函数最值课件
（2）又由题目已知条件可设y2=a（x-25）2+2．因其图象过 点（15，3）， ∴∴（3y3=2）=a第1（010 xx12天5--122上x5+）市3432的（+2这或，种y∴=绿1a01（=0色1x01蔬0-2，菜5）的2+纯2）利（润0为≤x：≤y510-）y2= x2-44x+315（0≤x≤50）． 依题意： y1-y2 =0，即x2-44x+315=0，∴（x-9）（x-35）=0， 解得：x1=9，x2=25． 所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不 赔本也不赚钱．
最大？•此时每日销售利润是多少元？
解：
（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则
15k b 25, 2k b 20
解得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为 w元, 则w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225 元．
解：该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元）， 当y=380时，380=-80x+720，得x=4.25． 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 380×4.25+780=2395（元）， 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
试一试
某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年 用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，•若该 班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分 组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780 元，其中，纯净水的销售价X（元/桶）与年购买总量y（桶）之 间满足如图所示关系． (3)当x为何值时,该班每年购买纯净水的费 用最大?最大是多少? 解：设该班每年购买纯净水的费用为W元，
小 结：
解决最值问题应用题的思路与一般 应用题类似，先找出数量间的关系， 确定自变量与函数，往往在“当某 某为何值时，什么最大（或最小、 最省）”的设问中，•“某某”要设 为自变量，“什么”要设为函数， 再建立函数关系的数学模型，最后 求出最值。
试一试
某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年 用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，•若该 班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分 组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780 元，其中，纯净水的销售价X（元/桶）与年购买总量y（桶）之 间满足如图所示关系．
解：要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则 50a≥W最大值+780，•即50a•≥1620+780．解之得， a≥48．所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对 学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能 省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．
做一做
一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情， 预计从5月1•日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关 系可用图（a）的一条线段表示；•它的种植成本y2与上市时间 x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．
悟一悟
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）• 与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元） 15 20 30 …
y（件） 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）每件产品的销售价应定为多少元时,每日的销售利润
则W=xy=x（-80x+720）= -80（x- 9）2+•1620．
2
∴当x= 9 时，W最大值=1620．
2
试一试
某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年 用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，•若该 班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分 组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780 元，其中，纯净水的销售价X（元/桶）与年购买总量y（桶）之 间满足如图所示关系． （4）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯 净水一定合算？从计算结果看，•你有何感想（不超 过30字）？
（1）求y与x的函数关系式； 解：（1）设y=kx+b，∵x=4时，y=400； x=5时，y=320， ∴∴y与342000x的54k函k 数bb, 关解之系得式: 为bk y=728-0800x+720．
试一试
某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年 用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，•若该 班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分 组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780 元，其中，纯净水的销售价X（元/桶）与年购买总量y（桶）之 间满足如图所示关系． （2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据 提供的信息分析一下：•该班学生集体改饮桶装纯净水与个人 买饮料，哪一种花钱更少？
驶向胜利 的彼岸
总利润= 每件利润×销售数量
练一练
1.二次函数y=x2+2x-1，当x=__-_1__时，y有最__小___值， 这个值是____-2____．
2.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向 上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与 抛出时间t（s）满足：S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取 10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距 离地面____7____m．
（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关 系式．
（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关 系式．
（3）假定市场售价减去种植 成本为纯利润，问哪天上市的这 种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？ （市场售价和种植成本的单位： 元/千克，时间单位：天）
解：（1）设y1=mx+n，因为 函数图象过点（0，5.1）， （50，2.1）， ∴ 解得：m=-，n=5.1， ∴y1=-x+5.1（0≤x≤50）．
中考复习
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吉安县文山学校
朱晓燕
２００8年 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 月
想一想
回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质 顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
直线x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
利润= 售价-进价
谈谈你本节课的学习体会
小 结：
通过数形结合、函 数、方程的思想，将实 际问题转化为数学问 题，建立方程、函数、 不等式等数学模型，最 后通过数学知识解决实 际问题
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最大？•此时每日销售利润是多少元？
解：
（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则
15k b 25, 2k b 20
解得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为 w元, 则w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225 元．
解：该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元）， 当y=380时，380=-80x+720，得x=4.25． 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 380×4.25+780=2395（元）， 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
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某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年 用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，•若该 班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分 组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780 元，其中，纯净水的销售价X（元/桶）与年购买总量y（桶）之 间满足如图所示关系． (3)当x为何值时,该班每年购买纯净水的费 用最大?最大是多少? 解：设该班每年购买纯净水的费用为W元，
小 结：
解决最值问题应用题的思路与一般 应用题类似，先找出数量间的关系， 确定自变量与函数，往往在“当某 某为何值时，什么最大（或最小、 最省）”的设问中，•“某某”要设 为自变量，“什么”要设为函数， 再建立函数关系的数学模型，最后 求出最值。
试一试
某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年 用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，•若该 班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分 组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780 元，其中，纯净水的销售价X（元/桶）与年购买总量y（桶）之 间满足如图所示关系．
解：要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则 50a≥W最大值+780，•即50a•≥1620+780．解之得， a≥48．所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对 学生一定合算，由此看出，饮用桶装纯净水不仅能 省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．
做一做
一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情， 预计从5月1•日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关 系可用图（a）的一条线段表示；•它的种植成本y2与上市时间 x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．
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某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）• 与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元） 15 20 30 …
y（件） 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）每件产品的销售价应定为多少元时,每日的销售利润
则W=xy=x（-80x+720）= -80（x- 9）2+•1620．
2
∴当x= 9 时，W最大值=1620．
2
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（1）求y与x的函数关系式； 解：（1）设y=kx+b，∵x=4时，y=400； x=5时，y=320， ∴∴y与342000x的54k函k 数bb, 关解之系得式: 为bk y=728-0800x+720．
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某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年 用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，•若该 班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分 组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780 元，其中，纯净水的销售价X（元/桶）与年购买总量y（桶）之 间满足如图所示关系． （2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据 提供的信息分析一下：•该班学生集体改饮桶装纯净水与个人 买饮料，哪一种花钱更少？
驶向胜利 的彼岸
总利润= 每件利润×销售数量
练一练
1.二次函数y=x2+2x-1，当x=__-_1__时，y有最__小___值， 这个值是____-2____．
2.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向 上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与 抛出时间t（s）满足：S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取 10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距 离地面____7____m．
（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关 系式．
（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关 系式．
（3）假定市场售价减去种植 成本为纯利润，问哪天上市的这 种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？ （市场售价和种植成本的单位： 元/千克，时间单位：天）
解：（1）设y1=mx+n，因为 函数图象过点（0，5.1）， （50，2.1）， ∴ 解得：m=-，n=5.1， ∴y1=-x+5.1（0≤x≤50）．
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回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质 顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
直线x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
利润= 售价-进价
谈谈你本节课的学习体会
小 结：
通过数形结合、函 数、方程的思想，将实 际问题转化为数学问 题，建立方程、函数、 不等式等数学模型，最 后通过数学知识解决实 际问题
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函数的极值与最值(第一课时)课件高二下学期数学人教a版选择性必修第二册
例1.求函数 f (x) 1 x3 4x 4 的极值.
3
解：因为 f '(x) x 2 4 (x 2)(x 2) 令 f '(x) 0 ，得 x 2 或 x 2
当 x 变化时，f '(x) ， f (x) 的变化情况如下表
x
(-∞，-2) -2
(-2，2)
2
(2，+∞)
f '(x)
+
0
(-1，3)
3
-
0
(3，+∞) +
f(x) 单调递增↗ 10 单调递减↘ -22 单调递增↗
因此，x 1是函数的极大值点，极大值为 f (1) 10 ； x 3 是函数的极小值点，极小值为 f (3) 22 .
(2)函数
f (x)
ln x x
的定义域为
(0，+∞)，且
f
'(x)
1 ln x x2
Oa
h '(t) 0
h '(t) 0
h '(t) 0
t
函数的极值 如图，函数 y f (x) 在 x = a，b，c，d，e这些点与这些点附近的函数 值有什么关系？在这些点及这些点附近的导数正负性有什么规律？
y
ab
c
de
x
先以 x a 为例，如图，可以发现，函数 y f (x)在点 x a 处的函数 值 f (a) 比它在点 x a 附近其他点处的函数值都小， f '(a) 0 ，而且在点 x a 附近的左侧 f '(x) 0 ，右侧 f '(x) 0 . 我们把点 a 叫做函数的极小 值点， f (a) 叫做函数 y f (x) 的极小值.
微专题2二次函数的最值问题 课件(14张)
第三章 函数的概念与性质
微专题2 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较 全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练 几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型 1 不含参数的二次函数最值问题 【例 1】 已知函数 f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量 x 在下列范围内 取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
t2＋1，t&1， t2－2t＋2，t>1.
类型 3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题 【例 4】 已知二次函数 g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0,3] 上有最大值 4，最小值 0. (1)求函数 g(x)的解析式； (2)设 f(x)＝gxx－2x，若 f(x)－kx≤0 在 x∈81，8时恒成立，求实数 k 的取值范围．
图①
图②
(2)当 0≤a<1 时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)
＝3－4a.
(3)当 1≤a≤2 时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0) ＝－1.
图③
图④
(4)当 a>2 时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝ －1.
[解] (1)∵g(x)＝m(x－1)2－m＋1＋n， ∴函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＝1.又∵m>0， ∴依题意得gg13＝ ＝04， ， 即3－mm＋＋1＋1＋n＝n＝4，0， 解得mn＝＝01.， ∴g(x)＝x2－2x＋1.
(2)∵f(x)＝gxx－2x，∴f(x)＝x＋1x－4. ∵f(x)－kx≤0 在 x∈18，8时恒成立，即 x＋1x－4－kx≤0 在 x∈ 18，8时恒成立， ∴k≥1x2－4x＋1 在 x∈81，8时恒成立．
微专题2 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较 全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练 几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型 1 不含参数的二次函数最值问题 【例 1】 已知函数 f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量 x 在下列范围内 取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
t2＋1，t&1， t2－2t＋2，t>1.
类型 3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题 【例 4】 已知二次函数 g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0,3] 上有最大值 4，最小值 0. (1)求函数 g(x)的解析式； (2)设 f(x)＝gxx－2x，若 f(x)－kx≤0 在 x∈81，8时恒成立，求实数 k 的取值范围．
图①
图②
(2)当 0≤a<1 时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)
＝3－4a.
(3)当 1≤a≤2 时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0) ＝－1.
图③
图④
(4)当 a>2 时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝ －1.
[解] (1)∵g(x)＝m(x－1)2－m＋1＋n， ∴函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＝1.又∵m>0， ∴依题意得gg13＝ ＝04， ， 即3－mm＋＋1＋1＋n＝n＝4，0， 解得mn＝＝01.， ∴g(x)＝x2－2x＋1.
(2)∵f(x)＝gxx－2x，∴f(x)＝x＋1x－4. ∵f(x)－kx≤0 在 x∈18，8时恒成立，即 x＋1x－4－kx≤0 在 x∈ 18，8时恒成立， ∴k≥1x2－4x＋1 在 x∈81，8时恒成立．
函数的最值PPT课件
观察函数图象： 1、函数y=x2-2x-3定义域为R 2、在（-，1] 函数为减函数，在（1，+） 函数为增函数 3、当x=1时，函数y=x2-2x-3有最小值ymin=-4
配方法： y=x2-2x-3
=(x-1)2-4 因为在R内 (x-1)2 ≥0in=-4
2018/7/22
练习：P36 3
作业：P43
5
2018/7/22
2018/7/22
例2：求函数y=x2-2x-3在区间[-2，2] 的最大、最小值.
解：观察图象，1[-2，2]，
所以函数在顶点处取得最小值ymin=-4
又x=-2,y=5,x=2,y=-3 所以函数在x=-2时取得最大值ymax=5 即 当x=1时, ymin=-4,当x=-2时,ymax=5
2018/7/22
例3：求函数y=x2-2x-3在区间[-2，0]的最大、 最小值
解：观察图象，1[-2，0]，
当x≤1时，函数y=x2-2x-3为单调减函数
在[-2，0]内，函数y=x2-2x-3为单调减函数 又x=-2,y=5,x=0,y=-3
当x=-2时，函数取得最大值ymax=5
当x=0时，函数取得最小值 ymin=-3 小结：对二次函数y=f(x)求最值 1、如果函数图象顶点在所给闭区间内，则在顶点处取得最 小（大）值，在闭区间端点之一处取得最大（小）值 2、如果函数图象顶点在所给闭区间外，则利用函数单调性， 2018/7/22 分别在闭区间两个端点处取得最大、最小值
函数的最值
2018/7/22
例1：作出函数y=x2-2x-3的图象,讨论其单 调性，并求函数的最大（小）值.
解：首先做出函数y=x2-2x-3的图象 1）画出函数对称轴 2）寻找顶点（-b/2a,（4ac-b2）/4a） 3)寻找函数图象与x轴交点，即求一元二次方 程x2-2x-3=0的解
3.3导数与函数的极值最值课件高三数学一轮复习2
提醒：(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极 值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (3)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
提醒：(1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意 味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较 某个区间内的所有函数值得出的．
(2)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (3)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点必为极值点． (4)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大和最小值是唯一的．
②若 a<0，要使函数 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则需 f(x)在a＋32b，a上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减，此时需满足 a>a＋32b，得 b<a<0，∴a2<ab.
综上可知，a2<ab，故选 D.
3．(角度 2)已知函数 f(x)＝x3＋6lnx，f ′(x)为 f(x)的导函数．求函数 g(x)＝f(x)－f ′(x) ＋9的单调区间和极值．
3 值点，则实数 a 的取值范围是____－__∞__，__－__14_∪___14_，__＋__∞__ ___．
【解析】
(1) 因 为
f′(x)
＝
3x2
＋
6mx
＋
n
，
由
题
有
f′－1＝0， f－1＝0，
即
3－6m＋n＝0， －1＋3m－n＋m2＝0，
课件(人教A版数学理)第二章-第二节函数的单调性与最值全篇
【规范解答】(1)选D.解x＜g(x)=x2-2得x2-x-2＞0，
则x＜-1或x＞2.因此x≥g(x)=x2-2的解为：-1≤x≤2.
于是f(x)=
x2 x2, x2 x2,
x＜1或x＞2, 1x2,
当x＜-1或x＞2时，f(x)=(x1)2 7＞2.
24
当-1≤x≤2时，f(x)= (x 1)2 9，
3.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M∈R
满足 条件
①对于任意的x∈I,都有 _f_(_x_)_≤__M_ ②存在x0∈I,使得f_(_x_0_)_=_M_
①对于任意的x∈I,都有 _f_(_x_)_≥__M_ ②存在x0∈I,使得_f_(_x_0)_=_M_
结论 M是f(x)的_最__大__值
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2024/10/202024/10/202024/10/202024/10/2010/20/2024
▪ 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2024年10月20日星期日2024/10/202024/10/202024/10/20
(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点 值,求出最值. 【提醒】在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域.
第二节 函数的单调性与最值
1.增函数、减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果对于任意x1, x2∈D,且x1<x2,则有: (1)f(x)在区间D上是增函数⇔_f_(_x_1)_<_f_(_x_2_)_; (2)f(x)在区间D上是减函数⇔_f_(_x_1)_>_f_(_x_2_)_. 2.单调性、单调区间 若函数y=f(x)在区间D上是_增__函__数__或_减__函__数__,则称函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,_区__间__D_叫做y=f(x)的单调区间.
正、余弦函数的对称性、最值PPT课件
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研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2（二）
跟踪训练 1 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最 大值和最小值时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5. ∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋π2，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，
其值从1减小到－1。
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(一)探究：①正弦函数的最大值和最小值
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值： 当 x
2k 时，有最大值 y 1
2
最小值：当x 2k 时，有最小值y 1
2
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y
1
3 5
2
P'
2 3
2
2
O
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
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正弦、余弦函数的性质 对称性和最值
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二次函数最值公开课课件
值。
在求二次函数的最值时，需要先 确定函数的定义域，然后根据定
义域的范围来求解最值。
例如，对于函数$f(x) = x^2 2x$，其定义域为$x in [-1, 3]$ ，在这个范围内，函数的最小值
为-1，最大值为9。
极值点的判断
二次函数的极值点是其导数为0的点，这些点是函数增减性的转折点。
在求二次函数的最值时，需要先找到函数的极值点，然后根据这些点的 位置和函数增减性来判断最值的取舍。
二次函数最值的概念是数学中的一个基本概念，它是指一个 二次函数在某个区间内的最大或最小值。这个最大或最小值 可以是函数的顶点，也可以是函数的端点，或者是函数在某 个点的突变点。
二次函数最值的类型
总结词
二次函数最值的类型包括最大值、最小值和鞍点。
详细描述
二次函数最值的类型主要有三种，分别是最大值、最小值和鞍点。最大值和最 小值是指函数在某个区间内的最大和最小值，而鞍点则是指函数在某个点的左 右两侧单调性相反的点。
ห้องสมุดไป่ตู้
CHAPTER
02
二次函数最值的求法
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式，从而找到最值。
将二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$进行配方，得到$f(x) = a(x - h)^2 + k$的形式，其中$(h, k)$为函数的顶点。根据二次函 数的性质，函数的最值出现在顶点处，因此可以直接得出最值。
对二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$ 求导得到$f'(x) = 2ax + b$。令$f'(x) = 0$，解得$x = -frac{b}{2a}$。分析 导数的符号变化，确定函数的单调区 间，从而找到最值。
在求二次函数的最值时，需要先 确定函数的定义域，然后根据定
义域的范围来求解最值。
例如，对于函数$f(x) = x^2 2x$，其定义域为$x in [-1, 3]$ ，在这个范围内，函数的最小值
为-1，最大值为9。
极值点的判断
二次函数的极值点是其导数为0的点，这些点是函数增减性的转折点。
在求二次函数的最值时，需要先找到函数的极值点，然后根据这些点的 位置和函数增减性来判断最值的取舍。
二次函数最值的概念是数学中的一个基本概念，它是指一个 二次函数在某个区间内的最大或最小值。这个最大或最小值 可以是函数的顶点，也可以是函数的端点，或者是函数在某 个点的突变点。
二次函数最值的类型
总结词
二次函数最值的类型包括最大值、最小值和鞍点。
详细描述
二次函数最值的类型主要有三种，分别是最大值、最小值和鞍点。最大值和最 小值是指函数在某个区间内的最大和最小值，而鞍点则是指函数在某个点的左 右两侧单调性相反的点。
ห้องสมุดไป่ตู้
CHAPTER
02
二次函数最值的求法
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式，从而找到最值。
将二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$进行配方，得到$f(x) = a(x - h)^2 + k$的形式，其中$(h, k)$为函数的顶点。根据二次函 数的性质，函数的最值出现在顶点处，因此可以直接得出最值。
对二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$ 求导得到$f'(x) = 2ax + b$。令$f'(x) = 0$，解得$x = -frac{b}{2a}$。分析 导数的符号变化，确定函数的单调区 间，从而找到最值。
函数单调性与最值(第1课时)-课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
2
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
函数的最值(1)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
例3：分别根据下列条件，求实数a的值：
(1)函数f (x) x2 2ax 1 a在区间[0，1]上有最大值2.
(2)函数f (x) ax2 2ax 1在区间[3，2]上有最大值4.
图象
(2)解： f (x) a(x 1)2 1 a, 对称轴x 1,
当a
0时，开口向上，ymax
f
(2)
分析： f '(x) a 1时，f '(
1
(
x a1
x 1)a2
,
x) 1 (x 1)2
x 0, (x 1)2 0恒成立，
1
f (x)在[0， ）上单调递增， f (x)min f (0) a.
当a 1时，f (x) x 1 a 1 2 a 1, x 1
当且仅当x 1 a ,即x x 1
措施五
小结：求函数最值常用旳措施有：
基本函数法（单调性）、导数法、 鉴别式法、基本不等式法、换元法、 反函数法、配措施、数形结正当.
例2：请你恰当选择措施求下列函数旳最值.
（1）已知0 t 1 ,则1 t的最小值是 ____ . 4t
（2）函数y 4x2 8x 13 (x 0)的最小值是 ____ 6(1 x)
15 . 4
返回
(2)解：y 4x2 8x 13 4(x 1)2 9 (x 0)
6(1 x)
6(1 x)
2 (x 1) 3 2,此时 2 (x 1) 3
3
2(x 1)
3
2(x 1)
即x
1 2
时ymin
2.
另解：令y 4x2 8x 13 ,则4x2 (8 6 y)x 13 6 y 0
8a 1
4, a
3. 8
高一数学：1《函数的最值》课件 公开课一等奖课件
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？
思考3:设函数 f ( x) 1 x ，则 f ( x) 2 成立吗？ f ( x) 的最大值是2吗？为什么？
2
思考4:怎样定义函数 f ( x) 的最大值？用什么符号 表示？
一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的 x I , 都有 f ( x) M； （2）存在 x0 I，使得 f ( x0 ) M. 那么称M是函数 y f ( x) 的最大值，记作
f ( x)max M
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗？如果函数 f ( x) 的值域是(a,b)，则函 数 f ( x) 存在最大值吗？
思考3:如果函数 f ( x)存在最大值，那么有几个？
思考4:如果函数 f ( x) 的最大值是b，最小值是a， 那么函数 f ( x) 的值域是[a，b]吗？
理论迁移
2 , x 2,6 ，求函数 f ( x) 例1已知函数 f x x 1 的最大值和最小值.