离散数学第一章第一节
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离散数学第一章第一节
PQ PQ PQ PQ
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111源自(1.B,2.AD,3.AD)
6、本讲小结
1、命题是客观上能判明真假的陈述句。当命题为真 时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为 “假”。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符 号叫命题标识符。当命题标识符表示不确定命题时称为 命题变元。
7、 练习
1、设P：天热。Q：我去游泳。R：我在家读书。则 命题“如天热，我去游泳，否则在家读书。”的符号化 结果是（ ）。
A.(PQ)(PR) C.(PQ)(PR) B.(PQ)(PR) D.(PQ)(PR)
2、设X：我上街。Y：我有空闲时间。则命题“我上 街，仅当我有空闲时间。”的符号化结果是( )。
A.XY B.YX C.XY D.YX
3、设X:我上街。Y:我有空闲时间。则命题“除非我 有空闲时间,否则我不上街。”的符号化结果是（ ）。
A.XY B.YX C.XY D.YX
练习答案
第一讲 作业
P8 3，4c，5bf，6bdgh
定义5 双条件联结词
设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅 当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作 ＰＱ。叫双条件联结词，也记作iff 。 ＰＱ为真当且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。
例如，2+2＝5当且仅当雪是黑的。 设Ｐ： 2+2＝5 。Ｑ：雪是黑的。
则原命题表示为：ＰＱ。
例5 分析下列各命题的真值： (1) 如果2+2＝4，当且仅当3是奇数。 (2) 如果2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 (3) 如果2+2≠4，当且仅当3是奇数。 (4) 如果2+2≠4，当且仅当3不是奇数。
离散数学课件第一章(第1讲)
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
（完整版）离散数学电子教材1（可编辑修改word版）
（完整版）离散数学电子教材1（可编辑修改word版）第1 章命题逻辑逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。
所谓的数学方法也就是用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。
因此数理逻辑也称为符号逻辑。
数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。
本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第2 章进行讨论。
1.1命题及其表示1.1.1命题的基本概念数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference)，而推理就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。
在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题。
因此命题就成为推理的基本单位。
在命题逻辑中，对命题的组成部分不再进一步细分。
定义1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。
命题的判断结果称为命题的真值，常用T(True)（或1）表示真，F(False)（或0）表示假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。
例1.1.1 判断下列句子是否为命题（1）北京是中国的首都。
（2）请勿吸烟！（3）雪是黑的。
（4）明天开会吗？（5）x+y=5。
（6）我正在说谎。
（7）9+5≤12 。
（8）1+101=110 。
（9）今天天气多好啊！（10）别的星球上有生物。
解在上述的十个句子中，（2）、（9）为祈使句，（4）为疑问句，（5）、（6）虽然是陈述句，但（5）没有确定的真值，其真假随x、y 取值的不同而有改变，（6）是悖论(Paradox)（即由真能推出假，由假也能推出真），因而（2）、（4）、（5）、（6）、（9）均不是命题。
离散数学第1章
为或非联结词。
P Q为真当且仅当P、Q同时为假。
27
极小全功能集
定义1.15 称联结词集G为全功能集， 如果由G中联结词构成的公式能等价表 示任意命题公式。
定义1.16 称联结词集G为极小全功能集， 如果G满足条件：①由G中联结词构成的 公式能等价表示任意公式；②G中的任 一联结词不能用其余联结词等价表示。
16
等值式有下列性质：
① 自反性，即对任意公式A，有A A。
② 对称性，即对任意公式A和B，若A
B，则B A。
③ 传递性，即对任意公式A、B和C，若
A B、B C，则A C。
17
基本等值式——命题定律
双否定: (1)AA
幂等律：(2)A∨AA
(3)A∧AA
2
1.1 命题符号化及联结词
命题 真值：T（1）
命题标识符
F（0）
3
命题联结词
复合命题、原子命题 命题联结词 否定l 合取∧ 析取∨ 蕴涵→ 等价
4
否定
定义1.1 设P表示一个命题，复合命 题 “非P” 称为P的否定式，记作 lP。 l为否定联结词。
lP为真当且仅当P为假。
5
记为H1∧H2∧…∧HnP。
定理 公式P是H1, H2,…, Hn的逻辑结论， 当且仅当H1∧H2∧…∧Hn→P是永真式。
40
推理规则
Ｐ规则(也称前提引入规则)：在推导过
程中，前提可视需要引入使用。
Ｔ规则(也称结论引入规则)：在推导过
程中，前面已导出的有效结论都可作为
P Q为真当且仅当P、Q同时为假。
27
极小全功能集
定义1.15 称联结词集G为全功能集， 如果由G中联结词构成的公式能等价表 示任意命题公式。
定义1.16 称联结词集G为极小全功能集， 如果G满足条件：①由G中联结词构成的 公式能等价表示任意公式；②G中的任 一联结词不能用其余联结词等价表示。
16
等值式有下列性质：
① 自反性，即对任意公式A，有A A。
② 对称性，即对任意公式A和B，若A
B，则B A。
③ 传递性，即对任意公式A、B和C，若
A B、B C，则A C。
17
基本等值式——命题定律
双否定: (1)AA
幂等律：(2)A∨AA
(3)A∧AA
2
1.1 命题符号化及联结词
命题 真值：T（1）
命题标识符
F（0）
3
命题联结词
复合命题、原子命题 命题联结词 否定l 合取∧ 析取∨ 蕴涵→ 等价
4
否定
定义1.1 设P表示一个命题，复合命 题 “非P” 称为P的否定式，记作 lP。 l为否定联结词。
lP为真当且仅当P为假。
5
记为H1∧H2∧…∧HnP。
定理 公式P是H1, H2,…, Hn的逻辑结论， 当且仅当H1∧H2∧…∧Hn→P是永真式。
40
推理规则
Ｐ规则(也称前提引入规则)：在推导过
程中，前提可视需要引入使用。
Ｔ规则(也称结论引入规则)：在推导过
程中，前面已导出的有效结论都可作为
离散数学.第1章
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
10
3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
28
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
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例4
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
10
3. 析取“∨”（相容或）[讲解教材P3-5关于或]
4. 定义1.3
由命题P和Q利用“∨”组成的复合命题，称 为析取式复合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。 当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
练习1-1
1. 判断下列语句哪些是命题，若是命题，则指出其真值。
（1） （2） 只有小孩才爱哭。 X+6=Y ( 是 假 ) ( 不是 ) (是 真) ( 不是 )
（3）
银是白的。
（4） 起来吧，我的朋友。 2． 将下列命题符号化
（1） 我看见的既不是小张也不是老李。 解 令P：我看见的是小张；Q：我看见的是老李。 则该命题可表示为¬ P∧¬ Q （2） 如果晚上做完了作业并且没有其它的事，他就会 看电视或听音乐。 解 令 P：他晚上做完了作业；Q：他晚上有其它的事； R：他看电视； S：他听音乐。 则该命题可表示为（P∧¬ Q）→（R∨S）
28
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A和B是两个命题公式, 若等价式A↔B 是重言式，则称公式A 和B等值，记为A B,称 AB为等 值式。
• 注意： （1）符号“”与“↔”的区别与联系 “”不是联结词，AB不表示一个公式， 它表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB 当且仅当 A↔B 是永真公式。
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 1 0 0 0 1
离散数学 第1章 集合的基本概念和运算
定义3.1.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元 素，则称B为A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包 含B。记作B⊆A。包含的符号化表示为
B A ( x) ( x B x A)
例：设A={1,2,3,4,5,6,}, B={2,4,5,}及C={1，2，3，4，5} 定义3.1.2（外延性原理）设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B， 则称A与B相等，记作A=B。相等的符号化表示为
x 则 x A B或x A C ， A且x B或x A且x C ，即 x A且x B C, 于是x A ( B C ) 所以 ( A B) ( A C ) A ( B C ) 因此 ( A B) ( A C ) A ( B C )
离散数学
第一章 集合的基本集合的基本概念和运算
1.1 1.2 1.3 1.4 集合的基本概念 集合的基本运算 集合中元素的计数 笛卡尔乘积
1.1 集合的基本概念
集合是不能精确定义的基本的数学概念，直观地讲，集合是 由某些可以相互区别的事物汇集在一起所组成的整体。对于给定 的集合和事物，应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合。 如果属于，就称它为这个集合的元素。 集合通常用大写的英文字母来表示。 集合有两种表示方法：枚举法和谓词表示法。前一种方法是 将集合中的所有元素罗列出来，元素之间用逗号隔开，并把它们 用花括号括起来。例如 A {a, b, c} ， {1, 2, 3, ...}， {春， 秋， }，都是合法的表示。 C 夏， 冬 B 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如 2 } F D {x | x是学生 ， {x | x是整数 ， {x | x R x 1 0} } E 一般的 A={x︱R(x)} R(x)表示x具有性质R，表示任何谓词 集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。集合的元素也是无序的，元素的排列顺序 对集合没有影响。
B A ( x) ( x B x A)
例：设A={1,2,3,4,5,6,}, B={2,4,5,}及C={1，2，3，4，5} 定义3.1.2（外延性原理）设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B， 则称A与B相等，记作A=B。相等的符号化表示为
x 则 x A B或x A C ， A且x B或x A且x C ，即 x A且x B C, 于是x A ( B C ) 所以 ( A B) ( A C ) A ( B C ) 因此 ( A B) ( A C ) A ( B C )
离散数学
第一章 集合的基本集合的基本概念和运算
1.1 1.2 1.3 1.4 集合的基本概念 集合的基本运算 集合中元素的计数 笛卡尔乘积
1.1 集合的基本概念
集合是不能精确定义的基本的数学概念，直观地讲，集合是 由某些可以相互区别的事物汇集在一起所组成的整体。对于给定 的集合和事物，应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合。 如果属于，就称它为这个集合的元素。 集合通常用大写的英文字母来表示。 集合有两种表示方法：枚举法和谓词表示法。前一种方法是 将集合中的所有元素罗列出来，元素之间用逗号隔开，并把它们 用花括号括起来。例如 A {a, b, c} ， {1, 2, 3, ...}， {春， 秋， }，都是合法的表示。 C 夏， 冬 B 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如 2 } F D {x | x是学生 ， {x | x是整数 ， {x | x R x 1 0} } E 一般的 A={x︱R(x)} R(x)表示x具有性质R，表示任何谓词 集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现 应该认为是一个元素。集合的元素也是无序的，元素的排列顺序 对集合没有影响。
离散数学讲解第一章
B7=B000111={a4,a5,a6} B12=B001100={a3,a4}
2018/12/20 21
集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
2018/12/20
22
指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
2018/12/20
24
1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
2018/12/20
25
2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
2018/12/20 15
对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
2018/12/20
16
定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
2018/12/20
5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
2018/12/20
6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
2018/12/20 21
集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
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22
指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
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24
1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
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2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
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对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
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定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
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5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
2018/12/20
6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
离散数学第一章第1节
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
集合的元素(member或element)
组成一个集合的那些对象或单元称为这个集合的 元素。 通常，用小写的英文字母a, b, c,…表示集合中的 元素
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
属于(belong to)
无序性
集合与其中的元素的顺序无关，集合中的元素是 没有顺序的，或者说，我们不考虑集合中元素的 顺序。
例如： 集合{a,b,c,d,e}、{d,c,e,a,b}、 {e,c,d,b,a}，都是表示同一个集合。
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
多样性
集合中的元素可以是任意的对象，相互独立，不 要求一定要具备明显的共同特征。 例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} B={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车},地球,板儿砖}
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
集合的特征
确定性；
互异性；
无序性；
多样性；
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
确定性
任何一个对象，或者是这个集合的元素，或者不 是，二者必居其一；
例如：A={x|x是自然数，且x<100}
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
其次，要获取集合A的一个子集，那么，A中每个元素都
有两种取法，要么在这个子集中，要么不在。而且每个元
素的取法之间是相互独立的，互不影响，这样，我们根据 乘法原理，可以很容易的得出集合A一共有：2×2ׄ×2= 2n 个子集。 这样，我们就证明了若A为有穷集，|A|=n，则
集合的元素(member或element)
组成一个集合的那些对象或单元称为这个集合的 元素。 通常，用小写的英文字母a, b, c,…表示集合中的 元素
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
属于(belong to)
无序性
集合与其中的元素的顺序无关，集合中的元素是 没有顺序的，或者说，我们不考虑集合中元素的 顺序。
例如： 集合{a,b,c,d,e}、{d,c,e,a,b}、 {e,c,d,b,a}，都是表示同一个集合。
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
多样性
集合中的元素可以是任意的对象，相互独立，不 要求一定要具备明显的共同特征。 例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} B={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车},地球,板儿砖}
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
集合的特征
确定性；
互异性；
无序性；
多样性；
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
确定性
任何一个对象，或者是这个集合的元素，或者不 是，二者必居其一；
例如：A={x|x是自然数，且x<100}
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
其次，要获取集合A的一个子集，那么，A中每个元素都
有两种取法，要么在这个子集中，要么不在。而且每个元
素的取法之间是相互独立的，互不影响，这样，我们根据 乘法原理，可以很容易的得出集合A一共有：2×2ׄ×2= 2n 个子集。 这样，我们就证明了若A为有穷集，|A|=n，则
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设Ｐ，Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ或Ｑ”称 作Ｐ与Ｑ的析取，记作Ｐ∨Ｑ，∨叫析取 联结词。Ｐ∨Ｑ为真，当且仅当Ｐ，Ｑ之 中至少有一为真。
例如，设Ｐ：2是素数。Ｑ：2是偶数。 R： 2是奇数。
则Ｐ∨Ｑ：2是素数或2是偶数。(真值为真) Ｐ∨ R：2是素数或2是奇数。(真值为真)
例3 将下列命题符号化： (1) 小王是跳远冠军或百米赛跑冠军。 (2) 小王在宿舍或在图书馆。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。 (4) 小王是计算机系的学生。他生于1973年或1974年 ， 是三好学生。
第一章 目录
第一讲 命题和命题联结词 第二讲 命题公式和真值表 第三讲 蕴含式 第四讲 范式 第五讲 推理理论
第1-1讲 命题和命题联结词
1. 命题及其真值 2. 复合命题 3. 命题常量与命题变元 4. 命题联结词 5. 联结词的真值表定义 6. 本讲小结 7. 测试 8. 第1-1讲 作业
1、命题及其真值
2、简单命题由联结词、、、、连接可以表 示复合命题P，PQ，PQ，PQ，PQ，这些复合命 题的真值由真值表定义。
3、析取联结词指的是“可兼或”，而汉语中的 “或”，既可以用于“可兼或”，也可用于“排斥或”。
4、复合命题PQ表示的逻辑关系是：Ｑ是Ｐ的必要 条件,Ｐ是Ｑ的充分条件。在数学中，“如Ｐ，则Ｑ”往往 要求前件为真,后者为真的推理关系。但在数理逻辑中
PQ PQ PQ PQ
0
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1
1
0
1
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0
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1
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1
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(1.B,2.AD,3.AD)
6、本讲小结
1、命题是客观上能判明真假的陈述句。当命题为真 时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为 “假”。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符 号叫命题标识符。当命题标识符表示不确定命题时称为 命题变元。
设Ｐ，Ｑ 表示两个命题，复合命题“Ｐ 且Ｑ”叫命题Ｐ与Ｑ的合取，记作Ｐ∧ Ｑ。记号∧叫合取联结词。Ｐ∧Ｑ为真 ，当且仅当Ｐ，Ｑ同时为真。
例如，设Ｐ: 2是素数。 Ｑ: 2是偶数。R： 2是奇数。
则Ｐ∧Ｑ：2既是素数又是偶数。(真值为真) Ｐ∧R：2既是素数又是奇数。(真值为假)
定义3 析取联结词
4、命题联结词
否定联结词 合取联结词∧ 析取联结词∨ 条件联结词 双条件联结词
定义1 否定联结词
设Ｐ为命题，复合命题非Ｐ，叫Ｐ的 否定式，记作Ｐ。记号叫否定联结 词。Ｐ为真当且仅当Ｐ为假。
例如，设Ｐ：今天是星期一。 则Ｐ：今天不是星期一。
定义2 合取联结词
思维的形式结构包括了概念、判断和推理 之间的结构和联系。判断是对事物有肯定 或否定的一种思维形式，而能够表达判断 的语句叫陈述句。
命题是客观上能判明真假的陈述句。当命 题为真时，称命题的真值为“真”；否则， 说命题的真值为“假”。用T或1表判断下列语句是不是命题 (1) 《红楼梦》的作者是曹雪芹。 (2) 沈阳市是吉林省省会。 (3) 外星人曾来过地球
其中Ｐ：小王是计算机系的学生。Ｑ：小王生于1973年 。Ｒ：小王生于1974年。Ｓ：小王是三好学生。
定义4 条件联结词
设Ｐ，Ｑ是二命题，复合命题“如Ｐ，则 Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的条件命题，记作Ｐ→Ｑ, 其中Ｐ叫前件或前题，Ｑ叫后件或结论。 Ｐ→Ｑ为真当且仅当Ｐ真和Ｑ假不同时成 立。
例如，如果明天天晴就开运动会。
解：(1) Ｐ∨Ｑ。（相容或）
其中Ｐ:小王是跳远冠军。 Ｑ:小王是百米赛跑冠军。 (2)（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）。（排斥或）
其中Ｐ：小王在宿舍。Ｑ：小王在图书馆。 (3)（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）。（排斥或）
其中Ｐ：选小王为班长。Ｑ：选小李当班长。 (4) Ｐ∧（（Ｑ∧Ｒ）∨（Ｑ∧Ｒ））∧Ｓ。
A.XY B.YX C.XY D.YX
3、设X:我上街。Y:我有空闲时间。则命题“除非我 有空闲时间,否则我不上街。”的符号化结果是（ ）。
A.XY B.YX C.XY D.YX
练习答案
第一讲 作业
P8 3，4c，5bf，6bdgh
第一章 命题逻辑
数理逻辑是用一套数学符号系统来研究思维 规律的学科。命题逻辑和谓词逻辑是数理逻辑中 最基本的内容。
十九世纪中后期，德国数学家莱布尼兹、英国数学家布 尔和逻辑学家怀海特、罗素为数理逻辑的产生和发展有 突出贡献。
从二十世纪40年代起，数理逻辑成为计算机科学的重要 基础理论之一。如布尔代数在计算机硬件设计中发挥了 重大作用；形式语言的研究为建立计算机语言提供了基 础。
解：(1)是感叹句；(2)是疑问句；(3)是祈使 句。它们都不是命题。
(4) 真假要视Ｘ、Ｙ的值而定，因此这个 语句无确定真值。它不是命题。
(5)同样不能判明真假。如说该命题为真， 但原语句却说“本命题为假”；如果说它为假， 却又肯定了它(本命题)是真的，这样造成了自 相矛盾的结果！这是所谓悖论。
2、复合命题
如果一个命题标识符表示某个确定的命 题，则称为命题常量。特别地，真命题 (用T表示)和假命题(用F表示)是命题常 量。
如果一个命题标识符表示不确定的命题， 则称为命题变元。命题变元不是命题。 在命题演算中，对命题变元指定相应的 真值(真或假)，称为对命题变元的真值 指派。 集合{T, F }是命题变元的值域。
无法继续分解的简单陈述句，称为简单命 题或原子命题。(不包含任何“与、或、非” 等联结词的命题)
由一个或几个简单命题通过联结词复合而 成的命题，称为复合命题。
命题一般用大写英文字母表示。表示命题 的符号叫命题标识符。 例如，用Ｐ表示“３是奇数”，记作
“Ｐ：３是奇数”。
3、命题常量和命题变元
设Ｐ：明天天晴。Ｑ:明天开运动会。 则原命题表示为：Ｐ→Ｑ。
例4 将下列命题符号化： (1) 只要天不下雨，我就骑自行车上班。 (2) 只有天不下雨，我才骑自行车上班。 (3) 如果2+2≠4，则太阳从西边出来。
解：设Ｐ：天下雨，Ｑ：我骑车上班。 (1) Ｐ→Ｑ。天不下雨是骑车上班的充分条件。 (2) Ｑ→Ｐ或Ｐ→Ｑ 。
解：(1)是命题。其真值为“真”，因而是真命 题。
(2)是命题。其真值为“假”，因而是假命题。 (3)的真实性目前还无法判明，但在客观上，是 真是假，二者必居其一。因此它是命题。
例2 判断下列语句是不是命题:
(1) 天多蓝啊! (2) 你去哪里？ (3) 帮帮我吧! (4) X+Y＞4。 (5) 本命题为假。
如果骑车上班，一定是天不下雨。但天不下雨也可能 不骑车上班。 (3) 设X：2+2＝4。 Y：太阳从西边出来。
则原命题表示为：X→Y。其真值为1
注： “如Ｐ,则Ｑ”,“因为P,所以Q”,“只要Ｐ就Ｑ”,“Ｐ, 仅当Ｑ”,“只有Ｑ才Ｐ”, “除非Q才P”, “除非Q,否则非 P”等都符号化为Ｐ→Ｑ。
解：Ｐ：2+2＝4。Q：3是奇数。 (1) ＰＱ 真值为1 （因P、Q皆为真） (2) ＰＱ 真值为0 （因P为真，Q为假） (3) ＰＱ 真值为0 （因P为假，Q为真） (4) ＰＱ真值为1 （因P，Q皆为假）
5、 联结词的真值表定义
P Q P 00 1 01 1 10 0 11 0
7、 练习
1、设P：天热。Q：我去游泳。R：我在家读书。则 命题“如天热，我去游泳，否则在家读书。”的符号化 结果是（ ）。
A.(PQ)(PR) C.(PQ)(PR) B.(PQ)(PR) D.(PQ)(PR)
2、设X：我上街。Y：我有空闲时间。则命题“我上 街，仅当我有空闲时间。”的符号化结果是( )。
定义5 双条件联结词
设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅 当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作 ＰＱ。叫双条件联结词，也记作iff 。 ＰＱ为真当且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。
例如，2+2＝5当且仅当雪是黑的。 设Ｐ： 2+2＝5 。Ｑ：雪是黑的。
则原命题表示为：ＰＱ。
例5 分析下列各命题的真值： (1) 如果2+2＝4，当且仅当3是奇数。 (2) 如果2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 (3) 如果2+2≠4，当且仅当3是奇数。 (4) 如果2+2≠4，当且仅当3不是奇数。
例如，设Ｐ：2是素数。Ｑ：2是偶数。 R： 2是奇数。
则Ｐ∨Ｑ：2是素数或2是偶数。(真值为真) Ｐ∨ R：2是素数或2是奇数。(真值为真)
例3 将下列命题符号化： (1) 小王是跳远冠军或百米赛跑冠军。 (2) 小王在宿舍或在图书馆。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。 (4) 小王是计算机系的学生。他生于1973年或1974年 ， 是三好学生。
第一章 目录
第一讲 命题和命题联结词 第二讲 命题公式和真值表 第三讲 蕴含式 第四讲 范式 第五讲 推理理论
第1-1讲 命题和命题联结词
1. 命题及其真值 2. 复合命题 3. 命题常量与命题变元 4. 命题联结词 5. 联结词的真值表定义 6. 本讲小结 7. 测试 8. 第1-1讲 作业
1、命题及其真值
2、简单命题由联结词、、、、连接可以表 示复合命题P，PQ，PQ，PQ，PQ，这些复合命 题的真值由真值表定义。
3、析取联结词指的是“可兼或”，而汉语中的 “或”，既可以用于“可兼或”，也可用于“排斥或”。
4、复合命题PQ表示的逻辑关系是：Ｑ是Ｐ的必要 条件,Ｐ是Ｑ的充分条件。在数学中，“如Ｐ，则Ｑ”往往 要求前件为真,后者为真的推理关系。但在数理逻辑中
PQ PQ PQ PQ
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
(1.B,2.AD,3.AD)
6、本讲小结
1、命题是客观上能判明真假的陈述句。当命题为真 时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为 “假”。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符 号叫命题标识符。当命题标识符表示不确定命题时称为 命题变元。
设Ｐ，Ｑ 表示两个命题，复合命题“Ｐ 且Ｑ”叫命题Ｐ与Ｑ的合取，记作Ｐ∧ Ｑ。记号∧叫合取联结词。Ｐ∧Ｑ为真 ，当且仅当Ｐ，Ｑ同时为真。
例如，设Ｐ: 2是素数。 Ｑ: 2是偶数。R： 2是奇数。
则Ｐ∧Ｑ：2既是素数又是偶数。(真值为真) Ｐ∧R：2既是素数又是奇数。(真值为假)
定义3 析取联结词
4、命题联结词
否定联结词 合取联结词∧ 析取联结词∨ 条件联结词 双条件联结词
定义1 否定联结词
设Ｐ为命题，复合命题非Ｐ，叫Ｐ的 否定式，记作Ｐ。记号叫否定联结 词。Ｐ为真当且仅当Ｐ为假。
例如，设Ｐ：今天是星期一。 则Ｐ：今天不是星期一。
定义2 合取联结词
思维的形式结构包括了概念、判断和推理 之间的结构和联系。判断是对事物有肯定 或否定的一种思维形式，而能够表达判断 的语句叫陈述句。
命题是客观上能判明真假的陈述句。当命 题为真时，称命题的真值为“真”；否则， 说命题的真值为“假”。用T或1表判断下列语句是不是命题 (1) 《红楼梦》的作者是曹雪芹。 (2) 沈阳市是吉林省省会。 (3) 外星人曾来过地球
其中Ｐ：小王是计算机系的学生。Ｑ：小王生于1973年 。Ｒ：小王生于1974年。Ｓ：小王是三好学生。
定义4 条件联结词
设Ｐ，Ｑ是二命题，复合命题“如Ｐ，则 Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的条件命题，记作Ｐ→Ｑ, 其中Ｐ叫前件或前题，Ｑ叫后件或结论。 Ｐ→Ｑ为真当且仅当Ｐ真和Ｑ假不同时成 立。
例如，如果明天天晴就开运动会。
解：(1) Ｐ∨Ｑ。（相容或）
其中Ｐ:小王是跳远冠军。 Ｑ:小王是百米赛跑冠军。 (2)（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）。（排斥或）
其中Ｐ：小王在宿舍。Ｑ：小王在图书馆。 (3)（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）。（排斥或）
其中Ｐ：选小王为班长。Ｑ：选小李当班长。 (4) Ｐ∧（（Ｑ∧Ｒ）∨（Ｑ∧Ｒ））∧Ｓ。
A.XY B.YX C.XY D.YX
3、设X:我上街。Y:我有空闲时间。则命题“除非我 有空闲时间,否则我不上街。”的符号化结果是（ ）。
A.XY B.YX C.XY D.YX
练习答案
第一讲 作业
P8 3，4c，5bf，6bdgh
第一章 命题逻辑
数理逻辑是用一套数学符号系统来研究思维 规律的学科。命题逻辑和谓词逻辑是数理逻辑中 最基本的内容。
十九世纪中后期，德国数学家莱布尼兹、英国数学家布 尔和逻辑学家怀海特、罗素为数理逻辑的产生和发展有 突出贡献。
从二十世纪40年代起，数理逻辑成为计算机科学的重要 基础理论之一。如布尔代数在计算机硬件设计中发挥了 重大作用；形式语言的研究为建立计算机语言提供了基 础。
解：(1)是感叹句；(2)是疑问句；(3)是祈使 句。它们都不是命题。
(4) 真假要视Ｘ、Ｙ的值而定，因此这个 语句无确定真值。它不是命题。
(5)同样不能判明真假。如说该命题为真， 但原语句却说“本命题为假”；如果说它为假， 却又肯定了它(本命题)是真的，这样造成了自 相矛盾的结果！这是所谓悖论。
2、复合命题
如果一个命题标识符表示某个确定的命 题，则称为命题常量。特别地，真命题 (用T表示)和假命题(用F表示)是命题常 量。
如果一个命题标识符表示不确定的命题， 则称为命题变元。命题变元不是命题。 在命题演算中，对命题变元指定相应的 真值(真或假)，称为对命题变元的真值 指派。 集合{T, F }是命题变元的值域。
无法继续分解的简单陈述句，称为简单命 题或原子命题。(不包含任何“与、或、非” 等联结词的命题)
由一个或几个简单命题通过联结词复合而 成的命题，称为复合命题。
命题一般用大写英文字母表示。表示命题 的符号叫命题标识符。 例如，用Ｐ表示“３是奇数”，记作
“Ｐ：３是奇数”。
3、命题常量和命题变元
设Ｐ：明天天晴。Ｑ:明天开运动会。 则原命题表示为：Ｐ→Ｑ。
例4 将下列命题符号化： (1) 只要天不下雨，我就骑自行车上班。 (2) 只有天不下雨，我才骑自行车上班。 (3) 如果2+2≠4，则太阳从西边出来。
解：设Ｐ：天下雨，Ｑ：我骑车上班。 (1) Ｐ→Ｑ。天不下雨是骑车上班的充分条件。 (2) Ｑ→Ｐ或Ｐ→Ｑ 。
解：(1)是命题。其真值为“真”，因而是真命 题。
(2)是命题。其真值为“假”，因而是假命题。 (3)的真实性目前还无法判明，但在客观上，是 真是假，二者必居其一。因此它是命题。
例2 判断下列语句是不是命题:
(1) 天多蓝啊! (2) 你去哪里？ (3) 帮帮我吧! (4) X+Y＞4。 (5) 本命题为假。
如果骑车上班，一定是天不下雨。但天不下雨也可能 不骑车上班。 (3) 设X：2+2＝4。 Y：太阳从西边出来。
则原命题表示为：X→Y。其真值为1
注： “如Ｐ,则Ｑ”,“因为P,所以Q”,“只要Ｐ就Ｑ”,“Ｐ, 仅当Ｑ”,“只有Ｑ才Ｐ”, “除非Q才P”, “除非Q,否则非 P”等都符号化为Ｐ→Ｑ。
解：Ｐ：2+2＝4。Q：3是奇数。 (1) ＰＱ 真值为1 （因P、Q皆为真） (2) ＰＱ 真值为0 （因P为真，Q为假） (3) ＰＱ 真值为0 （因P为假，Q为真） (4) ＰＱ真值为1 （因P，Q皆为假）
5、 联结词的真值表定义
P Q P 00 1 01 1 10 0 11 0
7、 练习
1、设P：天热。Q：我去游泳。R：我在家读书。则 命题“如天热，我去游泳，否则在家读书。”的符号化 结果是（ ）。
A.(PQ)(PR) C.(PQ)(PR) B.(PQ)(PR) D.(PQ)(PR)
2、设X：我上街。Y：我有空闲时间。则命题“我上 街，仅当我有空闲时间。”的符号化结果是( )。
定义5 双条件联结词
设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅 当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作 ＰＱ。叫双条件联结词，也记作iff 。 ＰＱ为真当且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。
例如，2+2＝5当且仅当雪是黑的。 设Ｐ： 2+2＝5 。Ｑ：雪是黑的。
则原命题表示为：ＰＱ。
例5 分析下列各命题的真值： (1) 如果2+2＝4，当且仅当3是奇数。 (2) 如果2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 (3) 如果2+2≠4，当且仅当3是奇数。 (4) 如果2+2≠4，当且仅当3不是奇数。