考点22 空间几何平行问题(讲解)(解析版)
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间几何的平行与垂直判定
空间几何的平行与垂直判定空间几何是数学中的一个重要分支，涉及到直线、平面、点等概念的研究。
其中，平行和垂直是空间几何中常见的关系，本文将对平行和垂直的判定方法进行详细介绍。
一、平行的判定方法在空间几何中，平行是指两个线(线段)或两个平面永远不会相交的关系。
下面将介绍几种常见的平行判定方法。
1. 直线的平行判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定l1与l2平行。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，且k1≠k2时，则l1和l2平行。
2. 平面的平行判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量相等或平行，则可以判定P1与P2平行。
二、垂直的判定方法在空间几何中，垂直是指两个线(线段)或两个平面之间的相互垂直关系。
下面将介绍几种常见的垂直判定方法。
1. 直线的垂直判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率互为倒数且不相交，则可以判定l1与l2垂直。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，并且k1·k2=-1时，则l1和l2垂直。
2. 平面的垂直判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量互为倒数且不平行，则可以判定P1与P2垂直。
三、平行与垂直的应用举例平行和垂直关系在实际问题中经常被应用。
以下是几个应用举例。
1. 平行线与垂直线的交点问题当两条平行线相交时，它们的交点无穷多个；而当两条垂直线相交时，它们的交点只有一个。
这一性质在导弹拦截等领域具有重要意义。
2. 平行四边形及其性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
它们的特点是相对边相等、对角线相交于对角线的中点、对角线互相平分等。
平行四边形的性质在建筑设计等领域有广泛应用。
3. 垂直投影与三视图在工程绘图中，垂直投影是指将物体在垂直方向上的投影。
根据垂直投影可以得到物体的平面图、前视图、左视图、右视图等，这些视图通常用于工程设计、建筑规划等领域。
4. 共线与共面条件若一条直线与一个平面相交，那么这条直线上的任意一点与该平面上的任意一点以及该平面上的任意一条直线都共线。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在我们所接触的空间几何世界里，平行关系是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活和其他学科领域有着广泛的应用。
首先，让我们来理解一下什么是线线平行。
如果在同一平面内，两条直线永远不会相交，那么我们就说这两条直线是平行的。
比如，在笔直的公路上，两条路边线就是平行的。
线线平行有许多判定定理，其中一个常见的就是同位角相等，两直线平行。
比如说，有两条被第三条直线所截的直线，如果同位角的度数相等，那么这两条直线就是平行的。
接下来，我们看看线面平行。
一条直线和一个平面，如果没有公共点，那就称这条直线与这个平面平行。
想象一下，天花板上的吊灯线和地板所在的平面，它们通常是没有交点的，这就是线面平行的一个例子。
那如何判断一条直线是否与一个平面平行呢？如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
这就好比在一个房间里，一条在墙外的直线和房间地面上的某条直线平行，那么墙外的这条直线就和地面所在的平面平行。
再说说面面平行。
如果两个平面没有公共点，就称这两个平面平行。
比如，我们常见的楼房中，一层楼的天花板和下一层楼的地板，这两个平面通常就是平行的。
那怎样才能知道两个平面是不是平行呢？一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
就好像在一个平面内有两条相交的直线，它们分别和另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面就是平行的。
在解决空间几何中的平行关系问题时，我们常常需要进行一些推理和证明。
比如说，要证明线面平行，我们可能需要先找到平面内与已知直线平行的那条直线。
这就需要我们对已知条件进行仔细的分析和运用各种定理。
平行关系在实际生活中的应用也非常广泛。
建筑设计中，为了保证建筑物的结构稳定和美观，常常会利用平行关系。
比如，柱子之间的平行线能够增强建筑物的稳定性；窗户的边框平行能够使窗户看起来更加整齐美观。
在机械制造中，平行的部件能够保证机器的正常运转，减少摩擦和损耗。
高中数学空间中的平行关系考点及例题讲解
空间中的平行关系考纲解读 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，判定常见几何体中的平行关系；2.以常见几何体为模型，进行空间平行关系的转化．[基础梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理[三基自测]1．下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案：D2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④答案：C3．(必修2·2.2练习改编)在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．答案：平行4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N、E、F分别为棱的中点，则面AMN与面DBEF的关系为________．答案：平行考点一直线与平面平行的判定与性质|方法突破[例1](1)如图，在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.(2)正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.[证明] 如图，连接DG ，CD ，设CD ∩FG ＝O ，连接OH .在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，点G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ， 所以四边形DFCG 为平行四边形，所以点O 为CD 的中点．又因为点H 为BC 的中点，所以OH ∥BD .又因为OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .(2)法一：(判定定理法)如图所示．作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB .又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQBD .∴PM AB ＝QNDC.∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形．∴PQ ∥MN . 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .法二：(判定定理法)如图，连接AQ 并延长交BC 的延长线于点K ，连接EK ，∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ .∴AP PE ＝DQBQ .又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQQK .∴AP PE ＝AQQK.∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .法三：(性质定理法)如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接QM .∵PM ⊄平面BCE ，∴PM ∥平面BCE ，且AP PE ＝AM MB ，又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，PE ＝BQ ， ∴AP PE ＝DQ BQ .∴AM MB ＝DQ QB.∴MQ∥AD.又AD∥BC，∴MQ∥BC.又MQ⊄平面BCE，∴MQ∥平面BCE.又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE.又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.[方法提升]方法关键适用题型利用线面平行的判定定理证线面平行在该平面内找或作一直线，证明其与已知直线平行平行线易作出利用面面平行的性质证线面平行过该线找或作一平面，证明其与已知平面平行面面平行较明显利用线面平行性质证线线平行过线作平面，产生交线已知线面平行[跟踪训练]如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC＝60°.P A⊥平面ABCD，且P A＝3.F在棱P A上，(1)若F为P A的中点，求证PC∥平面BDF；(2)若AF＝1，E在棱PD上，且CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．解析：(1)证明：连接AC、AC∩BD＝O，由ABCD为菱形知O为AC的中点，F为P A的中点，∴OF∥PC.OF⊂平面BDF，PC⊄平面BDF.∴PC∥平面BDF.(2)过E 作EG∥FD交AP于G，连接CG，FO.∵EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，∴EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG，CE⊂平面CGE，∴平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，∴CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面P AC＝FO，CG⊂平面P AC，∴FO∥CG.又O为AC的中点，∴F 为AG 中点，∴FG ＝GP ＝1， ∴E 为PD 的中点，PE ∶ED ＝1∶1.考点二 平面平行的判定与性质|方法突破[例2] (1)如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1、D 1、P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________.(2)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1C ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：平面PMN ∥平面A 1BD .[证明] (1)∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥PQ .又∵B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ .设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DPQ . ∴PQ PM ＝PDAP＝2，即PQ ＝2PM . 又知△APM ∽△ADB ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a .(2)法一：(判定定理法)如图，连接B 1D 1，B 1C .∵P ，N 分别是D 1C 1，B 1C 1的中点， ∴PN ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD .又PN ⊄平面A 1BD ，∴PN ∥平面A 1BD . 同理MN ∥平面A 1BD ，又PN ∩MN ＝N ，∴平面PMN ∥平面A 1BD .法二：(性质定理法)如图，连接AC 1，AC . ∵ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴AC ⊥BD .又CC 1⊥平面ABCD ，∴AC 为AC 1在平面ABCD 上的射影． ∴AC 1⊥BD .同理可证AC 1⊥A 1B ，∴AC 1⊥平面A 1BD .同理可证AC 1⊥平面PMN ， ∴平面PMN ∥平面A 1BD . [答案] (1)223a[方法提升]方法关键适合题型 判定定理证明面面平行 证出面内的两条相交线平行平面 线面平行关系明显 线面垂直性质证面面平行 证出两个面垂直于同一条直线 线面垂直关系明显 面面平行性质得线面平行、线线平行 作辅助面得出面的交线已知面面平行[跟踪训练]如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，若Q 是CC 1的中点．证明：平面D 1BQ ∥平面P AO .证明：∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥P A . ∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点， ∴D 1B ∥PO .又∵D 1B ⊄平面P AO ，PO ⊂平面P AO ，QB ⊄平面P AO ，P A ⊂平面P AO ， ∴D 1B ∥平面P AO ，QB ∥平面P AO ， 又D 1B ∩QB ＝B ，D 1B ，QB ⊂平面D 1BQ ， ∴平面D 1BQ ∥平面P AO .考点三 平行关系的探索问题|思维突破[例3] 如图所示，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，当AD DC ，A 1D 1D 1C 1分别为何值时，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.[解析] 如图所示，连接A 1B 与AB 1交于点O ，连接OD 1.因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝OD 1，所以BC 1∥OD 1.同理AD 1∥DC 1.由BC 1∥OD 1，得A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB ＝1，即A 1D 1＝D 1C 1.由AD 1∥DC 1，AD ∥D 1C 1， 得四边形ADC 1D 1是平行四边形， 所以AD ＝D 1C 1，所以A 1D 1＝DC . 所以DC AD ＝A 1D 1D 1C 1＝1，即当AD DC ＝A 1D 1D 1C 1＝1时，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1.[思维升华]对于此类问题往往采取逆向思维(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．[跟踪训练]在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥ 平面A 1MC ？请证明你的结论．解析：存在一点M ∈AB ，使DE ∥平面A 1MC . 证明如下：取AB 的中点M ，A 1C 的中点N ， 连接EN ，DM ，MN (图略)．∴DM 綊12AC ，NE 綊12A 1C 1，∴NE 綊DM .∴四边形DENM 为平行四边形，∴MN ∥DE ， 又DE ⊄平面A 1MC ，MN ⊂平面A 1MC ， ∴DE ∥平面A 1MC .故存在点M 为AB 的中点，使DE ∥平面A 1MC .1.[考点一](2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )解析：对于选项B ，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C ，D 中均有AB ∥平面MNQ .故选A.答案：A2.[考点一](2017·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积． 解析：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，故BC ∥平面P AD .(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3.所以四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×2×(2＋4)2×23＝4 3.3.[考点二](2013·高考陕西卷)如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD A 1B 1D 1的体积．解析：(1)由题设知BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⃘平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⃘平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD A 1B 1D 1的高．∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. ∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.。
新高考 核心考点与题型 立体几何 第3讲 空间直线与平面的平行 - 解析
第3讲空间直线与平面的平行1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理2.(1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[微点提醒] 平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊄α，a ⊄β，则α⊄β. (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α⊄β，β⊄γ，则α⊄γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊄α，b ⊄α，则a ⊄b .考点一 直线与平面平行的判定与性质多维探究角度1 直线与平面平行的判定【例2－1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，P A ＝AB ＝1.证明：EF ∥平面PDC ； 证明 取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 的中点，∴MF ∥CB ，MF ＝12CB ，∵E 为DA 的中点，四边形ABCD 为正方形，∴DE ∥CB ，DE ＝12CB ，∴MF ∥DE ，MF ＝DE ，∴四边形DEFM 为平行四边形，∴EF ∥DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ，∴EF ∥平面PDC .规律方法 利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【变式】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .证明：如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ， 且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC .又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .角度2直线与平面平行性质定理的应用【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.解(1)如图所示，V B1－A1BE ＝V E－A1B1B＝13S△A1B1B· DA＝13×12×2×2×2＝43.(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BG∥B1F，BG就是所求直线.规律方法在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【变式1】如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.证明：在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.【变式2】如图所示，在四棱锥P ABCD-中，//BC平面PAD，12BC AD=，E是PD的中点．（⊄）求证：//BC AD；（⊄）求证：//CE平面PAB；（⊄）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使//MN平面PAB？说明理由．【分析】（⊄）根据线面平行的性质定理即可证明；（⊄）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；（⊄）取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．【解答】（⊄）在四棱锥P ABCD-中，//BC平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD⋂平面PAD AD=，//BC AD∴，（⊄）取PA的中点F，连接EF，BF，E是PD的中点，//EF AD∴，12EF AD=，又由（⊄）可得//BC AD，12BC AD=，//BC EF∴，BC EF=，∴四边形BCEF是平行四边形，//CE BF∴，CE⊂/平面PAB，BF⊂平面PAB，//CE∴平面PAB．（⊄）取AD中点N，连接CN，EN，E，N分别为PD，AD的中点，//EN PA∴，EN⊂/平面PAB，PA⊂平面PAB，//EN∴平面PAB，又由（⊄）可得//CE平面PAB，CE EN E=，∴平面//CEN平面PAB，M是CE上的动点，AN⊂平面CEN，//MN∴平面PAB，∴线段AD存在点N，使得//MN平面PAB．考点二面面平行的判定与性质典例迁移【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EF A1∥平面BCHG.证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.【变式1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，⊄四边形A1ACC1是平行四边形，⊄M是A1C的中点，连接MD，⊄D为BC的中点，⊄A1B⊄DM.⊄A1B⊄平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，⊄DM⊄平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，⊄四边形BDC1D1为平行四边形，⊄DC1⊄BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊄平面A1BD1，⊄DC1⊄平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊄平面AC1D，因此平面A1BD1⊄平面AC1D.【变式2】如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，求证：平面//EBC 平面PDA ．【分析】推导出//AD BC ，//PD EC ，由此能证明平面//EBC 平面PDA ． 【解答】底面ABCD 为正方形，//AD BC ∴，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，//PD EC ∴， ADPD D =，BCEC C =，∴平面//EBC 平面PDA ．【例4】如图，已知//αβ，P 是平面α，β外的一点，直线PAB ，PCD 分别与α、β相交于A 、B 和C 、D ．（1）求证：//AC BD ；（2）已知4PA =，5AB =，3PC =，求PD 的长．【分析】（1）由面面平行的性质即可得证；（2）由平行线的性质即可求解． 【解答】解：（1）证明：//αβ，平面PBD AC α=，平面PBD BD β=，//AC BD ∴；（2）由（1）可知，PA PC PB PD =，即4345PD =+，∴274PD =． 规律方法 利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．【变式】如图，平面//αβ，线段AB 分别交α，β于M ，N ，线段AD 分别交α，β于C ，D ，线段BF 分别交α，β于F ，E ，若9AM =，11MN =，15NB =，78FMC S ∆=．求END ∆的面积．【分析】利用面面平行的性质得到两个三角形对应边的比，结合面积公式即可得解．【解答】解：平面//αβ，又平面AND ⋂平面MC α=，平面AND ⋂平面ND β=，//MC ND ∴， 同理//EN FM ，又9AM =，11MN =，15NB =，∴926,2015MC AM FM BM ND AN EN BN ====， 又FMC END ∠=∠，所以1sin 92678212015100sin 2FMC ENDFM MC FMCS SEN ND END ∠==⨯=∠，78FMC S ∆=，100END S ∆∴=．故END ∆的面积为：100．方法总结（1）线面平行思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行； III.转化为面面平行支持定理 ①； ②； ③配图助记（2）线线平行：思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点；II.转化为二直线同与第三条直线平行； III.转化为线面平行； IV.转化为线面垂直； V.转化为面面平行.支持定理①；②；③；④配图助记（3）面面平行：思考途径 I.转化为判定二平面无公共点；II.转化为线面平行； III.转化为线面垂直.////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭//a a a αββαα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⊄⎭////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭//////a b c b a c ⎫⇒⎬⎭αb βa a b αb γβ α aαβaaαbβαa支持定理 ①；②；③配图助记空间平行的判定与性质 基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A.α内的所有直线与l 异面 B.α内不存在与l 平行的直线 C.α与直线l 至少有两个公共点 D.α内的直线与l 都相交解析 因为l ⊄α，直线l 不平行于平面α，所以直线l 只能与平面α相交，于是直线l 与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l 平行的直线. 答案 B2.已知直线l ，m ，平面α，β，γ，则下列条件能推出l ∥m 的是( ) A.l ⊂α，m ⊂β，α∥β B.α∥β，α∩γ＝l ，β∩γ＝m C.l ∥α，m ⊂αD.l ⊂α，α∩β＝m解析 选项A 中，直线l ，m 也可能异面；选项B 中，根据面面平行的性质定理，可推出l ∥m ，B 正确；选项C 中，直线l ，m 也可能异面；选项D 中，直线l ，m 也可能相交.故选B. 答案 B3.如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，,////,//a b a b o a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//////αβαγγβ⎫⇒⎬⎭a β αbOβ aαβ αγ∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案B4.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.答案D5.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.1条或2条解析如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(面EFGH)平行的棱有2条.答案C二、填空题6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.解析 根据题意，因为EF ∥平面AB 1C ，所以EF ∥AC .又E 是AD 的中点，所以F 是CD 的中点.因为在Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝1，故EF ＝ 2. 答案27.如图，平面α∥平面β，△ABC ，△A ′B ′C ′分别在α，β内，线段AA ′，BB ′，CC ′共点于O ，O 在α，β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________.解析 相交直线AA ′，BB ′所在平面和两平行平面α，β相交于AB ，A ′B ′，所以AB ∥A ′B ′.同理BC ∥B ′C ′，CA ∥C ′A ′.所以△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角相等，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′，A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23.S △ABC ＝12×2×1×32＝32， 所以S △A ′B ′C ′＝32×⎝⎛⎭⎫232＝32×49＝239.答案2398.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若α∩β＝n ，m ∥n ，m ∥α，则m ∥β； ④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).解析 ①m ∥n 或m ，n 异面，故①错误；易知②正确；③m ∥β或m ⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误. 答案 ② 三、解答题9.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面P AB ⊥平面ABCD ，E 是棱P A 的中点.(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)平面BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比.(1)证明 在平行四边形ABCD 中，连接AC ，设AC ，BD 的交点为O ，则O 是AC 的中点.又E 是P A 的中点，连接EO ，则EO 是△P AC 的中位线，所以PC ∥EO ， 又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC ∥平面EBD .(2)解 设三棱锥E －ABD 的体积为V 1，高为h ，四棱锥P －ABCD 的体积为V ， 则三棱锥E －ABD 的体积V 1＝13×S △ABD ×h ，因为E 是P A 的中点，所以四棱锥P －ABCD 的高为2h ，所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×S 四边形ABCD ×2h ＝4×13S △ABD ×h ＝4V 1，所以(V －V 1)∶V 1＝3∶1，所以平面BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.10.如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点.求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明 (1)连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ， 连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ， 又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ， 所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ， 又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ， 所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A.4条B.6条C.8条D.12条解析如图，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线.答案B12.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.答案D13.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面P AO.解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥P A.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面P AO，QB⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，P A⊂平面P AO，所以D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面P AO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面P AO.答案Q为CC1的中点14.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E－ABC的体积.解(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ， 易知DH ＝3，∴NG ＝32， 又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×2×32－12＝22， ∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝63.。
考点22 空间几何平行问题(练习)(解析版)
考点22 空间几何平行问题【题组一 三角形中位线】1．如图，点E 和点F 分别是BC ，1A C 的中点，求证：//EF 平面11A B BA【答案】见解析【解析】证明如图，连接1A B .在1A BC 中，因为E 和F 分别是BC ，1A C 的中点，所以1//EF BA .又因为EF ⊄11A B BA ，1BA ⊂平面1AB BA ，所以//EF 平面11A B BA .2．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ;【答案】证明见解析【解析】设BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB又EO 平面AEC ，PB 平面AEC 所以PB ∥平面AEC ．3．如图所示，在三棱锥P ABC -中，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E ，证明：//EF ABP 平面【答案】见解析【解析】证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F 为BC 的中点 EF ∴为BCP 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面4．如图,12AB AD CD ==,若M 为EA 中点,求证:AC ∥平面MDF【答案】证明见解析【解析】设EC 与DF 交于点N ,连结MN ,在矩形CDEF 中,点N 为EC 中点,如图:M 为EA 中点,∴MN ∥AC 又AC ⊄平面MDF ,MN ⊂平面MDF ∴AC ∥平面MDF ．5．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ABCD ⊥底面，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点，求证：PA MDB ∥平面【答案】证明见解析【解析】连结AC ，交BD 于O ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点又M 为PC 的中点，//MO PA ，又MO MDB PA MDB ⊂⊄平面，平面//PA MDB ∴平面6．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，点D 是AB 的中点，求证：BC 1∥平面CA 1D ．【答案】略【解析】证明：如图所示，连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OD ，则O 是AC 1的中点．∵点D 是AB 的中点， ∴OD ∥BC 1.又∵OD ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D.【题组二 构造平行四边形证线面平行】1．如图，四棱锥P ABCD -中侧面P AB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==, E 是PD 的中点，证明：直线CE ∥平面PAB【答案】见解析【解析】取PA 的中点F ,连FE FB 、, E 是PD 的中点, ∴FE //=12AD , 又BC //=12AD ∴FE //=BC ∴四边形EFBC 是平行四边形 CE ∴∥BF 又CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB CE ∥平面PAB2．如图，菱形ABCD ，,E F 分别是,AB PD 的中点，求证：//EF 平面PBC ；【答案】证明见解析【解析】解法一：（1）取PC 中点H ，连接FH ，BH .因为,E F 分别是,AB PD 的中点，所以////FH DC BE ，且12FH DC BE ==， 所以四边形EFHB 为平行四边形，所以//EF BH ，因为BH ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，所以//EF 平面PBC .3．由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -，后得到的几何体如图所示.四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，证明：1//AO 平面11B CD【答案】证明见解析【解析】如图②所示，取11B D 的中点1O ，连接111CO ,AO 由于多面体1111ABCD A B C D -是四棱柱，所以11//A O OC ，11A O OC =， 因此四边形11AOCO 为平行四边形，所以11//A O O C .又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CD . 4．在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点，求证:FM ∕∕平面BDE【答案】见解析【解析】取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OM CD ,且12OM CD =, 因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF ,所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =. 所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ，且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .【题组三 线面垂直证线面平行】1．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 上一点，N 是1A C 的中点，MN ⊥平面1A DC .求证：1//MN AD .【答案】证明见解析【解析】因为四边形11ADD A 为正方形，所以11AD A D ⊥.又CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1CD AD ⊥.因为1A D CD D =，所以1AD ⊥平面1A DC .又MN ⊥平面1A DC ，所以1∥MN AD .2．已知正方体1111ABCD A B C D -，,E F 分别为AC 和1A D 上的点，且EF AC ⊥，1EF A D ⊥.（1）求证：1//EF BD ；（2）求证：1,,BE D F DA 三条直线交于一点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】证明：(1)如图，连结1AB 和1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D B C ，∵1EF A D ⊥，∴1EF B C ⊥，又EF AC ⊥，1AC B C C ⋂=，∴1EF AB C ⊥平面．又在正方体1111ABCD A B C D -中，11B C BC ⊥，111B C D C ⊥,1111BC D C C ⋂=∴111B C BC D ⊥平面，又111BD BC D ⊂平面，∴11B C BD ⊥．同理可得11B A BD ⊥，又111B A B C B ⋂=，∴11BD AB C ⊥平面．∴EF ∥1BD .（2）由题意可得1EF BD <（或者1D F 和BE 不平行），又由(1)知EF ∥1BD ，所以直线1D F 和BE 必相交，不妨设1BE D F G ⋂=，则1G D F ∈，又111D F AA D D 平面⊂，所以11G AA D D ∈平面，同理G ABCD ∈平面．因为11AA D D ABCD AD ⋂=平面平面，所以G AD ∈，所以BE 、1D F 、DA 三条直线交于一点．【题组四 三角形相似比证线线平行】1．如图，在四面体A BCD -中，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =求证：//PQ 平面BCD .【答案】证明见解析【解析】如下图所示，取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连接OP 、OF 、FQ .3AQ QC =，3AQ DF QC FC ∴==，//QF AD ∴，且14QF AD =.O 、P 分别为BD 、BM 的中点，//OP AD ∴，且12OP DM =. M 为AD 的中点，14OP AD ∴=. //OP QF ∴且OP QF =，四边形OPQF 是平行四边形，//PQ OF ∴.PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，//PQ ∴平面BCD .2．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AB =，点E 、F 分别为P A 、AB 的中点，点D 在PC 上，且2PD DC =,明：//CF 平面BDE ；【答案】见解析【解析】设AE 中点为G ，连结GF ，GC ，则//GF EB ，//GF 平面EBD .32PG PC PE PD ==，∴//ED GC ，//GC 平面EBD ， ∴平面//GFC 平面EBD ，∴//FC 平面1EBD ；【题组五 线面平行性质证线线平行】1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，E 是11A C 上一点，但1//A B 平面1B DE ，则11A E EC 的值为_______. 【答案】12【解析】如下图所示，连接1BC 交1B D 于点F ，连接EF .在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BDF C B F ∴∆∆， D 为BC 的中点，111122BD BC B C ∴==，11112BF BD FC B C ∴==. 1//A B 平面1B DE ，1A B ⊂平面11A BC ，平面11A BC ⋂平面1B DE EF =，1//A B EF ∴，11112A E BF EC FC ∴==，故答案为12. 2.如图，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF ⋂平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==,求证：BC ∥EF；【答案】证明见解析【解析】证明：∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，∴BC ∥平面ADEF .又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =，∴BC ∥EF ．3．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，点M ，N 分别是线段11A C ，1A B 的中点，设平面1MNB 与平面11BCC B 的交线为l ，求证：//MN l .【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，连接1C B ，在11A BC 中，点M ，N 分别为11A C ，1A B 的中点，所以1MN //C B . 又MN ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B .又MN ⊂平面1MNB ，平面1MNB ⋂平面11BCC B l =，所以//MN l .4．如图所示，已知三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，过EF 的平面截三棱锥得到的截面为EFHG ，求证：//EF GH .【答案】证明见解析【解析】证明：在ABD △中，因为E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，所以由三角形的中位线定理可知//EF BD .又因为EF ⊄面BCD ，BD ⊂面BCD ，所以由线面平行的判定定理可知//EF 面BCD .又因为EF ⊂面EFHG ，面EFHG ⋂面BCD GH =，所以由线面平行的性质定理可知//EF GH .【题组六 面面平行性质证线线平行】1．在如图所示的五面体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，//EF 平面ABCD ，2EA ED AB EF ===，M 为BC 的中点.求证：//FM 平面BDE .【答案】证明见解析【解析】取CD 的中点N ，连接MN 、FN .因为N 、M 分别为CD 、BC 的中点，所以//MN BD .又BD ⊂平面BDE ，且MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，因为//EF 平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，所以//EF AB .又22AB CD DN EF ===，//AB CD ，所以//EF DN ，EF DN =，所以四边形EFND 为平行四边形，所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE ，且FN ⊄平面BDE ，以//FN 平面BDE .又FN MN N ⋂=，所以平面//MNF 平面BDE .又FM ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .2．如图，在正四棱锥P ABCD -中，点F 在棱PA 上，且2PF FA =，点E 为棱PD 的中点,求证：CE //平面BDF【答案】见详解【解析】如图取PF 的中点M ，又2PF FA =，所以F 为MA 的中点，连接AC 交BD 于点O因为四边形ABCD 正方形，所以O 为AC 的中点又点E 为棱PD 的中点，所以ME //DF OF //MC ，又,OF FD F MC ME M ⋂=⋂=且,OF FD ⊂平面BDF ，,MC ME ⊂平面MCE所以平面BDF //平面MCE ，又CE ⊂平面MCE所以CE //平面BDF .3．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，平面1A DCE 与1B B 交于点E .求证：1//EC A D .【答案】证明见解析【解析】因为BE ∥AA 1，AA 1⊂平面AA 1D ，BE ⊄平面AA 1D ，所以BE ∥平面AA 1D ．因为BC ∥AD ，AD ⊂平面AA 1D ，BC ⊄平面AA 1D ，所以BC ∥平面AA 1D ．又BE ∩BC ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ∥平面AA 1D ．又平面A 1DCE ∩平面BCE ＝EC ，平面A 1DCE ∩平面AA 1D ＝A 1D ，所以EC ∥A 1D ．4．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90DAB ︒∠=，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M ，N 分别是PB ，PC 的中点.求证：//DN 平面AMC .【答案】证明见解析【解析】如图，连接DB 交AC 于点F . ∵12DC AB =，//DC AB ，∴12DF FB =. 取PM 的中点G ，连接DG ，FM ，则1122GM PM BM ==，GM DF BM BF ∴=， //DG FM ∴.又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ，∴//DG 平面AMC .连接GN ，则//GN MC .又GN 平面AMC ，MC ⊂平面AMC ，∴//GN 平面AMC .又GN DG G ⋂=，∴平面//DNG 平面AMC .又DN ⊂平面DNG ，∴//DN 平面AMC .5．如图，在四棱柱''''ABCD A B C D -中，点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点、求证：//MN 平面ABCD .【答案】证明见解析.【解析】证明：如图， 设E 为棱1CC 的中点，连接NE ME ，.M N ，分别为1B C ，1DD 的中点，11////ME C B CB ∴，//NE CD .又ME NE ，在平面ABCD 的外部，//ME ∴平面ABCD ，NE ∥平面ABCD .又ME NE E ⋂=， ∴平面//MNE 平面ABCD .又MN ⊂平面MNE ，//MN ∴平面ABCD .【题组七 面面平行】1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别是1AD ，1BD B C ，的中点. 求证：（1）MN ∥平面11CC D D ；（2）平面MNP 平面11CC D D .【答案】证明见解析【解析】（1）如图，连接1,AC CD .∵四边形ABCD 是正方形，N 是BD 的中点，∴N 是AC 的中点. 又∵M 是1AD 的中点，∴1//MN CD .∵MN ⊄平面11CC D D ，1CD ⊂平面11CC D D ，∴//MN 平面11CC D D .（2）连接1BC ，1C D ，∵四边形11B BCC 是正方形，P 是1B C 的中点，∴P 是1BC 的中点.又∵N 是BD 中点，∴1PN C D .∵PN ⊄平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D ，∴PN 平面11CC D D .由（1）知MN ∥平面11CC D D ，且MN PN N ⋂=， ∴平面//MNP 平面11CC D D .2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G 分别为11B C ，11A B ，AB 的中点． ()1求证：平面11//A C G 平面BEF ；()2若平面11AC G BC H ⋂=，求证：H 为BC 的中点．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】 () 1如图， E ，F 分别为11B C ，11A B 的中点，11//EF A C ∴， 11A C ⊂平面11AC G ，EF ⊄平面11AC G ，//EF ∴平面11AC G ， 又F ，G 分别为11A B ，AB 的中点，1A F BG ∴=， 又1//A F BG ，∴四边形1A GBF 为平行四边形，则1//BF A G ， 1A G ⊂平面11AC G ，BF ⊄平面11AC G ，//BF ∴平面11AC G ， 又EF BF F ⋂=，∴平面11//A C G 平面BEF ； ()2平面//ABC 平面111A B C ，平面11A C G ⋂平面11111A B C A C =， 平面11AC G 与平面ABC 有公共点G ，则有经过G 的直线，设交BC H =， 则11//AC GH ，得//GH AC ， G 为AB 的中点，H ∴为BC 的中点．。
立体几何中线面平行的经典方法经典题(附详细解答)
FGGABCDECA BDEFDEB 1A 1C 1CM高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ；（Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ；（Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EAE FBACDP（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA CD=2AB, E 为PC 的中点,证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC的中点。
立体几何中的平行问题(讲解)
直线、平面平行的判定和性质【考纲要求】1、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；2、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题。
【知识网络】【考点梳理】考点一、直线与平面平行的判定 1、判定定理：（1）内容： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2）符号语言：2、判定直线与平面平行，主要有三种方法： （1）利用定义（常用反证法）；（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。
可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于直线、平面平行判定定理性质定理 线面平行面面平行判定定理性质定理另一平面。
要点诠释：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。
考点二、直线与平面平行的性质1、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.2、符号语言：．考点三、平面与平面平行的判定 1、 面面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 2、图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3、平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．4、符号语言：5、判定平面与平面平行的常用方法： ①利用定义（常用反证法）；②利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。
客观题中，也可直接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面的两条相交线来证明两平面平行；③利用面面平行的传递性：////.//αβαγγβ⎫⇒⎬⎭④利用线面垂直的性质：//l l ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭。
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考点22 空间几何平行问题【思维导图】【常见考法】考法一平行传递性证线线平行1．四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= 证明：直线//BC 平面PAD ;【答案】见解析【解析】 在平面内，因为,所以又平面平面故平面考法二 三角形中位线证线线平行1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点，求证：PC // 平面BDE ；【答案】见解析【解析】证明: 连结AC ,交BD 于O ,连结OE .因为ABCD 是平行四边形,所以OA OC =.因为E 为侧棱PA 的中点所以OE ∥PC .因为PC ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE .2．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点，证明：//E PB A C 平面；【答案】见解析【解析】连结BD 交AC 于点O,连结EO 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点又E 为的PD 的中点，所以EO//PBEO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC ，所以PB//平面AEC考法三 构造平行四边形证线线平行1．如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点，求证：EF ∥平面PCD .【答案】详见解析【解析】如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =， ∴ED FG ，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF GD .又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF 平面PCD .2．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，60BAD ∠=，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =，证明：1//D G 平面11BB C C【答案】证明见解析【解析】证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，//AB CD ，44AB CD ==，3AG GB =， 则11////GB CD D C ，且111GB D C ==，所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11//D G C B .又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ，所以1//D G 平面11BB C C .考法四 线面垂直的性质证线线平行1．如图，BCD 与MCD △都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，2AB =，证明：直线//AB 平面MCD ；【答案】见解析【解析】证明：取CD 中点O ，连接MO ， MCD 是正三角形，MO CD ∴⊥∵平面MCD ⊥平面BCD ，MO ∴⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，∴//MO AB ，又MO ⊂面MCD ，AB ⊄面MCD ，//AB ∴面MCD .2如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，FD =//EF 平面ABCD证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，∴EH =D∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，平面ABCD ⋂平面BCE BC =，∴EH ⊥平面ABCD ，又∵FD ⊥平面ABCD ，FD =∴//FD EH ，FD EH =.∴四边形EHDF 为平行四边形．∴//EF HD .∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ．考法五 三角形相似比证线线平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA =//AB CD ，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱P A 上一点，若13PE PA =，求证：//PC 平面EBD【答案】证明见解析【解析】设AC BD G ⋂=，连结EG ，由已知//AB CD ，1DC =，2AB =，得2AG AB GC DC ==. 由13PE PA =，得2AE EP =. 在PAC ∆中，由AE AG EP GC =，得//EG PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以//PC 平面EBD.2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC .证明：1//CB 面1A EF【答案】详见解析【解析】连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ．因为11AGA B GE ∆∆，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC =，所以1AF AG FC GB =，所以1//FG CB ， 又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .考法六线面平行性质证明线线平行1．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD上一点，且13AEED=，F为PC上一点，当//PA平面EBF时，PFFC=.【答案】1 4【解析】连接AC交BE于点M，连接FM．//PA平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC平面EBF FM=，//PA FM ∴，∴14 PF AM AEFC MC BC===，2．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：//AP GH.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接MO．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点又M 是PC 的中点，∴//MO PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，∴//PA 平面BDM又PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ⋂平面BDM GH =，∴//AP GH ．3．如图所示，在多面体111A B D DCBA -中，四边形11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F .证明：1//EF B C .【答案】见解析【解析】证明： 11B C A D =且11A B CD =，∴四边形11A B CD 为平行四边形，11//B C A D ∴，又1B C ⊂/平面1A EFD ，1A D ⊂平面1A EFD1//B C ∴平面1A EFD ，又因为平面1A EFD 平面11B CD EF =，1B C ⊂平面11B CD ，1//EF B C ∴；考法七 面面平行的性质证线面平行1．如图①所示，在直角梯形ABCP 中，AP BC ，12AP AB AB BC AP ⊥==，，D 为AP 的中点，E F G ，，分别为PC PD CB ，，的中点，将PCD 沿CD 折起，得到四棱锥P ABCD -，如图②所示.求证：在四棱锥P ABCD -中，AP ∥平面EFG .【答案】见解析【解析】∵G 为BC 的中点，E 为PC 的中点，∴GE ∥BP∵GE ⊄平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，∴GE ∥平面PAB ，由F 为PD 的中点，得EF ∥DC ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥AB∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ，∵EF∩GE ＝E∴平面EFG ∥平面PAB ，∵PA ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG ．2如图，三棱锥P ABC -中， D 是PA 的中点， E 是CD 的中点，点F 在PB 上且14BF PB =，证明： //EF 平面ABC ；证明：如图，取AD 中点G ，连接GE ，GF ，如图C 则GE//AC ，GF//AB ， 因为GE∩GF=G ，AC∩AB=A ，所以平面GEF//平面ABC ，所以EF//平面ABC考法八：面面平行1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .【答案】证明见解析【解析】证明 :::,==PM MA BN ND PQ QD .//,//∴MQ AD NQ BPBP ⊂平面,PBC NQ ⊄平面PBC ，//NQ ∴平面PBC .∵底面ABCD 为平行四边形，//,//BC AD MQ BC ∴∴.BC ⊂平面,PBC MQ ⊂/平面PBC ，//MQ ∴平面PBC .又MQ NQ Q =，根据平面与平面平行的判定定理，所以面//MNQ 平面PBC2．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，求证：（1）B C H G ，，，四点共面；（2）平面1EFA //平面BCHG ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)G H ，分别是1111A B A C ，的中点，GH ∴是111A B C △的中位线，则11//GH B C ，又11////B C BC GH BC ∴，，B C H G ∴，，，四点共面． (2)E F ，分别为AB AC ，的中点，//EF BC ∴，EF ⊄平面BCHG BC ⊂，平面BCHG ，EF ∴平面BCHG ，又G E ，分别是11A B AB ，的中点，11A B AB ⊥，1A G EB ∴⊥，∴四边形1A EBG 是平行四边形，1//A E GB ∴，1A E ⊄平面BCHG GB ⊂，平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG ，又1A E EF E ⋂＝，∴平面1EFA //平面BCHG ，考法九：动点问题1．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，点F 为棱PD 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥面PCE ，并说明理由；【答案】见解析；【解析】在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，FQ ∥DC 且1FQ CD 2=，AE ∥CD 且1AE CD 2=，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ ．所以，四边形AEQF 为平行四边形．所以，AF ∥EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，所以，AF ∥平面PEC ．2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,CC BB 上的点，点M 是线段AC 上的动点，22EC FB ==.若MB 平面AEF ，试判断点M 的位置.【答案】M 是AC 的中点【解析】由题意知//MB 平面AEF ，过,,F B M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接,MN NF .因为//BF 平面11,AAC C BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面11AAC C MN =，所以BF MN .因为//MB 平面,AEF MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ⋂平面AEF FN =，所以//MB FN ，所以四边形BFNM 是平行四边形，所以1MN BF ==.而//,22EC FB EC FB ==， 所以1//,12MN EC MN EC ==， 故MN 是ACE 的中位线.MB平面AEF.所以M是AC的中点时，//。