12、根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练(重难点培优60题)-【拔尖特训】2024-2025
【拔尖特训】2024-2025学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0． （1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。
第12课时 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
第12课时 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、【教学目标】1. 掌握一元二次方程的根的判别式;2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系. 二、【重点难点】重点:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系.难点:一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的应用. 三、【主要考点】 （一）、一元二次方程的根的判别式1．判别方法：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)，∆=b 2-4ac 称为一元二次方程的根的判别式.⑴b 2-4ac >0 ⇔方程有两个不相等的实数根； ⑵b 2-4ac =0 ⇔方程有两个相等的实数根； ⑶b 2-4ac <0 ⇔方程没有实数根.2．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件. （二）、一元二次方程的根与系数的关系设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根，且b 2﹣4ac ≥0，则有x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2=ac . 四、【经典题型】【12-1A 】若关于x 的一元二次方程ax 2+2x －1=0无解 ，则a 的取值范围是____________.【12-2A 】 已知关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x +1=0有实数根，则m 的取值范围是 ．【12-3B 】关于x 的一元二次方程x 2-3x -k =0有两个不相等的实数根． ①求k 的取值范围．②请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根.【12-4B 】关于x 的方程kx 2+(k +2)x +4k=0有两个不相等的实数根. ⑴求k 的取值范围. ⑵是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.五、【点击教材】 【12-5A 】（九上P45）一元二次方程3x 2﹣2x -1=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【12-6B 】（九上P48）已知关于X 的一元二次方程X 2-2X-a=0的两个实数根为X 1，X 2，且321121-=+x x ，求a 的值。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
个性化教学辅导教案学科数学学生姓名贺徐豪年级九任课老师李显辉授课时间2013年4 月20 日教学目标教学内容：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系考点：知识点：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求:1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.能力与方法：〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力. 在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.课 堂 教 学 过 程课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□建议: 作业认真，知识点运用不够熟练。
第12课时 一元二次方程(根的判别式、根与系数的关系、应用)
九年级数学第一轮复习教、学案（共47课时）第12课时 一元二次方程（根的判别式、根与系数的关系、应用） 一、知识要点：1. 一元二次方程根的判别式:一元二次方程 20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式Δ＝__ __. 当Δ＞0时⇔方程有______________. 当Δ＝0时⇔方程有______________. 当Δ＜0时⇔方程______________. 当Δ≥0时⇔方程有_____________. 2. 一元二次方程根与系数的关系: 若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为21x x ，，则有1x ＋2x =___________ˉ1x 2x =__________.3. 列一元二次方程解应用题的一般步骤:和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为（1）“审”是读懂题目，审清______，明确哪些是已知的，哪些是未知的以及它们之间的_______.（2）“设”是指设未知数，设未知数又分为__________和__________，要根据题目特点选择合适的设元方式.（3）“列”就是_________，即根据题目中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其它未知数，利用题目中的_________建立方程. （4）“解”就是求出所列方程的_________.（5）“验”就是对方程的根进行_________，具体说来包括两个方面，一是检验解出的根是否能使_________，二是看方程的根是否_________，不符合题意的根要_________. （6）“答”即写出_________.二、典型例题[例1] 已知：关于x 的方程0122=-+kx x . （1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）若方程的一个根是－1，求k 的值及另一个根.[例2] 我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问： （1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）三、课堂演练：1．关于x 的一元二次方程014)5(2=---x x a 有实数根，则a 应满足的条件是 .2．已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ） A ． b =﹣1B ．b =2 C ． b =﹣2D ．b =0 3. 如果关于x 的一元二次方程kx 2－21k +x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( ). A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠04．已知21x x 、是一元二次方程0)32(22=++-k x k x 的两个根. (1)求实数k 的取值范围； （2）若,11121=+x x 求k 的值.5.已知21x x ，是关于方程2x ＋（2a －1）x ＋2a =0的两个实数根，且（1x ＋2）(2x +2)=11, 求a 的值.四、课外作业1.写出一个以-1与2为根的一元二次方程 .2. 已知关于x 的方程x 2+（1﹣m ）x +=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是_________．3.已知关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x a 有两个相等的实数根，求a 的值及方程的根.4.已知关于x 的一元二次方程2x －4x ＋k =0有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围.（2）若k 为符合条件的最大整数，且方程2x －4x ＋k =0与方程2x ＋m x －1=0有一个相同的根，求此时m 的值.5.已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长． （1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根6. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克65元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式及最大月销售利润． （3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?。
根与系数关系及判别式带答案
A.m> B．m< C．m＝ D．m<－
8、已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是()
A．4B．－4C．1D．－1
9、一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是()
7、若关于x的一元二次方程x2－4(m＋1)x＋4m－1＝0两根互为相反数，则m的值是()
A．m＝－ B．m> C．m>－ 且m≠0 D．m＝－1
8、已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是_______。
9、已知关于x的方程x2－mx＋n＝0的两个实根是0和－3，则m＝_______，n＝________。
(4)x12－3x1x2＋x22(5)(x1－2)(x2－2)．
【自检自测】
1、若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()
A．k>－1 B．k<1且k≠0 C．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠0
2、关于x的一元二次方程x2－mx＋(m－2)＝0的根的情况是()
2、若方程x2－4x＋m＝0的根的判别式的值为4，则m＝_____，方程的根为__________。
考点2：一元二次方程根的情况
3、一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
4、下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是()
5、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋3x＋ ＝0 (2)3x2－2x－1＝0 (3)2x2＋3＝7x2＋x(4)5x－5＝6x2－4
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
奥赛培训：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系竞赛热点：1. 根据根的情况，求方程中字母系数的取值范围。
2. 含有两个未知数的二元方程，通过“主元”法由根的判别式求另一个“元”的取值范围或求出另一个“元”的值。
3. 根的判别式与根与系数关系的综合运用。
4. 根的定义与根与系数关系的综合运用。
5. 构造一元二次方程解决相关的的数学问题。
例1、 已知方程()011222=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
例2、 求方程013461210522=+---+y x xy y x 的实数解。
例3、 已知a 是方程0199762=--x x 的一个正根，求a19976199761997619978++++的值。
例4、 已知关于x 的方程()0212=-+-x k x 和方程()0122=+--k k x x 只有一个相同的根，求k 的值和此公共根。
例5、 已知：α、β是方程012=--x x 的两根，求β+α34的值。
例6、 已知a a 372-=，b b 372-=，且b a ≠，求ba ab +的值。
变式训练：如果没有b a ≠这个条件呢？例7、 已知关于x 的一元二次方程()00222>=---a a a x x 。
（1） 证明：这个方程的一个根比2大，另一个根比2小。
（2） 若对于2004,,3,2,1 =a ，相应的一元二次方程的两个根分别为200420042211,,,,,,βαβαβα ，求200420042211111111βαβαβα++++++的值。
例8、 已知012=--x x 的根是026=+-q px x 的根，则p =_______，q =______。
练习题：1. 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且关于x 的一元二次方程()()()022=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）2. 方程()()()02=-+-+-a c x b a x c b 有相等的两个实数根，且c b ≠，下列关系式中a 、b 、c 满足的是（ ） A 、2c a b -=B 、2c a b +=C 、2c b a +=D 、2b ac +=3. 若0x 是一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 的根，则判别式ac b 42-=∆与()202b ax M +=的关系是（ ）A 、M >∆B 、M =∆C 、M <∆D 、不能确定4. 方程012=++ax x 与方程02=--a x x 恰有一个公共根，则=a ______，公共根为___________。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
根的判别式及根与系数的关系12
（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方 程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.
归纳与总结
一元二次方程根与系数的关系
设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
b
c
x1+x2=
a , x1x2=
a
.
自学检测：
1.一元二次方程x2-7x+10=0的两根之和是 ，
等腰三角形的周长是 7或8．
5、(2008 黑龙江)三角形的每条边的长都 是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长 是__6或__1_0_或_1_2_．
例3. (2008 广东)（1）解方程求出两个解 x1、x2并计 算两个解的和与积，填入下表
2 3
2 3
0
2 9
3 2
0
3 2
0
2
1
32
b c aa
归纳与总结:
一元二次方程根的判别式与方程的根 的关系:
1.b2-4ac>0
方程有两个不相等的实数解
2.b2-4ac=0
方程有两个相等的实数解
3.b2-4ac<0
方程没有实数解
例1 .(20相等的实数根？此时这两个实数 根是多少？
解：由题意，△=(-4)2-4(m- )=0
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
2.（2008年苏州）关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个实数根，则的取值范围
是m≤ 1．
3.（2008 四川 泸州）已知关于x的一元二次方 程(k+1)x2+2x-1=0有两个不相同的实数根， 则k的取值范围是_K_>_-_2_且_k_≠__-1__
第12课时：根的判别式及根与系数关系
第12课时 根的判别式及根与系数关系 学生姓名一、知识梳理1. 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根； （2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .二、例题精讲例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1） 两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．例3. 设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，求：（1）(x 1＋1)(x 2＋1) （2）x 12＋x 22（3）1211x x + （4）(x 1－x 2)2三、练习巩固1．当c _______时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .3．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数；当m ＝ 时，两根互为相反数.4．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ . 5．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2 = . 6．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ．7. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是． 8．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根9．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝010．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1-Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或1 11．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3 Ｂ．3-Ｃ．13 Ｄ．13- 12．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m<lB ．m>－1C ．m>lD ．m<－1三、解答题13．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.14．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+，求6m +的值．15.已知关于的一元二次方程．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为，且满足，求的值．16.已知关于x 的方程. （1）求证方程有两个不相等的实数根.（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.17.已知关于的一元二次方程2--2=0………①．(1) 若=-1是这个方程的一个根，求的值和方程①的另一根； (2) 对于任意的实数，判断方程①的根的情况，并说明理由．。
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一、选择题5．（2019·湘潭）已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c=（）A．4 B．2 C．1 D．-48．（2019·遵义）一元二次方程x2-3x+1=0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2-2的值是（）A．10 B．9 C．8 D．76．（2019·烟台）当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定8．（2019·呼和浩特）若x1，x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则x22－4x12＋17的值为（）A．－2 B．6 C．－4 D．4【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝－1，x1•x2＝－3，x12＋x1＝3，∴x22－4x12＋17＝x12＋x22－5x12＋17＝（x1＋x2）2－2x1x2－5x12＋17＝（－1）2－2×（－3）－5x12＋17＝24－5x22＝24－5（－1－x1）2＝24－5（x12＋x1＋1）＝24－5（3＋1）＝4，故选：D．8.（2019·玉林）若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1-x1）的值是（）A.4B.2C.1D.－2【解答】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=-2，所以（1+x1）+x2（1-x1）=1+x1+x2-x1x2=1+1-（-2）=4．故选：A．10．（2019·广州）关于x的一元二次方程x2－（k－1）x－k＋2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1－x2＋2）（x1－x2－2）＋2x1x2＝－3，则k的值（）A．0或2 B．－2或2 C．－2 D．2【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2－（k－1）x－k＋2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝k－1，x1x2＝－k＋2．∵（x1－x2＋2）（x1－x2－2）＋2x1x2＝－3，即（x1＋x2）2－2x1x2－4＝－3，∴（k－1）2＋2k－4－4＝－3，解得：k＝±2．∵关于x的一元二次方程x2－（k－1）x－k＋2＝0有实数根，∴△＝[－（k－1）]2－4×1×（－k＋2）≥0，解得：k≥2－1或k≤－2－1，∴k＝2．故选：D．10．（2019·包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是（）A．34 B．30 C．30或34 D．30或36【解答】解：当a＝4时，b＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，∴4＋b＝12，∴b＝8不符合；当b＝4时，a＜8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，∴4＋a＝12，∴a＝8不符合；当a＝b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，∴12＝2a＝2b，∴a ＝b ＝6， ∴m ＋2＝36， ∴m ＝34； 故选：A ．7．（2019·淮安）若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜－1 B ．k ＞－1 C ．k ＜1 D ．k ＞115．（2019·河北）小刚在解关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝－1．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ） A ．不存在实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．有一个根是x ＝－1 D ．有两个相等的实数根【解答】解：∵小刚在解关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝－1，∴（－1）2－4＋c ＝0， 解得：c ＝3，故原方程中c ＝5，则b 2－4ac ＝16－4×1×5＝－4＜0， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 故选：A ．5．（2019·郴州）一元二次方程2x 2＋3x －5＝0的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根6．（2019·荆州）若一次函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第二象限，则关于x 的方程x 2＋kx ＋b ＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 【解答】解：∵一次函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第二象限， ∴k ＞0，b ≤0，∴△＝k 2－4b ＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．9．（2019·广东）已知x 1、x 2是一元二次方程了x 2－2x=0的两个实数根，下列结论错误的是A ．x 1≠x 2B ．x 12－2x 1=0 C ．x 1＋x 2=2 D ．x 1·x 2=26.（2019·铜仁）一元二次方程01242=--x x 的根的情况为（ ）A 、有两个相等的实数根B 、有两个不相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根4.（2019·黄冈）若1，2是一元一次方程x 2－4x －5＝0的两根，则12的值为 A.－5 B.5 C.－4 D.47.（2019·潜江）若方程x 2-2x-4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）A. 12B. 10C. 4D.6．（2019·咸宁）若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．m ≤1 C ．m ＞1 D ．m ≥1 7.（2019·贵港）若α，β是关于x 的一元二次方程x 2-2x+m=0的两实根，且+=-，则m 等于（ ） A. B. C. 2 D. 3【解析】解：α，β是关于x 的一元二次方程x 2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵+===-，∴m=-3；故选：B．6．（2019·河南）一元二次方程（x＋1）（x－1）＝2x＋3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根13．（2019·湘西）一元二次方程x2－2x＋3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断7.（2019·鄂州）关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实数根分别为x1、x 2，且x1＋3x2＝5，则m的值为（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】解：∵x1＋x2＝4，∴x1＋3x2＝x1＋x2＋2x2＝4＋2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2－4x＋m＝0得：（）2－4×＋m＝0，解得：m＝，故选：A．10．（2019·潍坊）关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝－2 B．m＝3 C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝2【解答】解：设x1，x2是x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根，∴△＝－4m≥0，∴m≤0，∴x1＋x2＝－2m，x1•x2＝m2＋m，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1•x2＝4m2－2m2－2m＝2m2－2m＝12，∴m＝3或m＝－2；∴m＝－2；故选：A．10．（2019·威海）已知a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2019的值是（）A．2023 B．2021 C．2020 D．2019【解答】解：a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，∴b＝3－b2，a＋b＝－1，ab－3，∴a2－b＋2019＝a2－3＋b2＋2019＝（a＋b）2－2ab＋2016＝1＋6＋2016＝2023；故选：A．8．（2019·自贡）关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥1C．m≤1D．m＞14.（2019·宜宾）一元二次方程x2-2x+b=0的两根分别为x1和x2，则x1+x2为（）A. B. b C. 2 D.9．（2019·聊城）若关于x的一元二次方程（k－2）x2－2kx＋k＝6有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥D．k≥且k≠2 【解答】解：（k－2）x2－2kx＋k－6＝0，∵关于x的一元二次方程（k－2）x2－2kx＋k＝6有实数根，∴，解得：k≥且k≠2．故选：D．9．（2019·淄博）若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0 C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0 【解答】解：∵x12＋x22＝5，∴（x1＋x2）2－2x1x2＝5，而x1＋x2＝3，∴9－2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2－3x＋2＝0．故选：A．3．（2019·泰州）方程2x2＋6x－1＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2等于（）A．－6 B．6 C．－3 D．3【解答】解：由于△＞0，∴x 1＋x 2＝－3， 故选：C ．8．（2019·盐城）关于x 的一元二次方程x 2＋kx －2＝0（k 为实数）根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定【解答】解：由根的判别式得，△＝b 2－4ac ＝k 2＋8＞0 故有两个不相等的实数根 故选：A ．二、填空题14．（2019·眉山）设a 、b 是方程x 2＋x －2019＝0的两个实数根，则(a －1)( b －1)的值为 ．15.(2019·泸州）已知x 1,x 2是一元二次方程x 2－x －4＝0的两实根，则(x 1＋4)(x 2＋4)的值是 .17．（2019·娄底）已知方程x 2+bx+3=0的一根为5+2，则方程的另一根为 ． 【解答】解：设方程的另一个根为c ，∵（5+2）c=3， ∴c=5-2． 故答案为：5-2．12．（2019•广元）若关于x 的一元二次方程ax 2﹣x ﹣41＝0（a ≠0）有两个不相等的实数根，则点P （a+1，﹣a ﹣3）在第 象限．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2﹣x ﹣＝0（a ≠0）有两个不相等的实数根， ∴，解得：a ＞﹣1且a ≠0． ∴a+1＞0，﹣a ﹣3＜0，∴点P （a+1，﹣a ﹣3）在第四象限． 故答案为：四．14.（2019•攀枝花）已知x 1，x 2是方程x 2-2x-1=0的两根，则x 12+x 22=______． 16．（2019·呼和浩特）对任意实数a ，若多项式2b 2－5ab ＋3a 2的值总大于－3，则实数b 的取值范围是 ．【解答】解：由题意可知：2b 2－5ab ＋3a 2＞－3， ∴3a 2－5ab ＋2b 2＋3＞0，∵对任意实数a，3a2－5ab＋2b2＋3＞0恒成立，∴△＝25b2－12（2b2＋3）＝b2－36＜0，∴－6＜b＜6；故答案为－6＜b＜6；13．（2019·本溪）如果关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有实数根，那么k的取值范围是．16．（2019·邵阳）关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是．【解答】解：一元二次方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4＋4m＞0，∴m＞－1；故答案为0；12．（2019•遂宁）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．9．（2019·江西）设x1，x2是一元二次方程x2－x－1＝0的两根，则x1＋x2＋x1x2＝0 ．11．（2019·长春）一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的判别式的值是．9．（2019·镇江）若关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于．14．（2019·荆门）已知x1，x2是关于x的方程x2＋（3k＋1）x＋2k2＋1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1－1）（x2－1）＝8k2，则k的值为 1 ．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2＋（3k＋1）x＋2k2＋1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝－（3k＋1），x1x2＝2k2＋1．∵（x1－1）（x2－1）＝8k2，即x1x2－（x1＋x2）＋1＝8k2，∴2k2＋1＋3k＋1＋1＝8k2，整理，得：2k2－k－1＝0，解得：k1＝－，k2＝1．∵关于x的方程x2＋（3k＋1）x＋2k2＋1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k＋1）2－4×1×（2k2＋1）＞0，解得：k＜－3－2或k＞－3＋2，∴k＝1．故答案为：1．13．（2019·泰安）已知关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．15．（2019·嘉兴）在x2＋±4x＋4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．【解答】解：要使方程有两个相等的实数根，则△＝b 2－4ac ＝b 2－16＝0 得b ＝±4 故一次项为±4x 故答案为±4x22.（2019·成都）已知21,x x 是关于x 的一元二次方程0122=-++k x x 的两个实数根，且13212221=-+x x x x ，则k 的值为 . 【解析】本题考察一元二次方程根与系数的关系之韦达定理的应用∵该方程有两个实数根，∴△=042≥-ac b ，即0)1(422≥--k ，∴2≤k 10．（2019·青岛）若关于x 的一元二次方程2x 2－x +m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值为．11．（2019·济宁）已知x ＝1是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是 －2 ．14．（2019·连云港）已知关于x 的一元二次方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0有两个相等的实数根，则＋c 的值等于 2 ． 【解答】解：根据题意得： △＝4－4a （2－c ）＝0， 整理得：4ac －8a ＝－4， 4a （c －2）＝－4，∵方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0是一元二次方程， ∴a ≠0，等式两边同时除以4a 得：c －2＝－， 则＋c ＝2， 故答案为：2．10．（2019•上海）如果关于x 的方程x 2﹣x+m ＝0没有实数根，那么实数m 的取值范围是 m ＞ ．14．（2019·泰州）若关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 m ＜1 ．13．（2019·盐城）设x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1•x 2＝1 ．【解答】解：x1、x2是方程x2－3x＋2＝0的两个根，∴x1＋x2＝3，x1•x2＝2，∴x1＋x2－x1•x2＝3－2＝1；故答案为1；10．（2019·南京）已知2＋是关于x的方程x2－4x＋m＝0的一个根，则m＝1 ．【解答】解：把x＝2＋代入方程得（2＋）2－4（2＋）＋m＝0，解得m＝1．故答案为1．14．（2019·武威）关于x的一元二次方程x2＋m x＋1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2－4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2－4ac＝（）2－4＝0得m＝4故答案为4三、解答题18.（2019·随州）已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k＋1）2－4（k2＋1）＞0，整理得，4k－3＞0，解得：k＞，故实数k的取值范围为k＞；（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x 1＋x 2＝2k ＋1＝3， 解得：k ＝1，∴原方程为x 2－3x ＋2＝0， ∴x 1＝1，x 2＝2．21.（2019·孝感）（10分）已知关于x 的一元二次方程02)1(222=--+--a a x a x 有两个不相等的实数根21,x x . （1）若a 为正数，求a 的值；（5分）（2）若21,x x 满足16-212221=+x x x x ，求a 的值. 【专题】一元二次方程及应用．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2－2（a －1）x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[－2（a －1）]2－4（a 2－a －2）＞0， 解得：a ＜3， ∵a 为正整数， ∴a ＝1，2；（2）∵x 1＋x 2＝2（a －1），x 1x 2＝a 2－a －2，∵x 12＋x 22－x 1x 2＝16，∴（x 1＋x 2）2－x 1x 2＝16，∴[－2（a －1）]2－3（a 2－a －2）＝16， 解得：a 1＝－1，a 2＝6， ∵a ＜3， ∴a ＝－1．21．（2019·十堰）（7分）已知于x 的元二次方程x 2－6x ＋2a ＋5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12＋x 22－x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2a ＋5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴△＞0，即（－6）2－4（2a ＋5）＞0， 解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2a ＋5，∵x 1，x 2满足x 12＋x 22－x 1x 2≤30，∴（x 1＋x 2）2－3x 1x 2≤30， ∴36－3（2a ＋5）≤30， ∴a ≥－，∵a 为整数，∴a 的值为－1，0，1．25．（2019•绥化）（6分）已知关于x 的方程kx 2﹣3x+1＝0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x 1和x 2，当x 1+x 2+x 1x 2＝4时，求k 的值． 解：（1）当k ＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x ＝，∴k ＝0符合题意；当k ≠0时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×1≥0，解得：k ≤．综上所述，k 的取值范围为k ≤．（2）∵x 1和x 2是方程kx 2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝，x 1x 2＝． ∵x 1+x 2+x 1x 2＝4， ∴+＝4，解得：k ＝1，经检验，k ＝1是分式方程的解，且符合题意． ∴k 的值为1．23.（2019·乐山）已知关于x 的一元二次方程x 2－（k ＋4）x ＋4k=0． （1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x 1、x 2，满足11x ＋21x =43，求k 的值；（3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x 1、x 2，求Rt △ABC 的内切圆半径．【答案】（1）证明：∵△=（k ＋4）2－16k=k 2－8k ＋16=（k －4）2≥0， ∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根； （2）解：由题意得：x 1＋x 2=k ＋4，x 1•x 2=4k ， ∵11x ＋21x =43， ∴2121x x x x +=43，即k k 44+=43，解得：k=2；（3）解：解方程x 2－（k ＋4）x ＋4k=0得：x 1=4，x 2=k ， 根据题意得：42＋k 2=52，即k=3，设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图， 由切线长定理可得：（3－r ）＋（4－r ）=5，∴直角三角形ABC 的内切圆半径r=2543-+=1．19．（2019 •北京）关于x 的方程x 2-2x+2m-1=0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．【解析】∵01222=-+-m x x 有实数根，∴△≥0，即0)12(4)2(2≥---m ，∴1≤m ∵m 为正整数，∴1=m ，故此时二次方程为,0122=+-x x 即0)1(2=-x ∴121==x x∴1=m ，此时方程的根为121==x x20．（2019·黄石）（7分）已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋（4m ＋1）＝0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1－x 2|＝4，求m 的值．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋（4m ＋1）＝0有实数根，∴△＝（－6）2－4×1×（4m ＋1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2－6x＋（4m＋1）＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1，∴（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝42，即32－16m＝16，解得：m＝1．20.（2019·鄂州）已知关于x的方程x2－2x＋2k－1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且＋＝x1•x2，试求k的值．【答案】（1）解：∵原方程有实数根，∴b2－4ac≥0∴（－2）2－4（2k－1）≥0 ∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1＋x2＝2，x1•x2＝2k－1又∵＋＝x1•x2，∴∴（x1＋x2）2－2x1x2＝（x1•x2）2∴22－2（2k－1）＝（2k－1）2解之，得：．经检验＝都符合原分式方程的根∵k≤1∴．22.（2019·巴中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-1=0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2-17=0，求m的值．【答案】解：①根据题意得：△=（2m+1）2-4（m2-1）＞0，解得：m，②根据题意得：x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2-1，x12+x22+x1x2-17=-x1x2-17=（2m+1）2-（m2-1）-17=0，解得：m 1=，m 2=-3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为．21．（2019·衡阳）（8分）关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值． 【解答】解：（1）根据题意得△＝（－3）2－4k ≥0， 解得k ≤；（2）k 的最大整数为2，方程x 2－3x ＋k ＝0变形为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，∵一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，∴当x ＝1时，m －1＋1＋m －3＝0，解得m ＝； 当x ＝2时，4（m －1）＋2＋m －3＝0，解得m ＝1， 而m －1≠0， ∴m 的值为．20.（8分）（2019·南充）已知关于x 的一元二次方程03)12(22=-+-+m x m x 有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为21,x x ，求代数式)24)(2(222121+++x x x x 的值. 解：（1）△=134124144)3(14)12(2222+-=+-+-=-⨯⨯--m m m m m m （2分） ∵原方程有实根，∴△=0134≥+-m （3分）解得413≤m （4分）（2）当2=m 时，原方程为0132=++x x （5分）∵21,x x 为方程的两个实根，∴1,32121=-=+x x x x （6分）03,03222121=+=+x x x x∴124),1(222221121+=+++-=+x x x x x x （7分） ∴1)131(]1)([)1)(1()24)(2(212121222121=+--=+++-=++-=+++x x x x x x x x x x （8分）。