2013高考数学二轮复习专题演练7.1_数学思想方法---转化与化归思想

2013高考数学二轮复习专题演练
7.1 数学思想方法---转化与化归思想
一、选择题
1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q 且a 2＝－6，那么a 10等于( )
A ．－165
B ．－33
C ．－30
D ．－21 解析：由p p ＋q ＝a p ＋a q ，a 2＝－6，得a 4＝a 2＋a 2＝－12，同理a 8＝a 4＋a 4＝－24，所 以a 10＝a 8＋a 2＝－24－6＝－30.
答案：C
2．方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是 ( )
A ．－1≤k ≤54
B ．－54
≤k ≤0 C ．0≤k ≤54 D ．－54
≤k ≤1 解析：k ＝cos 2x －cos x －1
＝⎝
⎛⎭⎫cos x －122－54 当cos x ＝12时，k min ＝－54
当cos x ＝－1时，k max ＝1，
∴－54
≤k ≤1，故选D. 答案：D
3．设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a
的取值的集合为 ( )
A ．{a |1<a ≤2}
B ．{a |a ≥2}
C ．{a |2≤a ≤3}
D ．{2,3}
解析：∵log a x ＋log a y ＝3，∴xy ＝a 3
.∴y ＝a 3x . 由于当x 在[a,2a ]内变化时，都有y ∈[a ，a 2]满足方程，因此[a ，a 2
]应包含函数y ＝a 3x 在[a,2a ]上的值域，也就是函数y ＝a 3x
在[a,2a ]的值域是[a ，a 2]的子集． ∵12a ≤1x ≤1a ，∴a 22≤a 3x
≤a 2. ∴a 22
≥a ，∴a ≥2. 答案：B
4．(2009·全国Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，有a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )
A ．－2 B.2－2
C ．－1
D ．1－ 2
解析：解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则
(a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－2
sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4 因此当sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4＝1时，(a －c )·(b －c ) 取到最小值1－ 2. 解法二：(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝1－(a ＋b )· c ≥1－|a ＋b ||c |＝1－(a ＋b 2) ＝1－ 2.
答案：D
5．e 416，e 525，e 636
(其中e 为自然常数)的大小关系是 ( ) A.e 416<e 525<e 636 B.e 636<e 525<e 416
C.e 525<e 416<e 636
D.e 636<e 416<e 525
解析：由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416
，f (5)＝ e 525，f (6)＝e 636
. 而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x 2′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2
－2x )
x 4
，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x ) 在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636
，故选A. 答案：A
二、填空题
6．函数f (x )＝x ＋1－x 的值域为________．
解析：∵f (x )的定义域为x ∈[0,1]，
∴设x ＝sin 2α⎝
⎛⎭⎫0≤α≤π2. 则f (x )＝y ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4∈[1，2]． 答案：[1，2]
7．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (2)，f (1)，f (4)的
大小关系是________．
解析：转化为在同一个单调区间上比较大小问题．
由f (2＋t )＝f (2－t )知f (x )的对称轴为x ＝2.
∴f (x )在[2，＋∞)上为单调增函数．
f (1)＝f (2×2－1)＝f (3)
∵f (2) <f (3)<f (4)
∴f (2)<f (1)<f (4)．
答案：f (2)<f (1)<f (4)
三、解答题
8．已知非空集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，若A ∩R －
≠∅，求实数m 的取值 范围(R －表示负实数集，R ＋
表示正实数集)．
解：设全集U ＝{m |Δ＝16m 2－8m －24≥0}
＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1，或m ≥32. 方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根均非负的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，
2m ＋6≥0，
可得m ≥32
. ∴A ∩R －＝∅时，
实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32. ∴A ∩R －≠∅时，
实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．
9．对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p 恒成立的x 的取值范围．
解：构造函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，|p |≤2.
当⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－2(x －1)＋x 2－2x ＋1>02(x －1)＋x 2－2x ＋1>0时， 亦即当⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3>0x 2－1>0(*)时，f (p )>0(|p |≤2)恒成立，由(*)式得 ⎩⎪⎨⎪⎧
x >3或<1x >1或x <－1. ∴x >3或x <－1.
∴当x >3或x <－1时，f (p )>0(|p |≤2)恒成立．
即：x 2＋px ＋1>2x ＋p 恒成立．
10．设函数f (x )＝x －2m sin x ＋(2m －1)sin x cos x (m 为实数)在(0，π)上为增函数，试求m
的取值范围．
解：∵f (x )在区间(0，π)上是增函数，
∴f ′(x )＝1－2m cos x ＋2⎝
⎛⎭⎫m －12cos 2x ＝2[(2m －1)cos 2x －m cos x ＋1－m ]
＝2(cos x －1)[(2m －1)cos x ＋(m －1)]>0
在(0，π)上恒成立，令cos x ＝t ，则－1<t <1，
即不等式(t －1)[(2m －1)t ＋(m －1)]>0在(－1,1)上恒成立，
①若m >12，则t <1－m 2m －1
在(－1,1)上恒成立， 则只需1－m 2m －1
≥1，即12<m ≤23； ②当m ＝12时，则0·t ＋12
－1<0， 在(－1,1)上显然成立；
③若m <12，则t >1－m 2m －1
在(－1,1)上恒成立， 则只需1－m 2m －1
≤－1，即0≤m <12. 综上所述，所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤0，23.。