郑州大学物理工程学院量子力学试题含答案

2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业
光电子方向量子力学试题（A 卷）
（说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分）
计分人：
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：
E = h ν, p = /h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2
),(ψ的物理意义为： 粒子在x —dx 范围内的几率 。

4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量
F 所得的数值，必定是算符F
ˆ的 本征值 。

7．定态波函数的形式为： t E i
n n e
x t x -
=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_ 反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_ 对称的 _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2
± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）
1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：
证明：
2、（10分）由Schr ödinger 方程
证明几率守恒： 。

其中几率密度
几率流密度 。

2
|),(|),(),(),(t r t r t r t r ψ=ψψ=*
ω2
2(,)[()](,)
2i r t V r r t t μ
∂
ψ=-∇+ψ∂z
y x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =0=∙∇+∂∂
J t
ω]
[2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μ
i J ]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z y
x p x p z p z p y L L --=]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z p
y ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p
y +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z p
y +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p
y ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z p
y ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p
yz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x p
i y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y p
x i -= z
L i ˆ =
证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
三、计算题：（共40分）
1、（10分）设氢原子处于状态
),()(2
3
),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=
Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值 2
2
2
2
2
282
s s e n
e E μμ-
=-
= )2(=n ，几率为1
2
2[](1)2i V t μ∂ψ=-∇+ψ∂22[](2)
2i V t μ
**
∂-ψ=-∇+ψ∂(1)(2)*ψ⨯-ψ⨯将式得：
]
[2222***
*
ψ∇ψ-ψ∇ψ-=ψ∂∂ψ+ψ∂∂ψμ
t i t i ][22ψ∇ψ-ψ∇ψ∙∇=ψψ∂∂***
μ
）（t i τ
μτττd d dt d i ][22ψ∇ψ-ψ
∇ψ∙∇=ψψ**
*
⎰⎰ ）（τ
μ
ττ
τd i d dt d ][2ψ∇ψ-ψ∇ψ∙∇-=ψψ***⎰⎰ ）（τ
τωττ
d J d t r dt d
∙∇-=⎰⎰),(0=∙∇+∂∂
J t
ω
角动量平方有确定值为
2222)1( =+=L )1(= ，几率为1 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L -=2Z L 其相应的几率分别为
41， 4
3
2、（10分）求角动量z 分量 的本征值和本征函数。

解：
波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：
求归一化系数
最后，得 L z 的本征函数
ˆz
d L i d φ
=-π
πφφψππ21
12||2202220=→===⎰
⎰
c c
d c d 归一化系数。

是积分常数，亦可看成其中解得：c c
e l d d i L z
i l z
z φ
φψφψφψφφψ ==-=)()()()(ˆ)2()(πφψφψ+=)2(πφφ+=→z
i z i l l ce
ce 1
2=πz
i l e
,2,1,022±±==m m l z
ππ于是 ,2,1,0±±==→m m l z
3、（20分）某量子体系Hamilton 量的矩阵形式为：
设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似。

解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：
H 0 是对角矩阵，是Hamilton H 0在自身表象中的形式。

所以能量的 0 级近似为：
E 1(0) = 1 E 2(0) = 3 E 3(0) = -2
由非简并微扰公式
得能量一级修正：
⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c c c H H 0000002000300010(1)
2(2)(0)(0)
||n nn
kn
n k n n k
E H H E E E ≠'⎧=⎪
'⎨=⎪-⎩∑(1)
111
(1)
222
(1)3
3300E H E H E H c
'⎧==⎪'==⎨⎪'==⎩⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=2000301
c c
c
H
,2,1,021
)(±±=⎪⎩
⎪⎨
⎧==m e m l im m z φπ
φψ
能量二级修正为：
二级近似下能量本征值为：
221)
0(3)0(1231)0(2)0(12
21)0()0(121)2(1||||||c E E H E E H E E H E k k n k -=-'+-'=-'=∑
≠2
21)0(3
)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(2||||||c E E H E E H E E H E k k n k =-'+-'=-'=∑
≠0||||||)
0(2)0(3223)0(1)0(3213)0()0(323)2(3=-'+-'=-'=∑
≠E E H E E H E E H E k k n k ⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=+=-=c E c E c E 2313
22
1
22211。