第五章1向量的内积长度及正交性
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5-1 向量的内积、长度及正交性
向量的长度 令
2 2 2 || x || [ x, x] x1 x2 xn
||x||称为n维向量x的长度(或范数)
向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0 (2)齐次性 ||x||||x|| (3)三角不等式 ||xy||||x||||y|| >>>
容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价 把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基
e1 1 1 1 b1 e2 b2 er br || b1|| || b2 || || br ||
e1 1 1 2 2 1 1 e2 e3 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 e4 2 2 1 1 2 2
例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1a1
1 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个 基规范正交化
5.1向量的内积、长度及正交性
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3
14
0,
2 , 14
1 , 14
3 14
e3
b3 b3
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
５ 规范正交基
定义3 设n维向量 e1,e2 ,,er是向量空间 V (V
Rn )的一个基,如果e1,e2 ,,er两两正交且都是单位 向量,则称e1,e2 ,,er是V的一个规范正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
e1
一、内积的定义及性质
x1
1.定义1 设有 n维向量
x
x2
,
令
x,
y
x1 y1
x2
y2
xn
yn
xn
y1
y
y2
,
yn
称x, y为向量 x与 y的 内积 . (Inner product)
2.内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 :
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; 或 x,y x, y;
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
４ 向量空间的正交基
若1,2 ,,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,
是
1向量的内积及正交性
n
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
本_第17讲_向量的内积、长度及正交性 二次型基本知识
第3页 页
一、向量的内积
2. 内积的性质 ⑴ [α , β ] = [ β , α ]; ⑵ [ kα , β ] = k[α , β ], k ∈ R; ⑶ [α + β , γ ] = [α , γ ] + [ β , γ ];
[ ⑷ 当 α = 0 时， α ,α ] = 0,
当 α ≠ 0 时，[α ,α ] > 0;
第10页 页
三、向量的正交性
一定线性无关． 定理 正交向量组 α1 ,α2 ,⋯,αr 一定线性无关． 证 设存在 k1 , k2 ,⋯, kr 使
(＊) ＊
k1α1 + k2α2 + ⋯+ krαr = 0, 两两正交， 由α1 ,α2 ,⋯,αr 两两正交，知
T 以α 1 左乘(＊)式两端，得 ＊ 式两端，
二次型基本知识
二次型的概念； 二次型的概念； 二次型的矩阵表示. 二次型的矩阵表示.
一、二次型的概念
含有n个变量 含有 个变量x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn的二次齐次函数 个变量 f(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn) = a11x12+a22x22+ ⋅ ⋅ ⋅ +annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+ ⋅ ⋅ ⋅ +2an−1,, nxn−1xn − − 称为二次型.
两个向量之间的一种运算，其结果是一个数 两个向量之间的一种运算，其结果是一个数， 用矩阵记号表示有 [α , β ] = α T β = β Tα . n≥3维向量的内积是 维向量数量积的推广， 维向量的内积是3维向量数量积的推广 维向量的内积是 维向量数量积的推广， 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 但是没有 5. 施密特 施密特(Schimidt)正交化 正交化
一、向量的内积
2. 内积的性质 ⑴ [α , β ] = [ β , α ]; ⑵ [ kα , β ] = k[α , β ], k ∈ R; ⑶ [α + β , γ ] = [α , γ ] + [ β , γ ];
[ ⑷ 当 α = 0 时， α ,α ] = 0,
当 α ≠ 0 时，[α ,α ] > 0;
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三、向量的正交性
一定线性无关． 定理 正交向量组 α1 ,α2 ,⋯,αr 一定线性无关． 证 设存在 k1 , k2 ,⋯, kr 使
(＊) ＊
k1α1 + k2α2 + ⋯+ krαr = 0, 两两正交， 由α1 ,α2 ,⋯,αr 两两正交，知
T 以α 1 左乘(＊)式两端，得 ＊ 式两端，
二次型基本知识
二次型的概念； 二次型的概念； 二次型的矩阵表示. 二次型的矩阵表示.
一、二次型的概念
含有n个变量 含有 个变量x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn的二次齐次函数 个变量 f(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn) = a11x12+a22x22+ ⋅ ⋅ ⋅ +annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+ ⋅ ⋅ ⋅ +2an−1,, nxn−1xn − − 称为二次型.
两个向量之间的一种运算，其结果是一个数 两个向量之间的一种运算，其结果是一个数， 用矩阵记号表示有 [α , β ] = α T β = β Tα . n≥3维向量的内积是 维向量数量积的推广， 维向量的内积是3维向量数量积的推广 维向量的内积是 维向量数量积的推广， 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 但是没有 5. 施密特 施密特(Schimidt)正交化 正交化
向量的内积、长度及正交性
欧几里得范数
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
1向量的内积长度及正交性
且当且仅当 ai 0(i 1,即2 , n)时， 0 成立,。 0
2. 向量的长度
a1
定义 2
设
n 维向量
a2 ,
an
规定 的长度(或范数)为
[ , ] a12 a22 an2
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1
2
例1
已知
21,
13,
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
三、正交矩阵、正交变换
1. 正交矩阵
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质： 设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则
① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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(2) 由于 Ax x 亦可写成齐次线性方程组 ( A E)x O
因此，使得 ( A E)x O 有非零解的 值都是矩
阵 A 的特征值.
即，使得 A E 0的 值都是矩阵 A 的特征值.
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定义 2 设 n 阶矩阵 A (aij ) ，记
f () A E
a11 a12
相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
上堂课主要内容：
1、内积：对向量
a1
aan2 ,
b1
b2
bn
, a1b1 a2b2 anbn
2、向量的长度：设
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
解 12 22 (1)2 02 6 14
,
,
1 2 2 (3) (1)1 0 0 6 14
1向量的内积长度及正交性
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定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
证 a11 a12 a1n
设
A
a22
a22
a2n
，按列分块为
(1
,
2
,
,
n
),
an1 an2 ann
1T
1T1 1T2
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
将非零向量单位化：取向量
*
1
，
4、正交：如果向量 与 满足 , 0 ，则称
向量 与 正交。
一、向量的内积
1. 向量的内积
n 维向量的内积是 几何向量内积的推广.
a1
b1
定义 1
设有 n 维向量
a2
,
b2
，
规定 和 的内积为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ an
bn
, a1b1 a2b2 anbn
定理 3 非零正交向量组是线性无关的 .
证 设 1，2，， s 是非零正交向量组，
即
(非零)
i，i iTi
0
(i, j 1,2,, s)
(正交) i， j iT j 0 (i j)
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设 k11 k22 ks s O (1) 证明 1，2，， s 线性无关，就是要证明上式中的组
定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
证 a11 a12 a1n
设
A
a22
a22
a2n
，按列分块为
(1
,
2
,
,
n
),
an1 an2 ann
1T
1T1 1T2
a1
a2
an
, a12 a22 an2
3、单位向量：当 1 时，称为单位向量
将非零向量单位化：取向量
*
1
，
4、正交：如果向量 与 满足 , 0 ，则称
向量 与 正交。
一、向量的内积
1. 向量的内积
n 维向量的内积是 几何向量内积的推广.
a1
b1
定义 1
设有 n 维向量
a2
,
b2
，
规定 和 的内积为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ an
bn
, a1b1 a2b2 anbn
定理 3 非零正交向量组是线性无关的 .
证 设 1，2，， s 是非零正交向量组，
即
(非零)
i，i iTi
0
(i, j 1,2,, s)
(正交) i， j iT j 0 (i j)
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设 k11 k22 ks s O (1) 证明 1，2，， s 线性无关，就是要证明上式中的组
线性代数第五章128
b1 b2 br e1 , e2 , , e r , || b1 || || b2 || || br ||
则e1, e2, · · · , en是向量空间V的一组规范正交基. 由线性无关向量组a1, a2, · · · , ar 构造出正交向量组 b1, b2, · · · , br 的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.
1 0 0 0 0 1 0 0 设 1 0 , 2 0 , 3 1 , 4 0 . 0 0 0 1
又设
1 2 1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 , e4 . e1 , e2 , e3 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 ij ( i , j 1, 2, 3, 4). 由于 [e i , e j ] ij 1 i j
2 2 2 [x, x] = x = x1 + x2 + + xn
当|| x ||=1时, 称x为单位向量
3.当|| x || 0, || y || 0 时, n维向量 x 与 y 的夹角： [ x, y] arccos 规定0 . || x || || y || 4.向量 x 与 y 正交定义为： π 当[x, y]=0，也即 θ = .
向量的长度及性质
(1) 非负性: || x || 0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0;
(2) 齐次性: || x|| = | | || x ||;
(3) 三角不等式: || x+y || || x || + || y ||.
线性代数第五章第一节向量的内积长度及正交性课件
a1 a1
a1T a2 a2T a2
a1T a2T
an an
1 0
0 1
0
0
anT
anT a1 anT a2
anT an
0
0
1
于是
[ai , a j ]
aiT a j
1, 0,
i j (i, j 1, 2,
i j
, n)
从而可得
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基．
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
b1
[b2 , a3 ] [b2 , b2 ]
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
[b1 , [b1 ,
a2 b1
] ]
b1
br
ar
[b1 [b1
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
最新整理1向量的内积长度及正交性.ppt
1
1
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
向量的内积
x1
y1
定义：设有
n
维向量 x
x
2
M
,
y
y
2
M
,
xn
yn
令
[ x ,y ] x 1 y 1 x 2 y 2 L x n y n
y1
x1, x2,L
,
x
n
y2MxTyyn 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．
[ x y , z ] ( x y ) T z ( x T y T ) z ( x T z ) ( y T z ) [ x , z ] [ y , z ]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
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1 T 例6 已知 1 1,1,1 , 求非零向量 2 , 3使A (1 , 2 , 3 ) 3 为正交矩阵.
正交矩阵性质： (1)若A为正交阵，则A -1 = A T也是正交阵， 且 A = 1或 A = -1
(2)若A,B都是正交阵，则AB也是正交阵.
例7 设A为实对称阵，若A + 4A + 3E = 0， 证明A + 2E是正交阵
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
b1 , b1
[br 1 , a r ] br a r b1 b2 br 1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]
正交，试求非零向量 3使 1 , 2 , 3两两正交 .
ห้องสมุดไป่ตู้
解 设 3 x1 , x2 , x3 T 0, 且分别与 1 , 2正交. 则有
[ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即 解之得
[ 1 , 3 ] x1 x 2 x 3 0 [ 2 , 3 ] x1 2 x 2 x 3 0
例 标准正交向量组的例子
1 0 0 e1 0 , e2 1 , e3 0 0 0 1
ε1 = 1 1 2 2 1 1 ，ε 2 = - ， ε 3 = 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ε4 = , 2 2 1 1 - 2 2
第五章
相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质
二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法
四、正交矩阵与正交变换
一、内积的定义与性质
x1 y1 1、定义1 x y 2 2 ,y , 称实数 设ｎ维实向量 x x n yn x1 y1 x2 y2 xn yn 为向量x与y的内积，记作
2
例5
已知 1 1,1,1 , 求非零向量 2 , 3使1 , 2 , 3
T
两两正交.
解
T , 应满足方程 a2 a3 a1 x 0,即
( 2) ( 3)
x, y x, y;
或 x , y x , y ;
x y, z x, z y, z ; 或 x , y z x , y x , z ;
(4) [ x, x] 0, 且当 x 时有[ x, x] 0.
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A 1 AT , 则 称A为 正交矩阵 . 定理 A为正交矩阵的充要条件是 A 的列（行）向量都 是单位向量且两两正交即都是规范正交向量组． T 证明 A A E a11 a21 an1 a11 a12 a1n a12 a22 an 2 a21 a22 a2 n E a a a a a a 1n 2 n nn n1 n2 nn
x, y
x, y arccos ,0 . x y
例1 求向量 1,2,2,3 与 3,1,5,1的夹角 .
18 2 解 cos 3 26 2 .
4
三、正交向量组
１ 正交的概念
当 [ x , y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .
x, y .
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 y1 y 2 T x , y x1 x2 xn x y . yn
2.内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 : (1) x , y y , x ;
T 1
T
由 1 0 1 1 1
T
2
0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1 , 2 ,, r 线性无关.
例2 已知两个向量 1 1 1, 1
1 2 2 1
1 r 2 r
[b , a ] [b , a ]
b1 b2 br , e2 , , er , (2) 单位化 , 取 e1 b1 b2 br
那么 e1 , e2 ,, er为一个规范正交向量组 .
那么b1 ,, br 两两正交.
上述由线性无关向量组 a1 ,, a r 构造出正交 向量组b1 ,, br的过程, 称为 施密特正交化过程 .
x1 x3 , x2 0. x1 1 3 x2 0 若令 x3 1, 则有 x 1 3
4 .
Schmidt（施密特）正交化方法
设a1 , a2 ,, ar 线性无关, b1 , a2 a1 b2 a2 b1 , (1) 正交化 , 取 b1 ，
1 2 1 3 1 1 1 2 解 1 1 2 13 1 2 1 考察矩阵的第一列和第二列，
8 9 1 9 4 9
4 9 4 . 9 7 9
1 1 1 1 由于 1 1 0, 3 2 2 2 所以它不是正交矩阵．
1 9 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
4 9 1 4 0 9 0 7 9
T
0 1 0
0 0 1
所以它是正交矩阵．
例5
已知 1 1,1,1 , 求非零向量 2 , 3使1 , 2 , 3
其中 [ 1 , 2] 1,[ 1 , 1] 2, 于是得
1 0 1 1 a2 0 , a3 1 0 1 1 2 1 1 1 2 . 2 1
T
两两正交.
解
T , 应满足方程 a2 a3 a1 x 0,即
x1 x 2 x 3 0.
它的基础解系为 1 0 1 0 , 2 1 . 1 1
把基础解系正交化，即为所求．亦即取
[ 1 , 2] 1. a2 1 , a 3 2 [ 1 , 1]
二、向量的长度与夹角
１、长度的概念
定义2 令
x
x, x
x1 x2 xn 为ｎ维向量x
2 2 2
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
２、性质 （1）正定性：
（2）齐次性：
x 0; 且x x 0；
x x ;
（3）三角不等式： x y x y ; （4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:
由定义知, 若 x , 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 正交向量组：指两两正交的非零向量
即1， 2， r为正交向量组，
T 则 i 0(i 1, r )且 , i j 0(i j ) i j
若一个正交向量组中每个向量都是单位向量， 则称此向量组为正交规范向量组或标准正交向量组．
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] 8 14 0,2,1,3 1,1,2,0 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14 再单位化， 得规范正交向量组如下
b1 1 1 1 1 1 e1 1,1,1,1 , , , b1 2 2 2 2 2 b2 1 2 1 3 0,2,1,3 0, e2 , , b2 14 14 14 14 b3 1 1 1 2 1,1,2,0 , , ,0 e3 b3 6 6 6 6
1, 当 i j; a j ij 0, 当i j
T i
i , j 1,2,, n
例4
判别下列矩阵是否为正交阵．
1 9 2 8 9 4 9
1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 2 , 13 1 2 1
x, y
2
x
2
y , 即 x , y x , x y, y
2 2
当且仅当x与y的线性相关时，等号成立. 1 0 注 ①当 x 时，x x x 是x的单位向量. 1 0 x 的过程 ②由非零向量x得到单位向量 x x 称为把x单位化或标准化.
３、夹角 设x与y为ｎ维空间的两个非零向量，x与y的夹 x, y , 因此x与y的夹角为 角的余弦为 cos x y
例3 用施密特正交化方法，将向量组 a1 (1,1,1,1), a2 (1,1,0,4), a3 ( 3,5,1,1) 正交规范化. 解 先正交化， 取 b1 a1 1,1,1,1 b1 , a2 b2 a2 b1 b1 , b1 11 4 1,1,1,1 0,2,1,3 1,1,0,4 1111
由于
1 9 2 8 9 4 9
8 9 1 9 4 9
8 9 1 9 4 9
4 9 4 9 7 9
1 9 8 9 4 9
4 9 4 9 7 9
T 1 T 2 1 , 2 ,, n E T n T T 1 a1 1 a2 T 1 an T T 2 a1 2 a2 T 2 an E T T a a T a n n n 1 n 2