2.1矩阵序列及函数矩阵的极限
《矩阵分析》课程教学大纲
《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。
要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。
二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。
2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。
（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。
（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。
矩阵级数与矩阵函数
{ A } 收敛于 A, 记为
(k )
lim A( k ) = A 或 A( k ) → A
k →∝ k →∝
不收敛的矩阵序列则称为发散的，其中又分为有界和无界的情况。 对于矩阵序列 A
(k ) aij <M
{ } ，若存在常数 M > 0 ，使得对一切 k 都有
(k )
则称 A
{ } 为有界的。
(k )
k =1
N
{S } 收敛,且有极限 S , 则称该矩阵级数收敛,且有和 S . 记为
S = ∑ A(k )
k =1 ∞
不收敛的矩阵级数称为是发散的。
6
若矩阵级数 对收敛。
∑A
k =1
∝
(k )
的所有元素
∑a
k =1
∝
(k ) ij
均绝对收敛,则称该级数为绝
2. 绝对收敛矩阵级数的性质 (1) 绝对收敛矩阵级数一定收敛，且任意调换它的项所得的级数仍收
k 0 k =0 k
∝
I ) 是绝对收敛的。 反之, 若 A 存
在落在 ϕ ( z ) 的收敛圆外的特征值, 则 ϕ ( A) 是发散的。 证明略. [推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵 A , ϕ ( A) 均收 敛。
11
四、 矩阵函数 如: e , sin A , cos A 以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”)
三、 方阵的幂级数
A 为方阵 ,
Neumann 级数。
∑ c A ,( A
k =0 k
∝
= I ) 称为 A 的幂级数 .
∑A
k =0
∝
k
称为 A 的
1. Neumann 级数收敛的充要条件 [定理] Neumann 级数收敛的充要条件是 A 为收敛矩阵,且在收敛时其和 为 ( I − A) 。 证明: [必要性]
矩阵分析与计算--08-矩阵极限与级数
4.矩阵序列Cauchy收敛准则
设 A1 , A1 , Ak , 0 是矩阵空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
k
lim Ak A0
则称序列{Ak }按 -范数收敛于A0
(k ) (0) 记Ak （aij ） , A （ a l p 0 ij ） l p
由数列Cauchy收敛准则，有
det(uE ( E A)) 0
det((u 1) E A) (1)n det((1 u) E A)
det((1 u) E A) 0
令1 u ,这说明为A的一特征值
0< μ <2 → μ ≠ 0
1 ( E A ) ( E A) 的行列式不为零,
A 称为其部分和, 称矩阵序列
k k=1
S1 , S2 ,
为矩阵级数的部分和序列
, Sk ,
若矩阵部分和序列 Sk 收敛,且有极限 S, 则称该级 数收敛,且有极限 S. 记为
A =S
k k=1
若矩阵级数
A 的所有元素 a
k k=1 k=1
(k ) ij
均
绝对收敛,则称该级数为绝对收敛
0 0 i U =
1 r r C 0 0
r-i-1
(1 i r ),U k 0 (k r )
示例
0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1i n j 1 n
行范数
3）从属于向量的2-范数的算子范数为 A 2 1
—范数
谱范数
1是方阵AH A的最大特征值
矩阵分析及矩阵函数
§3.1
基本概念
§ 3.2 函数矩阵的微分和积分 § 3.3 向量和矩阵的范数 § 3.4 矩阵函数
§3.1
基本概念
1.矩阵序列的极限
按照一定的顺序，将可数个n阶方阵排成一列： A1 , A2 , , Am , , 称这列有次序的矩阵为矩阵序列， 称Am为矩阵序列的一般项。
0 0 0
t t0
t t0
A t B t AB lim A t lim B t , 2 lim t t t t t t
0 0 0 0 0
kA t kA k lim A t 。 3 设k任意常数，则 lim t t t t
定义5 如果任意的i, j , 有1 i m,1 j n, lim aij t aij , 则称矩阵A t aij t t t0时极限为A aij
t t0 mn mn
在
。
性质3 设 lim A t A,lim B t B, 则 A t B t A B lim A t lim B t ; 1 lim t t t t t t
m
m 1, 2,
, 则 lim Am 存在，且 lim Am =A 。
m m
1
1
1
定义2 如果给定一个n阶矩阵序列 Am ： A1 , A2， ，Am， ，则由这些n阶矩阵序列 构成的表达式A1 A2
m 1
2.矩阵级数
Am
，叫做
n阶矩阵级数，记为 Am，即
定义6 设函数矩阵A t 中所有元素aij t 在t0处连续，则称A t 在t0处连续。 如果所有元素aij t 在 a,b 内每一点都 连续，则称A t 在 a,b 内连续。 如果A t 在 a,b 内连续，并且所有的aij t 在a点右连续，在b点左连续，则称A 为两个n阶矩阵序列, 如果
第4讲(1)矩阵序列与矩阵函数
1 4!
A4
+L+
(−1)k (2k )!
A2k
+L
22
矩阵函数的性质
性质：设A, B为 n 阶方阵，且 AB = BA, 则 (1) d e − At = − e − At A dt (2) e AeB = eBe A = e A+B
(3) (e A )−1 = e − A
∑ Q e − At
=
∞ k=0
假设A可对角化，即存在非奇异矩阵P，使得
P −1AP
=
⎡λ1 ⎢
O
⎤ ⎥,
⎢⎣
λn ⎥⎦
则
f ( A)
=
⎡ P⎢
f
(λ1 )
O
⎤ ⎥ P −1.
⎢⎣
f (λn )⎥⎦
37
(d) Jordan标准型法
一般的，设A的Jordan标准型为J，即存在
非奇异矩阵P，使得
P −1 AP = J
⎡J1 =⎢
O
⎤ ⎥,
a
k
J
k i
收敛,
且
k=0
13
14
∞
∑ ak
J
k i
=
k=0
⎡ ⎢
f
(λi
)
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
f ′(λi ) O
1 2!
f ′′(λi )
O
L O
1 ( r −1)!
f
(r
M
−1)
(λi
)⎤ ⎥ ⎥
O
O
1 2!
f ′′(λi )
⎥ ⎥
O
f ′(λi ) ⎥
f (λi ) ⎥⎦
大三必修数学知识点
大三必修数学知识点数学作为一门基础学科，在大学阶段占据着重要的地位。
尤其对于理工科学生来说，大三是他们进一步深化和拓展数学知识的时期。
本文将介绍大三必修数学知识点，帮助同学们在学习中更好地掌握这些关键内容。
1. 高等代数知识点1.1 矩阵论：介绍矩阵的基本概念、运算和性质，矩阵的相似、对角化和特征值问题等。
1.2 线性方程组：研究线性方程组的解的存在唯一性、矩阵的秩和逆的性质。
1.3 特征值与特征向量：深入理解特征值与特征向量的概念及其在线性代数中的应用。
1.4 幂零矩阵和可逆矩阵：学习幂零矩阵和可逆矩阵的定义、性质及其在矩阵论中的重要性。
2. 微积分知识点2.1 多元函数微分学：学习多元函数的偏导数、全微分、最值及其在几何和物理问题中的应用。
2.2 多元函数积分学：研究重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法和应用。
2.3 级数与序列：掌握级数与序列的收敛性、数值判别法和级数收敛的应用。
2.4 常微分方程：学习一阶和二阶常微分方程的解法和一些特殊问题的求解。
3. 概率论与数理统计知识点3.1 随机变量：研究随机变量的概念、分布函数、概率密度函数及其性质。
3.2 大数定律与中心极限定理：理解大数定律和中心极限定理及其在实际问题中的应用。
3.3 参数估计与假设检验：学习参数估计的方法和假设检验的原理与步骤。
3.4 相关与回归分析：掌握相关与回归分析的基本概念、方法和模型。
4. 数学分析知识点4.1 数列与级数：研究数列和级数的性质、收敛性和发散性。
4.2 一元函数的极限和连续性：学习一元函数的极限概念、连续性和中值定理等。
4.3 导数与微分：深入理解导数和微分的概念、性质和计算方法。
4.4 不定积分与定积分：掌握不定积分和定积分的计算方法和应用。
总结：大三必修的数学知识点涵盖了高等代数、微积分、概率论与数理统计以及数学分析等方面。
掌握这些知识点对于理工科学生来说至关重要，不仅可以为他们的专业课提供必要的数学基础，还为他们未来的学习和研究奠定了坚实的数学基础。
附录-矩阵序列与级数
1
2
8 2 1 16 ( 5)( 3) 0 1
1 5 2 ( A) 。 1 ( A) ， 2 6
lim Ak 0
k
得 1 ( B) 5， 2 ( B) 3，进而得
5 ( A) 1 于是， 6
0 q 1
A k 0 根据定理1 即知 lim A k 0。 于是，lim k k
推论
设 A∈Cn×n， lim A k 0 的充分必要条件是
k
存在Cn×n上的某种范数 ，使得 A 1
( A) < 1
lim A k 0
k
A 1
判断一个矩阵序列是否收敛到零矩阵：
证 必要性 由定理1知 lim A k 0 的充分必要条件是对任意
A k 0。 因此对充分大的k, 必有 Ak 1 一种矩阵范数 均有lim k
k
k
因此得
(A)
k
(Ak ) Ak 1
利用矩阵谱半径的定义以及相容矩阵范数的性质有：
( A) < 1
Ak
其中 det Aij( k ) ( n 1)( n 1)
(k ) (k ) det( A ) det( A 12 22 ) det( A( k ) ) det( A( k ) ) 1n 2n i, j 1, 2, , n 为Ak的第ij个代数余子式。
mn 推论 设A k A C ， ，并且 k 1
lim A k A
k
Ak A 则 klim
此结论只是充分条件，反过来不一定成立。 给定矩阵序列 Ak 1
矩阵级数与矩阵函数
第七讲 矩阵级数与矩阵函数一、 矩阵序列1. 定义: 设有矩阵序列{}()k A , 其中()()()k k ij A a =, 且当k →∞时()k ij ij a a →, 则称{}()k A 收敛, 并把()ijA a =叫做{}()k A 的极限, 或称{}()k A 收敛于A , 记为()lim k k A A →∝= 或 ()k k A A →∝→不收敛的矩阵序列则称为发散的,其中又分为有界和无界的情况.2. 收敛矩阵序列的性质:设{}()k A ,{}()k B 分别收敛于A ,B 则(1) ()()k k k A B A B αβαβ→∝+→+(2) ()()k k k A B AB →∝→(3) ()11()k k A A --→∝→，若()11(),k A A --存在(4) ()k k PA Q PAQ →∝→3 收敛矩阵: 设A 为方阵,且当k →∝时0k A →, 则称A 为收敛矩阵.[定理] 方阵A 为收敛矩阵的充要条件是A 的所有特征值的模值均小于1.证明: 对任何方阵A ,均存在可逆矩阵P , 使得 1A PJP -= 其中J 为A 的Jordan 标准形12s J J J J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1010i iii J λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1112k kk k k s J J A PJ P P P J --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11!...(1)!(1)!,i k m kk i i i i i ki k k m k m J λλλ-+-⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦当i k m > 0k A →就等价于0(1,2,...,)k i J i s →=, 等价于0(1,2,...,)k i i s λ→=,而这只有1i λ<才可能也必能.[得证]二、 矩阵级数1.定义: 矩阵序列{}()k A 的无穷和(1)(2)()k A A A ++++叫做矩阵级数, 而()()1NN k k SA ==∑称为其部分和, 若矩阵序列{}()N S 收敛,且有极限S , 则称该级数收敛,且有和S . 记为()1k k A S ∝==∑ 不收敛的级数必为发散的.若矩阵级数()1k k A∝=∑的所有元素()1k ij k a ∝=∑均绝对收敛,则称该级数为绝对收敛.2. 绝对收敛矩阵级数的性质(1)绝对收敛级数一定收敛,且任意调换它的项所得的级数仍收敛,并具有相同的和.(2) ()1k k A ∝=∑绝对收敛,则()1k k PA Q ∝=∑也绝对收敛且等于()1k k P A Q ∝=∑(3) ()1k k A ∝=∑, ()1k k B ∝=∑均绝对收敛,且和分别为12,S S 则()(1)1211()ki k i k i AB S S ∝+-===∑∑三、 方阵的幂级数A 为方阵, 0,()kk k c A A I ∝==∑称为A 的幂级数. 0k k A ∝=∑称为A 的Neumann 级数.1. Neumann 级数收敛的充要条件[定理] Neumann 级数收敛的充要条件是A 为收敛矩阵,且在收敛时其和为1()I A --. 证明: [必要性]级数0k k A ∝=∑收敛, 其元素为23()()()ij ij ij ij A A A δ++++显然也是收敛的. 作为数项级数, 其通项趋于零是级数收敛的必要条件. 故()0k ij k A →∝→，即0k k A →∝→也就是说A 为收敛矩阵. [充分性]:A 为收敛矩阵, 则其特征值的模值均小于1. 设A 的特征值为λ, ()I A -的特征值为μ. 则由det(())det((1))(1)det((1))n I I A I A I A μμμ--=-+=---可见11μλμλ-=→=-故020μμ<<→≠, ()I A -的行列式不为零,1()I A --存在. 而21(...)()k k I A A A I A I A +++++-=- 右乘1()I A --得211...()()k k I A A A I A I A +-++++=--当k →∝时, 10k A +→, 故11()0k A I A +--→. 所以10lim ()kii k i i AA I A ∝-→∝====-∑∑即Neumann 级数收敛于1()I A --.2. 收敛圆[定理] 若矩阵A 的特征值全部落在幂级数0()k k k z c z ϕ∝==∑的收敛圆内, 则矩阵幂级数00(),()k k k A c A A I ϕ∝===∑是绝对收敛的. 反之, 若A 存在落在()z ϕ的收敛圆外的特征值, 则()A ϕ是发散的. 证明略.[推论] 若幂级数在整个复平面上收敛, 则对任何的方阵A , ()A ϕ均收敛.四、 矩阵函数 如: A e , sin A , cos A以矩阵为自变量的“函数”(实际上是“函矩阵”)我们知道, 201112!!znn e z z z n ∝==+++=∑210(1)sin()(21)!n n n z z n ∝+=-=+∑20(1)cos()(2)!n nn z z n ∝=-=∑均为整个复平面上收敛的级数, 故对任何的方阵A01!Ann e A n ∝==∑210(1)sin()(21)!nn n A A n ∝+=-=+∑20(1)cos()(2)!n nn A A n ∝=-=∑均绝对收敛. 三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。
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“ ”设 || X k X 0 || 0 (k ) 则
max | x x | 0
(k ) 1 i n i i
(k) (k) (k) k 1 2 n
k k 0
lim x
k
(k ) i
x , i 1,2, , n
i
从而 max | x x | 0
(k ) i i i
即|| X X || 0(k )
k 0
由范数之间的等价性质知结论成立.
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定义 设m n 的复变量z 的一元函数矩
阵 A( z ) (a ( z )) 在 z 的一个邻域内有定义,
ij mn
0
即 A( z )中 a ( z ) (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 都有定义,
1 0 E. 0 1
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二、函数矩阵的极限
设 a z 是一元复变函数,
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一、矩阵序列的极限
1. 定义
1 2 k
A C
k
m n
, A (a ) ,( k 1,2,)
(k ) k ij mn
A , A ,, A ,, 记作 {A } 为矩阵序列.
k
若 lim a a (有限) (i 1,2,, m, j 1,2,, n)
k
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k
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nn A , B C , lim Ak A, lim Bk B ② k k k
0
区域 D的每一点连续, 则称 A( z )在区域 D上连
续.
定义 若 n阶方阵 A( z )在区域 D中每一点
都可逆, 称 A( z ) 在 D 上可逆, 记
为A
1
A( z ) 的逆矩阵
(z)
. 显然满足:
1 1
z D 有 A( z ) A ( z ) A ( z ) A( z ) E
k k k
k k
1 lim(1 ) e 1 k , ( 1) 1 0 lim k
k k
lim( 1) 不存在， lim B
k
(k )
不存在.
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-1
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例1：求如下矩阵序列的极限
1 (1 ) (k ) k A 1
ij
称
a z a z a z a z A( z ) a z a z
11 12 21 22 m1 m2
a z a z a z
1n 2n mn
为函数矩阵.
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1 A ( z ) ②若 为连续可逆方阵, 则 A ( z )也连续.
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例3
求 lim A( t ) .
k
1 k 1 (1 ) 1 (k ) k k , B ( 1) ( 1)k k
k k k
1 1 k ( 1) k
k
解：
1 lim(1 ) (k ) k lim A lim 1
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矩阵分析方法
高等数学中函数的极限运算、微分运
算、积分运算、幂级数运算 矩阵理
论中.
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k k k
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证明 对任何一种范数 || ||
k k k k k
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|| A B AB |||| A B A B+A B AB ||
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m n
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也即
lim A lim(a )
(k ) k k k ij (k) k ij
(lim a )
(a )
ij m n
m n
特别:
m n－方阵序列收敛;
n 1 －列矩阵(向量)序列收敛; m 1 －行矩阵(向量)序列收敛;
（ k ,i 1,2,, n） 于是 | x x | 0
(k) i i
从而 A A (k )
k
证毕.
②考虑方阵 A 的F-范数似①可证.
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n k k k 0 1 2 n
对任意一种n维向量范数 || || , 有
|| X X || 0, (k )
k 0
② { A } C , lim A A 对任意一种
nn k k k
方阵范数|| || , 有 || A A || 0,(k ).
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注 范数序列实际上是数列. 向量序列的收敛性, 方阵序列的收敛性可
通过向量范数序列, 方阵范数序列的收敛
性来讨论!
3. 方阵序列收敛的性质 ① { A } C ,lim A A
nn k k k
任一方阵范数 || || , {|| A ||} 有界.
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2. 向量序列、方阵序列收敛的判定条件
定理1 ①{ X } C , lim X X ( x , x ,, x )
A
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z z0 ij ij
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0
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定义 若 lim a ( z ) a ( z )( i 1, 2, , m; j 1, 2,, n) 则称 A( z ) 在 z 连续. 又若 A( z )在复平面的一个
k
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证明 “ ” 设 X ( x , x ,, x ) , 由 lim X X 知
k
|| A B A B || || A B AB ||
k k k k
|| A || || B B || || B || || A A ||
k k k
联系性质①可证! ④ 若
lim A A ,且 Ak1 , A1都存在
k k
lim A =A
1 k k
2 t t 2 t 2
2
1 0 e e E. 0 1
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t