初中几何三大变换——翻折
初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折
初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折在初中数学课程中，形的平移、旋转和翻折是非常重要的概念和技巧。
通过学习和理解这些概念，学生可以更好地认识和应用几何形状。
本文将对初中数学中形的平移、旋转和翻折进行归纳总结，并介绍相关的基本原理和技巧。
一、形的平移形的平移是指在平面内将一个形状整体移动到另一个位置，而形状保持不变。
在平移过程中，形状的大小、形状以及内部的相互关系都不会发生变化。
平移的基本原理是：确定一个平移向量，然后根据该向量的大小和方向，将形状内的每个点都移动到对应的新位置上。
平移向量可以用有序对表示，如(u, v)，其中u表示横向位移，v表示纵向位移。
形状中的每个点的新坐标可以通过将原坐标与平移向量的分量相加得到。
例如，将一个矩形形状A平移到新的位置B，平移向量为(3, 4)。
假设矩形角点的坐标为A(1, 2), B(4, 6)，则可以计算出新位置上的所有角点坐标为B(4, 6), C(4, 10), D(7, 10), E(7, 6)。
形的平移有以下几个重要性质：1. 平移前后的形状相等。
2. 平移前后形状内的各点之间的距离保持不变。
3. 平移不改变形状内角的度数。
二、形的旋转形的旋转是指将形状围绕某一固定点旋转一定角度，使得形状保持不变。
旋转中心可以位于形状内部、外部或者边上。
旋转的基本原理是：确定旋转中心和旋转角度，根据旋转的顺时针或逆时针方向将形状内的每个点绕旋转中心旋转一定的角度，并保持距离不变。
假设旋转中心为O(0, 0)，旋转角度为θ，对于一个点P(x, y)，点P 经过旋转后的新坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ例如，将一个矩形形状A绕原点逆时针旋转60度，矩形的角点坐标为A(2, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(2, 4)。
根据旋转公式，可以计算出新位置上的所有角点坐标为A'(1.732, 1), B'(4.732, 1), C'(4.732, 4), D'(1.732, 4)。
初中数学翻折教案
教案：初中数学——翻折变换一、教学目标：1. 让学生理解翻折变换的定义及基本性质。
2. 培养学生运用翻折变换解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学内容：1. 翻折变换的定义及基本性质。
2. 翻折变换在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 翻折变换的定义及基本性质。
2. 如何在实际问题中运用翻折变换。
四、教学过程：1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的翻折现象，如打开书本、折叠纸张等，引导学生关注翻折变换。
2. 新课讲解：（1）翻折变换的定义：解释翻折变换的概念，即在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠，使得折叠前后的图形重合。
（2）翻折变换的基本性质：① 翻折变换不改变图形的大小和形状。
② 翻折变换的轴线是对称轴，图形关于轴线对称。
③ 翻折变换的对应点、对应线段、对应角相等。
（3）翻折变换在实际问题中的应用：举例说明翻折变换在实际问题中的应用，如制作几何模型、展开平面图等。
3. 课堂练习：让学生动手进行一些翻折变换，观察图形的变化，加深对翻折变换的理解。
4. 拓展提高：引导学生思考如何将翻折变换应用于实际生活中，提高学生的实际应用能力。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调翻折变换的定义、基本性质及实际应用。
五、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固翻折变换的基本性质。
2. 举例说明翻折变换在实际问题中的应用，如制作几何模型、展开平面图等。
六、教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生在掌握翻折变换方面的困难，针对性地调整教学方法，提高教学效果。
七、教学评价：通过课堂表现、课后作业和拓展应用等方面，评价学生在翻折变换方面的掌握程度。
初中数学图形变换知识点整理
初中数学图形变换知识点整理图形变换是初中数学中的重要内容，它涵盖了平移、旋转、翻折和放缩等多个知识点。
了解图形变换的概念和基本原理，对于学好初中数学和几何学有着重要的意义。
本文将对初中数学图形变换的知识点进行整理和总结。
首先，我们来讨论平移。
平移是指在平面内保持大小和形状不变，只改变位置的变换。
通过平移变换，图形在平面内沿着某一方向移动，可以描述为向上、向下、向左或向右平移。
平移的关键是平移向量，它由水平方向和垂直方向的平移量组成。
平移变换可以用向量法来表示，即将平移向量的水平位移和垂直位移分别应用到图形的每一个点上。
接下来是旋转变换。
旋转是指围绕某一点旋转图形的变换。
在旋转变换中，旋转中心是关键点，它决定了旋转的中心和方向。
通过角度来确定旋转的大小，顺时针旋转和逆时针旋转分别由正负角度表示。
旋转变换可以用正弦和余弦函数来表示，通过坐标变换的方式来实现。
对于一个图形中的点，通过将其坐标按照旋转公式进行计算，可以得到旋转后的新坐标。
第三个知识点是翻折变换。
翻折是指关于某条直线对称的变换。
在翻折变换中，直线称为对称轴，它决定了翻折的位置和方向。
通过关于对称轴两侧的点对应，可以得到翻折后的新图形。
对称轴可以是水平线、垂直线或斜线，只要两侧的点位置对应即可。
翻折变换也可以通过坐标变换的方式来实现，通过确定翻折的对称轴和对称中心，将图形上的点按照对称关系进行计算。
最后是放缩变换。
放缩是指改变图形的尺寸大小的变换。
放缩变换可以分为放大和缩小两种情况。
放大是指增加图形的尺寸，缩小是指减小图形的尺寸。
放缩变换可以通过改变图形的横坐标和纵坐标的比例因子来实现。
比例因子大于1时图形放大，小于1时图形缩小。
放缩变换还可以通过矩阵变换的方式来实现，通过对图形的顶点坐标进行矩阵运算，可以得到放缩后的新坐标。
在实际问题中，图形变换常常与应用问题相结合。
例如，在地图上标记某一城市的位置时，可以通过平移变换将城市的位置标记到地图上的正确位置；在建筑设计中，可以使用旋转变换来调整建筑物的朝向；在布艺设计中，可以使用翻折变换来设计出各种不同的花纹；在制作模型时，可以使用放缩变换来控制模型的尺寸大小。
2023年中考数学【选择题】讲练必考重点03 几何变换之翻折问题
【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。
几何的翻折问题，本质上考查的是轴对称的性质，常和矩形相结合。
在解题时，首先要明确折叠前后的图形全等，折叠前后的对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点之间的连线，在结合矩形、菱形、三角形等的性质，运用勾股定理，列出方程，求出相应的线段长度。
【2022·江苏连云港·中考母题】如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB ；③GE DF ；④OC ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③④【考点分析】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【思路分析】由折叠的性质知∠FGE =90°，∠GEC =90°，点G 为AD 的中点，点E 为AB 的中点，设AD =BC =2a ，AB =CD =2b ，在Rt △CDG 中，由勾股定理求得b ，然后利用勾股定理再求得DF =FO =【2021·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C '，B C '交AD 于点E ，连接B D '，若60B ∠=︒，45ACB ∠=︒，AC =B D '的长是（ ）A．1BC D 【考点分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【思路分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC 为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE 得长，进而得出ED 的长，再根据勾股定理可得出B D '；1．（2022·江苏苏州·二模）如图把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 的对应点为B ′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．BC ＝12ACB ．AE ＝CEC ．AD ＝DE D ．∠DAE ＝∠CAB2．（2022·江苏南京·二模）如图，矩形ABCO ，点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标为()2,4-．将△ABC 沿AC 翻折，得到△ADC ，则点D 的坐标是（ ）A．612,55⎛⎫⎪⎝⎭B．65,52⎛⎫⎪⎝⎭C．312,25⎛⎫⎪⎝⎭D．35,22⎛⎫⎪⎝⎭3．（2022·江苏泰州·一模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝11，EN＝2，则FO的长为（）A B C D4．（2022·江苏宿迁·三模）已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，1∠与2∠的数量关系是（）A．12135∠+∠=︒B．2115∠-∠=︒C．1290∠+∠=︒D．22190∠-∠=︒5．（2022·江苏苏州·二模）如图①，②，③，④，两次折叠等腰三角形纸片ABC，先使AB与AC重合，折痕为AD，展平纸片：再使点A与点C重合，折痕为EF，展平纸片，AD、EF交于点G．若5cmAB AC==，6cmBC，则DG的长为（）A．3cm4B．7cm8C．1cm D．7cm66．（2022·江苏·苏州中学二模）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（）A．85︒B．82.5︒C．65︒D．50︒7．（2022·江苏扬州·二模）如图，在矩形ABCD中，2AB=，BC=E是BC的中点，将ABE△沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan ECF∠的值为（）A B C．23D8．（2022·江苏苏州·模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC 边上的点F处，若3AB=，5BC=，则tan FEC∠的值为（）．A．12B．35C．34D．459．（2022·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y＝kx（k≠0）图象经过点C．且S△BEF＝1，则k的值为（）A．18B．20C．24D．2810．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A=∠1-∠2B．3∠A=2（∠1-∠2）C．3∠A=2∠1-∠2D．∠A=∠1-∠211．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=32，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN 翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（）A B C D12．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级）如图，在ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将BDE 沿DE 翻折，得到B DE '，若点C 恰好在线段B D '上，若90BCD ∠=︒，DC ：3CB '=：2，AB =CE 的长度为（ ）A．B C ．D 13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，将△ACD 沿CD 对折得△A ′CD ．连接BA '，连接AA ′交CD 于点E ，若14cm AB =，4cm BA '=，则CE 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm14．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级）如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将△BDE 沿翻折，得到△B 'DE ，若点C 恰好在线段B 'D 上，若∠BCD ＝90°，DC ：CB '＝3：2，AB ＝CE 的长度为（ ）A．B ．4C ．D ．615．（2022·江苏·九年级专题练习）如图①，AB ＝5，射线AM ∥BN ，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ ∥AB ．设AP ＝x ，QD ＝y ．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点E (9，2)，则cos B 的值等于（ ）A．25B．12C．35D．71016．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（）A B C D17．（2022·江苏南通·九年级）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB 翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°18．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD 上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A ．2B ．74C D ．319．（2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AD =，3BC =．劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O ．当对角线BD 最大时，则弦AB 的长为（ ）A B ．C ．32D ．【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。
小学数学七年级认识简单的几何变换
小学数学七年级认识简单的几何变换几何变换是数学中的一个重要概念，它指的是在平面内对图形进行变换的操作。
小学数学七年级学生需要通过学习认识简单的几何变换，从而加深对图形的理解和空间想象力的培养。
本文将介绍小学数学七年级学生应该了解的三种简单几何变换：平移、旋转和翻转。
一、平移平移是指以某个参考点为中心，将图形沿着直线方向按给定的距离平行移动。
具体操作时，我们需要指定平移的方向和距离。
平移后的图形与原图形形状相同，但位置发生了改变。
例如，我们有一个正方形ABCDEF。
现在我们以点A为参考点进行平移，向右平移2个单位长度，得到平移后的正方形A'B'C'D'E'F'。
可以看到，经过平移后，正方形的位置发生了改变，但形状并没有发生变化。
[插入图片：正方形ABCDEF和平移后的正方形A'B'C'D'E'F']二、旋转旋转是指以某个参考点为中心，将图形按给定角度进行旋转。
具体操作时，我们需要指定旋转的角度和参考点。
旋转后的图形与原图形形状相同，但方向发生了改变。
例如，我们有一个三角形ABC。
现在我们以点A为参考点进行旋转，按逆时针方向旋转60°，得到旋转后的三角形A'B'C'。
可以看到，经过旋转后，三角形的方向发生了改变，但形状并没有发生变化。
[插入图片：三角形ABC和旋转后的三角形A'B'C']三、翻转翻转是指将图形沿着一条直线进行对称变换。
具体操作时，我们需要指定翻转的轴线。
翻转后的图形与原图形形状相同，但位置发生了改变。
例如，我们有一个长方形ABCD。
现在我们以线段AD为轴线进行翻转，得到翻转后的长方形A'B'C'D'。
可以看到，经过翻转后，长方形的位置发生了改变，但形状并没有发生变化。
[插入图片：长方形ABCD和翻转后的长方形A'B'C'D']通过学习和理解这三种简单的几何变换，小学数学七年级的学生可以更好地认识图形特点和属性，培养和提高空间想象力和几何思维能力。
中考中的“ 旋转、平移和翻折”
中考中的“ 旋转、平移和翻折”平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换．所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导下，近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是2006年中考，这一部分的分值比前两年大幅度提高．为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面已近几年中考题为例说明其解法，供大家参考．一．平移、旋转平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离．平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角．旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角． 例1．（2006年乐山市中考题）如图（1），直线l 经过点A （－3，1）、B （0，－2），将该直线向右平移2个单位得到直线'l ． （1）在图（1）中画出直线'l 的图象； （2）求直线'l 的解析式．解：（1）'l 的图象如图．（2）点A 向右平移两个单位得A ´（－1，1），点B 向右平移两个单位B ´（2，－2），即直线'l 经过点A ´（－1，1）和B ´（2，－2） 设直线'l 的解析式为(0)y kx b k =+≠所以122k bk b=-+⎧⎨-=+⎩，解这个方程组，得10k b =-=，∴直线'l 的解析式为y x =-．点评：抓住A 、B 两点平移前后坐标的关系是解题的例2．（2006年绵阳市中考试题）如图，将ΔABC 绕顶点A 顺时针旋转60º后得到ΔAB ´C ´，且C ´为BC 的中点，则C ´D :DB ´=（ ）A ．1:2B ．1:22C ．1:3 D ．1:3分析： 由于ΔAB ´C ´是ΔABC 绕顶点A 顺时针旋转60º后得到的，所以，旋转角∠CAC ′=60º，ΔAB ´C ´≌ΔABC ，∴AC ´=AC ，∠CAC ′=60º，∴ΔAC ´C 是等边三角形 ，∴AC ´=AC ´．又C ´为BC 的中点，∴BC ´=CC ´，易得ΔAB ´C 、ΔABC 是含30º角的直角三角形，从而ΔAC ´D 也是含30º角的直角三角形，∴C ´D =21AC ´，AC ´=21B ´C ´，∴C ´D =41B ´C ´，故B CC ´C ´D :DB ´= 1:3点评：本例考查灵活运用旋转前后两个图形是全等的性质、等边三角形的判断和含30 º角的直角三角形的性质的能力，解题的关键是发现ΔAC ´C 是等边三角形．二、翻折翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180º后所形成的新的图形的变化．翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴．解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素．翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多．另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意．例3．（2006年江苏省宿迁市）如图，将矩形ABCD 沿AE折叠，若∠BAD ′＝30°，则∠AED ′ 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°分析：由已知条件∠BAD ′＝30°，易得∠DAD ′=60º，又∵D 、D ′关于AE 对称，∴∠EAD =∠EAD ′=30º，∴∠AED =∠AED ′=60º． 故选C点评：本例考查灵活运用翻折前后两个图形是全等的性质的能力，解题的关键是发现∠EAD =∠EAD ′，∠AED =∠AED ′． 例4．（2006年南京市）已知矩形纸片ABCD ，AB =2，AD =1，将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合．(1)如果折痕FG 分别与AD 、AB 交与点F 、G (如图1)，23AF =，求DE 的长； (2)如果折痕FG 分别与CD 、AB 交与点F 、G (如图2)，△AED 的外接圆与直线BC 相切， 求折痕FG 的长．解：(1)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，AF =32，∠D =90º． 根据轴对称的性质，得 EF =AF =32 ∴DF =AD -AF =31 在ΔDEF 中DE ==-22)31()32(33(2)设AE 与FG 的交点为O ．E D ′D C B ABANG根据轴对称的性质，得AO =EO ． 取AD 的中点M ，连接MO ．则mO =21DE ，MO ∥DC ． 设DE = x ， 则MO =x 21．在矩形ABCD 中， ∠C =∠D =90º， ∴AE 为ΔAED 的外接圆的直径，O 为圆心． 延长MO 交BC 于点N ，则ON ∥CD ∴∠CNM =180º-∠C =90º． ∴ON ⊥BC ，四边形MNCD 是矩形． ∴MN =CD =AB =2． ∴ON =MN -MO =2-x 21， ∵ΔAED 的外接圆与BC 相切， ∴ON 是ΔAED 的外接圆的半径． ∴OE =ON =2-x 21， AE =2ON =4- x ． 在RtΔAED 中，AD 2+DE2=AE2，∴12+x2=(4-x )2．解这个方程，得x =815． ∴DE =815，OE =2-x 21=1617．根据轴对称的性质，得AE ⊥FG ．∴∠FOE =∠D =90º． ∵∠FEO =∠AED ， ∴ΔFEO ∽ΔAED ．∴DEOEAD FO =． ∴FO =AD DE OE∙． 可得FO =3017．又AB ∥CD ， ∴∠EFO =∠AGO ， ∠FEO =∠GAO ． ∴ΔFEO ≌ΔGAO ． ∴FO =GO ．∴FG =2FO =1517． ∴折痕FG 的长是1517．点评：图形沿某条线折叠，这条线就是对称轴，利用轴对称的性质并借助方程的的知识就能较快得到计算结果．由此看出，近几年中考，重点突出，试题贴近考生，贴近初中数学教学，图形运动的思想(图形的旋转、翻折、平移三大运动)都一一考查到了．因此在平时抓住这三种运动的特征和基本解题思路来指导我们的复习，将是一种事半功倍的好方法．。
初中几何变换——翻折
初中数学几何变换之之五兆芳芳创作轴对称一、知识梳理1、轴对称根本要素：对称轴.2、基赋性质：（1）对应线段、对应角相等（2）对应点所连线段被对称轴垂直平分（3）对称轴上的点到对应点的距离相等（4）对称轴两侧的几何图形全等3、应用翻折问题、最值问题等二、常考题型类型一：轴对称性质1、如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________.第1题 第2题第3题2、如图， 矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为.4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D辨别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折的值为 .痕，当D’F CD时，CFFD5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN 翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是.第4题第5题第6题6、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC 边上的点D的位置，且，则CE的长是.7、如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG＝.图2图38、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.类型二：轴对称应用1、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．2、如图，∠AOB=30°，点M、N辨别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．3、如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N辨别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为.4、如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点辨别为M，N，则线段类型三：动点与轴对称1、如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的一个三等分点（CE<BE），F是AD边上一动点，将图形以EF为折痕翻折后，当D、C B在一条直线上时，∆EFG的周长是 .第1题第2题2、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=13，E、F辨别是AB、AD边上的动点，将∆ABE向下翻折，点A落在BC边上的最小值是.3、如图，正方形ABCD的边长为6，EF是正方形ABCD 的一条对称轴，G、H辨别在AB、CD上，将图形沿GH对折后，点C落在E处，求第3题第4题4、如图，在Rt∆ABC中AC=4，BC=3，D是AB边上一动点，点E与点A关于直线CD对称，当DE//BC时，AD=.5、如图，在Rt∆ABC中，AB=4，BC=3，D是AB边上一动点，DE//BC，A、DE对称，当∆为直角三角形是AD=.类型四：综合应用1、如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．2、如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D辨别翻折，使点B、D辨别落在对角线BC上的点E、F处，折痕辨别为CM、AN.（1）求证：△AND≌△CBM.（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN.且AB=4，BC=3，求PC的长度.3、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子暗示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果便可）．4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD 沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F辨别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．5、问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形. 问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上辨别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由. 问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G辨别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出合适要求的部件，试问能否裁得合适要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不克不及，请说明理由.三、课后作业1、如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N辨别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．第1题第2题第3题3、如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴辨别交于A，B两点，D，E辨别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______.4、如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，则tan∠ANE=_____．5、如图，∠AOB=30°，点M、N辨别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q辨别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是__________．6、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，在边AB上取一点D，作DE⊥AB交BC于点E，先将△BDE 沿DE 折叠，使点B 落在线段DA 上，对应点记为B 1；BD 的中点F 的对应点记为F 1．若△EFB ∽△AF 1E ，则B 1D=7、如图，△AEF 中，∠EAF=45°，AG ⊥EF 于点G ，现将△AEG 沿AE 折叠得到△AEB ，将△AFG 沿AF 折叠得到△AFD ，延长BE 和DF 相交于点C ．探究一：猜测：四边形ABCD 是何种特殊的四边形？请证明自己的猜测．探究二：连接BD 辨别交AE 、AF 于点M 、N ，将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ，试判断线段 MN 2、ND 2、DH 2之间的数量关系，并说明理由．探究三：若EG=4，GF=6，BM=3，你能求出AG 、MN 的长吗？8、数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C=90°，21AB ，求证：∠B=30°，请你完成证明进程．（2）如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 辨别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方法折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．。
第一篇 三大变换概述
第一篇几何三大变换（平移、旋转、翻折）知识梳理：一、图形的平移1、定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.2、特征：（1）平移后，对应线段相等且平行（重合），对应点所连的线段平行（重合）且相等.（2）平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行，方向相同.（3）平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 平移前后的两个图形全等.二、轴对称1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。
2、特征：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
三、图形的旋转1、定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角．2、特征：在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心，沿相同的方向转动了相同的角度；注意对应点与旋转中心的连线所成的角是旋转角，旋转角都相等；对应点到旋转中心的距离相等.3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这两个图形成中心对称，这个点就是它的对称中心。
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心且被对称中心垂直平分.典型例题考点1、基础知识梳理1、我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表.【答案】解：（1）AB＝A′B′；AB∥A′B′．（2）AB＝A′B′；对应线段AB 和A′B′所在的直线相交，交点在对称轴l 上．（3）l 垂直平分AA′．（4）OA＝OA′；∠AOA′＝∠BOB′．【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论；（2）根据轴对称的性质即可得到结论；（3）同（2）；（4）由旋转的性质即可得到结论．【点评】本题考查了旋转的性质，平移的性质，轴对称的性质，余角和补角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．考点2：翻折1、如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点'D,'C的位置，若 401=∠，则=∠EFD'_______.【答案】：70°．【分析】由折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，然后根据平角的定义即可得到结论．【解答】解：由折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，∵∠1=40°，∴∠D′EF=（180°﹣40°）=70°，【点评】本题考查了折叠的性质，平角的定义，熟记折叠的性质是解题的关键．2、如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=用含k的代数式表示）．考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．分析：根据中点定义可得DE=CE，再根据翻折的性质可得DE=EF，AF=AD，△AFE=△D=90°，从而得到CE=EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FG，设CG=a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD=BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．3、如图，在△ABC中，CA=CB，△C=90°，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么sin△BED的值为．【答案】：．【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，∴∠BED=∠CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，∴DF=FA=2﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2﹣x）2，解得x=，∴sin∠BED=sin∠CDF==，故答案为：【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．4、如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD=2，则MN=．【答案】：．【分析】设正方形的边长为2a，DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据相似三角形的判定性质，可得NE的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：设DH=x，CH=2﹣x，由翻折的性质，DE=1，EH=CH=2﹣x，在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2，即12+x2=（2﹣x）2，解得x=，EH=2﹣x=．△△MEH=△C=90°，△△AEN+△DEH=90°，△△ANE+△AEN=90°，△△ANE=△DEH，又△A=△D，△△ANE△△DEH，=，即=，解得EN=，MN=ME﹣BC=2﹣=，【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出DH的长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点．5、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在△BCD的平分线上时，CA1的长为（）A、3或B、4或C、3或4D、或【答案】：3或4【分析】如图，过点A′作A′M⊥BC于点M．设CM=A′M=x，则BM=7﹣x．在直角△A′MB 中，由勾股定理得到：A′M2=A′B2﹣BM2=25﹣（7﹣x）2．由此求得x的值；然后在等腰Rt△A′CM中，CA′=A′M．【解答】解：如图所示，过点A′作A′M⊥BC于点M．∵点A的对应点A′恰落在∠BCD的平分线上，∴设CM=A′M=x，则BM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=A′B=5，∴在直角△A′MB 中，由勾股定理得到：A′M 2=A′B 2﹣BM 2=25﹣（7﹣x ）2， ∴25﹣（7﹣x ）2=x 2， ∴x=3或x=4，∵在等腰Rt △A′CM 中，CA′=A′M ，∴CA′=3或4． 故答案是：3或4．【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△A′MB 和等腰直角△A′CM ，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．6、如图，菱形纸片ABCD 中，60A ︒∠=，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处，且A’D’经过B ，EF 为折痕，当D’F ⊥CD时，CF FD的值为A.12B.6C.16D.18答案：12FED'A'DCB A考点3：旋转1、两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知△ACB=△DCE=90°，△B=30°，AB=8cm，则CF=cm．【答案】：2．【分析】利用旋转的性质得出DC=AC，△D=△CAB，再利用已知角度得出△AFC=90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．【解答】解：△将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A 恰好落在边DE上，△DC=AC，△D=△CAB，△△D=△DAC，△△ACB=△DCE=90°，△B=30°，△△D=△CAB=60°，△△DCA=60°，△△ACF=30°，可得△AFC=90°，△AB=8cm，△AC=4cm，△FC=4cos30°=2（cm）．故答案为：2．2、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且△EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为．【答案】：【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由旋转可得DE=DM，△EDM为直角，可得出△EDF+△MDF=90°，由△EDF=45°，得到△MDF为45°，可得出△EDF=△MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．【解答】解：△△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，△△FCM=△FCD+△DCM=180°，△F、C、M三点共线，△DE=DM，△EDM=90°，△△EDF+△FDM=90°，△△EDF=45°，△△FDM=△EDF=45°，在△DEF和△DMF中，，△△DEF△△DMF（SAS），△EF=MF，设EF=MF=x，△AE=CM=1，且BC=3，△BM=BC+CM=3+1=4，△BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，△EB=AB﹣AE=3﹣1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4﹣x）2=x2，解得：x=，△FM=．3、如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．（1）求证：△OC1M≌△OA1E；（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；（3）△MNB1的周长p 是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．理由如下：根据（1）（2），△OC 1M≌△OA 1E，△EON≌△MON，OEA BMA1NCB1C1（第28题）∴MN=EN，A1E=C1M，∴△MNB1的周长p=MN+NB1+MB1，=EN+NB1+MB1，=EB1+MB1，=A1E+A1B1+MB1，=C1M+A1B1+MB1，=A1B1+B1C1，∵正方形OABC的边长为a，∴A1B1=B1C1=a，∴p=2a，是定值．考点4：平移1、如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为cm．【答案】：2.5．【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质：对应线段平行，以及三角形中位线定理可得B′是BC的中点，求出BB′即为所求．2、小明在玩一副三角板时发现：含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图①）．即△C´DA´的顶点A´、C´分别与△BAC的顶点A、C 重合．现在，他让△C´DA ´固定不动，将△BAC 通过变换使斜边BC 经过△C´DA ´的直角顶点D ．（1）如图②，将△BAC 绕点C 按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），使BC 边经过点D ，则α＝ ▲ °．（2）如图③，将△BAC 绕点A 按逆时针方向旋转，使BC 边经过点D ．试说明：BC ∥A ´C ´．（3）如图④，若AB ＝2，将将△BAC 沿射线A ´C ´方向平移m 个单位长度，使BC 边经过点D ，求m 的值．A （A ´） C （C ´）D B图① A C ´ B D D B A ´ A D B C （C ´） A （A ´） A ´ C ´ C C图④ 图图。