数学平行四边形知识归纳总结含答案

数学平行四边形知识归纳总结含答案

一、解答题

1．如图，ABC ?是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．

2．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．

（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，

①BCF ∠= ；

②,,BC CD CF 之间数量关系为 ．

（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13

CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．

．

3．如图，点E 为?ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．

（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；

（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；

（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．

4．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，PF⊥BD于点F，PA＝PF．（1）试判断四边形AGFP的形状，并说明理由．

（2）若AB＝1，BC＝2，求四边形AGFP的周长．

5．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED 的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．

（1）求证：CG平分∠DCB；

（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．

沿BE折叠，点A的对应点为点6．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE

G．

图1 图2

（1）填空：如图1，当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是________；

（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．

①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．

7．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．

(1)求证: ADE FEM ∠=∠;

(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

8．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．

（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．

（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．

（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．

9．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．

（1）当t ＝1时，求BF 的长度；

（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；

（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．

10．问题背景

若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=?∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．

初步思考

(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=?，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=?，DBC △为等边三角形．

①点A 与点______关于BC 互为顶针点；

②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．

实践操作

(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．

①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，

使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)

思维探究

②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．EF ＝13．

【分析】

首先连接AD ，由△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，可得：AD=DC ，∠EAD=∠C=45°，AD ⊥BC ，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE ⊥DF ，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF ，从而可证：△AED ≌△CFD ；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt △AEF 中，运用勾股定理可将EF 的值求出；

【详解】

解：连接AD ．

∵△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，

∴AD =DC =DB ，AD ⊥BC ，

∴∠BAD =∠C =45°，

∵∠EDA +∠ADF =90°，

又∵∠CDF +∠ADF =90°，

∴∠EDA =∠CDF ．

在△AED 与△CFD 中，

EDA FDC AD CD

EAD C ∠=∠??=??∠=∠?

， ∴△AED ≌△CFD (ASA )．

∴AE =CF =5．

∵AB =AC ，

∴BE =AF =12．

在Rt △AEF 中，

∵∠EAF =90°，

∴22222512169EF AE AF =+=+=，

∴EF =13．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形, 直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键．

2．（1）①120°；② BC ＝CD +CF ；（2）不成立，见解析；（3）8，【分析】

（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△ACF ≌△ABD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD ，再根据BD+CD=BC ，即可得出CF+CD=BC ；

（2）依据△ABD ≌△ACF ，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB ∥CF ；依据△ABD ≌△ACF 可得BD=CF ，依据CD-BD=BC ，即可得出CD-CF=BC ；

（3）依据?△△ADB AFC ，即可得到8==+=CF BD BC CD ，利用ABC ?是等边三角形，AH BC ⊥，可得132

==

=BH HC BC ，即可得出HD 的长度，利用勾股定理即可求出AD 的长度，即可得出结论．

【详解】

解：（1） 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°

∴∠BAD+∠DAC=60°

在菱形ADEF 中

AD=AF

∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=60°

∴∠CAF=∠DAB

又∵AC=AB ，AF=AD

∴△ACF ≌△ABD

∴∠ACF=∠ABD=60°，CF=BD

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=120°

故答案为：120°

②∵BC=BD+CD ，BD=CF

∴BD=CF+CD

故答案为：BC=CD+CF

（2）不成立

理由：∵ABC ?是等边三角形

∴60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=，AB AC =

又∵60DAF ∠=

∴BAC BAF DAF BAF ∠-∠=∠-∠

∴FAC DAB ∠=∠

∵四边形ADEF 是菱形

∴AD AF =

∴?△△ADB AFC

∴DB FC =，18060120ACF ABD ∠=∠=-=

∴1206060BCF ACF ACB ∠=∠-∠=-=

∵BC CD BD =-

∴BC CD CF =-

（3）8=CF ，菱形ADEF 的面积是263

∵60BAC DAF ∠=∠=

∴BAD CAF ∠=∠

又∵AB AC =，AD AF =

∴?△△ADB AFC

∴16683

CF BD BC CD ==+=+?=

∴如图，

过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接FD

∵ABC 是等边三角形，AH BC ⊥ ∴116322

BH HC BC ===?= ∴325HD HC CD =+=+=

∵22236927AH AB BH =-=-=

∴222725213AD AH DH ++=∴13222132132632AFD ADEF S S ?==?

?=菱形 【点睛】

此题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质的综合运用，利用已知条件判定△DAB ≌△FAC 是解本题的关键．

3．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；

（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出

BC∥FG，BC＝1

2

FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；

（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．

【详解】

明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，

∵∠DCE＝20°，

∵AB∥CD，

∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，

∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，

∵BF＝BE，CG＝CE，

∴BC是△EFG的中位线，

∴BC∥FG，BC＝1

2 FG，

∵H为FG的中点，

∴FH＝1

2 FG，

∴BC∥FH，BC＝FH，

∴AD∥FH，AD∥FH，

∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，

∵CE＝CG，FH＝HG，

∴CH＝1

2

EF，CH∥EF，

∵EB＝BF＝1

2 EF，

∴BE＝CH，

∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，

∵OC＝OH，

∴OE＝OB＝OC＝1

2 BC，

∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，

∴EF⊥EG．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4．（1）四边形AGFP是菱形，理由见解析；（2）四边形AGFP的周长为：252

【分析】

（1）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；

（2）根据全等三角形的判定和性质，以及利用勾股定理解答即可．

【详解】

解：（1）四边形AGFP是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAP＝90°，

∵PF⊥BD，PA＝PF，

∴∠PBA＝∠PBF，

∵AE⊥BD，

∴∠PBF+∠BGE＝90°，

∵∠BAP＝90°，

∴∠PBA+∠APB＝90°，

∴∠APB＝∠BGE，

∵∠AGP＝∠BGE，

∴∠APB＝∠AGP，

∴AP＝AG，

∵PA＝PF，

∴AG＝PF，

∵AE⊥BD，PF⊥BD，

∴AE∥PF，

∴四边形AGFP是平行四边形，

∵PA＝PF，

∴平行四边形AGFP是菱形；

（2）在Rt△ABP和Rt△FBP中，

∵PB＝PB，PA＝PF，

∴Rt△ABP≌Rt△FBP（HL），

∴AB＝FB＝1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝2，

∴BD =

设PA ＝x ，则PF ＝x ，PD ＝2﹣x ，PF 1，

在Rt △DPF 中，DF 2+PF 2＝PD 2，

∴2221)(2)x x +=-

解得：x ，

∴四边形AGFP 的周长为：4x ＝4×

122=． 【点睛】

此题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题．

5．（1）见解析；（2） HG ＝OH +BG ；（3）能成矩形，y 3342x =

-． 【分析】

（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG ＝∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；

（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG ＝DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH ＝HD ，再根据线段间的关系即可得出HG ＝HD +DG ＝OH +BG ；

（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形，再根据正方形的性质以及点B 的坐标可得出点G 的坐标，设H 点的坐标为（x ，0），由此可得出HO ＝x ，根据勾股定理即可求出x 的值，即可得出点H 的坐标，结合点H 、G 的坐标利用待定系数法即可求出直线DE 的解析式．

【详解】

（1）∵正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ，∴CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90°．在Rt △CDG 和Rt △CBG 中，

∵CG CG CD CB =??=?

，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG （HL ），∴∠DCG ＝∠BCG ，即CG 平分∠DCB ． （2）由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴BG ＝DG ．在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，∵CH CH CO CD =??=?

，∴Rt △CHO ≌Rt △CHD （HL ），∴OH ＝HD ，∴HG ＝HD +DG ＝OH +BG ． （3）假设四边形AEBD 可为矩形．

当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形，如图所示．

∵G 点为AB 中点，∴BG ＝GA 12=

AB ，由（2）证得：BG ＝DG ，则BG ＝GA ＝DG 12=AB 12

=DE ＝GE ，又AB ＝DE ，∴四边形AEBD 为矩

形，∴AG ＝EG ＝BG ＝DG ．

∵AG 12=AB ＝3，∴

G 点的坐标为（6，3）． 设H 点的坐标为（x ，0），则HO ＝x ，∴HD ＝x ，DG ＝3．

在Rt △HGA 中，HG ＝x +3，GA ＝3，HA ＝6﹣x ，由勾股定理得：（x +3）2＝32+（6﹣x ）2，解得：x ＝2，∴H 点的坐标为（2，0）．

设直线DE 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），将点H （2，0）、G （6，3）代入y ＝kx +b 中，

得：2063k b k b +=??+=?，解得：343

2k b ?=????=-??

，∴直线DE 的解析式为：y 3342x =-． 故四边形AEBD 能为矩形，此时直线DE 的解析式为：y 3342

x =-．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理．解题的关键是：（1）证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ；（2）找出

BG ＝DG 、OH ＝HD ；（3）求出点H 、G 的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边和角是关键．

6．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF

【分析】

（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ?∠=∠=，由折叠得：

90BGE A ?∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；

（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；

②设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=

14a ，即CF=14a ，DF=a-x=34

a ，进而可得DF 与CF 关系．

（1）四边形ABGE 的形状是正方形．

理由是：∵四边形ABCD 是矩形，

∴90A ABC ?∠=∠=，

由折叠得：90BGE A ?∠=∠=，

∴四边形ABGE 为矩形，

由折叠得：AB=BG ，

∴矩形ABGE 为正方形；

故答案为：正方形．

（2）①如图，连结EF ，

在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，

∵E 是AD 的中点，

∴AE=DE ，

∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，

∴BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，

∴∠EGF=∠D=90°，

Rt △EGF 和Rt △EDF 中，

EG ED EF EF =??=?

， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ），

∴DF=FG ，

∴BF=BG+GF=AB+DF ；

②不妨假设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，

由①得BF=AB+DF=a+a-x=2a-x ，

在Rt △BCF 中，由勾股定理得：

BF 2=BC 2+CF 2，

即(2a-x)23a)2+x 2，

整理得：x=

14a ， ∴CF=14

a ，DF=a-x=34a ， ∴DF=3CF ．

本题主要考查了折叠的性质，正方形的判定，三角形全等的判定，勾股定理等内容，根据图形作出辅助线找出线段的等量关系列出方程是解题的关键．

7．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析

【分析】

（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=?∠+∠=?，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．

【详解】

(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=?，

∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=?∠+∠=?，

∴ADE FEM ∠=∠;

(2) ;DE EF =理由如下:

如图，取AD 的中点N ，连接NE ，

∵四边形ABCD 为正方形，

∴AD AB = ，

∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴1

1

,22AN DN AD AE EB AB ====，

∴,DN BE AN AE ==

又∵90A ∠=?

∴45ANE ∠=?

∴180135DNE ANE ∠=?-∠=?，

又∵90CBM ∠=?，BF 平分CBM ∠

∴45,135CBF EBF ∠=?∠=?．

∴DNE EBF ∠=∠

在DNE △和EBF △中

ADE FEB

DN EB

DNE EBF

∠=∠??=??∠=∠?

()DNE EBF ASA ≌，

∴DE EF =

(3) DE EF =.理由如下:

如图，在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，

∵四边形ABCD 是正方形， DN EB =，

∴AN AE =，

∴AEN △为等腰直角三角形，

∵45ANE ∠=?

∴18045135DNE ∠=?-?=?，

∵BF 平分CBM ∠， AN AE =，

∴9045135EBF ∠=?+?=?，

∴DNE EBF ∠=∠，

在DNE △和EBF △中

ADE FEB DN EB

DNE EBF ∠=∠??=??∠=∠?

∴()DNE EBF ASA ≌，

∴DE EF =．

【点睛】

此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE ≌△EBF ．

8．（1）214

t ；（2）22t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ?时，22t =3（见解析），当ADE AHE ?时，32t =4（见解析），当EGQ HBF ?时，722

t = 【分析】 （1）先根据线段中点的定义可得12AQ AP =

，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=?，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；

（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得122

AH AB ==，然后与（1）所求的

2

AH =建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ?；②当点Q 与点E 重合时，ADE AHE ?；③当EG HB =时，EGQ HBF ?三种情况，分别求解即可得．

【详解】

（1）由题意得：2AP t =，

点Q 为AP 的中点，

12

AQ AP t ∴==， 四边形ABCD 是矩形，

90B D BAD ∴∠=∠=∠=?，

AE ∵是BAD ∠的角平分线，

1452

HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=?， QH AB ⊥，

AQH ∴是等腰直角三角形，

22

AH HQ AQ t ∴===， 则AQH 的面积为

21124AH HQ t ?=； （2）如图1，四边形PQHM 是平行四边形，

//HQ MP ∴，

点M 在BC 边上，

//HQ BP ∴，

点Q 为AP 的中点，

HQ ∴是ABP △的中位线，

122

AH BH AB ∴===，

由（1）知，AH =

，

2=，

解得t =；

（3）由题意，有以下三种情况：

①如图2，当点H 是AB 的中点时，则AH

HB =，

四边形PQHM 是平行四边形， //HM PQ ∴，

HAQ BHM ∴∠=∠，

在AHQ 和HBM △中，90HAQ BHM AH HB AHQ HBM ∠=∠??=??∠=∠=??

，

()AHQ HBM ASA ∴?，

由（2）可知，此时2

2t =；

②如图3，当点Q 与点E 重合时，

在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=???∠=∠=???=?

，

()ADE AHE AAS ∴?，

3AD AH ∴==， 则232

=，

解得

32t =；

③如图4，当EG HB =时，

四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，

//,//CD AB HM PQ ∴，

,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=?=∠，

在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠??=??∠=∠?

，

()EGQ HBF ASA ∴?， 2,42

AH AB ==， 242

HB AB AH ∴=-=-， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=?=，

Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE ==

32EQ AQ AE t ∴=-=-，

在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=?， Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，22622t EG EQ -=

=， 则由EG HB =2624t -=-， 解得722

t =

综上，如图2，当AHQ HBM ?时，22t =；如图3，当ADE AHE ?时，32t =4，当EGQ HBF ?时，722

t =

【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．

9．（126 （2）2（3）2或224

【分析】

（1）由勾股定理可求出答案；

（2）延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，设AH ＝DH ＝x ，在Rt △AHD 中，得出x 2+x 2＝42，解方程求出x 即可得出答案；

（3）分AF ＝DF ，AF ＝AD ，AD ＝DF 三种情况，由正方形的性质及直角三角形的性质可得出答案．

【详解】

解：（1）当t ＝1时，AE ＝1，

∵四边形AEFG 是正方形，

∴AG ＝FG ＝AE ＝1，∠G ＝90°，

∴BF 22FG BG +2215+26，

（2）如图1，延长AF ，过点D 作射线AF 的垂线，垂足为H ，

∵四边形AGFE 是正方形，

∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，

∴∠EAF ＝45°，

∵DH ⊥AH ，

∴∠AHD ＝90°，∠ADH ＝45°＝∠EAF ，

∴AH ＝DH ，

设AH ＝DH ＝x ，

∵在Rt △AHD 中，∠AHD ＝90°，

∴x 2+x 2＝42，

解得x 1＝﹣22（舍去），x 2＝22，

∴D 、F 两点之间的最小距离为22；

（3）当AF ＝DF 时，由（2）知，点F 与点H 重合，过H 作HK ⊥AD 于K ，如图2，

∵AH ＝DH ，HK ⊥AD ，

∴AK ＝2

AD ＝2， ∴t ＝2．

当AF ＝AD ＝4时，设AE ＝EF ＝x ， ∵在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，

∴x 2+x 2＝42，

解得x 1＝﹣2（舍去），x 2＝2，

∴AE ＝2，

即t ＝2．

当AD ＝DF ＝4时，点E 与D 重合，t ＝4，

综上所述，t 为2或22或4．

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．

10．（1）①D 、E ，②A ，理由见解析；（2）①作图见解析；②BE 与AF 可能相等，AE 的长度分别为

43，367，2或18． 【分析】

（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断．

（2）①以C 为圆心，CB 为半径画弧交AD 于F ，连接CF ，作∠BCF 的角平分线交AB 于E ，点E ，点F 即为所求．

②分四种情形：如图①中，当BE AF =时；如图②中，当BE AF =时；如图③中，当BE BC AF ==时，此时点F 与D 重合；如图④中，当BE CB AF ==时，点F 与点D 重合，分别求解即可解决问题．

【详解】

解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：

①点A 与点D 和E 关于BC 互为顶针点；

②点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，

理由：如图2中，

∵△BDC 是等边三角形，

∴∠D ＝60°，

∵AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，

∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°，

∴∠BAC ＝120°，

∴∠A ＋∠D ＝180°，

∴点D 与点A 关于BC 互为勾股顶针点，

故答案为：D 和E ，A ．

（2）①如图，点E 、F 即为所求(本质就是点B 关于CE 的对称点为F ，相当于折叠)．

②BE 与AF 可能相等，情况如下：

情况一：如图①，