分之间的关系时，一个重要的问题是如何理解连续偏导数和全微分之间的联系和区别。
连续偏导数描述了二元函数在某一点的变化率，而全微分则描述了函数在整个定义域上的变化率。
这两个概念之间的关系可以帮助我们更深入地理解二元函数的性质和行为。
本文将探讨二元函数连续偏导数和全微分之间的关系，从而拓展我们对这些数学概念的认识，以及它们在实际问题中的应用和意义。
2. 正文2.1 二元函数的偏导数二元函数的偏导数指的是在给定点处，分别对两个自变量求导得到的函数。
具体来说，对于一个函数f(x, y)，其对x 的偏导数记为\frac{\partial f}{\partial x}，对y 的偏导数记为\frac{\partialf}{\partial y}。
第三节偏导数与全微分
dz = z′ dx + z′ dy x y
= [2(sin xy )(cos xy ) y + y ]dx
2
+ [2(sin xy )(cos xy ) x + 2 yx ]dy .
2.偏导数 设有函数 z = f ( x , y ), 如果极限 偏导数
f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 ) lim = lim0 ∆y → ∆y → 0 ∆ y ∆y
∆ yz
存在, 存在 则称此极限为 f ( x , y )在点
( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数 的偏导数.
第三节 偏导数与全微分
一.二元函数的偏导数 二元函数的偏导数 1.改变量 改变量
全改 变量 偏改 变量 偏改 变量
x : x 0 → x 0 + ∆x
y : y 0 → y 0 + ∆y
∆ z = f ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 )
∆ x z = f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
+ x ln x
y
f x′ (1,2) = 2e 2 + 2 f y′ (1,2) = e 2 .
y ∂z ∂z 例3 设 z = arctan x , 求证 x + y = 0. ∂x ∂y
证
∂z = ∂x
y y (− 2 ) = − 2 2 y 2 x +y x 1+ ( ) x ∂z 1 x 1 = ( ) = 2 y 2 x ∂y x + y2 1+ ( ) x y x ∂z ∂z x ) + y( 2 ) = 0. +y = x(− 2 2 2 x +y x +y ∂x ∂y
2多元函数的偏导数和全微分
z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它 在 (0, 0)不连续.
从几何上看, f 'x (x0, y0)存在. 只保证了一 元函数 f (x, y0)在 x0 连续. 也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的.
同理, f 'y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z = f (x, y)的截线 2 在 M0连续.
但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续.
在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些
不连续的点，偏导数却存在.
例:函数 z x2 y2 在点（0,0)连续，但其偏导数不存在.
求导次序无关. 即: 2z ＝ 2z
xy yx
例2 求 z sin 2 (ax by) 的二阶偏导数
解: z 2sin(ax by) cos(ax by) a asin 2(ax by)
x z y 2sin(ax by) cos(ax by) b bsin 2(ax by)
f
(x0, y0
y) y
f
(x0, y0 )
记作
f y(x0, y0 ),
z , y xx0
f 或 f y (x0, y0 )
y xx0
y
y y0
y y0
z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数.
f x( x,
y)
lim
x0
f
(x
f x(1,1) 1
f
y( x,
y)
eln(1 xy) y y
5.2 二元函数的偏导数与全微分
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
（1）几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所 截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜 率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的 斜率.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例1 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2)处的偏导数. z z 解法1 2x 3y, 3x 2 y x y z z y (1,2) x (1,2) 解法2
z
y2
x2 6x 4
z 记为 y f ， y x x0
y y0 x x0 y y0
， f y ( x0 , y0 ) 或 zy
x x0 y y0
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它称为函数 z f ( x , y ) 对自 变量 x的偏导函数，简称偏导数. z f 记作 ， ， zx 或 f x ( x, y ) . x x
同理可以定义函数 z f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导 z f 数，记作 ， ， zy 或 f y ( x, y). y y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如函数 u f ( x , y, z ) 在点 ( x , y, z ) 处
二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系通过证明或反例说明二元函数连续、偏导数，全微分之间的关系。
标签：二元函数；连续；偏导数；全微分对于一元函数来讲，连续、导数和微分之间的关系比较简单：可导与可微是等价的，可导一定连续，但连续不一定可导。
但对于二元函数来讲，连续、偏导数和全微分之间的关系要相对复杂一些，本文通过证明或反例来说明三者之间的关系。
1 连续和偏导数之间的关系1.1 已知偏导数存在，但不一定连续例1 函数在点处的两个偏导数都存在：但是在点却不连续，事实上，令点沿趋向点，有：1.2 已知连续，但偏导数不一定存在例2 函数，显然：故在点处连续，而由：知不存在，所以在点处不是可偏导的。
2 偏导数和全微分之间的关系2.1 若可微，则偏导数一定存在证明：由于在点处可微，于是在点的某一邻域内有：其中。
特别地，当时，上式变为：在该式两端各除以，再令，则得：从而偏导数存在，且；同样可证存在，且。
2.2 已知偏导数存在，但不一定可微例3 函数在点处的两个偏导数都存在：但是在点却不可微，事实上：令沿趋向，则：这说明当时，并不是的高阶无穷小，所以在点处不可微。
3 连续和全微分之间的关系3.1 若可微，则一定连续证明：由于在點处可微，即有：其中。
于是，即有，从而，即在点处连续。
3.2 已知连续，但不一定可微在例2中，函数在点处连续，在点处不是可偏导的。
由偏导和可微之间的关系，知在点处不可微。
综上，二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系：函数在一点的连续性和函数在该点的偏导数的存在性之间没有任何关系；函数在一点的偏导数存在是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点的偏导数存在的一个充分非必要条件；函数在一点连续是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点连续的一个充分非必要条件。
参考文献：[1]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分（下册）[M].大连理工大学出版社，2013.[2]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分同步辅导[M].大连理工大学出版社，2013.[3]同济大学数学教研室.高等数学（下册）[M].高等教育出版社，1998.作者简介：张宇红（1979-），女，辽宁锦州人，硕士研究生，教授，研究方向：数学。
偏导数与全微分
因为函数在（0，0）处的极限不存在，从而在点 （0，0）处不连续.
函数在点(0,0) 处不可微.
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
可微的充分条件
定理 5.4（充分条件） 如果函数 z f ( x , y )的
z z 偏导数 、 在点( x , y )连续，则该函数在点 x y ( x , y )可微分．
2z 2z 导数 及 在区域 D 内连续，那末在该区域 yx xy
内这两个二阶混合偏导数必相等．
例 6-19 方程
验证函数 z ln x 2 y 2 满足拉普拉斯
2z 2z 2 0. 2 x y
1 ln x y ln( x 2 y 2 ), 解 2 z x z y 2 , 2 , 2 2 x x y y x y
z ( x , y )可微分，则该函数在点( x , y )的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分 y
为
z z dz x y ． x y
证 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
同理可得
z B . y
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy 2 x y2 例如， f ( x , y ) 0
x2 y2 0 . x y 0
2 2
Hale Waihona Puke 在点(0,0) 处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
二元函数：z = f(u , v) u =φ (x , y) v = ψ (x , y)
5.2偏导数与全微分
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系我们先来了解一下二元函数的连续偏导数和全微分的概念。
对于一个二元函数 f(x, y)，如果它在某个点 (a, b) 处的偏导数存在且连续，那么我们称 f(x, y) 在该点处具有连续偏导数。
具体来说，如果函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微，那么它的偏导数 f_x(a, b) 和 f_y(a, b) 存在且连续。
全微分，即函数的微分，可以理解为在某一点处的近似线性化。
假设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处可微，那么它在该点的全微分 df(a, b) 可以表示为：df(a, b) = f_x(a, b) * dx + f_y(a, b) * dydx 和 dy 是自变量 x 和 y 在点 (a, b) 处的微小变化量。
全微分相当于函数在某一点处的线性近似，它将函数在该点附近的变化量分解成了在 x 轴和 y 轴的变化量的线性组合。
根据全微分的定义，我们可以将其进一步拆分成 dx 和 dy 两部分：当 dx 和 dy 很小时，可以认为 df(a, b) 和 dx, dy 之间存在着近似的线性关系。
也就是说，当 dx 和 dy 趋近于 0 时，全微分 df(a, b) 与 dx, dy 之间的差异可以忽略不计。
这就是说在微积分中的一个重要结论——全微分等于二元函数的连续偏导数与自变量微小变化量的乘积之和。
这个结论只在函数的偏导数连续的条件下成立。
如果函数的偏导数在某个点不连续，那么全微分与偏导数之间的关系是不存在的。
总结一下，二元函数的连续偏导数和全微分之间存在着密切的关系。
全微分可以通过函数的连续偏导数与自变量微小变化量的乘积之和来表示。
在微积分中，这个关系是非常有用的，它可以帮助我们理解函数在某一点附近的变化情况，并进一步推导出函数的各种性质和定理。
二元函数的全微分与偏微分
二元函数的全微分与偏微分在数学中，二元函数指的是由两个变量所组成的函数。
在微积分学中，我们常常需要通过求全微分和偏微分来研究它们的性质。
本文将详细介绍二元函数的全微分与偏微分的概念、公式、性质和应用。
一、全微分全微分指的是对二元函数在全部自变量变化下的微小变化的描述。
用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)进行全微分得到：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化，∂f/∂x和∂f/∂y是分别对应自变量的偏导数。
由此可见，全微分是对于在全部自变量变化下函数的总体变化的描述。
它是一个线性映射，可以看成是一个一阶线性微分方程。
二、偏微分偏微分指的是对二元函数在某一个自变量上的微小变化的描述。
用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)在x处进行偏微分得到：∂f/∂x = lim [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx其中Δx是自变量x的微小变化。
同样地，我们也可以对y进行偏微分，得到∂f/∂y = lim [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy通过对函数在不同自变量上的偏微分，可以衡量函数对于不同自变量的敏感程度。
我们将偏导数求出之后，就可以得到函数在某一个点上的切线斜率。
三、全微分与偏微分的关系可以证明，在全微分df存在的情况下，二元函数f的所有偏导数都存在，且偏导数等价于全微分中对应自变量的系数。
也就是说，对于全微分中的dx和dy，我们可以将它们当做对应自变量的微小变化，然后通过求偏微分来得到对应自变量的系数。
这样，我们就可以用全微分中的系数来计算相应自变量的偏微分。
而反过来，只有一个函数在全微分存在的条件下，它的偏导数才有意义。
换句话说，全微分是偏微分的前提条件。
因此，在使用全微分和偏微分的时候，我们应该注重它们之间的互动和联系。
四、全微分和偏微分的应用在实际问题中，我们经常需要对二元函数进行全微分和偏微分的计算和应用。
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x fx (x, y) ,
z y fy(x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f (x , y)
的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
（1）几何意义: 偏导数 f x( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所
截得的曲线在点 M0处的切线 M0Tx 对 x 轴的斜 率.
偏导数 f y( x0, y0) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M0处的切线 M0Ty对 y 轴的 斜率.
2 y
z
2
及
3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
x
y
2z x 2
6
xy2
,
3z x 3
6
y2,
2z y 2
2x3
18xy;
2z xy 6x2 y 9 y2 1,
2z yx 6x2 y 9 y2 1.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
，
f x
，
zx
或
f
x
(
x,
y).
同理可以定义函数z f (x, y)对自变量 y 的偏导
数，记作
z y
，
f y
，
zy
或
f
y(
x,
y)
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如函数u f (x, y, z)在点 (x, y, z) 处
ux
(
x,
y,
z)
例6
求函数
z
e x2y
的二阶偏导数及
3z y x2
.
解
z ex2y
z 2ex2y
x
y
2z x2
e x2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y y x
2z y2
4 e x2y
3z y x2
x
(
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
（2）偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0.
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 四、全微分在近似计算中的应用
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
一、偏导数
1、偏导数的定义
定义 1 设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻
域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量x
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号,不能看作
分子与分母的商 !
p V
V T
T p
RT pV
1.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
2.偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
解法1
z 2x 3y,
x
z y
3x
2
y
z x (1,2)
z y (1,2)
解法2 z y2 x2 6x 4
z x (1, 2)
z x1 1 3 y y2
z y (1, 2)
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例2 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证: x z 1 z 2z y x ln x y
z = f (x , y)关于x的 n –1 阶偏导数 , 再关于y
的一阶 偏导数为
( y
nz ) xn1 y
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例 5 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
数:
(z ) x x
2z x2
f
xx
(
x,
y);
( z ) y x
2z x y
f
xy
(
x,
y)
( z ) x y
2z yx
f
yx
(
x,
y);
(z ) y y
2z y2
f
yy
(
x,
y)
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
第二、三个偏导数称为混合偏导数. 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如， z = f (x , y)关于x 的三阶偏导数为
z ， f ， x x x0 x x x0
f
x
(
x0
,
y0
)
或
Z
x
(
x0
,
y0
)
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，
x x0
f
y
(
x0
lim
x0
u(
x
x,
y, z) x
u( x,
y,
z)
,
uy
(
x,
y,
z)Leabharlann limy0u(
x,
y
y, z) y
u(
x,
y,
z)
,
uz
(
x,
y,
z)
lim
z0
u(
x,
y,
z
z) z
u(
x,
y,
z)
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例1 求 z x2 3x y y2 在点(1 , 2)处的偏导数.
,
y0
)或
zy
. x x0
y y0
y y0
y y0
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
如果函数z f (x, y)在区域 D内任一点
(x, y)处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x、 y的函数，它称为函数z f (x, y)对自
变量 x的偏导函数，简称偏导数.
记作
z x
证
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3 求
的偏导数 .
解 r 2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r z. z r
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例4 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) , 求证:
p V T 1 V T p
证
p RT , V
p V
时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) 存在，则称此
x0
x
极限为函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的偏导
数，记为
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分