第4讲基本不等式与柯西不等式
柯西不等式(优质课)
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用
基本不等式及柯西不等式
考点3 基本不等式及柯西不等式1. （15泰州一模）已知正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3，求证：222b c a a b c ++≥3． 【考点】基本不等式．【证明】∵正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3， ∴333a b c abc =++…， ∴abc ≤1， ∴332222221333b c a b c a a b c a b c abc ++⋅⋅=厖．2. （15江苏模拟（三））已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2222236a b c d ＋＋＋＝25，求实数d 的取值范围．【解】由柯西不等式得()()22222111111236236236236a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅+⋅+⋅++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， 当且仅当236a b c ==时取等号．∵1a b c d ++=-，222223625a b c d ++=-，∴()22125d d --≤，即2120d d --≤．解得[]3,4d ∈-． 3. （江苏2015高考冲刺压轴卷）已知不等式221a b c x ++-≤对于满足条件2221a b c ++=的任意实数,,a b c 恒成立,求实数x 的取值范围．【考点】本题考查了柯西不等式． 【解】因为()()2222(2)1124a b c a b c ++++++=≤，所以22a b c ++≤， 又221a b c x ++-≤对任意实数,,a b c 恒成立, 故2max 12)2x a b c -++=≥(， 解得3,x -≤或3x ≥．4．（徐州市2014届高考信息卷）,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值． 【考点】柯西不等式.【解】因为243a b c ++=，所以(1)2(1)4(1)10a b c +++++=，因为,,a b c 为正数，所以由柯西不等式得2111[(1)2(1)4(1)]()(122)111a b c a b c +++++⋅+++++++≥，当且仅当222(1)2(1)4(1)a b c +=+=+等式成立． 所以111116211110a b c ++++++≥， 所以111111a b c +++++的最小值是116210+， ……………………8分 此时2310215217852,,777a b c ---===． ……………………10分 5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知a ，b 是正数，且a +b =1，求证：()()ax by bx ay xy ++≥.【考点】基本不等式.【证明】∵a ，b 是正数，且a +b =1，∴2222()()()ax by bx ay abx a b xy aby ++=+++2222()()ab x y a b xy =+++222()ab xy a b xy ⋅++≥2()a b xy xy =+=即()()ax by bx ay xy ++≥成立.6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知a ，b 是正数，求证（a +1b ）（2b +12a ）≥92． 【考点】基本不等式．【证明】因为a ，b 是正数，利用基本不等式，1111222222a b ab b a ab ++=+++()()155922222ab ab =+++=（）≥，2所以119222a b b a ++()()≥． 7. （15南京一中等五校联考）已知实数x ，y ，z 满足3x +2y +z =1，求22223x y z ++的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【解】由柯西不等式，22222221()(2)(3)3(2)()(32)13x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++⋅++++=⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥， 所以22232334x y z ++≥，当且仅当231323x y z ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为334．8.已知22223x y z ＋＋＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值． 【解】 ∵(22223x y z ＋＋)2221323⎡⎤⎛⎫+()+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥2132233x y z ⎛⎫+⋅+⋅ ⎪⎝⎭＝2(32)x y z ＋＋， 当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴2(32)x y z ＋＋≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23. 当x ＝9317-，y ＝－3317，z ＝－317时， 3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－23.9. (2015·南京、盐城调研)已知x 、y 、z 均为正数，求证：33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z ++. 【证明】 由柯西不等式，得 (21＋21＋21)222111xy z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥2111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 即3×222111x y z ++≥111x y z ++. ∴33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z++. 当且仅当1x ＝1y ＝1z 时等号成立． 10. (2015·苏、锡、常、镇调研)设实数x ，y ，z 满足x ＋2y －3z ＝7，求2x ＋2y ＋2z 的最小值．【解】 由柯西不等式，得(2x ＋2y ＋2z )·[21＋22＋2(3)－]≥2(23)x y z ＋－. ∵x ＋2y －3z ＝7，∴2x ＋2y ＋2z ≥72. 当且仅当x ＝2y ＝3z 时取等号， 即x ＝12，y ＝1，z ＝－32时取等号． ∴2x ＋2y ＋2z 的最小值为72.。
基本不等式及柯西不等式
g3.1037基本不等式一、知识回顾1.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈aa R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.注意： ○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；○2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则（当仅当a=b=c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+仅当a=b 时取等号） （2）柯西不等式1、定理1（二维）若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立。
2||ac bd ≥+||||ac bd +3、定理2（向量形式）设,αβ 是两个向量，则有||||||αβαβ⋅≤⋅ ，当且仅当0β=，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立。
4、定理3（三角不等式）设1122,,,x y x y R ∈，则有5（多维） 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,, （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或 则称f(x)为凸（或凹）函数.二、基本练习1、下列结论正确的是 （ ） A ．当101,lg 2lg x x x x>≠+≥且时B ．02x >≥当时C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．xx y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x xx yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、设0>>b a ，则下列不等式成立的是 （ ）A ．b a ab +2ab b a >+>2B ．>>+ab b a 2b a ab +2C ．>+2b a b a ab +2ab >D ．b a ab+22b a ab +>> 5、若,210<<a 则下列不等式中正确的是（ ）A ．log (1)1a a ->B ．x x a )21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1(6、若实数a 、b 满足的最小值是则b a b a 22,2+=+ （ ） A ．8 B ．4C ．22D ．4227、函数11122+++=x x y 的值域为 ． 8、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是 ．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是_____________________.三、例题分析例1、已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值． 例2例3、已知0a >，求函数2y =的最小值。
基本不等式和柯西不等式
《基本不等式和柯西不等式》复习课教学设计一：教学目标复习基本不等式和柯西不等式及其推广形式，会用这两个不等式解决一些简单问题，例如证明不等式和求函数最值，掌握相关配凑的技巧，感受数学的美妙，提高数学素养，并培养学生的探究精神。
二、重点：熟练运用均值不等式和柯西不等式及其推论形式难点：求函数最值与证明不等式时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。
四、教学媒体：投影仪 五、教学过程： 一、引入：（教材回归） 1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）2、定理2：如果b a ,是正数，那么abb a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abccb a ≥++。
（当且仅当c b a ==时取“=”）4、算术—几何平均不等式：①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数； ②．基本不等式：na a a n+++ 21≥n n a a a 215、定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,a b c d 都是实数,则22222()()()a b c d ac bd +++≥.当且仅当ad bc =时,等号成立 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=α，22||dc +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
6、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
(完整版)柯西不等式
柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
基本不等式及柯西不等式
基本不等式及柯西不等式专题1.已知正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3，求证：222b c a a b c++≥3．2.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2222236a b c d ＋＋＋＝25，求实数d 的取值范围．3.已知不等式221a b c x ++-≤对于满足条件2221a b c ++=的任意实数,,a b c 恒成立,求实数x 的取值范围．4．,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值．5．已知a ，b 是正数，且a +b =1，求证：()()ax by bx ay xy ++≥.6. a ，b 是正数，求证（a +1b ）（2b +12a ）≥92．7.已知实数x ，y ，z 满足3x +2y +z =1，求22223x y z ++的最小值．8.已知22223x y z ＋＋＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．9．已知x 、y 、z 均为正数，求证： 33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z ++.10.设实数x ，y ，z 满足x ＋2y －3z ＝7，求2x ＋2y ＋2z 的最小值．基本不等式及柯西不等式专题1.已知正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3，求证：222b c a a b c ++≥3． 【考点】基本不等式．【证明】∵正实数a ，b ，c 满足a +b +c =3， ∴333a b c abc =++…， ∴abc ≤1， ∴332222221333b c a b c a a b c a b c abc ++⋅⋅=厖．2.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1，2222236a b c d ＋＋＋＝25，求实数d 的取值范围．【解】由柯西不等式得()()22222111111236236236236a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅+⋅+⋅++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， 当且仅当236a b c ==时取等号．∵1a b c d ++=-，222223625a b c d ++=-，∴()22125d d --≤，即2120d d --≤．解得[]3,4d ∈-． 3.已知不等式221a b c x ++-≤对于满足条件2221a b c ++=的任意实数,,a b c 恒成立,求实数x 的取值范围．【考点】本题考查了柯西不等式． 【解】因为()()2222(2)1124a b c a b c ++++++=≤，所以22a b c ++≤， 又221a b c x ++-≤对任意实数,,a b c 恒成立, 故2max 12)2x a b c -++=≥(， 解得3,x -≤或3x ≥．4．,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值． 【考点】柯西不等式.【解】因为243a b c ++=，所以(1)2(1)4(1)10a b c +++++=，因为,,a b c 为正数，所以由柯西不等式得2111[(1)2(1)4(1)]()(122)111a b c a b c +++++⋅+++++++≥， 当且仅当222(1)2(1)4(1)a b c +=+=+等式成立．所以111116211110a b c ++++++≥， 所以111111a b c +++++的最小值是116210+， ……………………8分 此时2310215217852,,777a b c ---===． ……………………10分 5．已知a ，b 是正数，且a +b =1，求证：()()ax by bx ay xy ++≥.【考点】基本不等式.【证明】∵a ，b 是正数，且a +b =1，∴2222()()()ax by bx ay abx a b xy aby ++=+++2222()()ab x y a b xy =+++222()ab xy a b xy ⋅++≥2()a b xy xy =+=即()()ax by bx ay xy ++≥成立. 6. a ，b 是正数，求证（a +1b ）（2b +12a ）≥92． 【考点】基本不等式． 【证明】 因为a ，b 是正数，利用基本不等式，1111222222a b ab b a ab ++=+++()()155922222ab ab =+++=（）≥，2所以119222a b b a ++()()≥． 7.已知实数x ，y ，z 满足3x +2y +z =1，求22223x y z ++的最小值．【考点】 柯西不等式在函数极值中的应用．【解】由柯西不等式， 22222221()(2)(3)3(2)()(32)13x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++⋅++++=⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥， 所以22232334x y z ++≥， 当且仅当231323x y z ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为334． 8.已知22223x y z ＋＋＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．【解】∵(22223x y z ＋＋)2221323⎡⎤⎛⎫+()+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ≥2132233x y z ⎛⎫+⋅+⋅ ⎪⎝⎭＝2(32)x y z ＋＋， 当且仅当x ＝3y ＝9z 时，等号成立．∴2(32)x y z ＋＋≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23. 当x ＝9317-，y ＝－3317，z ＝－317时， 3x ＋2y ＋z ＝－23，∴最小值为－23.9. (2015·南京、盐城调研)已知x 、y 、z 均为正数，求证：33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z++. 【证明】 由柯西不等式，得 (21＋21＋21)222111xy z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥2111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 即3×222111x y z++≥111x y z ++. ∴33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤222111x y z ++. 当且仅当1x ＝1y＝1z 时等号成立． 10.设实数x ，y ，z 满足x ＋2y －3z ＝7，求2x ＋2y ＋2z 的最小值．【解】 由柯西不等式，得(2x ＋2y ＋2z )·[21＋22＋2(3)－]≥2(23)x y z ＋－. ∵x ＋2y －3z ＝7，∴2x ＋2y ＋2z ≥72. 当且仅当x ＝2y ＝3z -时取等号， 即x ＝12，y ＝1，z ＝－32时取等号． ∴2x ＋2y ＋2z 的最小值为72.。
《柯西不等式》课件
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应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。
基本不等式与柯西不等式 共48页PPT资料
(3)二维形式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22
2．柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，…bn 为实数，则(a12＋a22＋…＋an2)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2 ＋…＋anbn)2.
3．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为__2_______，几何
平均数为__a_b_，基本不等式可叙述为：两__个__正__数__的__算__术__平__均__
__数__不__小__于__它__们__的__几__何__平__均__数__．_______
4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当x_＝__y____时，x＋y 有最小值是___2__p___.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当x_＝__y__时，xy 有
p2 最大值是____4___.(简记：和定积最大)
5．平均值不等式
a＋3b＋c≥3 abc(a，b，c≥0)
二、 柯西不等式 1．柯西不等式的二维形式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a1，a2，b1，b2 均为实数， 则(a21＋a22)(b21＋b22)≥___(a_1_b_1＋__a_2_b_2_)2__ (当且仅当 a1b2＝a2b1 时， 等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，
4y 的最小值是
()
24 A. 5 C．5
28 B. 5 D．6
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探究三：应用基本不等式证明不等式
[例 3] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.
证明：因为 a>0，b>0，a＋b＝1， 所以 1＋1a＝1＋a＋a b＝2＋ba. 同理 1＋1b＝2＋ab. 所以(1＋1a)(1＋1b) ＝(2＋ba)·(2＋ab) ＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9. 所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当 a＝b＝12时等号成立)．
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)．
3.柯西不等式
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2(a,b,c,d R) 当且仅当ad bc时,等号成立. (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
出能运用基本不等式的条件．
解析：(1)2x＋3y≥2 x6y，∴2 x6y≤2，∴xy≥6.(等号在 x ＝2，y＝3 时成立)
故 xy 的最小值为 6. (2)由 2x＋8y－xy＝0 得 y(x－8)＝2x. ∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝x－2x8. u＝x＋y＝x＋x－2x8＝x＋2x－x1－68＋16
(4)柯 西 不 等式 的 向 量 形 式 .
当 且 仅 当 是 零 向 量,或 存 在 实 数k, 使 k 时, 等 号 成 立.
(5) (二维形式的三角不等式) 设x1, y1, x2 , y2 R,
那么
x2 1
y2 1
x2 2
y2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
答案：B
变式训练1
(2012·陕西文，10)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和
b(a<b)，其全程的平均时速为 v，则( )
A．a<v< ab
B．v＝ ab
a＋b C. ab<v< 2
D．v＝a＋2 b
解析：v＝1a＋2 1b＝a2＋abb<22aabb＝ ab，
因为
v－a＝
2ab
2ab－a2－ab ab－a2 a2－a2
答案：B
变式训练2
(2012·山西四校第一次联考)设 x、y∈R，a>1，b>1，若 ax＝by
＝2，a＋ b＝4，则2x＋1y的最大值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：依题意得 4＝a＋ b≥2 a· b(当且仅当 a＝ b时，等 号成立)，则 a b≤4，a2b≤16，又 x＝loga2，y＝logb2，所以2x＋ 1y＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)≤log216＝4，即2x＋1y的最大值是 4， 故选 A.
y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
三 维 形 式 的 三 角 不 等 式 x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
2．基本不等式的常见变式及有关结论 (1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；ab≤a2＋2 b2(a、b∈R) a2＋b2_≥___a＋2b2(a、b∈R)；ab_≤___a＋2 b2(a、b∈R) a＋2 b2_≤___a2＋2 b2(a、b∈R)，以上各等号在 a＝b 时成立．
(2)ab＋ba≥2(a、b 同号)，特别地1a＋a≥2(a>0)，1a＋a≤－ 2(a<0)．
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22
＝(x－8)＋x－168＋10≥2 x－8·x－168＋10＝18. 等号在 x－8＝x－168即 x＝12，y＝6 时成立． ∴x＋y 的最小值为 18.
变式训练1
已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的最小值是( )
A．3
B．42
解析：∵2xy＝8－(x＋2y)，故 8－(x＋2y)≤(x＋22y)2， ∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0 解得 x＋2y≥4 或 x＋2y≤－8(舍去) ∴x＋2y 的最小值为 4(当且仅当 x＝2y＝2 时取等号)．
a4－b4
a＋b
C. a－b <2ab< 2 <b
D．2ab<a＋2 b<b<aa4－－bb4
解析：∵b>a>0，a＋b＝1，∴b>12，∴2ab<a＋2b2＝a＋2 b， 且 a2＋b2>a＋2b2＝12.∴aa4－ －bb4＝(a＋b)(a2＋b2)>a＋2 b.又aa4－ －bb4 －b＝a2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝(1－b)(1－2b)<0.故应选 B.
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2
探究一：应用基本不等式比较大小
[例 1] 已知 b>a>0，且 a＋b＝1，那么( )
A．2ab<aa4－－bb4<a＋2 b<b
B．2ab<a＋2 b<aa4－－bb4<b
－a＝
＝
>
＝0，所以
a＋b
a＋b
a＋b a＋b
2ab >0，故选 A. a＋b
答案：A
探究二：应用基本不等式求最值
[例 2] (1)已知2x＋3y＝2(x>0，y>0)，求 xy 的最小值． (2)若 x、y∈R＋，且 2x＋8y－xy＝0.求 x＋y 的最小值．
分析：(1)可利用基本不等式转化为 xy的不等式求解． (2)可消去一个变量，将 x＋y 用一个变量表示，再配凑
知识梳理
1．基本不等式：对任意 a、b∈_R_＋__，有a＋2 b≥ ab成立， 当且仅当 a＝b 时取等号． (1)x、y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时，x ＋y 有最_小__值 2 P. (2)x、y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时， xy 有最__大__值S42.