2 正态分布
3、正态曲线的特点
（1）关于X= μ对称。 （2）在X= μ处取得该概率密度函数的最大值，
在X= μ±σ 处有拐点，表现为钟型曲线。 （3）曲线下面积为1。 （4） μ决定曲线在横轴上的位置， μ ↑曲线沿
横轴右移； μ ↓ 曲线沿横轴向左移。
2<1
1
-2 - + +2 -2 -1 0 1 2
注意：
1.标准正态曲线以0为中心，左右对称，故附表1仅列 出（-∞，z）区间内的累计面积（累计概率）。 2.横轴上、曲线下总面积等于1，区间（ -z，z）内面 积为：1 -2 × （-∞， -z）。
例4-11 某地1986年120名8岁男孩身高均数为123.02cm， 标准差为4.79cm，试估计： （1）该地8岁男孩身高在130cm以上者占的百分比； （2）身高在120-128cm者占的百分比； （3）该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
（1） （2）
Z 130 123.02 1.46 4.79
(-1.46)=0.0721
z1
120
123.02 4.79
0.63
z2
128 123.02 4.79
1.04
(0.63) 0.2643
(1.04) 1 (1.04) 1 0.1492 0.8508
（5）连续3个点位于警戒线以外。 （6）连续5个点中4个点距中心线距离在1个标
准差以外。 （7）中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距
离都在1个标准差范围。 （8）中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距
离都超出1个标准差范围。
x
z
1 2
(a)
(b)
图2.3 正态概率密度图 (a)一般形状 (b)与和关系
（5） σ决定曲线的形状，当μ恒定时，
σ↓，数据越集中，曲线形状“瘦高”，
σ↑，数据越离散，曲线越“矮胖”。
习惯上用N (μ ，σ2)表示均数为μ 、标准差为σ
的正态分布。记作：
X ~ N(, 2)
二、正态曲线下面积的分布规律
★双侧参考值范围：若一个指标过大过小均属 异常，则相应的参考值范围既有上限又有下 限，则参考值范围为双侧。
★单侧参考值范围：若一个指标仅过大属异 常，则此指标的参考值范围只有上限，是单 侧参考值范围；若一个指标仅过小属异常， 则此指标的参考值范围只有下限，亦是单侧 参考值范围。
2.参考值范围的制定方法
90
P5~P95
P10
P90
95
P2.5~P97.5
P5
P95
99
P0.5~P99.5
P1
P99
（二）质量控制图
X±2S作为上、下警戒值。 X±3S作为上、下控制值
质量控制的重要工具------控制图：7条水平线组成。
中心线 上下警戒线 上下控制线
2条位于μ ±σ 处的水平线
根据质量控制图，判断异常的8种情况： （1）有一个点位于控制线以外。 （2）在中心线的一侧连续有9个点。 （3）连续6个点稳定地增加或减少。 （4）连续14个点交替上下。
中间高，左右对称，对应
于数学上的正态分布曲线，
则称该变量服从正态分布。
2.正态分布密度函数：
正态曲线（normal curve）是一条高峰位于中 央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：
f (X)
1
(X )2
e 2 2
2
π和e分别为圆周率和自然对数的底；μ和σ分别是 正态总体的均数和标准差。
直方图
系列2
-3 -2.4 -1.8 -1.2 -0.6
0 0.6 1.2 1.8 2.4
3
0.45 0.4
0.35 0.3
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05 0
正态分布图
系列2
若连续型定量变量的频数
分布在靠近均数处频数多，
两边频数少，且左右对称，
反映在频数曲线（频率直
方图）上呈钟型，两头低
正态分布
正态分布的概念 正态曲线下面积的分布规律 正态分布的应用
一、正态分布的概念
1.正态分布 正态分布是应用最广泛的一种连续型 分布。正态分布在十九世纪前叶由高 斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高 斯分布。
Gauss
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-3 -1.8 -0.6 0.6 1.8
3
记作： Z ~ N (0， 1)
统计学家编制了标准正态分 布曲线下面积分布表，正态 分布两边对称，表中只给出 了Z取负值的情况。表内所 Φ(z) 列数相当于Z值左侧标准正 态分布曲线下面积，记作 Φ(z)。
z
0
查附表（-∞，-1.96），（ -∞ ，-2.58）， （-1.96，1.96）（-1，1）（ -∞ ，0.00） 曲线下的面积。
(0.63,1.04)区间内的面积为：
（1.04）-（-0.63）=0.8508 0.2643 0.5865
（3）
(z) 0.8 z 1.28 80%的8岁男孩身高范围是X 1.28S, 即123.02 1.28 4.79 (116.9cm,129.2cm)
三、正态分布的应用
（二）标准正态分布
随机变量X服从正态分布N(μ ，σ2)，可做如下的
标准化变换，也称Z变换。
Z X
经标准化变换后，原正态分布密度函数变为：
e f (z)
1
2
z2
2
z
经标准化变换后，原变量X变为Z，Z服从总体 均数为0，总体标准差为1的正态分布，即标准 正态分布（standard normal distribution）。
确定参考值范围 质量控制
(一)确定参考值范围
1.概念：参考值范围也称正常值范围。常把大多数 正常人的指标值等所在的范围称为该指标的正常值 范围。一般以包含90%、95%或99%的个体所在的 范围称正常值范围。
根据专业知识确定该指标是否过大或过 小均属异常，决定该指标的参考值范围 是双侧范围还是单侧范围。
（一）正态分布曲线下面积 正态曲线下面积的分布规律由μ 及σ所决定。 一般正态分布曲线下面积分布状况：
µ± σ µ±1.64 σ µ±1.96 σ µ±2.58 σ
0.6827 0.9090 0.9500 0.9900
95% 2.5%
2.5%
-1.96
+1.96
正态曲线下的面积分布示意图
(1)正态分布法
正态分布法制定参考值范围
单侧
%
双侧
只有下限 只有上限
90
X 1.64S X 1.28S X 1.28S
95
X 1.96S X 1.64S X 1.64S
99
X 2.58S X 2.33S X 2.33S
(2)百分位数法
百分位数法制定参考值范围
单侧
%
双侧
只有下限 只有上限
构成二维正态分布的条件
构成二维正态分布的条件二维正态分布是二维随机变量的分布形式之一，它是指当两个随机变量X和Y满足一定条件时，它们的联合分布是二维正态分布。
构成二维正态分布的条件包括均值、方差和协方差矩阵。
1. 均值：对于二维正态分布来说，均值是指X和Y的期望值。
假设X的均值为μ1，Y的均值为μ2，则二维正态分布的均值为(μ1, μ2)。
2. 方差：方差是衡量随机变量分布的离散程度的指标。
对于二维正态分布来说，X和Y的方差分别为σ1^2和σ2^2。
方差越大，随机变量的取值越分散。
3. 协方差矩阵：协方差矩阵描述了X和Y之间的线性关系。
对于二维正态分布来说，协方差矩阵是一个2x2的矩阵，记为Σ。
其中，Σ(1,1)表示X的方差，Σ(2,2)表示Y的方差，Σ(1,2)和Σ(2,1)表示X 和Y的协方差。
协方差矩阵的对角线元素即为各自的方差，非对角线元素表示X和Y之间的相关程度。
当协方差为正值时，表示X和Y呈正相关；当协方差为负值时，表示X和Y呈负相关。
4. 独立性：如果X和Y是独立的，那么它们的协方差为0，即Σ(1,2) = Σ(2,1) = 0。
当X和Y是独立的时候，它们的联合分布就是二维正态分布。
二维正态分布在概率统计学中具有广泛的应用。
例如，在金融领域中，二维正态分布可以用来描述股票收益率之间的关系；在生物学研究中，二维正态分布可以用来描述两个特征之间的相关性。
通过对二维正态分布的建模和分析，可以帮助我们更好地理解和预测随机变量之间的关系。
总结起来，构成二维正态分布的条件包括均值、方差和协方差矩阵。
通过对这些条件的研究和分析，可以得到二维正态分布的概率密度函数，进而对随机变量之间的关系进行建模和预测。
二维正态分布在实际应用中具有重要的意义，对于理解和分析随机变量之间的关系具有重要的参考价值。
正态分布 2
(
)
正态总体 N , σ 2 在区间: ( 3σ , + 3σ )、 在区间 内取值的概率是： 内取值的概率是：
F ( + 3σ ) F ( 3σ ) = Φ (3) Φ ( 3) ≈ 0.997.
例4：某校高中二年级期末考试的数学成绩 ： ζN(7,102).①若参加考试的学生有 ζ ①若参加考试的学生有100人,学生 人 学生 甲得分为80分 求学生甲的数学成绩排名 求学生甲的数学成绩排名; 甲得分为 分,求学生甲的数学成绩排名 分及其以上)的学生有 人 求第 ②若及格(60分及其以上 的学生有 若及格 分及其以上 的学生有101人,求第 20名的数学成绩 名的数学成绩. 名的数学成绩
例3:分别求正态总体 N , σ 2 内取值的概率. 内取值的概率.
( σ , + σ )、( 2σ , + 2σ )、 3σ , + 3σ )、 (
(
)
在区间: 在区间:
在区间: 同理，正态总体 N , σ 2 在区间 ( 2σ , + 2σ )、 解：同理， 内取值的概率是： 内取值的概率是：
正 态 分 布2
f(x)=
1 2πσ
e
( x)2 ∈－ 2σ2 ，x∈(－∞,
+∞)
标准正态曲线: 标准正态曲线:当=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总 =0、 =l时 正态总体称为标准正态总 体，其相应的函数表示式是
x2 2
1 f ( x) = e 2π
(∞ < x < ∞)
其相应的曲线称为标准正态曲线 其相应的曲线称为标准正态曲线 y
正态分布2.
例题讲解
例3：在某次数学考试中，考生的成绩 服从 一个正态分布，即 ~ N(90,100).
(1)试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概 率是多少？
(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试 成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
B.正态分布N(, 2 ) 的图象位于x轴上方；
C.若 X ~ N (3,22 ) ，则X的分布密度函数
, ( x)
1
( x3)2
e 8;
2
D.函数 f (x)
1
e
x2 2
(
x
R)
的图象是一条两头
2
低、中间高、关于y轴对称的曲线.
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
-a +a
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
-x2 –x1 x1 x2
特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a X a) a , ( x)dx
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 a 而言，该面积
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1
若 固定,
随值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
02-2 正态分布
2021/8/2
柏建岭讲稿
14
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228 S(-, -3)=0.0013
S(-, )=1
S(-, +1)=0.8413 S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987
-3 -2 - + +2 +3
2021/8/2
柏建岭讲稿
29
– 首先计算标准离差：
u250032002 350
– 查标准正态分布表: (-2)=0.0228
– 结果：估计低体重儿的比例为2.28%.
2021/8/2
柏建岭讲稿
30
思考题
✓ 标准正态分布曲线下-2~2范围内的面积？ ✓ 标准正态分布曲线下-2~1范围内的面积？
Medical statistics 医学统计学
正态分布
Normal Distribution and it’s Applications
柏建岭 南京医科大学公共卫生学院
流行病与卫生统计学系
正态分布的重要性
❖医学上某些指标服从或近似服从正态分布； ❖很多统计方法是建立在正态分布基础上的； ❖很多其他分布的极限为正态分布。
单侧下限---过低异常 单侧上限---过高异常 双侧---过高、过低均异常
异常 正常 单侧下限
2021/8/2
正常 异常 单侧上限 柏建岭讲稿
异常
正常
异常
双侧下限 双侧上限
38
选择百分界值
➢ 参考值范围的涵义：绝大多数的正常人在该范 围内
– 习惯上将“绝大多数”定义为80%、90%、95%或 99% 。
高二数学正态分布2
信息技术应用
用计算机研究正态曲线随 着μ和σ变化而变化的特点
y
μ 1 μ 0 μ 1
σ 0 .5
2 1
O
1
1
2
x
y
μ0
σ 0 .5
σ 1 σ2
1
O
2
1
x
图2.4 5
因为正态分布完全由 μ和 σ 确定 , 所以可以通过研究μ 和 σ 对正态曲线的影响 ,来 认识正态曲线的特点 .不妨 先固定σ值, 作出μ取不同值 的图象(图2.4 5(1)); 再固定 μ 值, 作出σ取不同值的图象 (图2.4 5(2)). 由上述过程还可以发现正态 曲线的下述特点: 5当 σ 一定时,曲线随着μ的 变化而沿x轴平移;
进一步, 若X ~ Nμ, σ 2 ,则对任何实数a 0, 概率 Pμ a X μ a φμ,σ x dx
μa μa
为图2.4 6中阴影部分的面积, 对于固定的μ和 a 而言, 该面积随着σ 的减少而变大.这说明σ 越小, X落在区间 (μ a,μ a]的概率越大,即X 集中在μ周围概率越大. 特别有
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 槽的编号
图 2.4 2
随着重复次数的增加 , 这个频率直方图的形状 会越来越像一条钟形曲 线图2.4 3 .
y
O
图2.4 3
x
这条曲线就是 (或近似地 )下列函数的图象: 2 x μ 1 φμ,σ x e 2σ 2 , x , , 2π σ 其中实数μ和σ σ 0 为参数.我们称φμ,σ x 的 图象为正态分布密度曲线 , 简称正态曲线 .
第二章正态分布
3
1
15
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 1
3
16
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
17
正态曲线下的面积规律
141.2 148.9 154.0 147.7 152.3 146.6 132.1 145.9 146.7 144.0
135.5 144.4 143.4 137.4 143.6 150.0 143.3 146.5 149.0 142.1 140.2 145.4 142.4 148.9 146.7 139.2 139.6 142.4 138.7 139.9
z
X
则z服从标准正态分布 Nhomakorabea28正态分布转换为标准正态分布
实际应用中，经z变换后，就可把求解任意 一个正态分布曲线下面积的问题，转化成标准 正态分布曲线下相应的面积问题。
29
标准正态分布的特征
标准正态分布特征同正态分布，它是正态分布的特例。 每一条正态分布曲线经z变换都可转换为标准正态分布。 正态分布取值与标准正态分布取值具有一一对应的关系；
曲线下的面积也具有一一对应的关系。
30
附表1
标准正态曲线下的面积分布表
z取不同值时z值左侧的标准正态曲线下面积，记做 (z ) 列出了标准正态曲线下-∞到z(z≤0)的左侧累计面积 因为z分布是对称的，所以只列出了一半的面积
( z ) 1 ( z )
8
某市2007年12岁男童120人的身高(cm)资料如下
142.3 156.6 142.7 145.7 138.2 141.6 142.5 130.5 134.5 148.8 134.4 148.8 137.9 151.3 140.8 149.8 145.2 141.8 146.8 135.1 150.3 133.1 142.7 143.9 151.1 144.0 145.4 146.2 143.3 156.3 141.9 140.7 141.2 141.5 148.8 140.1 150.6 139.5 146.4 143.8 143.5 139.2 144.7 139.3 141.9 147.8 140.5 138.9 134.7 147.3
正态分布2σ概率的解读与计算
正态分布是统计学中一种重要的概率分布，也被称为高斯分布。
它在实际应用中非常常见，可以用来描述许多自然现象和社会现象，比如身高、体重、芳龄等。
在正态分布中，均值和标准差是决定分布形态的两个关键参数。
本文将深入探讨正态分布的概念、特性和应用，并解读与计算正态分布的2σ概率。
1. 正态分布的概念及特性1.1 正态分布的定义正态分布是一种钟形对称的连续型概率分布，其密度函数可以用数学公式表示为：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * e^(-((x - μ)^2) / (2 * σ^2))其中，μ为分布的均值，σ为分布的标准差，e为自然对数的底。
1.2 正态分布的特性正态分布具有以下几个重要特性： - 曲线对称：正态分布的密度曲线关于均值对称，均值处为曲线的中心位置。
- 唯一峰值：正态分布只有一个峰值，即均值所在处，两侧的概率逐渐减小。
- 形态稳定：正态分布的形态由均值和标准差唯一决定，不受具体数值的影响。
- 标准正态分布：当均值μ为0，标准差σ为1时，称为标准正态分布。
2. 正态分布的应用2.1 统计推断正态分布在统计学中具有重要的应用，尤其是在统计推断中起到关键作用。
根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量的均值近似服从正态分布。
这使得正态分布可以用来进行参数估计和假设检验，对总体的特征进行推断。
2.2 质量控制正态分布在质量控制领域中也扮演着重要角色。
许多生产过程的输出结果往往服从正态分布。
通过对生产过程进行抽样和统计分析，可以计算出均值和标准差，进而判断产品质量的合格率，并进行异常点检测和质量改进。
2.3 风险管理正态分布在金融和风险管理领域中广泛应用。
通过建立资产收益率的正态分布模型，可以估计投资风险和收益的分布情况，从而更好地制定投资策略和管理风险。
3. 正态分布2σ概率的解读与计算在正态分布中，均值加减2倍标准差的范围约包含95.45%的观测值。
这意味着，对于一个服从正态分布的随机变量，其取值在均值加减2倍标准差范围内的概率为0.9545。
二维正态分布概率密度公式
二维正态分布概率密度公式
二维正态分布，也称为双变量正态分布或多元正态分布，是统计学中最重要的分布形式之一，在随机可观测变量具有两个或多个未知参数的情况下，它反映了参数的概率分布，它的概率密度函数由公式表示：
f(x,y)=1/2πσxσy e^(-(x^2/2σx^2+y^2/2σy^2)
其中，x,y分别表示变量的两个参数，σx和σy分别为变量的标准差。
正态分布是各种统计推断方法的基础，当收集的样本数据遵循正态分布时，通常用正态分布和正态分布概率密度函数来描述样本分布。
可以使用中心极限定理证明，即使相关数据不是正态分布，但样本量足够大时，他们的分布也会接近正态分布，这也是大量研究采用正态分布的原因。
因此，正态分布概率密度函数可以用来描述样本集中每个变量的概率分布，完整地表达变量与其未知参数之间的关系。
它反映了各种统计推断方法的基础，也是大数据分析中广泛使用和推广的多元正态分布形式。
二维正态分布定义
二维正态分布定义
二维正态分布是指具有两个连续随机变量的联合分布服从正态分布。
它可以由一对连续随机变量X和Y组成，其概率密度
函数可以表示为：
f(x,y) = 1 / (2πσxσy√(1-ρ^2)) * exp(-1 / (2(1-ρ^2)) * ((x-
μx)^2/σx^2 + (y-μy)^2/σy^2 - 2ρ(x-μx)(y-μy)/(σxσy)))
其中，μx和μy分别是X和Y的均值，σx和σy分别是X和Y 的标准差，ρ是X和Y之间的相关系数。
二维正态分布具有以下性质：
1. X和Y的边缘分布分别为正态分布，即X和Y分别服从正
态分布。
2. X和Y之间的相关系数ρ决定了它们的线性关系的强度和
方向。
当ρ为0时，X和Y相互独立。
当ρ为正数时，X和Y
正相关；当ρ为负数时，X和Y负相关。
3. 二维正态分布具有椭圆形状，其椭圆的形状和大小由σx，
σy和ρ决定。
若σx=σy且ρ=0，椭圆的主轴与坐标轴平行，
表示X和Y相互独立，具有相同的方差；若σx>σy或σx<σy，椭圆的主轴与坐标轴不平行，表示X和Y具有不同的方差；
当ρ≠0时，椭圆发生旋转，表示X和Y之间存在相关关系。
4. 二维正态分布的期望向量为(μx, μy)，协方差矩阵为：
Cov(X,Y) = [[σx^2, ρσxσy],
[ρσxσy, σy^2]]
协方差矩阵表示X和Y之间的相关性，对角线上的元素是
方差，非对角线上的元素是协方差。
新人教版高中数学选修2《正态分布》PPT教学课件
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
B.
2 ( x )
2 f (x) e B. 2
x2 2
C.
1 f (x) e 2 2
(x 1 )2 4
D.
1 f ( x) e 2 Nhomakorabeax2 2
例2、标准正态总体的函数为
1 f( x ) e ,x ( , ) . 2
（1）证明f(x)是偶函数；
2.4《正态分布》
教学目标
• （1）通过实际问题，借助直观（如实际问题 的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态 分布； • （2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示 的意义； • （3）会查标准正态分布表，求满足标准正态 分布的随机变量在某一个范围内的概率． • 教学重点，难点 • （1） 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示 的意义； • （2） 求满足标准正态分布的随机变量在某一 个范围内的概率
μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
x=μ
对称.
（－∞，μ] 时f ( x ) 为增函数. （4）当 x ∈ （μ，+∞） 时f ( x )为减函数. 当x ∈
标准正态曲线
例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
1 2 2 () x e , , ( 0 ) 都 是 实 数 A. f 2
引入
正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知 道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于 某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是 它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列； 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等 于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的 是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率 分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率 分布规律用密度函数（曲线）描述。