高等数学模拟试题(二)标准答案及评分标准
内蒙古农业大学
农科《高等数学》模拟试卷（二）参考答案与评分标准
一、选择填空题（每小题3分，共15分）
1. 若0x →时
2ax bx c
++与1
41
x +同阶，则,,a b c 的值为（ C ）
A.,,a b c 任意
B.0,,a b c =任意
C.0,0,a b c =≠任意
D.0,8,1a b c ===
2.设32
()1
2
x
e
x f x x ⎧-≤⎪=⎨
>⎪⎩ ，则[]()f f x =（ D ） A ．2 B. 23e - C. 4 D. 1
3.设(,)z f x y =是由方程(,)0F x az y bz +-=所定义的隐函数，(,)F u v 可微，,a b 为常数，则必有（ B ） A. 1f f a
b x y ∂∂+=-∂∂ B.1f f a b x y ∂∂-=-∂∂ C.1f f b a x y ∂∂+=-∂∂ D.1f f b a x y
∂∂-=-∂∂ 4．设，0
()10
2
x f x x >=⎨
⎪-≤⎪⎩则在0x =处（ D ）
A ．无定义 B. 连续但不可导 C. 可导 D..极限存在
5．设2sin 2
4
(cos ,sin )I d rf r r dr π
θ
π
θθθ=
⎰⎰
，
则在直角坐标系下的二次积分为（ C ） A ．
1
(,)x
dx f x y dy ⎰ B. 1
1(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
C.
12
1
(,)(,)y
dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰
⎰
D. 1
0(,)y
dy f x y dx ⎰
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设1()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则当x →∞时，极限为
不存在
.
2.
更换积分次序
2
1
434
30
30
3
(,)(,)(,)x y y
dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
.
3. 设()y f x =在0x =处的切线方程为21x y -=，则()y f x =在0x =处自变量增量0.04x ∆=的微分0.02
dy =
.
4．设对任意的实数x 都有()()f x f x -=-，且(2)1f '=，则(2)1
f '-=
.
5
．若
2
4cos 2x
dt x e e π
=-+, 则 21
()(2sin 2)2x f x x e x
=
+.
三、判断题（每小题3分，共15分）
1．设()()2()()f x y f x y f x f y ++-=对一切,x y 都成立，且()0f x ≠，则()f x 是偶函数. （ √ ）
2．设1sin
()10x x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩，sin 0()00
x
x g x x
x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩，则()()f x g x +在0
x =处连续. （ √ ） 3．设()y f x =是微分方程240y y y '''-+=的解，且00()0,()0f x f x '<=，则()f x
在0x 处取得极大值. （ × ）
4．函数21
()(1)
x f x x x -=+有两个间断点. ( √ )
5．2x y Ce =是2y y '=的通解. ( √ )
四、计算题（每小题8分，共48分）
1．求极限22200
1cos()lim x y x y xy →→-+. 解：2
2
2001cos()lim x y x y xy →→-+22
200
1()2lim x y x y xy →→+= ……………………………7分 4224
200
2lim 2x y x x y y xy →→++= 0= ……………………………8分
2．求方程2
2
2
2
(2)(2)x xy y dx y xy x dy +-=+-，当1
1x y ==的解.
解： 2222(2)(2)x xy y dx y xy x dy +-=+-
⇒2
22
22
2
122221y y dy x xy y x x dx y xy x y y x x ⎛⎫
+- ⎪+-⎝⎭
==+-⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
令,
y
dy du u y xu u x x
dx dx
=
⇒==+ ……………………………4分 ⇒ du u x
dx +221221u u u u +-=+- ⇒ du x dx 2322212331
2121
u u u u u u u u u u +---++=-=+-+- ⇒ 23
2(21)331u u du dx
u u u x +-=--++ ……………………………6分 ⇒ 3232
1(331)3331d u u u dx u u u x
--++-=--++ ⇒ 3211ln(331)ln 3u u u x C ---++=+
⇒ 3
2
3331C u u u x --++= ⇒ 32323331y y y C
x x x x
--++=
⇒ 322333y xy x y x C --++= 由1
1x y
== ⇒ 0C =
∴特解为 3223330y xy x y x --++=. ……………………………8分 3.设(1)y
z xy =+，求
,z z x y
∂∂∂∂. 解：
121(1)(1)y y z
y xy y y xy x
--∂=+⋅=+∂ ……………………………4分
ln(1)ln(1)ln(1)1y xy y xy z xy e e xy y xy ++⎡⎤∂'⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦∂+⎣⎦
……………………8分 4.设201
()0
x
x f x ≤≤⎧=⎨
⎩其它
，求2()()x g x f t dt -=⎰的表达式.
解：0x <时，()0f x = ∴ ()0g x = ……………………………2分 01x ≤<时，()2f x x = ∴ 22
0()()2x
x
g x f x dx tdt x -=
==⎰
⎰ ……5分
1x ≥时，0
1
2
2
1
()()020x
x g x f x dx dt tdt dt --==++⎰⎰⎰⎰…………………7分
1= ……………………………8分
5. 设2
2
(,)z f x y xy =-，求2z
x y
∂∂∂.
解：令22
,u x y v xy =-=
2u v z
xf yf x
∂=+∂ ……………………………4分 22(2)(2)uu uv v vu vv z x yf xf f y yf xf x y
∂=-+++-+∂∂ ………………………8分
6.
求积分
11142210
4
y y x
x
y
y
dy dx dy e dx +⎰
⎰⎰的值.
解：1111(,)(,),4242D x y y x y x y y x y ⎧⎫⎧⎫
=≤≤
≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
21(,),02x y x y x x ⎧⎫
=≤≤≤≤
⎨⎬⎩
⎭
……………………………2分
11142210
4
y y x
x
y
y
dy dx dy e dx +⎰
⎰⎰2120
y x
x
x dx e dy =⎰⎰ …………………………6分
120
()x ex xe dx =
-⎰
……………………………7分
1
211182
e e =+- ……………………………8分
五、证明题（7分）
设22
()z yf x y =-，其中f 为可微函数，证明：
211z z z
x x y y y
∂∂+=∂∂. 证明：
222()z
xyf x y x
∂'=-∂ ……………………………3分
22222()2()z
f x y y f x y y
∂'=---∂ ……………………………6分 ∴
11z z
x x y y
∂∂+∂∂ 2222222112()()2()xyf x y f x y y f x y x y
''⎡⎤=
⋅-+---⎣⎦ 2221()z
f x y y y
=
-= ……………………………7分。
2019年成人高考高等数学模拟考试题及答案及解析
成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析（一）一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．21．当 x→0时，x 是 x-1n(1+x) 的（）．A．较高阶的无穷小量B．等价无穷小量C．同阶但不等价的无穷小量D．较低阶的无穷小量2．设函数? (sinx)=sin 2 x ，则?ˊ(x) 等于（）．A．2cos xB．-2sin xcosxC．％D．2x3．以下结论正确的是（）．A．函数? (x) 的导数不存在的点，一定不是? (x) 的极值点B．若 x0 为函数? (x) 的驻点，则x0 必为?(x) 的极值点C．若函数? (x) 在点 x0 处有极值，且 ?ˊ (x 0) 存在，则必有 ?ˊ (x 0)=0 D．若函数? (x) 在点 x0 处连续，则?ˊ (x 0) 一定存在4．A．B．C．exdxD．exIn xdx5．函数y=ex-x 在区间 (-1 ，1) 内（）．A．单调减少B．单调增加C．不增不减D．有增有减6．A．F(x)B．-F(x)C．0D．2F(x)7．设 y= ?(x) 二阶可导，且 ?ˊ (1)=0, ?″(1)>0 ，则必有（）．A．?(1)=0B．?(1) 是极小值C．?(1) 是极大值D．点(1, ?(1)) 是拐点8．A．?(3)- ?(1)B．?(9)- ?(3)C．1[f(3)-f(1)D．1/3[ ?(9)- ?(3)]9．A．2x+1B．2xy+1C．x2+12D．x10．设事件A，B 的 P(B)=0 ．5，P(AB)=0．4，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率P(A | B)= （）．A．O．1B．0．2C．0．8D．0．9二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共40 分．把答案填在题中横线上．11．k 12．当 x→0时，1-cos 戈与x 是同阶无穷小量，则k= __________．13．设 y=in(x+cosx) ，则 yˊ__________．14．15．16．设? (x) 的导函数是sin 2x ，则? (x) 的全体原函数是__________ ．17．18．曲线y=xlnx-x 在 x=e 处的法线方程为__________ ．19．20．三、解答题：21～28 小题，共70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．22． 23．24．25．( 本题满分 8 分) 一枚 5 分硬币，连续抛掷 3 次，求“至少有 1 次国徽向上”的概率．26．( 本题满分 10 分) 在抛物线 y 2=4x 与 x=2 所围成的平面区域内作一矩形， 其一边在 x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少?27．( 本题满分 10 分) 设 z=z(x ，y) 由方程 ez-x 2 2 +y +x+z=0 确定，求出． 28．( 本题满分 10 分) 求由曲线 y=x ，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S ，并求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积V y ．参考答案及解析一、选择题1．【答案】应选 C ．【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较．比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项．本题即为计算：由于其比的极限为常数 2，所以选项 C 正确． 请考生注意：由于分母为 x-ln(1+x) ，所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)-x ，否则将导致错误的结论．与本题类似的另一类考题 ( 可以为选择题也可为填空题 ) 为：确定一个无穷小量的“阶”． 例 如：当 x →0 时，x-In(1+x) 是 x 的 A ．1/2 阶的无穷小量 B ．等价无穷小量 C ．2 阶的无穷小量 D ．3 阶的无穷小量要使上式的极限存在，则必须有 k-2=0 ，即 k=2．所以，当 x →0 时，x-in(1 坝)为 x 的 2 阶无穷小量，选 C ． 2．【答案】应选 D ．【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算． 本题的解法有两种：解法 1 先用换元法求出? (x) 的表达式，再求导．设 sinx=u ，则? (x)=u 2 ，所以?ˊ(u)=2u ，即?ˊ(x)=2x ，选D ．解法 2 将? (sinx) 作为? (x) ，u=sinx 的复合函数直接求导，再用换元法写成?ˊ(x) 的形式．等式两边对x 求导得?ˊ(sinx) ·COSx=2sin xCOS，x?ˊ(sin x)=2sinx ．用x 换sin x ，得?ˊ (x)=2x ，所以选D．请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的．熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩．为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：(2004 年 )设函数? (cosx)=1+cos 3x，求?ˊ (x) ．( 答案为3x2)3．【答案】应选C．【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的．要否定一个命题的最佳方法是举一个反例，例如：y=|x| 在x=0 处有极小值且连续，但在x=0 处不可导，排除A和D．y=x3，x=0 是它的驻点，但x=0 不是它的极值点，排除B，所以命题C是正确的．4．【答案】应选A．【解析】本题可用dy=yˊdx 求得选项为A，也可以直接求微分得到dy．5．【答案】应选D．【解析】本题需先求出函数的驻点，再用y″来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两侧的yˊ必异号，从而进一步确定选项．因为yˊ =e x-1 ，令yˊ=0，得x=0．又y″=e x>0，x∈( -1 ，1) ，且y″|x>0，x∈( -1 ，1) ，且y″| x=0=1>0，所以x=0 为极小值点，故在x=0 的左、右两侧的函数必为由减到增，则当x∈( -1 ，1) 时，函数有增有减，所以应选D．6．【答案】应选B．【解析】用换元法将F(-x) 与 F(x) 联系起来，再确定选项．7．【答案】应选B．【提示】根据极值的第二充分条件确定选项．8．【答案】应选D．【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法．本题可以直接换元或用凑微分法．9．【答案】应选B．【解析】用二元函数求偏导公式计算即可．10．【答案】应选C．【解析】利用条件概率公式计算即可．二、填空题11．【答案】应填 e-2.-2【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件，可知k=e．12．【答案】应填2．【解析】根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定k 值．13．【解析】用复合函数求导公式计算．14．【答案】应填6．15．【解析】利用隐函数求导公式或直接对x 求导．将等式两边对x 求导( 此时 y=y(x)) ，得16．【解析】本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念．17．18．【答案】应填x+y-e=0 ．【解析】先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程．19．【答案】应填 2π．【提示】利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质．20．x2 y【提示】将函数z 写成 z=e· e ，则很容易求得结果．三、解答题21．本题考查的是型不定式极限的概念及相关性质．【解析】含变上限的型不定式极限直接用洛必达法则求解．22．本题考查的知识点是复合函数的求导计算．【解析】利用复合函数的求导公式计算．23．本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法．【解析】本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分．另外由于被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分．解法 1解法 2 三角代换去根号．24．本题考查的知识点是反常积分的计算．【解析】配方后用积分公式计算．25．本题考查的知识点是古典概型的概率计算．26．本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法．【解析】本题的关键是正确列出函数的关系式，再求其最大值．解如图2-7-1 所示，设 A 点坐标为 (x 0，y0) ，则 AD=2-x0，矩形面积27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法．利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x ，y，z)=e z-x2+y2+x+z，然后将等式两边分别对x，y，z 求导．考生一定要注意：对x 求导时， y，z 均视为常数，而对 y 或 z 求导时，另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F(x ，y，z) 中的三个变量均视为自变量．解法 1 直接求导法．等式两边对x 求导得解法 2 公式法．解法 3 微分法．对等式两边求微分得三种解法各有优劣，但公式法更容易理解和掌握．建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法．28．本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法．【解析】首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对x 积分还是对) ，积分．选择的原则是：使得积分计算尽可能简单或容易算出．本题如果选择对x 积分，则有这显然要比对y 积分麻烦．在求旋转体的体积时一定要注意是绕x 轴还是绕y 轴旋转．历年的试题均是绕x 轴旋转，而本题是求绕y 轴旋转的旋转体的体积．旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此) 是：解画出平面图形，如图2-7-2 所示的阴影部分，则有阴影部分的面积山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。
2020年成人高考专升本《高等数学(二)》模拟试题及参考答案
模拟试题参考答案
2．【答案】 应选 D． 【解析】 本题考查的知识点是分段函数在分段点处的极限计算．分段点处的极限一定 要分别计算其左、右极限后，再进行判定．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
B． C． D．
5． A．0 B．2x3 C．6x2 D．3x2 6．设ƒ(x)的一个原函数为 Inx，则ƒ(x)等于（ ）．
A．
B． C．
D．
7． A．y=x+1 B．y=x-1
C．
D．
8． A．0 B．e 一 1 C．2(e-1)
所以选 C． 9．【答案】 应选 D． 【提示】 z 对 x 求偏导时应将 y 视为常数，则有
所以选 D． 10．【答案】 应选 B．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
22．
23．
24． 25．(本题满分 8 分)设事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0．6，P(B)=0．7，求 P(A+B).
26
．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。
答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。
答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。
答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。
答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。
答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。
解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。
设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。
由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。
显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。
江苏省专转本(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
江苏省专转本（高等数学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知连续函数f(x)满足f(x)=x2+x∫01f(x)dx，则f(x)=( )。
A．f(x)=x2+xB．f(x)=x2-xC．f(x)=x2+D．f(x)=x2+正确答案：C解析：用代入法可得出正确答案为C。
2．函数在x=0处( )。
A．连续但不可导B．连续且可导C．不连续也不可导D．可导但不连续正确答案：B解析：3．关于的间断点说法正确的是( )。
A．x=kπ+为可去间断点B．x=0为可去间断点C．x=kπ为第二类无穷间断点D．以上说法都正确正确答案：D解析：对于x=kπ，当k=0，即x=0时，，x=0为可去间断点。
当k≠0时，，x=kπ为第二类无穷间断点。
4．设D：x2+y2≤R2，则=( )。
A．＝πR3B．∫02πdθ∫0Rrdr＝πR2C．∫02πdθ∫0Rr2dr＝πR3D．∫02πdθ∫0RR2dr＝2πR3正确答案：C解析：在极坐标中，0≤r≤R，0≤θ≤2π，。
5．抛物面在点M0(1，2，3)处的切平面是( )。
A．6x+3y-2z-18=0B．6x+3y+2z-18=0C．6x+3y+2z+18=0D．6x-3y+2z-18=0正确答案：B解析：设切平面方程为6x+3y+2z-18=0。
6．幂级数的收敛半径是( )。
A．0B．1C．2D．+∞正确答案：B解析：，收敛半径。
填空题7．，则a=＿＿＿＿＿＿，b=＿＿＿＿＿＿。
正确答案：-4，3解析：并且x2+ax+b=0，所以a=-4，b=3。
8．u=f(xy，x2+2y2)，其中f为可微函数，则＝＿＿＿＿＿＿。
正确答案：yf’1+2xf’2解析：令w=xy，v=x2+y2，则u=f(w，v)，=f’w(w，v)·y+f’v(w，v)·2x。
高等数学(下)模拟试题(二)
高等数学(下)模拟试题（二）一、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 设y z xz xy y x z ∂∂∂∂+=,,322求。
2. 设()xy x z sin 2= 求: d z 。
3. 设y x ux u xz y x u ∂∂∂∂∂+=2222,,求。
4. 设()x x x z z xy y x f z ,,5求+=。
5．x zxyz xyz ∂∂=+求 ,02)cos( 。
二、 二、 解下列各题 (每小题6分，共24分)1．更换积分次序：()⎰⎰xxdyy x f dx 320,。
2. 求x yxy z ++=12在点P （1,2）沿点P 到点M （2,4）的方向上的方向导数。
3. 求曲线325,4,3t z t y t x ===在t = 1处的切线及法平面方程。
4. 求曲面x 2 － 3 y 2 ＋ z 2 = －1在点P （1,1, 1）切平面方程与法线方程。
三、计算下列积分（每小题6分，共12分） 1.y dxd y x D⎰⎰+)2(D ：由y = x , x= 0, y = 2 所围成 。
2. ⎰⎰⎰++V dxdydzz y x )( V ：－2≤x ≤2 , 0≤y ≤1 , 0≤z ≤4 . 四、计算下列积分应用题（每小题6分，共12分）1. 一均匀物体（密度ρ为常量）占有闭区域Ω由曲面 Z=X 2+Y 2和平面Z ＝4所围成，求 该物体的质量M 。
2. 求物体的体积V ，该物体是柱体x 2 + y 2≤ 1被平面z=0,z=3所截得的在第一卦限的部分。
五、（8分）求微分方程0|,02=='=-x yx y e y 满足初始条件 的特解。
六、（8分）求微分方程()()022=-++dy y x dx y x的通解。
七、（6分）求一曲线，使其每点处的切线斜率为2x+y,且过点（0,0）。
高等数学(下)模拟试题（二）答案三、 一、 计算下列各题(每小题6分，共30分)1. 已知xy x y zy xy xzxy y x z 6,32,32222+=∂∂+=∂∂+=。
全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷2(题后含答案及解析)
全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．在空间直角坐标系下，方程2x2＋3y2＝6表示的图形为( )A．椭圆B．柱面C．旋转抛物面D．球面正确答案：B解析：由题知2x2＋3y2＝6可化为了，因为柱面公式＝1 故方程表示图形为柱面．答案为B．2．设fx(x0，y0)－0，fy(x0，y0)＝0，则在点(x0，y0)处函数f(x，y) ( ) A．连续B．一定取得极值C．可能取得极值D．的全微分为零正确答案：C解析：A是错误的．因多元函数在某一点可导，不能保证函数在该点连续．B 也是错误的．由题目的条件只能断定点(x0，y0)是驻点，而驻点是可疑的极值点，它不一定是极值点．C是正确的．因为驻点是可疑的极值点．D是错误的．一般会认为df＝f(x0，y0)dx＋fy(x0，y0)dy＝0。
是正确的，却忘记了这个等式成立的前提是f(x，y)在点(x0，y)处可微．而在多元函数中可导不一定可微．答案为C．3．设积分区域Ω：x2＋y2≤R2，0≤z≤1，则三重积分(x2＋y2)dxdydz＝( )A．B．C．D．正确答案：B解析：用圆柱面坐标0＜θ＜2π，0＜r＜R 0＜z＜1答案为B．4．下列方程中为一阶线性非齐次方程的是( )A．y’＝2yB．(y’)2＋2xy＝exC．2xy’＋x2y＝－1D．y’＝sin正确答案：C解析：本题考查一阶线性非齐次方程的定义．由一阶线性微分方程的定义知，(y’)2＋2xy＝ex不是一阶线性微分方程；由一阶线性(非)齐次微分方程的定义知y’＝2y是齐次微分方程；只有选项C，2xy＋x2y＝－1是一阶线性非齐次方程．答案为C．5．设正项级数收敛，则下列无穷级数中一定发散的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由无穷级数的一般项un不是n→∞时的无穷小量，则级数发散来判断，选项D一定发散．答案为D．填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
考研数学一(高等数学)模拟试题 (2)
考研数学一（高等数学）模拟试题2选择题题目1设f(x)二阶连续可导，，则( )．[A].f(2)是f(x)的极小值[B].f(2)是f(x)的极大值[C].(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点[D].f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点[答案]A解析：由＞0，即当x∈(2—δ，2)时，f'(x)＜0；当x∈(2，2+δ)时，f'(x)＞0，于是x=2为f(x)的极小点，选(A)．[题解]略题目2设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且=0，又f'(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，则( )．[A].x=0是f(x)的极大值点[B].x=0是f(x)的极小值点[C].(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点[D].x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点[答案]C解析：由=0得g(0)=g'(0)=0，f'(0)=0，f'(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt=一2x2一∫0xg(x—t)d(x—t)=一2x2+∫0xg(u)du，f"(x)=一4x+g(x)，f"(0)=0，f"'(x)=一4+g'(x)，f"'(0)=一4＜0，因为f"'(0)==一4＜0，所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，从而当x∈(一δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"'(x)＜0，选(C)．[题解]略题目3设f(x)二阶连续可导，且=1，则( )．[A].f(0)是f(x)的极小值[B].f(0)是f(x)的极大值[C].(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点[D].x=0是f(x)的驻点但不是极值点[答案]C解析：因为f(x)二阶连续可导，且＜0，即当x∈(一δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．[题解]略题目4设函数f(x)满足关系f"(x)+f'2(x)=x，且f'(0)=0，则( )．[A].f(0)是f(x)的极小值[B].f(0)是f(x)的极大值[C].(0，f(0))是y=f(x)的拐点[D].(0，f(0))不是y=f(x)的拐点[答案]C解析：由f'(0)=0得f"(0)=0，f"'(x)=1—2f'(x)f"(x)，f"'(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f"'(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C)．[题解]略题目5下列说法正确的是( )．[A].设f(x)在x二阶可导，则f"(x)在x=x0处连续[B].f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值[C].f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值[D].若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点[答案]D解析：令f'(x)=不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．[题解]略题目6设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为( )．[A].0个[B].1个[C].2个[D].3个[答案]B解析：因为f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f'(a)(x一a)+=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f'(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．[题解]略题目7设k＞0，则函数f(x)=lnx一+k的零点个数为( )．[A].0个[B].1个[C].2个[D].3个[答案]C解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f'(x)==0得x=e，当0＜x＜e时，f'(x)＞0；当x＞e时，f'(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k ＞0，又=一∞，于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选(C)．[题解]略题目8设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有( )．[A].两个极大点，两个极小点，一个拐点[B].两个极大点，两个极小点，两个拐点[C].三个极大点，两个极小点，两个拐点[D].两个极大点，三个极小点，两个拐点[答案]C解析：设当x＜0时，f'(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f'(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f'(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f'(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x∈(x2，0)时，f'(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f'(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f'(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f'(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f"(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)．[题解]略2填空题题目9设f(x)=在x=1处可微，则a=___________，b=___________．[答案]a=2，b=一1[分值]3[题解]略题目10设F(x)= ∫0x (x2一t2)f'(t)dt，其中f'(x)在x=0处连续，且当x→0时，F'(x)～x2，则f'(0)=___________．[答案][题解]略题目11设f(x)在(一∞，+∞)上可导，[f(x)一f(x—1)]，则a=___________．[答案]1[分值]3[题解]略题目12设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f'x(1，2)=3，f'y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ'(1)=___________．[答案]47[分值]3[题解]略题目13曲线y=的斜渐近线为___________．[答案]y=2x—4[分值]3[题解]略3题目14设f(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．[1].(1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x；[答案]令φn(x)=fn(x)一1，因为φn(0)=一1＜0，φn(1)=n—1＞0，所以φn(x)在(0，1)(0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根．因为φ'n(x)=1+2x+…+nxn—1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn．[分值]5[题解]略[1].(1)求．[答案]由fn(xn)一fn+1(xn+1)=0，得(xn一xn+1)+(xn2一xn+12)+…+(xnn一xn+1n)=xn+1n+1＞0，从而xn＞xn+1，所以{xn}xn+1∞单[分值]5[题解]略题目15设a＞0，讨论方程axx=x2根的个数．[答案]aex=x2等价于x2e-x一a=0．令f(x)=x2e-x—a，由f'(x)一(2x—x2)e-x=0得x=0，x=2．当x＜0时，f'(x)＜0；当0＜x＜2时，f'(x)＞0；当x＞2时，f'(x)＜0，于是x=0为极小点，极小值为f(0)=一a＜0；x=2为极大点，极大值为[分值]5[题解]略题目16就k的不同取值情况，确定方程x3一3x+k=0根的个数．[答案]令f(x)=x3一3x+k，=+∞．由f'(x)=3x2一3=0，得驻点为x1=一1，x2=1．f"(x)=6x，由f"(一1)=一6，f"(1)=6，得x1=一1，x2=1分别为f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为f(一1)=2+k，f(1)=k一2．(1)当k＜一2时，方程只有一个根；(2)当k=一2时，方程有两个根，其中一个为x=一1，另一个位于(1，+∞)内；(3)当一2＜k＜2时，方程有三个根，分别位于(一∞，一1)，(一1，1)，(1，+∞)内；(4)当k=2时，方程有两个根，一个位于(一∞，一1)内，另一个为x=1；(5)当k＞2时，方程只有一个根．[分值]5[题解]略题目17设k为常数，方程kx一+1=0在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．[答案][分值]5[题解]略题目18设f(x)在[一1，1]上可导，f(x)在x=0处二阶可导，且f'(0)=0，f"(0)=4．求[答案]所以原式=2．[分值]5[题解]略题目19设f(x)二阶连续可导且f(0)=f'(0)=0，f"(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求．[答案]曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y一f(x)=f'(x)(X—x)，[分值]5[题解]略题目20设函数f(x)=其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．(1)确定常数a，使得f(x)在x=0处连续爹(2)求f'(x)；(3)讨论f'(x)在x=0处的连续性．[答案][分值]5[题解]略题目21设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'+(a)f'-(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得[答案]不妨设f'+(a)＞0，f'-(b)＜0，根据极限的保号性，由f'+(a)=＞0，则存在δ＞0(δ＜b—a)，当0＜x一a＞δ时，＞0，即f(x)>f(a)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．同理由f'-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f'(ξ)=0．[分值]5[题解]略题目22设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f'(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"'(ξ)=2．[答案]先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P'(1)=f'(1)=0，令g(x)=f(x)一P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g'(c1)=g'(1)=g'(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"(ξ)=0，而g"(x)=f"'(x)一2，所以f"'(ξ)=2．[分值]5题目23设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得=1．[答案]令h=，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n一1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性存在a＜c1＜c2＜…＜cn—1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn—1)=a+(n一1)h，再由微分中值定理，得f(c1)一f(a)=f'(ξ1)(c1一a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)一f(c1)=f'(ξ2)(c2一c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)一f(cn—1)=f'(ξn)(b一cn—1)，ξn∈(cn—1，b)，从而有[分值]5[题解]略题目24设函数y=f(x)二阶可导，f'(x)≠0，且与x=φ(y)互为反函数，求φ"(y)．[答案]因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，[分值]5[题解]略题目25设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且=M．证明：f'(x0)=M．[答案]由微分中值定理得f(x)一f(x0)=f'(ξ)(x—x0)，其中ξ介于x0与x之间，则=M，即f(x0)=M．[分值]5[题解]略题目26设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=．[答案]令φ(x)=(x一1)2f'(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f'(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=2(x—1)f'(x)+(x一1)2f"(x)，所以2(ξ—1)f'(ξ)+(ξ一1)2f"(ξ)=0，整理得f"(ξ)=．[分值]5[题解]略题目27设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：[1].(1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；[答案]令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F'(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得[分值]2[题解]略[1].(1)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；[答案]令h(x)=ef(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，而h'(x)=ex[f'(x)+f(x)]且ex≠0，所以f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．[分值]2[题解]略[1].(1)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；[答案]令φ(x)=e-x[f'(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ'(ξ)=0，而φ(x)=e-x[f"(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．[分值]2[题解]略[1].(1)存在η∈(a，b)，使得f"(η)一3f'(η)+2f(η)=0[答案]令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g'(η1)=g'(η2)=0，而g'(x)=e-x[f'(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f'(η1)—f(η1)=0，f'(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f'(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ'(η)=0，而φ'(x)=e-2x[f"(x)一3f'(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f"(η)一3f'(η)+2f(η)=0．[分值]2[题解]略题目28设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得[答案]当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an．令，构造辅助函数φ(x)=f(x)—k(x—a1)(x—a2)…(x—an)，显然φ(x)在[a1，an]上n阶可导，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由罗尔定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an—1，a1)，使得φ'(ξ1(1))=φ'(ξ2(1))=…=φ'(ξn(1))=，φ'(x)在(a1，an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(n—1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n—1)(c1)=φ(n—1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，an)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)一n!k，所以f(n)(ξ)=n!k，从而有[分值]5[题解]略题目29设f(x)二阶连续可导，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f'(x+θh)h(0＜θ＜1)．证明：．[答案]由泰勒公式得[分值]5[题解]略题目30设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足｜AP｜．｜AQ｜=ρ2，称P，Q关于L对称．设L：y=．(1)求点M，使得L在M点处的法线经过点P，并写出法线的参数方程；(2)求点P关于L的对称点Q的坐标．[答案](1)设点M(x，y)∈L，则[分值]5[题解]略题目31设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f'(ξ)=2∫01f(x)dx．[答案]因为f'(x)在区间[0，1]上连续，所以f'(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)一f(0)=f'(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得∫01f(x)dx=∫01f'(c)xdx，由m≤f'(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f'(c)xdx≤M∫01xdx，即m≤2∫01f'(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f'(ξ)=2∫01f(x)d[C]. [分值]5[题解]略内容经博学易知考试学习平台授权。
湖北省专升本(高等数学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
湖北省专升本（高等数学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数y=lnx+arcsinx的定义域为( )A．(0，+∞)B．(0，1]C．[-1，1]D．[-1，0)正确答案：B解析：要使函数有意义，须，求解得：0＜x≤1．选B2．函数f(x)=x是( )A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．可能是奇函数也可能是偶函数正确答案：A解析：因f(-x)=-x=f(x)．3．极限=( )A．2／3B．3／2C．0D．∞正确答案：B解析：用等价无穷小代换简单些，4．已知=6，则a，b取值为( )A．a=-2，b=-3B．a=0，b=-9C．a=-4，b=3D．a=-1，b=-6正确答案：B解析：因为当x→3时，分母→0必有分子→0，否则一定无极限，即有9+3a+b=0，应用洛必达法则，左端=(2x+a)=6+a=6，所以a=0，这时b=-9．5．要使函数f(x)(n为自然数)在x=0处的导函数连续，则n=( )A．0B．1C．2D．n≥3正确答案：D解析：A错，因函数在x=0处不连续；B错，虽然函数在x=0处连续，但不可导；C也错，函数在x=0处可导，进而函数在(-∞，+∞)上均可导，但导函数在x=0处不连续，下面证明所以当x→0时，f’(x)不存在，所以f’(x)在x=0处不连续；仅D正确，当n≥3时，f’(x)=当x≠0时，f’(x)=nxn-1sin，此时有f’(x)→f’(0)=0x→0所以导函数f’(x)在x=0处连续．6．曲线y=的渐近线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：B解析：当x→0时，y→∞，所以x=0为垂直渐近线，当x→∞时，y→π／4，所以y=π／4为水平渐近线，当x→1或x→-22时，y∞，所以在x=1，x=2处无渐近线．7．函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点个数是( )A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：因f(x)=(x-2)(x-1)|x||x+1||x-1|，可知函数在x=0，x=-1处不可导，而在x=1处函数可导，原因是函数g(x)=(x-1)|x-1|在x=1处左、右导数存在且相等，即g’(1)=0．8．函数f(x)在[a，b]上连续是积分∫abf(x)dx存在的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要正确答案：A解析：连续为条件，积分存在为结论，显然由|f(x)dx存在连续，肯定不是必要条件，但成立，所以连续为可积的充分条件，不是必要条件．9．若f(x)=∫0xsin(t-x)dt，则必有( )A．f(x)=-sinxB．f(x)=-1+cosxC．f(x)=sinxD．f(x)=1-sinx正确答案：A解析：令t-x=u，dt=du，t=0，u=-x，t=x，u=0所以f(x)=[-∫0-xsinudu]=-sin(-x)．(-1)=-sinx．10．已知f’(x)连续，且f(0)=0，设φ(x)=则φ’(0)=( )A．f’(0)B．f’(0)C．1D．1／3正确答案：B解析：为求φ’(0)，先判断φ(x)在x=0处连续，考虑=f(0)=0=φ(0)，所以φ(x)在x=0处连续，而11．已知向量a、b的夹角为π／4，且|a|=1，|b|=则|a+b|=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a．b=12+12．曲面x2+y2=1+2x2表示( )A．旋转单叶双曲面B．旋转双叶双曲面C．圆锥面D．椭球面正确答案：A解析：该曲面可看做由双曲线绕x轴旋转而成．13．极限=( )A．e-1B．eC．1D．0正确答案：A解析：14．设z=f(x，y)可微，且当y=x2时，f(x，y)=1及=x，则当y=x2(x≠0)时( ) A．1／2B．-C．0D．1正确答案：B解析：15．利用变量替换u=x，v=y／x，一定可把方程x=z化成( )A．B．C．D．正确答案：A解析：16．曲面xy+yz+zx=1在点P(1，-2，-3)处的切平面方程为( )A．5x+2y+z+2=0B．5x-2y+z+2=0C．5x+2y-z+2=0D．5x+2y-z-4=0正确答案：A解析：令F(x，y，z)=xy+yz+zx-1，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(Fx，Fy，Fz}={y+z，x+z，y+x}于是点P(1，-2，-3)处的切平面的法向量为：n1={-5，-2，-1}故切平面方程为：-5(x-1)-2(y+2)-(z+3)=0即5x+2y+z+2=0．17．设D由y2=x，y=x围成，则xydxdy=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：观察被积函数先积谁都一样，再看积分区域D，应先积x，否则，会出现根号18．设D由x≥0，y≥0及x2+y2≤1所围成，则xy2dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：用极坐标19．L为y=x3，y=x所围边界线第一象限部分，f(x，y)连续，则∫Lf(x，y)ds=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因为I=∫L=+∫AO=+∫OA当沿y=x3从O到A时，y’=3x2这时ds=dx当沿y=x从O到A时，y’=1，这时ds=dx所以∫Lf(x，y)dx=∫01f(x，x3)20．L是沿y=1-|1-x|从点O(0，0)到点B(2，0)的折线段，则曲线积分∫L(x2+y2)dx-(x2-y2)dy=( )A．5／3B．2／3C．4／3D．1正确答案：C解析：∫L=∫OA+∫AB=∫012x2dx+∫12[(x2+(2-x)2-(x2-(2-x)2]dx=21．A．收敛于0B．收敛于C．发散D．敛散性无法确定正确答案：B解析：22．已知幂级数在点x=2处收敛，则实数“的取值范围为( ) A．1＜a≤3B．1≤a＜3C．1＜a＜3D．1≤a≤3正确答案：A解析：由幂级数的系数可得其收敛半径为1，所以其收敛域为[a-1，a+1]，因为2∈[a-1，a+1)，即a-1≤2，2＜a+1，所以1＜a≤3．23．已知anx2n的收敛域是( ) A．[-1，3]B．[-2，2]C．D．[-4，4]正确答案：C解析：由已知条件知，幂级数的收敛半径为2，且在端点处收敛，所以级数antn收敛域为[-2，23，即-2≤t≤2，令t=x2，则-24．设连续函数f(x)满足f(x)=∫02xf(t／2)dt+ln2，则f(x)=( )A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：f’(x)=f(x)．2，即y’=2y，所以y=Ce2x，当x=0时，y=ln2，所以C=ln2，所以f(x)=e2xln2．25．微分方程y”+y’=2x2ex的特解应设为y*=( )A．(Ax2+Bx+C)exB．(Ax3+Bx2+Cx)exC．(Ax2+Bx+C)e-xD．(Ax3+Bx2+Cx)e-x正确答案：B解析：因为与方程对应的齐次方程y”+y’=0的通解为Y=C1+C2e-x，由于齐次方程中不含有ex，且原方程缺函数y，于是特解应设为：y*=(Ax2+Bx+C)．x．ex．26．求极限=( )A．1B．0C．1／2D．2正确答案：C解析：(其中当x→1时，lnx～x-1)．27．若un满足( )A．收敛B．发散C．敛散性不确定D．收敛于0正确答案：A解析：28．微分方程y”+xy’=1的通解为( )A．y=-x+C1ln|x|B．y=x+C1ln|x|+C2C．y=x+C2D．y=C1ln|x|+C2正确答案：B解析：微分方程变形(xy’)’=1，所以xy’=x+C，即y’=1+，所以通解为y=x+C1ln|x|+C2．29．函数f(x)在点x=1处可导，且，则f’(1)=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：∴f’(1)=1／4．30．函数f(x)是连续函数，则∫-aax2[f(x)-f(-x)]dx=( )A．1B．2C．-1D．0正确答案：D解析：被积函数x2[f(x)-f(-x)]是奇函数，故∫-aax2[f(x)-f(-x)3dx=0．填空题31．设f(x)+f()=2x,其中x≠0，x≠1，则f(x)=_______．正确答案：解析：32．极限=8，则a=_______，b=_______．正确答案：-1；-4解析：联立①，②得a=-1，b=-4．33．曲线y=1／x上的切线斜率等于-的点的坐标为_______．正确答案：解析：设切点坐标34．设y=则dy|x=2=_______．正确答案：解析：该题若直接求较麻烦，可先利用对数性质展开．35．函数y=2x3-9x2+12x-3在区间(3，10)上为单调递_______．正确答案：增解析：y=2x3-9x2+12x-3，y’=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)驻点x=1；x=2．x＜1，y’＞0；1＜x＜2，y’＜0；x＞2，y’＞0．故在区间(3，10)上曲线单调递增．36．曲线y=4-的拐点为_______．正确答案：(1，4)解析：y=4-，x＞1，y”＞0；x＜1，y”＜0，所以曲线拐点为(1，4)．37．曲面z-ez4-2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_______．正确答案：2x+y-4=0解析：令F(x，y，z)=z-ez+2xy-3，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(Fx，Fy，Fz}={2y，2x，1-ez}于是，点(1，2，0)处的切平面的法向量为n1={4，2，0}，故所求切平面方程为：4(x-1)+2(y-2)+0(z-0)=0即2x+y-4=0．38．已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，则∫xf’(x)dx=_______．正确答案：x(cosxlnx+)-(1+sinx)lnx+C解析：由于∫xf’(x)dx=xf(x)-∫f(x)dx，又(1+sinx)lnx为f(x)的一个原函数，因为f(x)=[(1+3sinx)lnx]’=coslnx+则∫f(x)dx=(1+sinx)lnx+C．故∫xf’(x)dx=(x)dxxlnx+)-(1+sinx)lnx+C．39．函数y=∫0x(t-1)(t+1)2dt的极值点是_______．正确答案：x=1解析：y’=(x-1)(x+1)2，令y’=0．得x=0，x=1，x=-1．由于y的定义域为[0，+∞)，因此，有唯一驻点x=1，当0＜x＜1时，y’＜0，当x＞1时，y’＞0．所以x=1为极小值点．40．不定积分∫正确答案：ln|lnsinx|+C解析：41．已知点A(0，0，0)，B(1，0，-1)，C(0，1，2)则△ABC中BC边上的高为_______．正确答案：解析：42．设z=z(x，y)是由方程z-y-x+xez-y-x=0所确定，则dz=_______．正确答案：解析：F=z-y-x+xez-y-xFx=-1+ez-y-x-xez-y-x，Fy=-1-xez-y-x，Fz=1+xez-y-x因此，dz=(1-)dx+dy．本题也可方程两端取微分来做．43．设区域D由x=2，y=dxdy=_______．正确答案：解析：44．将函数y=展开为(x-5)的幂级数是_______．正确答案：)(n-5)2(2＜x＜7)解析：45．微分方程y”+y=xcos2x的特解应设为y*=_______．正确答案：y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x解析：微分方程y”+y=xcos2x所对应的齐次方程为y”+y=0．特征方程为r2+1=0．特征根为r=±i，齐次方程的通解为Y=C1cosx+C2sinx．对于y”+y=x，由于方程含y．所以特解可设ax+b对于y”+y=cos2x考虑到齐次方程通解，所以特解可设ccos2x+dsin2x故原方程特解可设为y*=(ax+b)(ccos2x+dsin2x)即y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
专升本高等数学一(多元函数积分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（多元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．化二重积分f(x，y)dσ为极坐标下的二次积分，其中D：4≤x2+y2≤9，正确的是( )A．∫02πdθ∫4θf(x，y)rdrB．∫02πdθ∫23f(x，y)rdrC．∫02πdθ∫23f(rcosθ，rsinθ)rdrD．∫02πdθ∫49f(rcosθ，rsinθ)rdr正确答案：C解析：该积分区域在极坐标系下可表示为：0≤θ≤2π，2≤r≤3，则该积分在极坐标系下为f(x，y)dσ=∫02πdθ∫23f(rcosθ，rsinθ)rdr，故选C．知识模块：多元函数积分学2．二次积分∫0dθ∫0cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成( )A．B．C．D．正确答案：D解析：积分区域D为：0≤θ≤，0≤r≤cosθ，令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤x≤1，0≤x2+y2≤x，即0≤x≤1，0≤y≤，故二次积分可写成∫01dx，D也可表示为0≤y≤，故选D．知识模块：多元函数积分学3．若∫01dx∫x2xf(x，y)dy=∫01dy∫yφ(y)f(x，y)dx成立，则φ(y)= ( ) A．y2B．yC．D．正确答案：C解析：积分区域D可表示为0≤x≤1，x2≤y≤x，也可表示为0≤y≤1，y ≤x≤，故φ(y)=．知识模块：多元函数积分学4．设L为直线x+y=1上从点A(1，0)到B(0，1)的直线段，则∫L(x+y)dx—dy= ( )A．2B．1C．一1D．一2正确答案：D解析：用积分路径L可表示为：y=1一x，起点：x=1，终点：x=0，所以∫L(x+y)dx—dy=∫10dx+dx=－2．知识模块：多元函数积分学5．积与路径无关的是( )A．∫L(x2+y2)dx+dyB．∫Lxdx+xydyC．∫Ldx+xydyD．∫Lydx+xdy正确答案：D解析：A项，=1，故选D．知识模块：多元函数积分学6．L为从点(0，0)经点(0，1)到点(1，1)的折线，则∫Lx2dy+ydx= ( ) A．1B．2C．0D．一1正确答案：A解析：积分路径如图5—13所示，∫Lx2dy+ydx=x2dy+ydx+x2dy+ydx=0+∫01dx=1，故选A知识模块：多元函数积分学7．设曲线L的方程是x=acost，y=asint(a＞0，0≤t≤2π)，则曲线积分(x2+y2)nds=( )A．2πa2nB．2πa2n＋1C．一πanD．πan正确答案：B解析：(x2+y2)nds=∫02π(a2)n dt=2πa2n＋1．知识模块：多元函数积分学填空题8．当函数f(x，y)在有界闭区域D上________时，f(x，y)在D上的二重积分必存在．正确答案：连续解析：由二重积分的定义和极限存在的定义可知，当函数f(x，y)在有界闭区域D上连续时，f(x，y)在D上的二重积分必存在．知识模块：多元函数积分学9．设区域D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，则=________．正确答案：2解析：=2SD=2．知识模块：多元函数积分学10．若D是中心在原点、半径为a的圆形区域，则(x2+y2)2dσ=_______．正确答案：πa6解析：(x2+y2)2dσ=∫02πdθ∫0ar4．rdr=a6×2π=πa6．知识模块：多元函数积分学11．设D是由Y=，y=x，y=0所围成的第一象限部分，则=_______．正确答案：解析：由题意，该积分易于在极坐标系下计算，又积分区域D可表示为：于是有知识模块：多元函数积分学12．交换I=∫01dx f(x，y)dy的次序为I=________．正确答案：∫01dy∫0y2f(x，y)dx+∫12dy f(x，y)dx解析：由0≤x≤1，得区域D如图5—3所示，D由x=y2，(y一1)2+x2=1，x=0围成，改变积分次序后区域需分2块．D可表示为D1+D2=｛(x，y)｜0≤y≤1，0≤x≤y2｝+｛(x，y)｜1≤y≤2，0≤x≤｝，则知识模块：多元函数积分学13．设区域D由y轴与曲线x=cosy(其中所围成，则二重积分3x2sin2ydxdy=________．正确答案：解析：知识模块：多元函数积分学14．L为三顶点分别为(0，0)，(3，0)，(3，2)的三角形正向边界，则(2x —y+4)dx+(5y+3x一6)dy=_______．正确答案：12解析：如图5—14所示，(2x—Y+4)dx+(5y+3x一6)dy==∫03(2x+4)dx+∫02(5y＋3)dy+∫30xdx=21+16—25=12．知识模块：多元函数积分学15．设L为直线y=x一1上的点(1，0)到点(2，1)的直线段，则曲线积分∫L(x—y+2)ds=_______．正确答案：解析：∫L(x—y+2)ds=∫12(x一(x一1)+2)．知识模块：多元函数积分学解答题16．计算∫0πdy dx．正确答案：积分区域又可表示为｛(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x2｝，则涉及知识点：多元函数积分学17．求，其中D由y=和y=x2围成．正确答案：如图5—4所示，区域D：0≤x≤1，x2≤y≤，故涉及知识点：多元函数积分学18．计算y2exydσ，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1．正确答案：由题意可知y2exydσ=∫01dy∫01y2exydx=∫01(yey－y)dy=．涉及知识点：多元函数积分学19．求，其中D：0≤y≤x，0≤x≤．正确答案：根据被积函数的特点，选择先对y积分．区域D可表示为：｛(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x｝，．涉及知识点：多元函数积分学20．计算，其中D：4≤x2+y2≤9．正确答案：=∫02π(ln3－ln2)dθ=2πln．涉及知识点：多元函数积分学21．计算∫12dx．正确答案：由于作为y的函数，其原函数不能用初等函数表示，因此交换积分次序．区域D由直线y=x，x=1，x=4，y=2及抛物线y=所围成，如图5-7阴影部分所示，因此区域D可以写为D=｛(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤y2｝，故∫12dx＋∫24dx=∫12dy∫yy2=∫12=(2+π)．涉及知识点：多元函数积分学22．计算二重积分，D：x2+y2≤R2，0≤y≤x，x≥0．正确答案：选择极坐标系计算，区域D的表示式为涉及知识点：多元函数积分学23．求，其中D是顶点分别为(0，0)，(π，0)及(π，π)的三角形区域．正确答案：如图5—10所示区域D：0≤x≤π，0≤y≤x，故xsin(x+y)dσ=∫0πdx∫0xxsin(x+y)dy=∫0π(xcosx－xcos2x)dx=(xsinx＋cosx—cos2x)｜0π=一2．涉及知识点：多元函数积分学24．计算x3dy—y3dx，其中L为x2＋y2=a2顺时针方向．正确答案：L为顺时针方向，即为反向，故x3dy—y3dx=一=－3x2一(一y2)dxdy=一3∫02πdθ∫0ar2．rdr=．涉及知识点：多元函数积分学25．计算对坐标的曲线积分I=∫L(x2+y)dx+(x－siny)dy，其中L是圆周y=上由点(0，0)到点(1，1)的一段弧．正确答案：P=x2+y，Q=x—siny，因为，所以曲线积分与路径无关，故可选择从(0，0)→(1，0)→(1，1)，则I=∫L(x2+y)dx+(x—siny)dy=∫01x2dx+∫01(1－siny)dy=+1+cosy｜01=＋cos1．涉及知识点：多元函数积分学26．求曲线积分，其中L为如图5—1所示的闭路OAB，是x2+y2=a2上一段弧，端点为A(0，a)，．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学27．求∫L(y－x)ds，其中L：y=｜1一x｜—x；0≤x≤2．正确答案：当0≤x≤1时，y=1一x—x=1—2x当1≤x≤2时，y=x－1一x=一1．∫L(y－x)ds=∫01(1－2x)一x]+∫12(－1－x)=．涉及知识点：多元函数积分学。
全国自考高等数学(工专)模拟试卷2(题后含答案及解析)
全国自考高等数学（工专）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设则f(x)在【】A．x=0，x=1处都间断B．x=0处间断，x=1处连续C．x=0处连续，x=1处间断D．x=0，x=1处都连续正确答案：B解析：f(x)在x=0处左右极限存在但不相等，在x=0处间断．f(x)在x=1处左右极限存在且都等于f(1)，连续．2．下列各选项中，函数相等的是【】A．f(x)=2lnx，g(x)=lnx2B．f(x)=，g(x)=1C．f(x) =，g(x)=xD．f(x)=一sgn(1一x)，g(x)=正确答案：D解析：选项A中，f(x)的定义域为x>0，g(x)的定义域为x≠0；选项B中，f(x)的定义域为x≠0，g(x)的定义域为全体实数；选项C中，f(x)，g(x)定义域相同，但f(x)==|x|，g(x)=x，对应法则不同；选项D中，f(x)=一sgn(1一x)所以f(x)，g(x)的定义域和值域都相同．3．若函数f(x)在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则【】A．至少存在一点ξ∈(a，b)，使f?(ξ)=0B．至少存在一点ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0C．只存在一点ξ∈(a，b)，使f?(ξ)=0D．不一定存在ξ∈(a，b)，使f?(ξ)=0正确答案：D解析：令f(x)=sinx，则f(x)在(0，2π)内可导，且f(0)=f(2π)=0，f′(x)=cosx=0，所以排除选项C；令f(x)=x2+1，在（—2，2）内f(x)可导，且f(-2=f(2)，但不存在ξ∈（—2，2）使得f(ξ)=0，排除选项B；令f(x)=显然，f(x)在（0，2）上可导，所以f(x)在x=2处不连续，且有f(2)=0=f(0)，满足题设条件，但在（0，2）上f′(x)=1，不为零，所以在（0，2）上不存在点ξ，使f(ξ)=0，排除选项A．4．设f(x)可微，则d(ef(x))= 【】A．f?(x)dxB．ef(x)dxC．f?(x)ef(x)dxD．f?(x)def(x)正确答案：C5．设矩阵A为奇数阶方阵，且AA?=E，则|A|= 【】A．0B．1C．一1D．一1或1正确答案：D填空题请在每小题的空格中填上正确答案。