图像分割——谱聚类
SpectralClustering（谱聚类
SpectralClustering（谱聚类Spectral ClusteringSpectral Clustering（谱聚类）是一种基于图论的聚类方法，它能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最有解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵进行特征分解后得到的特征向量进行聚类，可见，它与样本feature无关而只与样本个数有关。
一、图的划分图划分的目的是将有权无向图划分为两个或以上子图，使得子图规模差不多而割边权重之和最小。
图的划分可以看做是有约束的最优化问题，它的目的是看怎么把每个点划分到某个子图中，比较不幸的是当你选择各种目标函数后发现该优化问题往往是NP-hard的。
怎么解决这个问题呢？松弛方法往往是一种利器（比如SVM中的松弛变量），对于图的划分可以认为能够将某个点的一部分划分在子图1中，另一部分划分在子图2中，而不是非此即彼，使用松弛方法的目的是将组合优化问题转化为数值优化问题，从而可以在多项式时间内解决之，最后在还原划分时可以通过阈值来还原，或者使用类似K-Means这样的方法，之后会有相关说明。
二、相关定义1、用表示无向图，其中和分别为其顶点集和边集；2、说某条边属于某个子图是指该边的两个顶点都包含在子图中；3、假设边的两个不同端点为和，则该边的权重用表示，对于无向无环图有且，为方便以下的“图”都指无向无环图；4、对于图的某种划分方案的定义为：所有两端点不在同一子图中的边的权重之和，它可以被看成该划分方案的损失函数，希望这种损失越小越好，本文以二分无向图为例，假设原无向图被划分为和，那么有：三、Laplacian矩阵假设无向图被划分为和两个子图，该图的顶点数为：，用表示维指示向量，表明该划分方案，每个分量定义如下：于是有：又因为：其中，为对角矩阵，对角线元素为：为权重矩阵：且。
重新定义一个对称矩阵，它便是Laplacian矩阵：矩阵元素为：进一步观察：如果所有权重值都为非负，那么就有，这说明Laplacian矩阵是半正定矩阵；而当无向图为连通图时有特征值0且对应特征向量为，这反映了，如果将无向图划分成两个子图，一个为其本身，另一个为空时，为0(当然，这种划分是没有意义的)。
谱聚类方法
谱聚类方法一、谱聚类的基本原理谱聚类（Spectral Clustering）是一种基于图论的聚类方法，通过研究样本数据的图形结构来进行聚类。
谱聚类方法的基本原理是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
它利用样本之间的相似性或距离信息，构建一个图模型（通常是相似度图或距离图），然后对图模型进行谱分解，得到一系列特征向量，最后在特征向量空间中进行聚类。
谱聚类的核心步骤是构建图模型和进行谱分解。
在构建图模型时，通常采用相似度矩阵或距离矩阵来表示样本之间的联系。
在谱分解时，通过对图模型的拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到一系列特征向量，这些特征向量表示了样本数据的低维空间结构。
通过对特征向量空间进行聚类，可以将高维数据分为若干个类别。
二、谱聚类的优缺点1.优点（1）适用于高维数据：谱聚类方法能够有效地处理高维数据，因为它的核心步骤是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
这有助于克服高维数据带来的挑战。
（2）对噪声和异常值具有较强的鲁棒性：谱聚类方法在构建图模型时，会考虑到样本之间的相似性和距离信息，从而在一定程度上抑制了噪声和异常值的影响。
（3）适用于任意形状的聚类：谱聚类方法可以适用于任意形状的聚类，因为它的聚类结果是基于特征向量空间的，而特征向量空间可以捕捉到样本数据的全局结构。
2.缺点（1）计算复杂度高：谱聚类的计算复杂度相对较高。
构建图模型和进行谱分解都需要大量的计算。
在大规模数据集上，谱聚类的计算效率可能会成为问题。
（2）对相似度矩阵或距离矩阵的敏感性：谱聚类的结果会受到相似度矩阵或距离矩阵的影响。
如果相似度矩阵或距离矩阵不合理或不准确，可能会导致聚类结果不理想。
（3）对参数的敏感性：谱聚类的结果会受到参数的影响，如相似度度量方式、距离度量方式、图模型的构建方式等。
如果参数选择不当，可能会导致聚类效果不佳。
三、谱聚类的应用场景1.图像分割：谱聚类方法可以应用于图像分割，将图像中的像素点分为若干个类别，从而实现对图像的分割。
图像分割——谱聚类
谱聚类——聚类原理(Laplacian)
Laplacian矩阵 假设无向图G被划分为G1和G2两个子图，该图的定点数为：n = |V|,用q表示n维指示向 量，每个分量定义如下
谱聚类——聚类原理(分割方法)
2、Normalized Cut 定义d1 = Cut（G1,G）,d2 = Cut(G2,G) 所以Ncut(G1,G2) =
其中
用泛化的Rayleigh quotient表示为
那问题就变成求解下特征系统的特征值和特征向量：
谱聚类——求特征向量及聚类
3 、求出L的前k个特征值以及对应的特征向量 a．2-way：将原始样本数据映射到一维空间(k=1); 求出最小的两个特征值，由于最小的特征值为0，所以实际只剩下一个特征值和一 对应的n维特征向量，将这个特征向量进行分类，分为两类。再到每一个子图中迭 代的进行2-way分类。 b. k-way；将原始样本数据映射到由k个正交向量组成的k维空间S。 求出最小的k个特征值，用k-means等聚类方法将n*k矩阵进行分类，第i行表示的数 字即为第i个顶点属于的类别 如何选择K，可以采用启发式方法，比如，发现第1到m的特征值都挺小的，到了 m+1突然变成较大的数，那么就可以选择K=m； ’
可知
所以得到
Laplacian矩阵特点: 1、L为半正定矩阵，所有的特征值都大于0 2、L矩阵有唯一的0特征值，其对应的特征向量为[1,1,……1]T
谱聚类——聚类原理(分割方法)
1、Minimum Cut 定义 ，此时的Cut函数变为
q T Lq Cut(G1, G 2) 4
谱聚类算法
谱聚类（Spectral Clustering）是一种常用的机器学习非监督学习算法，它可以将数据集进行非均匀划分，自动检测出数据集之间的联系，形成聚类，来支持分类和聚类任务。
谱聚类算法利用图分割技术进行数据集划分，其前提是，一个具有相似关系的数据集可以被抽象成一个图结构，它由节点（node）和边（edge）组成。
这种图将相似的节点连接起来，形成相关性的网络，这就是谱聚类的基本原理。
在谱聚类算法中，我们首先需要将数据集抽象为图结构，有了图后，会根据一些度量（局部密度、连接强度、等等）将其划分为一些小子集，再根据邻域性确定子集的内部结构和边界，从而将图分成若干聚类。
谱聚类的优势在于它可以实现非均匀的聚类，可以根据数据集的特征自动聚类，它不仅可以将数据集划分成几个大的聚类，还可以自动检测出数据集之间更复杂的联系，从而形成聚类。
此外，谱聚类算法还可以处理高维数据，它能够捕捉数据集中所有数据之间的复杂关系，从而实现更好的聚类。
综上所述，谱聚类算法是一种有效的机器学习非监督学习算法，它可以自动检测出数据之间的关系，进行非均匀的聚类，为聚类和分类任务提供有力的支持，是机器学习算法领域的重要研究成果。
谱聚类应用
谱聚类是一种非线性聚类方法，广泛应用于数据挖掘、图像分析、计算机视觉等领域。
其基本思想是将数据点映射到多维空间中，并在这个空间中找到相似性的图，通过图的信息设计聚类准则，最终实现聚类。
在具体应用中，谱聚类可以用于以下方面：
1. 文本聚类：将文本数据转化为图的形式，利用谱聚类方法对其进行聚类，可以实现文本的自动分类和聚类。
2. 图像分割：通过对图像进行谱聚类，可以将图像自动分割成多个区域，实现图像的分割和识别。
3. 流形学习：利用谱聚类方法可以将高维数据降维到低维空间中，从而实现流形的学习和可视化。
4. 生物信息学：谱聚类方法在生物信息学中有着广泛的应用，可以用于基因组学、蛋白质结构预测等方面。
5. 社交网络分析：通过对社交网络进行谱聚类，可以发现社交群体和社区，从而分析用户行为和兴趣。
谱聚类方法具有广泛的应用前景，可以在许多领域中发挥其优势。
一种快速谱聚类医学图像分割算法
量扩 展而得 。利 用这一特 性 ， 可 以通 过 降低 图像 的拉 普拉 斯矩 阵维度 来提 高谱聚类 图像 分割算 法 的效率 ，
实 现 快 速 谱 聚 类 图像 分 割 算法 （ Ｆ Ｓ Ｃ Ｇ Ｓ ：Ｆ ａ ｓ ｔ Ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ａ ｌ
Ｃ ｌ ｕ ｓ ｔ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ｆ ｏ ｒ Ｇｒ ａ ｐｈ Ｓ ｅ ｇｍｅｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ） 。
文章编号 ： １ ｏ ０ ７ — １ ４ ２ ３ （ ２ Ｏ １ ７ ） ２ ３ — ０ ０ ４ ８ — ０ ３
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种快 速谱聚类 医学 图像分割算法
图 形 图像
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快速谱聚类 图像分割算法 （ Ｆ Ｓ Ｃ Ｇ Ｓ ：Ｆ ａ ｓ ｔ Ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ａ ｌ
Ｃ ｌ ｕ ｓ ｔ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ｆ ｏ ｒ Ｇｒ ａ ｐｈ Ｓ ｅ ｇ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ） 。
据对象 ， 构造一个全 像素连接 的相似矩 阵。即： 对于一
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谱聚类算法在图像分割中的应用研究
谱聚类算法在图像分割中的应用研究图像分割是计算机视觉领域中的一个重要研究方向，它的目的是将图像中的像素分成若干个具有一定意义的区域，这样可以为后续的图像识别、目标检测等任务提供更加准确的信息。
目前，图像分割算法有很多，其中一种比较有效的算法是谱聚类算法。
一、谱聚类算法的原理谱聚类是一种基于谱理论的算法，其主要思想是将图像中的像素看成图论中的节点，然后利用相邻节点之间的相似度作为边，建立成一个无向图。
接着，对这个无向图进行拉普拉斯矩阵变换，将其转化为一个度量矩阵，然后对这个度量矩阵进行特征分解和聚类，此时就可以实现对图像的分割。
谱聚类的基本流程如下图所示。
二、谱聚类算法在图像分割中的应用谱聚类算法可以用于图像分割的原因在于它能够自动地发现图像中的聚类结构。
在谱聚类中，图像的像素被看作是图的节点，节点之间的相似度通过欧氏距离或其他相似度度量方法计算得出。
然后，通过构建拉普拉斯矩阵，将原始图像转化为一个新的空间，使得相互之间相似的像素点在新的空间中距离越近。
最后，应用聚类算法将新的空间中的节点进行分类。
谱聚类算法在图像分割中的应用具有以下优点：1.可扩展性好：谱聚类算法通常比传统的图像分割算法更具有可扩展性，可以应对大规模图像分割问题。
2.精度高：谱聚类算法在分割小区域时精度较高。
3.适用性强：谱聚类算法通常不需要预先设定聚类的数量，而是利用自适应性的聚类方法来自动地进行聚类，从而适用于不同的图像分割问题。
三、谱聚类算法在图像分割中的应用案例谱聚类算法在图像分割中的应用有很多，以下是几个经典的应用案例。
1、医学图像分割医学图像是用来辅助医生诊断疾病的重要工具，因此准确的医学图像分割具有重要的意义。
谱聚类算法在医学图像分割中的应用方法是：将医学图像中的像素看作是节点，通过计算相邻节点之间的相似度建立成一个无向图，然后通过拉普拉斯矩阵变换和特征值分解将这个无向图映射到低维空间中，最后利用聚类算法将映射到低维空间中的节点进行分类。
谱聚类算法在图像分割中的应用
谱聚类算法在图像分割中的应用谱聚类是一种基于图论的聚类分析方法，它将样本集合看作是图中的节点，样本间的相似性度量看作是边，运用谱分析方法对样本进行聚类。
这种方法能够应用于任意类型的数据，包括图像，声音，文本等。
在图像处理领域中，谱聚类算法已经被广泛运用于图像分割，图像分类，目标识别等方面。
本文将对谱聚类算法在图像分割中的应用进行讨论。
1. 谱聚类算法的思想谱聚类算法是一种基于谱分析的线性代数方法，它分解了图的拉普拉斯矩阵，将聚类问题转化为了特征向量和特征值的问题。
该算法可以用以下简单的步骤来描述：- 构建样本的相似度矩阵W；- 计算相似度矩阵的度矩阵D；- 构建拉普拉斯矩阵Lmax = D - W或者Lrw = I - D^-1W；- 计算拉普拉斯矩阵L的前k个特征向量U；- 将特征向量U通过K-means或者其他的聚类方法进行聚类。
2. 图像分割图像分割是指将一幅图像分割成不同的区域，每个区域具有相似的颜色，纹理，形状等特征。
谱聚类算法在图像分割中的应用是基于图像中像素之间的相似性度量，将像素看作是图中的节点，计算像素之间的相似度，根据节点之间的相似性将像素分成不同的簇。
这种方法能够有效地处理图像中的边缘、纹理、噪声等问题。
3. 谱聚类算法在图像分割中的应用已经得到了广泛的认可，下面将会介绍谱聚类算法在图像分割中的典型案例。
3.1 基于谱聚类的超像素分割超像素是指一组像素的集合，它们共享相同的颜色、纹理等特征，超像素分割主要是将输入图像划分成一些超像素区域。
基于谱聚类的超像素分割是将输入图像转换为一个图，每个像素作为一个节点，像素之间的相似性作为边的权重，然后运用谱聚类算法将图像分成不同的簇。
由于谱聚类算法在处理小规模图像时的稳定性优于传统的聚类方法，因此该方法能够获得更优秀的超像素分割效果。
3.2 基于颜色直方图的谱聚类图像分割基于颜色直方图的谱聚类图像分割是将图像的颜色信息转换为一维的颜色直方图，将颜色直方图的相似度作为节点的相似性度量，然后运用谱聚类算法将像素分成不同的簇。
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谱聚类——相似度
1、图的最短距离 任意两点之间的最短距离。我们用两点之间的最短距离表示相似度 2、边聚类系数——两点共存三角形的个数 / 两点度的最小值 3、边稠密度系数： 与两点相邻的边数 / [(1/2)n(n-1)] 4、 Betweenness: 图中任意两点的最短路径经过这条边的数
5、图像中加入位置信息和亮度信息
可知
所以得到
Laplacian矩阵特点: 1、L为半正定矩阵，所有的特征值都大于0 2、L矩阵有唯一的0特征值，其对应的特征向量为[1,1,……1]T
谱聚类——聚类原理(分割方法)
1、Minimum Cut 定义 ，此时的Cut函数变为
q T Lq Cut(G1, G 2) 4
从这个问题的形式可以联想到Rayleigh quotient(瑞利商) R(L,q)的最大值和最小值分别在矩阵L的最大特征值和最小特征值处取得，且q的值取 在相对应的特征向量 所以原式可化为求解下下特征系统的特征值和特征向量：
Cut(G1, G 2) Cut(G1, G 2) Ncut(G1, G 2) Cut(G1, G) Cut(G 2, G)
公式可变为如下形式：
Ncut(G1, G 2) 2 (
Cut(G1, G1) Cut(G 2, G 2) ) Cut(G1, G) Cut(G 2, G)
所以在减少了子图之间的Cut值的同时也增加了子图内部的相似度。保证了分割的平衡性
由数据点间相似关系建立矩阵，获取该矩阵的前n个特征向量，并且 用它们来聚类不同的数据点。
谱聚类——步骤
1）根据数据构造一个 Graph ，并用W表示这个Graph的邻接矩阵 Graph 的每一个节点对应一个数据点，将相似的点连接起来，并且边的权重用于表 示数据之间的相似度。把这个 Graph 用邻接矩阵的形式表示出来，记为 W 。 2) 构造出Laplacian矩阵L 把每一列元素加起来得到N 个数，把它们放在对角线上（其他地方都是零），组成 一个N*N的矩阵，记为D 。并令L = D - W 。 3) 求出L的前k个特征值以及对应的特征向量 在本文中，除非特殊说明，否则“前k个”指按照特征值的大小从小到大的顺序 4) 将这K个特征向量组成N*K的矩阵进行聚类 把这k个特征（列）向量排列在一起组成一个N*k的矩阵，将其中每一行看作k维空间 中的一个向量，并使用 相应算法进行聚类。聚类的结果中每一行所属的类别就 是原来 Graph 中的节点亦即最初的N个数据点分别所属的类别。
谱聚类——聚类原理
相关定义： 1、用G = (V,E)表示无向图，其中V和E分别为其顶点集和边集； 2、某条边属于某个子图是指该边的两个顶点都包含在子图中 3、假设某边的两个端点为 i, j，则该边的权重为wi,j,可知对于谱聚类中wi,j=wj,i,且 wi,i=0
4、对于图的某种划分方法Cut：所有两端点不在同一子图中的边的权重之和，
谱聚类——聚类原理(分割方法)
2、Normalized Cut 定义d1 = Cut（G1,G）,d2 = Cut(G2,G) 所以Ncut(G1,G2) =
其中
用泛化的Rayleigh quotient表示为
那问题就变成求解下特征系统的特征值和特征向量：
谱聚类——求特征向量及聚类
3 、求出L的前k个特征值以及对应的特征向量 a．2-way：将原始样本数据映射到一维空间(k=1); 求出最小的两个特征值，由于最小的特征值为0，所以实际只剩下一个特征值和一 对应的n维特征向量，将这个特征向量进行分类，分为两类。再到每一个子图中迭 代的进行2-way分类。 b. k-way；将原始样本数据映射到由k个正交向量组成的k维空间S。 求出最小的k个特征值，用k-means等聚类方法将n*k矩阵进行分类，第i行表示的数 字即为第i个顶点属于的类别 如何选择K，可以采用启发式方法，比如，发现第1到m的特征值都挺小的，到了 m+1突然变成较大的数，那么就可以选择K=m； ’
「 Graph Cut 」
Graph Cut ——Spectral Clustering
图像分割——谱聚类 李翔 2014/4/4
谱聚类——Spectral Clustering
谱聚类算法： 1、建立在图论中的谱图理论基础上的一种分类算法
2、本质是将聚类问题转化为图的最优划分问题
3、是一种点对聚类算法
显而易见L的最小特征值是0，对应的特征向量为[1,1……1]T，于是最优解应该是在第 二小的特征向量处开始取
谱聚类——聚类原理(ห้องสมุดไป่ตู้割方法)
2、Normalized Cut 实际当中，划分图时除了要考虑最小化Cut外,还要考虑划分的平衡性，为缓解出现类 似一个子图包含非常多端点而另一个只包含很少端点的情况,还要考虑到子图内部的相似 性。
它可以被看成该划分方案的损失函数，希望这种损失越小越好,即在图像分割的过程 中找到这个函数对应的最小值，即找到了最好的分割方式 以二分无向图为例
谱聚类——聚类原理(Laplacian)
Laplacian矩阵 假设无向图G被划分为G1和G2两个子图，该图的定点数为：n = |V|,用q表示n维指示向 量，每个分量定义如下
Thank
You
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