两角和与差的正弦余弦正切公式 说课课件
教学分析
教学目标
教学重点
教学过程
教学反思
学情分析
高一年级的学生，对高中数学还没有形成良好的学习方法， 由于已学过的三角函数公式变化大，使用广，故对学习三 角内容有畏难情绪，同时学生又有跃跃欲试，展示自我的 欲望。学生学习时，听的多，想的少；看的多，写的少； 独立学习的多，合作学习的少。结合学生的情感兴趣，我 采用由浅入深、由易到难、层层递进的学习方式，从而增 强学生的学习信心，调动学生的学习动力，尽可能地增加 学生参与教学活动的时间和空间。
课题名称:
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第二课时
人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书
数学必修4
高一年级
教 学 分 析
教 学 目 标
教 学 重 点
教 学 过 程
教 学 反 思
教学分析
教学目标
教学重点
教学过程
教学反思
教材内容及地位 本节课是数学4第三章第一节第二课时，本 课既是本章基础，也是重点内容，它起着 承上启下的作用，既是对前面学习的三角 函数定义、同角三角函数基本关系、诱导 公式、单位圆等知识的应用和延伸，也是 后继学习三角恒等变换的基础。
cos 2
cos cos sin sin 2 2
sin cos cos sin
3 例3：已知 sin a , 是第四象限的角，求 sin( ), 5 4 cos( ), tan( )的值。 4 4
。 。 。 。
1 tan15 (3) . 。 1- tan15
。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系
-代
S(+)
2
C(+)
S C
-代
C(-)
2
S(-)
S C
一、 复习导课：
问题1: 诱导公式五；六 ？作用？ 问题2:
cos( - ) ？
问题3:
tan
思考：
cos( ) ?
探究：
sin( ) ?
二、公式的推导
sin
cos 2
教学分析
教学目标教学重点教学过程教学反思教学目标
• 知识目标：能利用两角和与差的余弦公式，利用化归思想 等推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，体会它们 的内在联系并进行简单的应用； • 能力目标：进一步提高学生运用对比、联系、转化的观点 去处理和分析问题的自觉性； • 情感目标：培养学生积极动手，勇于探索，善于发现，团 结协作，独立意识以及不断超越自我的创新品质。
3 变式1 ：已知 sin ，求 sin( )、 5 4 cos(
三.应用
公式的正用
4
)、 tan(
4
)的值
应用
公式的逆用
例4：利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1)sin72 cos 42 cos 72 sin 42 ;
。 。 。 。
(2)cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 ;
教学分析
教学目标
教学重点
教学过程
教学反思
教学重点、难点
• 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识， 推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并体会它们的 内在联系 • 难点：掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用
教学分析
教学目标
教学重点
教学过程
教学反思
教学过程
创导 设入 情新 景课 类合 比作 联探 想究 学分 生享 汇成 报果 知巩 识固 整应 合用 小课 结外 作探 业究
相除
相除
T(+)
-代
T(-)
137页：第7,9题
〖课外探究〗把下列各式化为一个角的三角函数形式
1 3 1 cos x sin x sin x 2 2 6
构造角
2 3
2 sin x cos x 2sin x 4 2 cos x 6 sin x 2 2 cos x 3
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两角和差的正弦余弦和正切公式ppt课件
8
8
又cos2θ=1-2sin2θ，
所以 sin
1 cos2
1 ( 1) 8
3.
2
24
24
【变式备选】已知 ＜＜3 ,0＜＜ ,cos( ) 3 ,sin(3 ) 5 ,
4
4
44
54
13
求sin(α+β)的值.
【解析】∵ ＜＜3 , ＜ ＜,
4
4 24
又∵ cos( ) 3 ,sin( ) 4 ,
4
5
cos cosx sin再 s求inxco s3x, ,sinx的值就很繁琐，把
4
4
5
作为整体，并注意角的变换 2 ( x) 这样 2就x,可运用二
4
2
倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键.
x 4
2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数
的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.
第五节 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
1
2
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
公式名
两角和与 差的正弦 两角和与 差的余弦 两角和与 差的正切
公式
sin( ) _s_in___c_o_s____c_o__s__s_i_n_
cos( ) _c_o_s___c_o_s____s_i_n__s_i_n_ tan tan
19
【例2】若 cos( x) 3 ,17 ＜x＜7 ,求 sin2x 2sin2x 的值.
4
5 12
4
1 tanx
【解题指南】本题可以利用 x ( x的) 变换，同时要注意
4
4
x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简
两角和与差的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件
由勾股定理，可得
y
P1P22=P1Q2+QP22
N2(0, y2)
∟
.
P2(x2, y2)
=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
=(x1–x2)2+(y1–y2)2, 由此得到平面内
M1(x1, 0)
.∟
O
∟∟ ∟
M2(x2, 0)
x
Q
P1(x1, y1), P2(x2, y2)
P1(x1, y1) N1(0, y1)
本课小结： 在这节课中，我们研究了两个角的
和与差的正弦、余弦和正切公式，这些 公式在今后有大量的应用，应熟练地、 灵活地掌握。
(例3就是反过来用公式的例子).
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2 3 2 1 6 2;
2 2 22
4
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.
tan15°= scions1155°°
6 6
2 2 3; 2
或 tan15°=tan(45°–30°)
tan45tan30 1tan45tan30
1 3
3
3
11 3 3
3
3 2 3; 3
+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β， 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
两角和与差的正弦、余弦、正切(第一课时)课件
05 总结与回顾
本课重点回顾
两角和与差的正弦、 余弦、正切的公式形 式及推导过程。
三角函数式的恒等变 换技巧。
利用三角函数的诱导 公式化简三角函数式 的方法。
下课预告
深入理解两角和与差的正弦、余 弦、正切公式的应用，掌握其在
解决实际问题中的应用。
学习如何利用三角函数的性质和 公式解决复杂的三角函数问题。
推导过程
利用三角函数的加法公式，通过角的线性组合得 到两角和的三角函数公式。
意义
在实际问题中，两角和的正弦、余弦、正切公式 可用于求解角度的和或进行一些角度的变换。
两角差的余弦、正弦、正切
公式
cos(α-β)，sin(α-β)，tan(α-β)
推导过程
利用三角函数的减法公式，通过角的线性组合得到两角差的三角函 数公式。
意义
在实际问题中，两角差的余弦、正弦、正切公式可用于求解角度的 差或进行一些角度的变换。
公式应用举例
01
02
03
04
例1
已知sin(α+β)=1/3， cos(α+β)=-2/3，求sin(α-β)
。
解
利用两角和与差的正弦、余弦 、正切公式，我们可以得到
sin(α-β)的值。
例2
已知tan(α+β)=2，tan(αβ)=1/3，求cos(α+β)。
两角和与差的正弦、余弦、 正切(第一课时)
目录
• 引言 • 两角和与差公式 • 两角和与差的正弦、余弦、正切 • 练习题与答案 • 总结与回顾
01 引言
课程背景
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 是三角函数中非常重要的公式，它们 在解决实际问题中有着广泛的应用。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
所以 cos(α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin[(α＋ β )－α]
＝sin(α＋ β )cos α－cos (α＋ β )sin α
＝5143×17－－1114×4 7 3＝
3 2.
又因为 0＜ β ＜π2，所以 β ＝π3.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“0＜ β＜π2” 改为“π2＜ β ＜π”，求角 β 的值．
解：因为 0＜α＜π2，cos α＝17，所以 sin α＝473. 又因为π2＜ β ＜π，所以π2＜α＋ β ＜32π. 因为 sin(α＋ β )＝5143，所以 cos (α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×473＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．(1)逆用两角和的正弦公式可得：asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋θ )；(2)将含有 sin ωx，cos ωx 的一次式 子化简成 Asin(ωx＋φ )的形式，为进一步研究函数的性质 提供了方便．
2．与特殊角有关的几个结论： sin x±cos x＝ 2sinx±π4； sin x± 3cos x＝2sinx±π3＝2cosx±π6.
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2
正切
tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式