社会统计学第六章
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统计学第六章
N
i
X
N
第 i 个单位 的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、 520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
X
N
440 480 520 600 750 2790 558 元 5 5
i
A D
X X
（二）变量与算术平均数计算的方差小于变量与任何其他常 数的方差 （三）两个独立随机变量和的方差，等于这两个随机变量方 差的和 2 2 2
( x y ) x y
（四）变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的 平方 2 2 2
y a bx, y b x
第二节 全距、分位差和平均差 一、全距 指所研究的数据中，最大值与最小值之差， 又称极差。
R X max X min
最大变量值或最 高组上限或开口 组假定上限 最小变量值或最 低组下限或开口 组假定下限
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为 440元、480元、520元、600元、750元，则
4. 反映了中间50%数据的离散程度;
5. 不受极端值的影响;
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 甲城市 回答类别 户数 (户) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24 108 93 45 30 累计频数 24 132 225 270 300 —
解：设非常不满意为 1,不满意为2, 一般为 3, 满意为 4, 非常满 意为5 。 已知
一、离中趋势的涵义 指总体中各单位标志值背离 离中趋势 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综 合指标，也称为标志变动度
电大 社会统计学 第六章 正态分布
maxLeabharlann 第一节 正态分布f(x)
二、正态分布的特点 （二）正态分布是对称的
0
µ
正态分布曲线位于横轴上方，呈钟形。中间大，两头小，左 右对称。 正态分布曲线以均数所在处最高，且以均数（x=μ）为中心 左右对称。 在正态分布中，平均数=中数=众数，此点对应y值最大。 X=μ ±σ为图像的拐点，在（μ-σ，μ+σ）内是凹的，其他范 围是秃的。 x轴是渐近线。
( x) 1 ( x).
P(x1<X<x2）=P(X<x2)-P（x1<X）=F(x2)-F(x1)
例题1
• 已知X~N（1.5,4），求P（X<-4）和P(|X|>2)。 • 解：因为X服从μ=1,5，σ=4的正态分布，故：
- 4 1.5 P( X -4 ) ( ) (-2.75 ) 1 (2.75 ) 0.003 2 P ( X 2 ) P ( X 2 ) P ( X 2 )
X
~N（0,1），
Z=（X—μ）/σ
• 某班同学平均体重为50公斤，标准差为10，某同学体重为70 公斤，将这个分数转化为Z值。 • Z=（X—μ）/σ=（70—50）/10= 2 • 表明这个同学的体重在分布中高于均值2个标准差。
68—95—99.7规则（重要）
• 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内； • 约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内； • 约有99.7%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内。 • 这就是68—95—99.7规则，由此可见，X的取值几乎全部落 在（μ—3σ，μ+3σ）之间，即在均值的3个标准差范围之 内。X值几乎不可能在区间
统计学第六章 抽样法
31
第六章 抽样法
序号
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16 合计
样本变量x
40、40 40、50 40、70 40、80
50、40 50、50 50、70 50、80
70、40 70、50 70、70 70、80
80、40 80、50 80、70 80、80
－
x
x E(x)
总体
研究如何利用 样本数据来 推断总体特 征。
内容包括：参 数估计和假 设检验。
目的：对总体
特征作出推
样 本
断。
这是推断统计学研 究的问题
5
第六章 抽样法
描述统计与推断统计的关系
反映客观 现象的数
据
概率论
（包括分布理论、大 数定律和中心极限定
理等）
样本数
描述统计
推断统计
据
总体数 据
（统计数据的搜集 、整理、显示和分
13
第六章 抽样法
第二节 有关抽样的基本概念（2）
（二）抽样总体
也称子样，样本或样本总体，它是从全 及总体中随机抽取出来的，代表全及总体的 那部分单位的集合体。抽样总体的单位数称 为样本容量，用n表示，对于N来说，n是很 小的。
总体
样 本
14
第六章 抽样法
第二节 有关抽样的基本概念（3）
• 二 全及指标和抽样指标p.249 （一） 全及指标
研究总体中 的品质标志
总体成数 P N1
N
总体成数标准差 P
P1 P
17
第六章 抽样法
第二节 有关抽样的基本概念（5）
（二）抽样指标
抽样指标是由样本总体各单位标志值 或标志特征计算的综合指标，也称统计量。 与全及指标相对应有：样本平均数，样本 标准差；样本成数，样本成数的标准差。
第六章 抽样法
序号
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16 合计
样本变量x
40、40 40、50 40、70 40、80
50、40 50、50 50、70 50、80
70、40 70、50 70、70 70、80
80、40 80、50 80、70 80、80
－
x
x E(x)
总体
研究如何利用 样本数据来 推断总体特 征。
内容包括：参 数估计和假 设检验。
目的：对总体
特征作出推
样 本
断。
这是推断统计学研 究的问题
5
第六章 抽样法
描述统计与推断统计的关系
反映客观 现象的数
据
概率论
（包括分布理论、大 数定律和中心极限定
理等）
样本数
描述统计
推断统计
据
总体数 据
（统计数据的搜集 、整理、显示和分
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第六章 抽样法
第二节 有关抽样的基本概念（2）
（二）抽样总体
也称子样，样本或样本总体，它是从全 及总体中随机抽取出来的，代表全及总体的 那部分单位的集合体。抽样总体的单位数称 为样本容量，用n表示，对于N来说，n是很 小的。
总体
样 本
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第六章 抽样法
第二节 有关抽样的基本概念（3）
• 二 全及指标和抽样指标p.249 （一） 全及指标
研究总体中 的品质标志
总体成数 P N1
N
总体成数标准差 P
P1 P
17
第六章 抽样法
第二节 有关抽样的基本概念（5）
（二）抽样指标
抽样指标是由样本总体各单位标志值 或标志特征计算的综合指标，也称统计量。 与全及指标相对应有：样本平均数，样本 标准差；样本成数，样本成数的标准差。
社会经济统计学各章重点知识
《社会经济统计学》各种重点知识第二章1、总体是根据一定的目的要求所需研究事物的全体，它由客观存在的具有某种共同性质的许多个别事物所组成。
2、总体单位是指组成总体的基本单位，它是所要统计的各种数量特征的承担者。
3、确定总体和总体单位，必须注意：构成总体的单位必须是同质的；构成总体的单位必须是大量的、足够多的；总体与总体单位具有相对性；随着研究目的的不同，总体和总体单位可以相互转化。
4、标志是指用来说明总体单位数量特征或属性特征的概念或名称。
5、标志分为品质标志与数量标志，品质标志表示事物质的特征，一般用文字说明；数量标志表示事物量的特征，一般用数值说明6、指标是用来反映总体数量特征的概念，应该包括他的概念和数值。
7、指标按其所反映总体的内容不同分为数量指标和质量指标。
数量指标是指反映社会经济现象总体规模或工作总量的统计指标；质量指标是指反映社会经济现象的相对水平或工作质量的统计指标。
8、指标按其功能和作用分为描述指标、评价指标和预警指标。
描述指标是指用于反映社会经济现实状况和社会生产、生活过程及其结果的统计指标；评价指标是指用于对社会经济活动的结果进行比较、评估、考核，以检查其经济效益和工作质量的统计指标；预警指标主要用于对宏观经济运行状况进行监控，并依据其指标值的变化，预报国民经济即将出现不平衡状态和突发事件，以及某些结构性障碍。
9、统计指标体系是指由一系列相互联系的统计指标所构成的指标群体，用以说明所研究的社会经济现象总体各方面相互依存和相互制约的关系。
10、变异是标志或指标具体表现的差异。
11、变量是指可变的数量标志和指标。
变量的数值表现就是变量值，亦即可变的数量标志或指标的不同取值。
12、定类尺度是指分组标志是对一些客观事物的名称进行排列。
它的特点是只能对数据进行平行的分组或分类，具有互斥性，不能对各组的编号进行加减乘除等数学运算。
13、定序尺度指把各类事物按一定特征的强弱、高低等顺序排列起来。
社会统计学6
• 上例中，由于每个样本均是大样本，样本均值的方差仅为２，这 说明大样本对总体的代表性要优于小样本。样本方差的均值为34， 较总体方差为36这一数值存在2个单位的差距，这正好是样本均值 的方差，这2个单位的差距是由抽样误差导致的。
• 总之，大样本下的均值的方差要小于小样本很多，反映出任意抽 到一个有代表性样本的可能性提高，样本的代表性在增强。
的分布样本估计量是样本的一个函数，在统计学中称作统计量， 因此抽样分布也是指统计量的分布。当我们要对某一总体的参数 进行估计时，就要研究来自该总体的所有可能的样本统计量的分 布，比如样本均值的分布、样本比例的分布，从而概括有关统计 量抽样分布的一般规律。因而抽样分布也是随机变量函数分布。
• 我们希望利用样本，特别是通过作为样本函数的样本统计量来了 解总体，对总体进行推断，这些样本统计量包括前文提到的样本 均值、样本中位数、样本标准差以及样本相关系数等组成的函数。 这些样本统计量对于不同的样本会计算出不同的值，也就是说， 具有相同样本量的样本统计量作为随机样本的函数也是随机的， 也有自己的分布，这些分布就成为抽样分布。
• （３）计算所有样本均值的均值，为80。
• （４）计算每一个样本的方差 （组内方差），共有16个方差。
• （５）计算所有样本均值的方差 （均值的抽样方差），为0.5。
• （６）计算所有样本方差的均值，为35.5。
• （７）样本方差的均值与样本均值的方差合计为36，等于总体方差。
• 不难发现，经过分层抽样计算的均值分布更加集中，全部样本的 均值为80，其中最小值为79，最高值为81，样本均值的方差仅为 0.5，即随机抽到某个样本均对总体具有很好的代表性。（见表6.5、 表6.6和图6.4）。在样本量一定的情形下，分层抽样较不分层抽样 抽到的样本更加能够反映总体的特征,样本方差的均值为35.5，更 接近总体方差36这一取值。较小样本和未分层的大样本来说，它 的抽样误差更小，也更加近似于所有可能样本方差的均值。
20社会统计学与SPSS应用第六章 正态分布及其他常用分布
第三节 标准正态分布
• 一、标准值与标准正态分布
。 • 以标准差为单位的好处，是可以使正态分布标准化，从而不受变量的度量单位的影响
以标准差为单位，就是要将原先的变量值 x 转化为标准值：
Z x
Z 称作 x 的标准值（或标准分，standard scores）。
依据标准值所得到的分布就是标准正态分布，它的概率密度为
• 所谓正态曲线是一种对称平滑的钟形曲线，它是一种非常重要的理论性曲线，可以反 映变量的概率分布的情况，许多自然现象和社会现象都可近似看作服从正态分布，即可以 用正态曲线来描述。正态分布（又称常态分布或高斯分布）最早是由德国数学家高斯在研 究误差理论时所发现的。需要注意的是，概率分布是一种基于理论（概率论）而建立起来 的，它反映的是随机变量的各个可能的取值及其相对应的概率，它和由现实世界中通过观 测得到的频数分布虽然相似但并不相同。在概率分布中，概率代表各个变量值的可能性大 小，类似于频数分布中的百分比。
关于正态分布的两个定理也很重要：
（1）若随机变量 X1, X 2 , X n 相互独立，并且都服从正态分布 X i :
N
(i
,
2 i
)
，则它
们的和
n
X i 仍然服从正态分布，并且有
n
Xi :
N
n
i ,
n
2 i
。
i 1
i1
i1 i1
（2）服从正态分布的随机变量的线性函数 kX b仍然服从正态分布，并且有
第一节 正态分布的含义及性质
• 一、频数分布与正态曲线
•
前面章节中反复提到的频数分布，依据的是实际观察的结果（经验数据）。对于现实
统计学原理第六章 统计指数_OK
2021/7/22
28
其他权数形式的综合指数的编制
在指数编制理论的发展和实践过程中,除了拉斯贝尔和派许 提出了以基期和报告期为权数以外,还有不少统计学家曾提出 或采用过其他形式的权数计算总指数的综合形式。
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29
(1) 采用平均权数。即在研究数量指标指数时,其同度量 因素质量指标以拉式和派式指数分析法中的基期和报告期 的质量指标的简单算数平均数为权数;而在研究质量指标指 数时,其同度量因素数量指标也以拉式和派式指数分析法中 的基期和报告期的数量指标的简单算术平均数为权数。
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20
(1) 采用基期权数。即把同度量因素固定在基期,以基期的 数量指标作为权数。则销售单价的综合指数公式为:
这个指数公式是由德国经济学家拉斯贝尔(Laspeyres)在 1864年提出的,简称拉氏指数公式。从以上公式可以看出:p1q0 为基期的销售量(数量指标)按报告期销售单价(质量指标)计算 所得的销售额,分母∑p0q0是基期的销售额。
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5
指数分析法在实际工作中有着极其重要的作用
1) 综合反映复杂的社会经济现象总体的变动方向和程度 2) 分析和测定现象的各个构成因素对现象发展变动的影响程度和
绝对效果 3) 研究事物在长时间内的变动趋势
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6
6.1.3 统计指数的种类
由于划分的标准不同,统计指数有很多种类: 按照研究对象的范围不同,可分为个体指数和总指数
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16
从上表可知,可以编制三个总指数,即销售量总指数、价格 总指数和销售额总指数。
在分析该商店三种商品的销售额变动时,只要把报告期的 销售额与基期销售额直接进行对比。
社会统计学第六章
n
ˆ 为总体成数p的点估计值 • 其中，P p(1 p) • 1-α为置信度。 p ˆ n ˆ • 当p未知情况下，可用 ˆ 代替：p≈ P P
ˆ Z P
ˆ ， P Z 2 P ˆ ˆ 2 p
• 例：某厂对一批产品的质量进行抽样检验，采用重复抽样抽取 样品200只，样本优质率为85%，试计算当把握程度为95%时优 质品率的区间范围。 • 解：由题意可知： ˆ 1 p ˆ 0.15 ˆ 0.85；q • n=200， p • 1-α=0.95,α=0.05,Zα/2=Z0.025=1.96
• 即μ的的置信度为95%的置信区间为（497.26，508.58）。 • 从上例可以看出：当置信度1-α较大时，置信区间也较大； 当置信度1-α较小时，置信区间也较小。
• （二） 2为未知 • 公式：
• 例：有一大批糖果，现从中随机抽取16袋，称得重量（克） 如下： • 506 508 499 502 504 510 497 512 • 514 505 493 496 506 502 509 496 • 设袋装糖果的重量服从正态分布，试求总体均值μ的置信 度为0.95的置信区间。 • 解：α=0.05，k=n-1=15 • 查t（n-1）分布表可知：t0.025（15）=2.1315， • 计算得 x 503.75, s 6.2022 • 得μ的置信度为95%的置信区间
[503.75 6.2022 2.1315 ]即（500.4， 507.1 ） 16 就是说估计袋装糖果重 量的均值在 500.4克与507.1克之间， 这个估计值的可信度为 95%。
• 二、总体频率π的区间估计 • 设π为总体频率，P为样本频率，n为样本容量。 • 总体频率的置信区间为：
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第三篇
统计推论：单变量与双变量
1
第五章：抽样与统计推论 第六章：参数值的估计 第七章：假设检定：均值与百分率 第八章：假设检定：两个变量的相关
2
第一节 点值估计与区间估计
• 以样本的统计值来估计总体的参数值，有 两类方法：点值估计和间距估计。 • 这两种方法都要求随机样本。
3
一、点值估计：
点值估计：以一个最适当的样本统计值来代表总体 的参数值。 缺陷： 抽样误差在所难免 可信程度难以确定
13
作业：
在A社区抽取100个家庭作为样本，发现居 民用于看电视的时间占总休闲时间的比例 平均为75%，标准差为20%。求看电视占 居民休闲时间比例的估计区间（99%可信 度）。
14
均值估计和百分率估计的区别：
均值估计：原始变量是定距变量，有若干个 连续取值的数值； 百分率估计：原始变量是二分变量，仅有两 个取值，被赋值为1和0，转变为定距变量 。
第二节 间距估计： 均值、百分率和积矩相关
7
一、均值的间距估计
用样本均值来估计总体的均值区间
8
9
可信间距与可信度成正比， 可信间距与样本大小成反比。
10
二、百分率的间距估计 用样本的百分率估计总体的百分率间距
此时：
11
12
由于总体百分率P不知道，所以： ①用样本的百分率p代替P；
②使P=0.5（此时得到的区间最大）。
15
三、积矩相关系数的间距估计
16
17
• 积矩相关系数r先转化成Z‘， Z‘值的均值抽样分布 是正态分布。根据样本的Z‘值估计总体的Z‘值， 然后在转化为r值。从而由样本的r值估计出总体 的r值区间。 • r值与Z‘值的相互转化，查表附录四。
18
例子
19
20
21
4
二、间距估计：
• 间距估计：以两个数值之间的间距来估计参数值。 • 间距的大小，取决于我们在估计时所要求的可信 程度的大小。样本相同的情况下，要求的可信度 越大，间距就法时，我们需要选定可信度。 可信度可以任选，一般常常使用95%和99%。
6
统计推论：单变量与双变量
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第五章：抽样与统计推论 第六章：参数值的估计 第七章：假设检定：均值与百分率 第八章：假设检定：两个变量的相关
2
第一节 点值估计与区间估计
• 以样本的统计值来估计总体的参数值，有 两类方法：点值估计和间距估计。 • 这两种方法都要求随机样本。
3
一、点值估计：
点值估计：以一个最适当的样本统计值来代表总体 的参数值。 缺陷： 抽样误差在所难免 可信程度难以确定
13
作业：
在A社区抽取100个家庭作为样本，发现居 民用于看电视的时间占总休闲时间的比例 平均为75%，标准差为20%。求看电视占 居民休闲时间比例的估计区间（99%可信 度）。
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均值估计和百分率估计的区别：
均值估计：原始变量是定距变量，有若干个 连续取值的数值； 百分率估计：原始变量是二分变量，仅有两 个取值，被赋值为1和0，转变为定距变量 。
第二节 间距估计： 均值、百分率和积矩相关
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一、均值的间距估计
用样本均值来估计总体的均值区间
8
9
可信间距与可信度成正比， 可信间距与样本大小成反比。
10
二、百分率的间距估计 用样本的百分率估计总体的百分率间距
此时：
11
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由于总体百分率P不知道，所以： ①用样本的百分率p代替P；
②使P=0.5（此时得到的区间最大）。
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三、积矩相关系数的间距估计
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17
• 积矩相关系数r先转化成Z‘， Z‘值的均值抽样分布 是正态分布。根据样本的Z‘值估计总体的Z‘值， 然后在转化为r值。从而由样本的r值估计出总体 的r值区间。 • r值与Z‘值的相互转化，查表附录四。
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例子
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二、间距估计：
• 间距估计：以两个数值之间的间距来估计参数值。 • 间距的大小，取决于我们在估计时所要求的可信 程度的大小。样本相同的情况下，要求的可信度 越大，间距就法时，我们需要选定可信度。 可信度可以任选，一般常常使用95%和99%。
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