D11_2数项级数及审敛法
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《数项级数判敛法》课件
了解正项级数和任意项级数的判别法，掌握它们的应用。
二、比较判别法
1
2.1 大比较判别法
学习使用大比较判别法判断级数的收敛
2.2 小比较判别法
2
性。
学习使用小比较判别法判断级数的收敛
性。
3
2.3 拉比尔（Raabe）判别法
深入了解拉比尔判别法，掌握其应用和 特点。
三、极限判别法
1 3.1 根值判别法
《数项级数判敛法》PPT 课件
在这个PPT课件中，我们将深入介绍数项级数的判敛法。通过精心设计的布局 和丰富细节，让您轻松愉快地学习这个重要的数学概念。
一、级数的概念和性质
1.1 级数的定义
了解级数的基本概念，掌握其定义和表示方法。
1.2 级数的收敛与发散
学习如何判断级数是收敛还是发散。
1.3 正项级数和任意项级数的判别法
4.3 绝对收敛性的性 质
掌握绝对收敛级数的性质和重 要定理。
五、条件收敛性
5.1 条件收敛性的概念
了解条件收敛性的概念，与绝对 收敛性进行比较。
5.2 条件收敛性的判别法
学习使用条件收敛性判别法判断 级数的收敛性。
5.3 条件收敛性的性质
掌握条件收敛级数的性质和重要 定理。
六、应用举例
1
6.1 洛朗级数
学习使用根值判别法判断级数的收敛性。
2 3.2 比值判别法
了解比值判别法的原理和应用，掌握其使用技巧。
3 3.3 种类判别法
探讨种类判别法的实用性，学习如何判断级数的收敛性。
四、绝对收敛性
4.1 绝对收敛性的概 念
了解绝对收敛性的定义和性质。
4.2 绝对收敛性的判 别法
学习使用绝对收敛性判别法判 断级数的收敛性。
二、比较判别法
1
2.1 大比较判别法
学习使用大比较判别法判断级数的收敛
2.2 小比较判别法
2
性。
学习使用小比较判别法判断级数的收敛
性。
3
2.3 拉比尔（Raabe）判别法
深入了解拉比尔判别法，掌握其应用和 特点。
三、极限判别法
1 3.1 根值判别法
《数项级数判敛法》PPT 课件
在这个PPT课件中，我们将深入介绍数项级数的判敛法。通过精心设计的布局 和丰富细节，让您轻松愉快地学习这个重要的数学概念。
一、级数的概念和性质
1.1 级数的定义
了解级数的基本概念，掌握其定义和表示方法。
1.2 级数的收敛与发散
学习如何判断级数是收敛还是发散。
1.3 正项级数和任意项级数的判别法
4.3 绝对收敛性的性 质
掌握绝对收敛级数的性质和重 要定理。
五、条件收敛性
5.1 条件收敛性的概念
了解条件收敛性的概念，与绝对 收敛性进行比较。
5.2 条件收敛性的判别法
学习使用条件收敛性判别法判断 级数的收敛性。
5.3 条件收敛性的性质
掌握条件收敛级数的性质和重要 定理。
六、应用举例
1
6.1 洛朗级数
学习使用根值判别法判断级数的收敛性。
2 3.2 比值判别法
了解比值判别法的原理和应用，掌握其使用技巧。
3 3.3 种类判别法
探讨种类判别法的实用性，学习如何判断级数的收敛性。
四、绝对收敛性
4.1 绝对收敛性的概 念
了解绝对收敛性的定义和性质。
4.2 绝对收敛性的判 别法
学习使用绝对收敛性判别法判 断级数的收敛性。
高等数学课件D112数项级数及审敛法
l,
(1) 当0l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
p1, 0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
2020/6/3
高等数学课件
(n1,2,)有界 .
证: “ ” 若 u n 收敛 , 则 Sn收,敛 故有界.
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
2020/6/3
高等数学课件
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定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
由比较审敛法可知
p
级数
n
1
n
p
发散 .
2020/6/3
高等数学课件
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2) 若 p1,因为当n 1 x n 时,
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。
以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。
-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。
-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。
2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。
-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。
3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。
4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。
收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。
5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。
- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。
6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。
7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。
例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。
通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。
但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。
11-2正项级数及其审敛法
un
3n
1 2n
的等价无穷小.
3n 起主 要 作用
解 即
un由 ~ 31于 nu,n故 3取 n1 v1n2n313n1n,则 1
1 (2)n 3
~31nn,
lim u n n vn
lim
n
3n 2n 1 3n
nl im 11(32)n 1.
而
n1
1 3n
收敛由 ， 定1理 1.3知n ， 13n
收敛，
limlnn0 n n
由定1理 1.3知， n 1lnn3n收敛.
三、比值审敛法和根值审敛法
1. 比值审敛法 定理11.4 (达朗贝尔审敛法)
设正项级数
un满足 :
n1
limun1 ρ n un
(0ρ ),
则 (1) 当 ρ 1时, 级数收敛 ;
(2) 当 ρ 1 或 时, 级数发散 .
p
-级数：
n
1
1 np
收敛， p1 发散. p 1
注 常用的比较级数: 等比级数, 调和级数 与 p-级数.
欲证un发散，
n1
判unn1p？(某p1)
欲证un收敛，
n1
判unn1p (某p1)？
例4 判断正项 级 1 数的敛.散性
n1 n(n1)2
解 un nn 112n1 32vn
而
vn
1
3
收敛 ,
n1 n1n2
n1
1 n(n1)2
收敛 .
定理11.3 (极限形式的比较审敛法)
设正项级数 u n , v n 满足
n1
n1
则有
lim un l (0l), n vn
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两级数同敛散 ;
数项级数及审敛法
但
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
11-2高数下常数项级数的审敛法
3.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数
n1
un
n1
2
(1)n 2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
高等数学（下）
例 4 判别下列级数的收敛性:
un
即 un1 (n N )
un
高等数学（下）
当 1时, 取正数，使r 1,
, uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 ,
un
r
n
N
1uN
1
,
而级数
rnN 1uN 1收敛,
因此 un 收敛 .
n 1
n1
当 1时, 取正数，使r 1,
un1 un
lim
n
x (1 1 )n
x e
n
∴当0 ＜ x ＜ e 时级数收敛 ; 当 x ＞ e 时发散 .
当 x ＝ e 时 , 注意到 (1 1 )n 单增 ,
un1 un
e (1 1 )n
n
1 un
0 级数发散.
n
高等数学（下）
例6
证明
lim
n
nn (n!)2
0.
考虑级数
nn
n1 (n!)2
高等数学（下）
证明 (1)由lim un l 对于 l 0,
v n n
2
同济高等数学第六版D11_2数项级数及审敛法
1 1 1 n n 1 1 1 n ( n 1 ) (n 1) n 1
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n
1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
课件：数项级数及审敛法
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
证: (1) 当 1 时,
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
(1)
sin
n1 n
n
4
;
(2)
(1)n
n1
n2 en
.
证: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2) 令
(n 1)2
lim un1 lim n un n
en1 n2
lim
n
1 e
n
n
1
2
1 e
均为绝对收敛.
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设
收敛 ,
令
vn
1 2
( un
un )
(n 1, 2 ,)
显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
un 2vn un
n1
un , 2 vn 收敛
n1
n1
un 也收敛
n1
例7. 证明下列级数绝对收敛 :
例4.
判别级数 ln 1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
un
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
证: (1) 当 1 时,
知存在 N Z , 当n N 时, un1 1
un
收敛 , 由比较审敛法可知 un 收敛.
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , uN 0,当n N
(1)
sin
n1 n
n
4
;
(2)
(1)n
n1
n2 en
.
证: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2) 令
(n 1)2
lim un1 lim n un n
en1 n2
lim
n
1 e
n
n
1
2
1 e
均为绝对收敛.
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设
收敛 ,
令
vn
1 2
( un
un )
(n 1, 2 ,)
显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
un 2vn un
n1
un , 2 vn 收敛
n1
n1
un 也收敛
n1
例7. 证明下列级数绝对收敛 :
例4.
判别级数 ln 1
n1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n2
n
ln
1
1 n2
lim
11-2 数项级数收敛性的判定
n =1
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
最新(同济大学)高等数学课件D112数项级数及审敛法44231
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.源自例4.判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知n1ln1n12 收敛.
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
是单调递增有界数列, 故
又 n l iS 2 m n 1 n l i(S m 2 n u 2 n 1 ) 故级数收敛于S, 且 S u1,
(u n 1 u n 2 ) r n u n 1 u n 2 un1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
(2) 当l 0且 vn收敛时,
也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时,
也发散 .
特别取
vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
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例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
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n
lim u n 0 ,
n 1
则级数 (1)
n 1
u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足
rn u n 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
n 1
例如 ： (1)
n 1
1 n
为条件收敛 .
(1)
n 1
n 1
n 10
n
均为绝对收敛.
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
vn
1 2 ( un un )
( n 1 , 2 , )
显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
机动
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 n
n
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
0 rn 1 ( n 1)
n 1
1 ( n 2)
n2
1 ( n 1)
1 1 n 1 n 1 1 p 1 p 1 p 1 k ( k 1) ( n 1) k 1
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
n 1
( 1)
n
n e
2 n
收敛, 因此 (1)
n 1
n
n e
2 n
绝对收敛.
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内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
u n 1 比值审敛法 lim u n n
n 1
1 1
1 n 1
1 n ( n 1)
机动
n
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1)
2)
un un 1 ( n 1, 2 , ) ;
即
( ) un ( )
n
1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
1 1 ( n ) un n n
p
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
2
1 n
2
1
1 n
2
n
n
根据比较审敛法的极限形式知 ln 1
n 1
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收敛 .
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设 为正项级数, 且 lim
u n 1 un
n
, 则
(1) 当 1 时, 级数收敛 ; 证: (1) 当 1 时,
n
1 n
lim n
n
1
sin 1 ～ n
1
1 n
根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . 例4. 判别级数 ln 1
n 1 n 1
n
1 n
2
的敛散性.
lim n
2
ln(1 12 ) ～
n
1 n
2
解: lim n ln 1
2
1 n
由定理 2 可知
vn
n 1
由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1
(3) 当l = ∞时,
u n vn
即
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
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是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 特别取 vn
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十一章
三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
1
不定
根值审敛法 lim un
n n
用它法判别
比较审敛法 部分和极限 积分判别法
1
1
收 敛
发 散
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3. 交错级数
Leibniz判别法:
un un 1 0
n
lim u n 0
(1) un 收敛
时 从而
u n 1 u n u n 1 u N
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
n
说明: 当 lim
u n 1 un
n
1 时,级数可能收敛也可能发散.
1
例如, p – 级数
n
lim
u n 1 un
lim
( n 1) 1 n
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例2. 证明级数
证: 因为
1 n ( n 1) 1 ( n 1)
2
发散 .
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim
un vn
n
l , 则有
u n 2 vn u n
n 1
n 1
un ,
2 vn 收敛
n 1
u n 也收敛
n 1
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例7. 证明下列级数绝对收敛 :
(1)
n 1 n
sin n
4
;
( 2)
(1)
n 1
n n
2 n
.
e
证: (1)
sin n n
(un 1 un 2 )
rn u n 1 u n 2 un 1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1)
2)
1
3)
( 1) 收敛 n 1 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n n 1 1 ( 1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n ( 1) 收敛 n 10 102 103 104 10
1
1 1 dx p p 1 p 1 n 1 x p 1 ( n 1) n
1
1
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 1 p 1 p 1 1 的部分和 p 1 p 1 ( n 1) p 1 n p p 1 n 22 2 3 (n 1) n
1
1
1
n 1 1
n1 1
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1)
n ;
n 1
1
2)
n! ;
n 1
1
3)
10n .
n 1
n
发散
收敛
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
p
p
1
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
解:
lim u n 1 un
的敛散性 .
lim
( n 1) x nx
n 1
n
n
n
x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
p
1 3
p
1 n
p
(常数 p > 0)
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
lim u n 0 ,
n 1
则级数 (1)
n 1
u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足
rn u n 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
n 1
例如 ： (1)
n 1
1 n
为条件收敛 .
(1)
n 1
n 1
n 10
n
均为绝对收敛.
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
vn
1 2 ( un un )
( n 1 , 2 , )
显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
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例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 n
n
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
0 rn 1 ( n 1)
n 1
1 ( n 2)
n2
1 ( n 1)
1 1 n 1 n 1 1 p 1 p 1 p 1 k ( k 1) ( n 1) k 1
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
n 1
( 1)
n
n e
2 n
收敛, 因此 (1)
n 1
n
n e
2 n
绝对收敛.
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内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
u n 1 比值审敛法 lim u n n
n 1
1 1
1 n 1
1 n ( n 1)
机动
n
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1)
2)
un un 1 ( n 1, 2 , ) ;
即
( ) un ( )
n
1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
1 1 ( n ) un n n
p
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
2
1 n
2
1
1 n
2
n
n
根据比较审敛法的极限形式知 ln 1
n 1
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收敛 .
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设 为正项级数, 且 lim
u n 1 un
n
, 则
(1) 当 1 时, 级数收敛 ; 证: (1) 当 1 时,
n
1 n
lim n
n
1
sin 1 ～ n
1
1 n
根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . 例4. 判别级数 ln 1
n 1 n 1
n
1 n
2
的敛散性.
lim n
2
ln(1 12 ) ～
n
1 n
2
解: lim n ln 1
2
1 n
由定理 2 可知
vn
n 1
由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1
(3) 当l = ∞时,
u n vn
即
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
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是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 特别取 vn
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十一章
三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
1
不定
根值审敛法 lim un
n n
用它法判别
比较审敛法 部分和极限 积分判别法
1
1
收 敛
发 散
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3. 交错级数
Leibniz判别法:
un un 1 0
n
lim u n 0
(1) un 收敛
时 从而
u n 1 u n u n 1 u N
因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
n
说明: 当 lim
u n 1 un
n
1 时,级数可能收敛也可能发散.
1
例如, p – 级数
n
lim
u n 1 un
lim
( n 1) 1 n
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例2. 证明级数
证: 因为
1 n ( n 1) 1 ( n 1)
2
发散 .
而级数
k 2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim
un vn
n
l , 则有
u n 2 vn u n
n 1
n 1
un ,
2 vn 收敛
n 1
u n 也收敛
n 1
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例7. 证明下列级数绝对收敛 :
(1)
n 1 n
sin n
4
;
( 2)
(1)
n 1
n n
2 n
.
e
证: (1)
sin n n
(un 1 un 2 )
rn u n 1 u n 2 un 1
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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1)
2)
1
3)
( 1) 收敛 n 1 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n n 1 1 ( 1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n ( 1) 收敛 n 10 102 103 104 10
1
1 1 dx p p 1 p 1 n 1 x p 1 ( n 1) n
1
1
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 1 p 1 p 1 1 的部分和 p 1 p 1 ( n 1) p 1 n p p 1 n 22 2 3 (n 1) n
1
1
1
n 1 1
n1 1
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1)
n ;
n 1
1
2)
n! ;
n 1
1
3)
10n .
n 1
n
发散
收敛
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
p
p
1
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例5. 讨论级数
解:
lim u n 1 un
的敛散性 .
lim
( n 1) x nx
n 1
n
n
n
x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
p
1 3
p
1 n
p
(常数 p > 0)
解: 1) 若 p 1, 因为对一切