第五章弯曲应力1

距中性层y处任一纤维的正应变
y 变形几何关系： ε = ρ
分析： （1）纯弯曲时梁横截面上各点的正应变沿截面高 度线性分布； （2）中性轴处正应变等于零；
（3）中性轴两侧分别为拉应变和压应变；
（4）距中性轴最远处，正应变的绝对值最大。
2、物理关系 在线弹性范围内，应用胡克定律
应力为零的点的连线。 M
变形以后的轴线；横截面绕中性轴旋转了一定角度。
单向受力假设：梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应 力。各纵向纤维之间无相互挤压。
5、推理
•
根据平面假设，横截面上各点处均无切应力；
• 根据平面假设，梁弯曲时部分“纤维”伸长，部分 “纤维”缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度 不变的过渡层，称为中性层。
2
E
M
EIz ——梁的抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力。
1


Mz EI z
y E
Mzy Iz
z
dA
x
dA
y
正应力公式适用条件： （1）所有外载荷作用在纵向对称面上（对称弯曲）。 （2）纯弯曲或 l / h 5 的横力弯曲，其中h为梁的高度，l 为跨度（支座间距离或外伸部分长度）；
M max 67.5kN m
C
l = 3m
x
K
z y
截面惯性矩
I z 5.832 105 m 4
FBY
FS 90kN

M

max
x 90kN
M max ymax IZ 67.5 103 180 10 3 2 5.832 10 5
ql 2 / 8 67.5kN m
梁，盒形梁等，而不使用方形梁。
No
结论 : 梁的承载能力 , 不但取决于横截面面积 , 还 取决于截面的形状和如何放臵等因素。研究弯曲变形 梁横截面上的应力分布规律对于合理设计梁的结构非 常重要。
5.1 引言
在横向载荷作用下，梁内横截面上通常同时存在剪 力和弯矩。
切向微内力构成剪力 弯曲切应力
M
τ
例题
图示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用，计算 截 面 B 的 最 大 弯 曲 拉 应 力 与 最 大 弯 曲压 应 力 。 已 知 l=0.400m，b=0.120m，d=0.020m。
F l B
b
ddb源自BB-B解：1. 弯曲应力分析
MBy Iz
M B Fl 6000N m
M M
F
F
F
F
F
F
a
l
a
a
l
a
梁弯曲的若干定义与概念 纯弯曲： 如果梁的横截面上只有弯矩一个内力 分量，这种平面弯曲称为纯弯曲(pure bending)。在 纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而 便只有垂直于横截面的正应力。
M M
F
F
F
F
F
F
a
l
a
a
l
a
5-2
变形
对称弯曲正应力
胡克定律
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应
力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的 变形状态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的 惯性矩的计算式。
横向弯曲时的正应力计算公式
在横向弯曲情况下：
横截面上既有正应力，又有切应力； 横截面将发生翘曲，不再保持为平面。 尽管横力弯曲和纯弯曲存在差异，但通过分析表 明，用公式 σ = My/I z 计算横力弯曲时的正应力，并不 会引起很大的误差（在横力弯曲的情况下，对于跨长 与截面高之比大于5的梁仍使用，且误差很小。），能 满足工程问题所需精度。
矩形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放：
z h
b
b h
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
平放：
Iz
z´
1 1 2 3 hb , Wz hb 12 6
若h>b, 则
Wz Wz 。
竖放与横放相比，承载能力更强。
圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
（3）应力小于比例极限。
三、最大弯曲正应力
位于中性层最远处，正应力最大。
M z ymax max Iz
Iz Wz ymax
Mz max Wz
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
注意：弯曲正应力σ的正负号规定：拉应力为正， 压应力为负。其正负号由弯矩 M 及点的坐标y 的正负 确定。实际计算时更多用直观判断方法确定。

x

104.17 106 Pa 104.17 MPa
（4） C 截面曲率半径ρ
C 截面弯矩
q=60kN/m x
180 120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
30
M C 60kN m
z y
C 截面惯性矩
I Z 5.832 105 m4
M EI z 1
FBY
FS 90kN
第五章
弯曲应力
凌 丹 电子科技大学
本章内容
引言 对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度条件与合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲 弯拉压组合
工程现象 现象1：工程中在安放矩形截面木梁时，一般总是将 梁竖放，使其高度h大于宽度b。
承载能力小 承载能力大
h
b
b
h
现象2：在钢结构中，经常采用型钢梁如工字形
A
dA
Mz =
y dA = M
A
y
0 N A dA
E
A
ydA
E

Sz
M
z 轴必须通过横截面的形心，为横截面的形心 轴。
0 M y A dA z
E

A
yzdA
E
z

I yz
dA
dA
x
y 轴为横截面的对称轴，该式自然满足。
y
EI z M z A dA y A y dA 1 M EI z

M

x 90kN
ql 2 / 8 67.5kN m

x
EI Z 200 109 5.832 10 5 C MC 60 103 194.4m
5-3 对称弯曲切应力
一、矩形截面梁的弯曲切应力（弯曲剪应力）
P h
b y
1、基本假设： （1）横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力FS； （2）切应力沿截面宽度均匀分布。

x 90kN
M C ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
ql 2 / 8 67.5kN m

60 103

x
92.55 106 Pa 92.55MPa
（3） 全梁最大正应力
q=60kN/m
180 120
最大弯矩
30
A
FAY
B
1m
180 120
FAy 90kN
30
FBy 90kN
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
z (1) 求C截面上K点正应力 y
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
FBY
FS 90kN

M

ql 2 / 8 67.5kN m
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12 180 60 103 ( 30) 10 3 x M C yK 2 K 90kN IZ 5.832 10 5
中性层与中性轴 中性层与横截面的交线，称为中性轴。在对称 弯曲问题中，中性轴垂直于横截面的纵向对称轴。
中性轴
中性轴
中性层
中性层上无正应变发生，弯曲正应力为零。 每一横截面中性轴弯曲正应力为零。
纵向对称面
对称轴 轴线
中性层
中性轴
纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并 绕中性轴作相对转动，而所有纵向“纤维”均处 于单向受力状态。
61.7 106 Pa 61.7MPa
x

（压应力）
（2）C 截面最大正应力
q=60kN/m
180
120
C 截面弯矩
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
z y
M C 60kN m
FBY
C 截面惯性矩
I Z 5.832 105 m4
FS 90kN

M
Cmax
M
d
M
dx
实验观察结果： （1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交（无切应 变），只是横线间作相对转动；
（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠 近梁底面的纵线伸长；
（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区， 梁的宽度则增加，情况与轴向拉压的变形相似。
4、基本假设
弯曲平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，仍然垂直于
例题
已知简支梁的尺寸及载荷如图所示，弹性模量E＝ 200GPa。 求： （1）C 截面上K点正应力； （2）C 截面上的最大正应力； （3）全梁上的最大正应力； （4）C 截面的曲率半径ρ。
q=60kN/m
x
180 120
A
1m
B C
l = 3m
K
30
z y
解： 求支座反力，并绘制内力图。