第十五章 复数复习纲要
复数知识点复习总结
复数知识点复习总结复数知识点复习总结「篇一」眼下即将进入炎热的暑期，繁重的学习压力，酷热的环境对每位考研的学生来讲都是一个不小的挑战。
如何在如此考验耐力的条件下保证有效地复习？跨考教育公共课教研室张老师认为，非但科学的学习方法还得有颗坚韧的心，信心决不动摇，努力决不松懈，策略决不疏忽，做到三个“绝不”，暑期备考方能一路过关斩将。
演讲大师齐格勒曾经讲到，世界上牵引力最大的火车头停在铁轨上，为了防滑，只需在它的8个驱动轮前面塞一块1英寸见方的木块，这个庞然大物就无法动弹。
然而，一旦这个巨型火车头开始启动，这小小的木块就再也挡不住它了；当它的时速达到100英里时，一堵5英尺厚的钢筋混凝土墙也能轻而易举被它撞穿。
从一块小木块令其无法动弹，到能撞穿一堵钢筋水泥墙，火车头威力变得如此巨大，原因不是别的，就是因为火车头的潜力已经被挖掘出来了。
而潜能之所以被挖掘出来，在于它受到了激励，打开了潜能释放的阀门。
每个人都有巨大的潜能，然而这潜能却往往惨遭埋没，因为释放潜能的阀门没有激励，无法开启。
一句话、一件事、一个灵感、一次邂逅都可以成为释放潜能的钥匙。
信心决不动摇，努力决不松懈，策略决不疏忽，考研路上离不开精神动力。
信心决不动摇，在信念上坚如磐石，“任尔东西南北风，咬住青山不放松”；努力决不松懈，在行动上勇往直前，“努力才是硬道理”，空有信心必然心虚，只有扎实苦干，才是成功的捷径；策略决不疏忽，在考虑问题时决不轻敌，正所谓“战略上藐视，战术上重视”，力求认认真真做好考研复习的每一件事情。
然而，如果我们要想主宰自己的命运，我们就不能完全寄希望于来自外界的激励，而必须学会自我激励，自己开启内在潜能的阀门。
这在考研过程中尤为重要，考研往往是孤独的，往往很难获得来自朋友亲人等外界的激励，因此需要我们把自我激励化为生活的一部分，不断激发自己的信心，沉着冷静地扎实前行！考研过程会有很多意外，会有很多的意想不到的打击，比如课程设计，专业实习，感冒发烧等；或者在复习中出现瓶颈，个人学习遇到难题，复试面试时遇到自己从没有接触过的知识点这个时候，学会痛并快乐着的忍耐，不断激励自己“信心决不动摇，努力绝不松懈，策略绝不疏忽！”，大声唱响自己的人生之歌，生命之歌，站在金色的起跑线上，向着理想，以最快的速度，奔跑！也许下一站，就会柳暗花明！复数知识点复习总结「篇二」1.图象题。
复数高二知识点
复数高二知识点复数是英语中的一种重要的语法形式，它用于表示两个或两个以上的人、事物或概念。
在高二英语学习中，复数的使用是一个重要的知识点。
本文将从名词的变化规则、特殊名词以及复数的用法等方面详细介绍高二英语复数的知识点。
一、名词的变化规则1. 一般情况下，将名词变为复数的方法是在词尾加上-s。
例如：- book → books- pen → pens- student → students2. 以s、x、ch、sh结尾的名词，在词尾加-es构成复数。
例如：- bus → buses- box → boxes- watch → watches- brush → brushes3. 以辅音字母+y结尾的单词，将y变为i，再加-es构成复数。
例如：- baby → babies- lady → ladies- city → cities4. 以元音字母+y结尾的名词，直接加-s构成复数。
例如：- boy → boys- day → days5. 以“辅音字母+o”结尾的名词，在词尾加-es构成复数。
例如：- tomato → tomatoes- potato → potatoes6. 以“元音字母+o”结尾的名词，直接加-s构成复数。
例如：- radio → radios- zoo → zoos7. 以“辅音字母+f或fe”结尾的名词，将f或fe变为v，再加-es 构成复数。
例如：- wife → wives- wolf → wolves二、特殊名词的复数形式1. 一些名词的复数形式需要记忆，它们的复数形式不遵循一般的变化规则。
例如：- man → men- woman → women- child → children- tooth → teeth- foot → feet2. 有些名词的复数形式与单数形式相同。
例如：- sheep → sheep- fish → fish- deer → deer三、复数的用法1. 复数可以用来表示多个人或物。
复数知识点总结ppt
复数知识点总结ppt一、基本概念复数是指表示两个或两个以上的名词或代词的数量。
在英语语法中，复数形式通常通过在名词或代词后面加上-s或-es来表示。
复数形式的使用是英语语法的重要部分，因此掌握复数知识点对于学习和运用英语非常重要。
二、名词的复数形式1. 一般情况下，在名词后面加上-s来表示复数形式，如：book-books, cat-cats, dog-dogs 等。
2. 以-s, -x, -sh, -ch结尾的名词，复数形式加-es，如：box-boxes, bus-buses, brush-brushes, church-churches等。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i，再加-es表示复数形式，如：baby-babies, city-cities, party-parties等。
4. 以-f或-fe结尾的名词，将f或fe变为v，再加-es表示复数形式，如：leaf-leaves, wolf-wolves, wife-wives等。
5. 不规则名词的复数形式，如：man-men, woman-women, child-children, tooth-teeth等。
6. 复合名词的复数形式，在最后一个名词后面加上-s或-es表示复数形式，如：brother-in-law-brothers-in-law, son-in-law-sons-in-law等。
三、代词的复数形式1. 人称代词的复数形式，如：I-we, you-you, he-they, she-they等。
2. 物主代词的复数形式，如：my-our, your-your, his-their, her-their等。
3. 不定代词的复数形式，如：some-some, any-any, both-both等。
四、复数形式的用法1. 表示两个或两个以上的人或物时，使用复数形式，如：There are three apples on the table.2. 表示一个整体的多个部分时，使用复数形式，如：The team are practicing for the match.3. 在可数名词的数量前面使用数词表示复数，如：ten books, five cats等。
高考数学考前知识要点复习十五复数.doc
高中数学第十五章复数考试内容：复数的概念. 复数的加法和减法. 复数的乘法和除法. 数系的扩充. 考试要求：（1） 了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义（2） 掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算. （3） 了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.§ 15. 复数知识要点1. ⑴复数的单位为i ,它的平方等于一 1,即 i 2= J.⑵复数及其相关概念:① 复数一形如a +bi 的数（其中a, b e R ）； ② 实数一当b = 0 时的复数a + b i, 即a ；③ 虚数一当b^O 时的复数a+ bi ；④ 纯虚数一当a 二0且13工0吋的复数a+ bi ,即bi.⑤ 复数a+ bi 的实部与虚部一a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a, b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母 C 表示.⑶两个复数相等的定义：a +bi =c+di = a =c 且 d d （其中，a, b, c, R ）特别地 a+ bi= 0= a= b= 0 ・⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小注：①若Zl,Z2为复数，则厂若Z1 + Z2 > 0 ,则Z1A_Z2・（X ） [ Zl , Z 2为复数，而不是实数] 2 喏 Z1 Y Z2，则 Z1 Z2 Y °・(厂)2 b c c a 2+ — 2 + — =()()0 是2(a b)€②若 a, b, c C ,a b c 的必要不充分条件.（当(b c) 21,()0时，上式成立）2. （1）复平面内的两点间距离公式：d zi z2・其中Z1, Z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d表示Z1和Z2间的距离・由丄可得：复平面内以z为圆心，r为半径的圆的复数方程：z zo r （r 0）.—= o⑵曲线方程的复数形式：I - I =| ■ J①z zo r表示以zo为圆心，r为半径的圆的方程・②Z乙Z Z2表示线段乙Z2的垂直平分线的方程3. 尹轨复数的性质：=Z1 Z2 Z1 Z2I)表示以2aa 0 2a z z1 2为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程z22aII IzIH 此方梅表示线陵 Zil Z 2I). 1 2=| I④ z Z1 Z Z22a (0 2a ziz 2),表示以Zi, Z2为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程(若2a z z ,此方程表示两条射线)・ 1 2\卜ul<i +丨勻州丨⑶缆对值木馨式：设Z1, Z2是不等于零的复数人则① |zi|-|z2 | 伞-Z2 | 伞 | +上2 |.左边取等号的条件是 Z2 =/Zi ( /u € R?且A 0),右边取等号的条件是42/.乙R,. Y 0).②Z1 Z 茅 Zf £2 •孕・・£2・左边取等号的条件是 Z2 Z1 ( R,0),右边取等号的条件是Z2 Z1 ( R,0).注：Ai A2 A2A3 A3A4An 1 AnAl An •z =11+ + +=-1 1 = = 一 = 一 2 i4 2 )1 1就会得到1 1的错误结论・ ( 2 2|x| X •当X 为虚数时，|x| X ,所以复数集内解方程不能采用两边平方 法.⑵常用的结论：j 2I n I I 11| n414243②在实数集成立的z 2 , ★ z 、 a仁」 Z1z z 2bi (z a + bi )Z1 Z2 Z1 Z2Z 1 Z 2(Z2 0 )注：两个共轨复数之差是纯虚数(X[之差可能为零，此时两个复数是相等的 ]4 (1)①复数的乘方:z 乙・.z(nn②对任倔b zr Z1 ,Z 2一、 m -7 -7m n ③ Z Znz n z n*1 2注：①以上结论不能拓 展到分数指数幕的形式, 否则会得到荒谬的结果，如 U 4 1若由1 1 1 5 5 1 ,n, n +1 j n+2Jn 、 (1+ ± 2= ±4—i = i) 2i, rj3 0,( 4^+ = -.4 +・I1 I的 立 方+虚+数 根 如如=◎如 划 = €5.32⑴复数z 是实数纯z R z z.,10,+_ = n n Z 20(贏数的充要条件: ① ②若z 0 z 是纯虚数⑵模相等亀方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表屈 一复数•特例：零向量的方囘是任轡P 其停为零 .|Z| |z|9注: 6.⑴复数的三角形式：z辐角主值： 适合于0< 注：①至为塚时，angz②辐角是多值的，都相差 的整数倍・ r(cos i sin )・7t< 2 的值，iferg z . 可取TO,2：;)内任意屛.、 ______ 3 ③率 则 0 -prg a 6 0,arg^ a) ^,arg ai 步逼g( ai)6⑵复数的代数形式与三角形式的互化：a bi a©os 0i sin ) ,扌a b,sin色儿类三夢輕的标樓住式：n +07T +0r (cos - 0i sin ) r[cos( ) i sin( +)1n -8r(cos0 + i sin ) 6 = r[cos( -- 8 1 iSiL e )]r( cosi sin ) r[cos( )i sin()]r (sin cos ) r[cos( 2 7.复数集申解一元二绳方程: isin (2+ )[=工 ±v A 在复数朋解关眨x 的一元二次方程 2 ax bx 6內，应注意下同题 ①当a,b,c R 时，若 >0, X1 ,2 b 8 ；+若 0 0,则有二相蒂复i 数根 2a ,2 a,b,c 不全为实数时，不能 方程根的情况・ X1 ,2 2a ;若 =0,则有二相等实数根 2a 1 h o (牟，3为共觑复数百+6 ② 当 ③ 不玲b,c 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成 8.复数的三角形式运算：H i sin ) r i r r i )](COS 1 2 2 (COS 2 sin 2) 1 2 [cos( 1 2) 1 2sin(=_0 -0 +j si"%—i"1[cos( )吟 01=e +2n n棣莫弗定理：[r(cos isin )] r (cosn i sin n )r (cosO +i sin 8 )~r (cos i sin )2 2 2-4-。
复数全章知识点
复数全章知识点一、知识概述《复数》①基本定义：复数就是把实数和虚数合在一起的数。
比如，3是实数，但如果写成3 + 0i，这就是复数了。
其中i是虚数单位，规定i的平方等于-1。
就好像有一个神秘的数字世界，原本只有像1、2、3这些实实在在能看到摸到的实数，但科学家为了解决一些问题，发现还得有像i这么个神奇的东西，当它和实数组合起来就成了复数。
②重要程度：在数学学科里可是非常重要的，很多数学问题，特别是和方程、函数相关的，如果没有复数的概念，就没办法完整解决。
像在高等数学、物理学中的交流电计算等领域它可都是大功臣。
③前置知识：要掌握好实数的知识，像有理数、无理数，它们的运算规则，四则运算这些基本功。
因为复数也会用到实数的运算规则。
④应用价值：在电工学里，计算交流电的时候，如果只考虑实数，很多计算是没办法进行的。
因为交流电是有相位差的，而这个相位差就是复数里虚数部分在现实中的体现。
在信号处理里，也经常用到复数，把信号分解成实部和虚部来分别处理。
二、知识体系①知识图谱：复数在数学学科里算是数系扩充后的内容，它是实数系的扩展。
如果我们把数系比作一个家族，实数是家族的一大部分，那复数就是把这个家族又扩大了一些，把像i这种很奇怪的成员也包含进来了。
②关联知识：和方程、函数特别是多项式函数有很大联系。
许多多项式方程在实数范围内无解，但在复数范围内就有解了。
还和向量有点联系。
可以把复数看成一种特殊的向量，实部和虚部分别是向量的两个分量。
③重难点分析：- 掌握难度：我刚学的时候觉得有点难的就是虚数单位i这个概念，有点抽象。
它不像实数那么直观。
- 关键点：理解复数的实部、虚部，还有i的平方等于-1这条铁律。
能熟练进行复数的四则运算。
④考点分析：- 在考试中，如果是基础数学考试，会重点考查复数的基本运算，像加、减、乘、除。
比如出一道题让你计算(2 + 3i)+(1 - 2i),这种简单的计算。
如果是稍难一点的或者高等数学考试，会考查复数在方程中的应用，比如解一个在实数内无解的二次方程在复数范围内的解。
高三数学高考第一轮复习第十五章教案复数的概念
第七节 复数的的概念一、复习目标：1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
二、重难点：1.重点：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)。
2.难点：复数的有关概念的应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、谈新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势。
预测2010年高考对本讲的试题难度不会太大，重视对基本问题诸如：复数的四则运算的考查，题目多以选择、填空为主。
（二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P148页填空题，教师准对问题讲评）1、复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示2、复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.3、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数04、复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘5、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =,b d =6、复数的模：设oz =bi a +,则向量oz 的长度叫做复数bi a +的模（或绝对值），记作bi a +. (1)22b a bi a z +=+=；(2)1212Z Z Z Z ∙=∙；(3)2121z z z z =；7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数。
数学复数知识点提纲
数学复数知识点提纲数学复数知识点提纲复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。
特殊地，a，b∈R时，a+bi=0a=0，b=0.复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
高三数学高考第一轮复习第十五章教案复数的运算
第八课时 复数的运算一、复习目标：1、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算；2、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义；3、掌握复数的运算法则，并熟练地进行运算。
二、重难点：1.重点：掌握复数的运算法则，复数加减法的几何意义及应用。
2.难点：复数相关问题的综合应用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势。
预测2010年高考对本讲的试题难度不会太大，重视对基本问题诸如：复数的四则运算的考查，题目多以选择、填空为主。
（二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P149页填空题，教师准对问题讲评） 1、复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()a bi c di +++=()()a c b d i +++ 2、复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()a bi c di +-+=()()a c b d i -+-3、乘法运算规则： 设1z a bi =+，2z c di =+(a 、b 、c 、d R ∈)是任意两个复数，那么它们的积2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++4、复数除法定义：满足()()()c di x yi a bi ++=+的复数x yi +(x 、y R ∈)叫复数a bi +除以复数c di +的商，记为：()()a bi c di +÷+或者di c bia ++则2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++5、复数加、减法的几何意义 (1)加法的几何意义复数21z z + 是以→1oz 、→2oz 为两邻边的平行四边形对角线→oz 所对应的复数. (2)复数减法的几何意义复数21z z -是连接向量1OZ 、2OZ 的终点，并指向被减数的向量21z z 所对应的复数. 6、 重要结论对复数z 、1z 、2z 和自然数m 、n ，有n m n m z z z +=∙，mn n m z z =)(，nn n z z z z 2121)(∙=∙(2) i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ； 114=+n i，124-=+n i ，i i n -=+34，14=n i .(3) i i 2)1(2±=±，i i i -=+-11，i i i =-+11。
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第十五章 复数复习纲要
一．基本概念
１．复数的有关概念：
１>．复数：①形如ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的数叫复数．ａ叫复数的实部，记作：Re(z)，ｂ叫复数的虚部，记作：Im(z)．ｉ是虚数单位． ②全体复数构成的集合叫复数集，用Ｃ表示． ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）叫复数的代数形式． ２>．复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫复平面．ｘ轴叫实轴，ｙ轴除去原点的部分叫虚轴．
３>．实数集与复数集的关系：实数集是复数集的真子集．即：Ｒ⊂Ｃ． ２．复数的分类：
()
()()0,
00.00.00b a bi a b R b a a a bi a b a bi a b =+∈≠⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎩⎨⎪⎧=≠⎪⎪⎨⎪+≠≠⎪⎩⎩
正实数:>0实数 :=0
负实数:<0复数纯虚数: 且虚数非纯虚数: 且ａ＝０是ｚ＝ａ+ｂi 为纯虚数的必要非充分条件.
３．两虚数相等的充要条件：
a c
a bi c di
b d
=⎧+=+⇔⎨
=⎩
注：两个复数不能比较大小，即当且仅当两个复
数都是实数时，才能比较大小． ４．虚数单位ｉ的幂的性质：
2441
42
43
1.1.. 1..n
n n n i i
i
i i
i
i i +++=-===-=-①② 叫的周期性.
５．复数的几何意义：
①任何一个复数ｚ＝ａ＋ｂｉ．（ａ，ｂ∈Ｒ）与复平面内的一点Ｚ（ａ，ｂ）一一对应． ②任何一个复数ｚ＝ａ＋ｂｉ．（ａ，ｂ∈Ｒ）与
以原点为起点，点Ｚ（ａ，ｂ）为终点的向量OZ
一一对应．
６．复数的模．ｚ＝ａ＋ｂｉ．则z OZ =
二．复数的代数形式及运算
１．复数代数形式的四则运算：
()()()()()()()()()121212122222,.,,,z a bi z c di a b c d R z z a bi c di a c b d i z z a bi c di ac bd ad bc i z a bi ac bd bc ad
i z c di c d c d
=+=+∈±=+±+=±+±⋅=+⋅+=-++++-==++++设 则 ２．复数加减法的几何意义：
12z z +是向量12OZ OZ +
所对应的复数．
12z z -是向量12OZ OZ - 即向量21Z Z
所对应的复数．
３．复数加法，乘法的运算律
()()()()()()()1221123123123123
123121312121212.,n
m
m n m n m m n m m
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z m n N z z z z z z z z z *+⋅+=+++=++⋅⋅=⋅⋅⋅+=⋅+⋅⋅=⋅∈⋅==⋅=⋅⑴①.②③④⑤⑵若,则
①.②.③注意：ｍ，ｎ是正整数，不是分数． ４．模运算性质：
(
)11
121222
2
2
22
121212121212
2z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅=⋅=++-=+-≤+≤+①.②
③④
５．共轭复数
（１）①定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，叫共轭复数．
②复数ｚ＝ａ＋ｂｉ的共轭复数， 记作z ，即：z a bi =-．
（２）共轭复数的性质：
①实数的共轭复数是它本身．特别的时
()2
2
22
1212121211
222
2.2.1,1
..0z z a z z bi z z z z z z
z
a b
z z z z z z z z z z z z z z z z +=-==⋅===+=⋅=±=±⋅=⋅⎛⎫=≠
⎪⎝⎭②③④⑤=z ⑥特别的时⑦⑧⑨
６．常用运算技巧 （１）ｉ的周期性：
()()()
44142431231231.. 1..0.1.n n n n n n n n n n n n i i i i i i n N i i i i n N i i i i n N +++++++++
===-=-∈+++=∈⋅⋅⋅=∈***① ② ③
（２）技巧：
()()2
111 2...
111i i
i
i i i i i
a
bi a bi b ai i b ai
+-±=±==--+++=-+-①②③④=-i.⑤=i.⑥i
（３）设12ω=-
，则有： ()
322121..10.n n n n N ωωωωωωωω++==++=+∈*①②③④+=0.ω与ω统称为１的立方虚根，即若ｘ3＝１则：
ｘ＝１，ω．ω．而且对ω也有类似上面的等式。
７﹡．复数的三角形式：
（１）定义：辐角主值：０≤ａｒｇθ＜２π．
()cos sin .,sin a b z r i r r r
θθθθ=+==
= （２）运算：尼莫佛定理
()()()()()()1212121211121222
cos sin :cos sin cos sin cos sin 22cos sin 0,1,2,n
n z z r r i r i r n i n z r i z r k k i n n k n
θθθθθθθθθθθθθπ
θπ⋅=⋅+++⎡⎤⎣⎦+=+⎡⎤⎣⎦
=-+-⎡⎤⎣⎦++⎫+⎪
⎭= ①.
②尼莫佛定理③８．数集的关系：N Z Q R Z ⊂⊂⊂⊂ ９．实系数方程复根成对定理．。