等差数列的认识与公式运用
等差数列的认识及公式运用
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1知识点拨等差数列的认识与公式运用由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识例题精讲【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
等差数列的性质与公式
等差数列的性质与公式等差数列是数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
在数学中，等差数列是一种常见的数学模型，具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍等差数列的性质与公式，并探讨其在代数、几何等领域中的应用。
一、等差数列的定义等差数列可以用下列形式表示：a，a + d，a + 2d，a + 3d，...其中，a是首项，d是公差。
首项代表数列中的第一个数，公差代表相邻两项之间的差值。
二、等差数列的性质1. 通项公式等差数列的第n项可以用通项公式表示：an = a + (n-1)d其中，an代表等差数列的第n项，a是首项，d是公差。
2. 求和公式等差数列的前n项和可以用求和公式表示：Sn = (n/2)(a + an)其中，Sn代表等差数列的前n项和，a是首项，an是第n项，n代表项数。
3. 公差与项数的关系对于等差数列，项数与公差的关系可以表示为：n = (an - a)/d + 1其中，n代表项数，a是首项，an是第n项，d是公差。
4. 等差中项等差数列中的中项可以表示为：a + (n-1)(d/2)其中，a是首项，n代表项数，d是公差。
5. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：(1) 等差数列的任意三项成等差数列；(2) 等差数列对任意项数取整后仍为等差数列；(3) 等差数列的倒序也为等差数列；(4) 等差数列的前n项和等于后n项和。
三、等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在代数和几何领域中。
1. 代数应用(1) 等差数列可用于解决各种代数问题，如数列的推导、求和等问题。
(2) 等差数列可用于建立各种代数方程，进而解决实际问题。
2. 几何应用(1) 等差数列可用于几何问题，如等差中项问题、等差数列构成的图形问题等。
(2) 等差数列可用于建立几何方程，求解各种几何问题。
3. 统计应用(1) 等差数列可用于统计学中的各种模型建立与应用。
(2) 等差数列可用于数理统计、经济学等领域的数据分析。
等差数列的性质与应用
等差数列的性质与应用等差数列是指数列中的每个数字与它前面的数字之差都相等。
它具有很多独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质以及在数学和现实生活中的应用。
一、等差数列的性质等差数列具有以下几个重要的性质：1. 公差等差数列的公差是指相邻两项之间的差值。
记为d，公差可以为正、负或零。
公差的大小决定了等差数列的增长趋势，如果公差大，则数列增长得快；如果公差小，则数列增长得慢。
2. 通项公式等差数列可以用通项公式来表示，通项公式可以帮助我们快速地找到数列中的任意一项。
通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3. 前n项和我们可以通过求等差数列的前n项和，来得到数列中若干项的总和。
前n项和的公式如下：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和。
二、等差数列的应用1. 数学等差数列在数学中有广泛的应用。
它们可以用来解决各种问题，例如算术运算、图形和数学模型的建立等。
在数学建模中，等差数列可以用来表示各种数量的变化规律，从而帮助我们了解和解决实际问题。
2. 经济学等差数列在经济学中也有很多应用。
例如，我们可以通过等差数列来分析某个经济指标的变化趋势，从而预测未来的发展趋势。
另外，等差数列还可以用来计算复利、折旧等经济学中常见的概念。
3. 物理学在物理学中，等差数列也非常有用。
例如，当我们研究一个物体的运动规律时，可以将其位置与时间建立为等差数列，从而更好地描述和分析物体的运动过程。
此外，等差数列还可以用来解决一些关于波动、振动等问题。
4. 工程学在工程学中，等差数列有时用来分析和计算一些工程问题。
例如，在工程设计中，如果某个参数的变化规律可以用等差数列表示，我们可以通过计算等差数列的通项来得到不同情况下的参数取值，从而更好地指导工程设计和优化。
结论等差数列具有明确的数学定义和重要的性质，能够帮助我们理解和解决各种实际问题。
等差数列的定义与通项公式
练习三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得：
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
二、等差数列的判定：
例2、已知数列{an}的通项公式为 an 6n 1 问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列 ，其首项与公差分别是多少？
1、若一个数列的通项公式为n的一次函数 an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数. 常数列的等差数列通项公式为常值函数。
（2）等差数列通项公式： an=a1 +(n-1)d
作业：
1、已知数列an ，满足
a
1
2, a n 1
（1）数列
1 an
a
2 an
n
2
是否是等差数列？说明理由。
（2）求数列 an 通项公式
1 1 1 是等差数列， (n 1) 3 1 (n 1) 3 an a1 an
1 an 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法， 可由复杂变为简单，使问题得以解决.
课堂小结：
（1）等差数列定义：
a
d 或 d （n>1) a a a n1 n n n1
等差数列的定义及通项 公式
复习：
1、等差数列的概念：
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 2、等差数列的定义式： d=an-an-1 3、等差数列的通项公式。
根据等差数列的基本性质及基本运用
根据等差数列的基本性质及基本运用等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
它在数学中有着广泛的应用，能够帮助我们解决一系列的问题。
在本文档中，我们将探讨等差数列的基本性质以及其在实际问题中的基本运用。
1. 等差数列的基本性质等差数列的基本性质主要有以下几点：1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以帮助我们找到数列中任意一项的值。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$其中，$a_n$表示第$n$项的值，$a_1$表示第一项的值，$d$表示公差。
1.2 等差数列的前$n$项和公式等差数列的前$n$项和公式可以帮助我们求解数列前$n$项的和。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其前$n$项和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$表示前$n$项的和。
1.3 等差数列的性质等差数列还有许多其他性质，例如：任意两项之和与中间项之和相等；对于任意的正整数$m$和$n$，它们对应的项数为$a_m$和$a_n$，则第$(n+m)$项与第$(n-m)$项之和等于$2a_n$等等。
这些性质在求解实际问题时非常有用。
2. 等差数列的基本运用等差数列的基本运用包括以下几个方面：2.1 求解未知项当我们已知等差数列中的部分项及公差时，可以通过等差数列的通项公式来求解未知项的值。
2.2 求解前$n$项和当我们需要计算等差数列的前$n$项和时，可以通过等差数列的前$n$项和公式来求解。
2.3 求解问题等差数列在实际问题中有广泛的应用，例如：求解等差数列中某一项的值；求解等差数列中满足特定条件的项数等等。
这些问题都可以通过等差数列的性质和公式来解决。
在实际应用中，我们可以利用等差数列的基本性质和基本运用来解决一系列的问题，例如：计算利息、预测未来的数值等等。
等差数列的性质及应用
等差数列的性质及应用等差数列是指数列中相邻项之间的差值保持不变的数列。
它是数学中常见且重要的数列类型之一，在数学及其他领域都有着广泛的应用。
本文将探讨等差数列的性质及其在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义与性质1. 定义：等差数列可以定义为一个数列，其中每一项与它的前一项之差等于一个常数d，称为等差数列的公差。
2. 通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项可以表示为an = a₁ + (n-1)d。
3. 求和公式：假设等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的和可以表示为Sn = (a₁ + an) * n / 2。
二、等差数列的应用1. 数学问题中的应用：等差数列在数学问题中经常出现。
例如，找出等差数列中的特定项、求等差数列的和等都可以通过等差数列的性质与公式进行解决。
2. 自然科学中的应用：等差数列在自然科学中也有着广泛的应用。
例如，物理学中的匀速直线运动、化学中的反应速率等都可以建立在等差数列的基础上，通过分析数值变化的规律来求解实际问题。
3. 经济学与金融学中的应用：等差数列在经济学与金融学中也有着重要的应用。
例如，研究某种商品价格的变化、计算贷款利息等都可以运用等差数列的概念。
三、实际问题中的等差数列应用举例1. 降雨量分析：假设某地区每年的降雨量以等差数列的形式增长，首年降雨量为100毫米，公差为10毫米。
求第5年的降雨量。
解答：根据等差数列的通项公式，第5年的降雨量可以表示为a₅ = a₁ + (5-1)d = 100 + 4*10 = 140毫米。
2. 平均成绩计算：某学生连续4次数学考试的成绩构成等差数列，首次考试得了80分，公差为4分。
求这4次考试的平均分。
解答：根据等差数列的求和公式，这4次考试的总分为S₄ = (80 +a₄) * 4 / 2，其中a₄为最后一次考试的成绩。
平均分可以表示为S₄ / 4，即(80 + a₄) * 2。
由此可得，平均分为(80 + a₄) * 2 / 4。
等差数列的性质与应用
等差数列的性质与应用等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中的重要概念之一，它是一种具有特定规律的数列。
本文将介绍等差数列的性质及其在实际问题中的应用。
一、等差数列的定义等差数列是指具有相同公差的数列。
公差（common difference）是指相邻两项之差的固定值，用d表示。
一般情况下，等差数列的首项用a1表示。
例如，数列1，4，7，10，13是一个等差数列，其公差为3，首项为1。
二、等差数列的性质1. 公差确定等差数列的性质之一是公差确定了数列的规律。
通过公差的取值，可以唯一确定一个等差数列。
2. 通项公式等差数列可以由通项公式来表示。
通项公式（general term formula）用an表示等差数列的第n项，首项为a1，公差为d，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
通过通项公式，我们可以直接计算等差数列中的第n项的数值，而不需要一个一个进行递推。
3. 前n项和公式等差数列的前n项和公式（sum of the first n terms）是指等差数列的前n项和的计算公式。
设Sn表示等差数列的前n项和，则有Sn =(a1+an) * n / 2。
前n项和公式的应用非常广泛，可以用于计算各种等差数列的和，简化计算过程。
三、等差数列的应用等差数列是数学在实际问题中的重要应用之一，广泛用于各种领域。
1. 财务规划在财务规划中，我们经常需要计算一系列年度投资或者收益的总和。
如果投资或者收益之间存在固定的增长或者减少幅度，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总和。
通过这种方式，可以快速计算出未来的财务状况。
2. 人口统计人口统计学中，经常需要计算一段时间内的人口总数或者增长率。
如果人口每年按照相同的比例增长或者减少，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总数。
这在城市规划、人口迁移研究等领域中具有重要意义。
3. 流程控制在控制工程中，常常需要设计各种流程控制方案。
等差数列的概念与应用
4.2.1 等差数列的概念（1）导学案【学习目标】1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式及应用3.掌握等差数列的判定方法【学习重难点】重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定【学习过程】1．等差数列的概念(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是3.从函数角度认识等差数列{a}n Array若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加三、典例解析例1.（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}公差和首项；（2）求等差数列8,5,2…的第20项。
求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a 1，d 的值，再利用a n ＝a 1＋(n －1)d 写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可用d ＝直接求得公差，再利用a n ＝a m＋(n －m )d 写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过a n是关于n 的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练1．(1)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d .(2)已知数列{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.例2 (1)已知m 和2n 的等差中项是8，2m 和n 的等差中项是10，则m 和n 的等差中项是________．(2)已知1a ，1b ，1c 是等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也是等差数列．等差中项应用策略1.求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y 2. 2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列.跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．当堂检测1．数列{a n}的通项公式为a n＝5－3n，则此数列()A．是公差为－3的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列2．等差数列{a n}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝()A．8B．12C．16D．243．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为______．4.在等差数列{an }中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.5．若等差数列{a n}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{a n}的通项公式．。
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一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合详细数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1知识点拨等差数列的认识与公式运用找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列根本概念及公式的简单应用等差数列的根本认识【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？假设是，请指明公差，假设不是，那么说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98； 例题精讲④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；【例 2】小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？〔1〕3、4、5、6、……、76、77、78〔2〕2、4、6、8、……、96、98、100〔3〕1、3、5、7、……、87、89、91〔4〕4、7、10、13、……、40、43、46【例 3】把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【巩固】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？【例 4】一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【巩固】一个数列共有13项，每一项都比它的前一项多7，并且末项为125，求首项是多少？【巩固】在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这12个数的和为。
16 10 【例 5】从1开场的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。
【例 6】观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a =________ 。
等差数列公式的简单运用【例 7】2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，假如其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【巩固】1、3、5、7、9、11、是个奇数列，假如其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？【巩固】1、4、7、10、13、…这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几？【例 8】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第_______个数是1994．【巩固】5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【巩固】对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50项的差是多少？【巩固】数列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？【巩固】聪明的小朋友们，PK一下吧．⑴3、5、7、9、11、13、15、…… ，这个数列有多少项？它的第102项是多少？⑵0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？【例 9】⑴假如一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.⑵假如一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.【巩固】一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？【巩固】假如一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项．等差数列的求和【例 10】一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？【巩固】有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？【巩固】求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和．【例 11】15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？【巩固】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【例 12】小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。
在求这2006个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。
小马虎求和时漏掉的数是。
等差数列找规律找规律计算【例 13】1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；……只青蛙张嘴，32只眼睛条腿。
【例 14】如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5时，共需要火柴棍根。
【例 15】观察下面的序号和等式，填括号．序号等式1 1236++=3 35715++=5 581124++=7 7111533++=（）（）（）（）7983++=【巩固】有许多等式:++=+++；2461353+++=++++；81012147911134++++=+++++；161820222415171921235⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么第10个等式的和是_______【巩固】观察以下算式：2＋4＋6＋8＝20＝4×5……然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝。
【例 16】将一些半径一样的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。
【例 17】观察以下四个算式：201=20，202=10，104=52，528=516。
从中找出规律，写出第五个算式：。
规律计数【例 18】从1到50这50个连续自然数中，去两数相加，使其和大于50．有多少种不同的取法？【巩固】从1到100的100个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过100．有几种不同的取法？【例 19】有多少组正整数a、b、c满足2009a b c++=．数阵中的等差数列【例 20】如以下图所示的表中有55个数，那么它们的和等于多少？171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965【巩固】 以下数阵中有100个数，它们的和是多少？1112131920121314202113141521222021222829【巩固】 下面方阵中所有数的和是多少？1901190219031904195019021903190419051951190319041905190619521948194919501951199719491950195119521998【例 21】 把自然数从1开场，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行〞是这个三角阵的对称轴，如图．那么在以1开头的行中，第2021个数是多少．526137489【巩固】 将自然数按以下图的方式排列，求第10行的第一个数字是几？136101521259142048131971218111716【巩固】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？135791113151719212325272931333537394143454749............【例 22】 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197排在第几行的第几个数？1 3 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 … …【巩固】 将自然数按下面的形式排列12345678910111213141516171819202122232425问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多少？【例 1】 将正整数从1开场依次按如下图的规律排成一个“数阵〞，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，……．那么在第100个拐角处的数是 ．22202119181716141513121110987654321【巩固】 一列自然数：0，1，2，3，……，2024，第一个数是0，从第二个数开场，每一个都比它前【例 2】 下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如A 格应填的数是1013130⨯=，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和？【例 3】 如图的数阵是由77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，假如这六个数的和是660．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数是 ？142144146148150152154 (30323436384042282624222018168141210642)【例 4】 假设干个硬币排成左以下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差〔大数减小数〕，如对于a ，差为7-5=2，所有差的总和为 。