高量4-量子力学的基本原理
量子力学的基本原理
1.简介量子力学的历史和发展量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为和相互作用。
以下是量子力学历史和发展的简介：•早期量子理论的兴起：在20世纪初，科学家们通过研究辐射现象和黑体辐射问题，开始怀疑经典物理学的适用性。
麦克斯∙普朗克的量子假设和爱因斯坦的光电效应理论为量子理论的发展奠定了基础。
•波粒二象性的提出：在这个阶段，德国物理学家路易斯∙德布罗意提出了物质粒子（如电子）也具有波动性的假设，即波粒二象性。
这一假设通过实验证明，如电子衍射实验，为量子力学奠定了基础。
•薛定谔方程的建立：奥地利物理学家埃尔温∙薛定谔于1926年提出了著名的薛定谔方程，用于描述微观粒子的运动和行为。
这个方程成功地解释了氢原子的能级和谱线，奠定了量子力学的数学基础。
•不确定性原理的发现：德国物理学家瓦尔特∙海森堡于1927年提出了著名的不确定性原理，指出在测量过程中，无法同时准确确定粒子的位置和动量。
这一原理挑战了经典物理学的确定性观念，成为量子力学的核心概念之一。
•量子力学的完备性和广泛应用：随着时间的推移，量子力学逐渐发展成为一个完善的理论体系，并在许多领域得到广泛应用。
它解释了原子和分子的结构、核物理现象、固体物理、粒子物理学等多个领域的现象，并为现代科技的发展提供了基础。
量子力学的历史和发展是科学进步的重要里程碑，对我们理解微观世界的行为和深入探索宇宙的奥秘具有重要意义。
2.波粒二象性和不确定性原理的解释在量子力学中，波粒二象性和不确定性原理是两个核心概念，对我们理解微观世界的行为提出了挑战，下面是它们的解释：•波粒二象性：根据波粒二象性的理论，微观粒子（如电子、光子等）既可以表现出粒子的特性，也可以表现出波的特性。
这意味着微观粒子既可以像粒子一样具有局部位置和动量，也可以像波一样展现出干涉和衍射的现象。
这种波粒二象性的解释可以通过德布罗意的波动假设来理解。
根据德布罗意的假设，微观粒子具有与其动量相对应的波长，这与光波的性质相似。
量子力学的基本原理解读
量子力学的基本原理解读量子力学是一门描述微观物质行为的物理学理论，它基于一系列的基本原理。
本文将对量子力学的基本原理进行解读，以帮助读者更好地理解这一领域。
一、波粒二象性原理量子力学的首要原理是波粒二象性原理，即微观粒子既可以表现为粒子，又可以表现为波动。
根据这个原理，微观粒子的运动既具有粒子性质，如位置和动量，又具有波动性质，如频率和幅度。
这一原理的提出打破了经典物理学的基础，引发了量子力学的诞生。
二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的第二个基本原理，由海森堡提出。
它表明，在测量微观粒子的位置和动量时，存在一种不确定性，即无法同时准确测量粒子的位置和动量。
更准确地说，位置的精确度越高，动量的精确度就越低，反之亦然。
这种不确定性与波粒二象性原理密切相关，揭示了微观世界中的测量局限性。
三、叠加原理叠加原理表明，当一个系统可以处于多种互相排斥的状态时，量子力学允许这个系统同时处于多个状态的叠加态。
这意味着，系统可以处于多个状态的线性叠加，而在测量之前，我们无法确定其具体状态，只能给出以某种概率出现在不同状态的可能性。
当进行测量时，系统会坍缩到其中一个确定的状态上。
四、量子纠缠量子纠缠是量子力学中一项重要的原理，它描述了两个或多个粒子之间存在着一种纠缠的状态。
当两个粒子处于纠缠态时，它们之间的状态彼此关联，无论它们之间的距离有多远。
这意味着通过观测一个粒子，可以瞬间影响到另一个处于纠缠态的粒子，即所谓的“量子的即时作用”。
这一原理在量子通信和量子计算领域发挥着重要作用。
五、量子隧穿效应量子隧穿效应是量子力学的一个引人注目的现象，它描述了量子粒子可以穿越势垒的现象。
经典物理学认为，只有当粒子具有足够的能量时，才能越过势垒。
然而，在量子力学中，即使粒子能量低于势垒高度，也存在一定概率穿越势垒的现象。
这一效应在核聚变、半导体器件等领域具有重要应用。
综上所述，量子力学的基本原理包括波粒二象性原理、不确定性原理、叠加原理、量子纠缠以及量子隧穿效应。
量子力学的概念与基本原理
量子力学的概念与基本原理量子力学是一门非常重要的物理学科，在现代科学中有着广泛的应用。
量子力学的出现，使我们对自然世界有了新的认识和理解。
本文将着重介绍量子力学的概念和基本原理。
量子力学简介量子力学，也被称为量子物理学，是研究微观世界的物理学。
它的发展起源于20世纪早期，是由一些重要的科学家如普朗克、爱因斯坦、玻尔等人构建的。
量子力学的目标是探讨微观世界中不同物质的物理性质以及它们之间的相互作用。
量子力学的基本原理量子力学的基本原理包括以下几个方面：1. 波粒二象性波粒二象性指的是粒子既可以表现出波的性质，也可以表现出粒子的性质。
例如，电子和光子既可以被看作粒子，也可以被看作波。
2. 不确定关系不确定关系是指，在某些情况下，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
这个原理是由海森堡提出的，被称为海森堡不确定关系。
这个原理意味着，在测量过程中，对粒子的干扰可能会影响测量的结果。
3. 能量量子化能量量子化指的是，微观世界中存在一些量子化的现象，比如发射光子的能量是量子化的。
这个原理也是由普朗克提出的，被称为普朗克定律。
4. 简并和交换简并和交换是指，对于某些相同的粒子，如果它们的量子态是完全相同的，那么它们的波函数是完全相同的。
这个原理也被称为泡利不相容原理。
以上是量子力学的一些基本原理，这些原理描述了微观世界中的一些非常奇特的现象。
这些原理构成了量子力学的基础，也为我们了解微观世界提供了重要的指导。
量子力学的应用量子力学的应用十分广泛，它在现代科学中有着重要的地位。
以下是量子力学在不同领域的应用：1. 电子学在电子学中，量子力学被广泛应用于研究电子的性质和电子的行为。
电子的波粒二象性和不确定关系是电子学中的两个基本概念。
2. 化学在化学中，量子力学被应用于研究化学反应。
量子力学可以描述分子之间的作用力和化学反应中化学键的断裂和形成。
3. 生物学在生物学中，量子力学被应用于研究生物分子的结构和功能。
量子力学可以帮助人们了解生物分子的形成和折叠过程。
高等量子力学
高等量子力学引言量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学科，其实质是一种非经典的物理理论。
在近百年的发展中，量子力学已经成为现代物理学的基石，并为许多技术和应用领域提供了支持。
通过研究量子力学，科学家们不仅深入理解了微观世界的奇妙现象，而且开展了众多的实验和应用，如量子计算、量子通信和量子隐形传态等。
本文将介绍高等量子力学的基本概念、主要原理和相关应用。
量子力学的基本原理量子力学的基本原理可以归结为以下几点：1.波粒二象性：根据量子力学理论，微观粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
粒子性指的是微观粒子像粒子一样在空间中存在，并具有质量和速度等属性；波动性指的是微观粒子像波一样表现出干涉、衍射等现象。
2.不确定性原理：根据海森堡的不确定性原理，无法同时精确测量微观粒子的位置和动量，精确测量其中一个属性将导致另一个属性的不确定性增加。
这个原理限制了我们对微观世界观测的精确度。
3.波函数和薛定谔方程：量子力学中的波函数描述了微观粒子的状态。
波函数的演化遵循薛定谔方程，通过解薛定谔方程可以得到粒子在不同时间点的波函数演化情况。
4.量子态叠加和干涉：在量子力学中，量子态可以叠加和干涉。
当两个量子态发生干涉时，会产生干涉图样。
干涉图样的分布形式与波长、干涉源之间的距离等因素有关。
高等量子力学的主要内容高等量子力学是对基础量子力学进行深入研究和发展的理论体系，其主要内容包括：1.多粒子量子力学：高等量子力学研究多个微观粒子之间的量子力学相互作用。
多粒子量子力学描述了粒子之间的纠缠态、量子统计和玻色-爱因斯坦凝聚等现象。
2.开放量子系统：高等量子力学研究开放量子系统的动力学行为。
在实际应用中，量子系统往往会与外界环境发生相互作用，导致量子态的衰减和退相干。
高等量子力学通过密度算符和量子耗散规律等来描述开放量子系统的行为。
3.相干态和量子测量：高等量子力学研究相干态和量子测量的理论和实验。
相干态是多粒子量子系统的纯态，能够实现量子计算和量子通信等应用。
量子力学的基本原理是什么
量子力学的基本原理是什么量子力学是现代物理学的重要分支，它对我们理解微观世界的行为和现象有着至关重要的作用。
那么，量子力学的基本原理究竟是什么呢？首先，我们要明白量子力学中的“量子”这个概念。
在微观世界里，很多物理量不是连续变化的，而是以一个个特定的、离散的“小包”形式存在，这些“小包”就被称为量子。
比如，光的能量就是以光子这种量子的形式存在的。
量子力学的第一个基本原理是波粒二象性。
这意味着微观粒子既具有粒子的特性，比如有明确的位置和动量；又具有波的特性，比如会产生干涉和衍射现象。
以电子为例，它在某些实验中表现得像一个粒子，而在另一些实验中则像波一样。
这种看似矛盾的特性在量子力学中却是真实存在的。
接下来是不确定性原理。
这个原理由海森堡提出，它指出我们无法同时精确地测量一个粒子的位置和动量。
换句话说，如果我们对粒子的位置测量得越精确，那么对它的动量就知道得越不精确，反之亦然。
这并不是因为我们的测量技术不够好，而是微观世界的本质特性。
再来说说量子态叠加原理。
在量子力学中，一个粒子可以同时处于不同的状态，这些状态的叠加就构成了粒子的量子态。
直到进行测量时，粒子才会“随机”地选择其中一个状态呈现出来。
这就好像一个骰子在没有被掷出之前，处于每个点数都有可能的叠加态。
还有量子纠缠这一奇妙现象。
当两个或多个粒子相互作用后，它们的量子态会相互关联，即使它们相隔很远，对其中一个粒子的测量会瞬间影响到其他粒子的状态，这种影响是超距的，似乎违背了相对论中信息不能超光速传递的原则，但实际上并没有，因为这种影响是无法用来传递有用的信息的。
量子力学中的薛定谔方程也是一个重要的基本原理。
它类似于经典力学中的牛顿运动方程，用来描述微观粒子的状态随时间的演化。
通过求解薛定谔方程，我们可以预测粒子在不同时刻的状态。
量子隧穿效应也是量子力学中的一个独特现象。
在经典力学中，如果一个粒子的能量低于一个势垒的高度，它是无法穿越这个势垒的。
量子力学的基本原理
量子力学的基本原理量子力学是一门研究微观领域物质与能量相互作用的科学。
它以能量的量子化和粒子的波粒二象性为基础，可以解释微观物质的性质和行为。
本文将介绍量子力学的基本原理。
一、波粒二象性量子力学的基本原理之一是波粒二象性。
根据波粒二象性原理，微观物质既表现为粒子的特性，又具有波动的特性。
例如，电子、光子等粒子既可以像粒子一样具有位置和动量，又可以像波动一样表现出干涉和衍射现象。
这种奇特的性质在经典物理学中是无法解释的。
二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的另一个基本原理。
根据不确定性原理，无法同时准确测量微观粒子的位置和动量。
粒子的位置和动量具有互相制约的关系，越精确地测量其中一个量，就越无法确定另一个量。
这种不确定性在宏观世界中是难以察觉的，但在微观领域中却是普遍存在的。
三、量子叠加态和测量根据量子力学，物体在未被观测之前可以处于叠加态。
叠加态指的是物体表现出多种状态的叠加，直到被测量或观察时才会坍缩到某个确定的状态。
这种特性在实验室中已经得到验证，比如双缝实验中的干涉现象就是量子叠加态的典型示例。
四、量子纠缠和非局域性量子纠缠是量子力学的一个重要概念。
当两个或多个粒子发生纠缠后，它们之间的状态将变得相互关联，无论它们之间的距离有多远。
即使远隔千里，一方的测量结果会立即影响到另一方的状态，这被称为非局域性。
五、量子隧道效应量子隧道效应是量子力学中一个引人注目的现象。
根据经典物理学的观点，粒子无法穿越能量高于其势能的势垒。
但根据量子力学，微观粒子却有一定概率穿越势垒，出现在势垒的另一侧。
这个现象在电子显微镜、扫描隧道显微镜等领域有着广泛的应用。
六、量子态和量子比特在量子力学中，对一个物理系统的描述称为量子态。
量子态可以用波函数表示，波函数可以描述一个粒子的全部性质。
随着量子计算的发展，出现了量子比特（Qubit）的概念，它是量子计算中的基本单位，与经典计算中的比特（Bit）不同，它可以处于叠加态，从而具有更强大的计算能力。
量子力学基本原理
量子力学基本原理量子力学是描述微观世界的物理学理论，它以量子为基本单位，研究微观粒子的性质和行为。
本文将介绍量子力学的基本原理，包括波粒二象性、不确定性原理、量子叠加和量子纠缠等。
1. 波粒二象性波粒二象性是量子力学最基本的原理之一。
在经典物理学中，粒子和波是两种不同的概念，但在量子力学中，微观粒子既可以表现为粒子，也可以表现为波。
这意味着微观粒子具有双重性质，既可以像粒子一样，具有位置和动量，又可以像波一样，具有波长和频率。
例如，电子在实验中表现出干涉和衍射现象，这是波的特性。
而在另一些实验中，电子又表现出粒子的特性，如在探测器上形成点状的击打。
波粒二象性的存在使得量子力学与经典物理学有着明显的区别。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的核心原理之一，由德国物理学家海森堡提出。
它指出，对于某些物理量，如位置和动量，无法同时精确地确定它们的值。
换句话说，我们无法同时知道一个粒子的位置和动量的精确数值。
这是因为在观测微观粒子时，我们需要使用光子或其他粒子与其相互作用，这种相互作用会对粒子的状态产生干扰。
根据不确定性原理，我们只能知道一个物理量的平均值和一定的不确定度，而不能确定其具体数值。
3. 量子叠加量子叠加是量子力学的另一个重要原理，它描述了微观粒子在特定条件下可以同时处于多个状态的现象。
在经典物理学中，一个物体只能处于一个确定的状态，而在量子力学中，微观粒子可以处于多个状态的叠加态。
这种叠加态的概念可以通过著名的双缝实验来解释。
在双缝实验中，光子通过两个狭缝后，会在屏幕上形成干涉条纹。
这表明光子既通过了一条缝，又通过了另一条缝，处于叠加态。
量子叠加的概念对于量子计算和量子通信等领域具有重要意义，它为实现更高效的计算和通信提供了理论基础。
4. 量子纠缠量子纠缠是量子力学中最神奇的现象之一。
它指的是两个或多个微观粒子之间存在一种特殊的关联关系，即使它们之间的距离很远，也会发生一种即时的相互作用。
量子力学的基本原理及实验验证
量子力学的基本原理及实验验证量子力学是一门探索微观世界的物理学，它解释了基本粒子在微观尺度下的运动规律。
量子力学为人们提供了一种全新的认识世界的方式，它的基本原理十分复杂，需要深入学习和探索。
1. 基本原理量子力学的基本原理是量子态和波粒二象性。
量子态是描述微观世界中粒子状态的概念，它可以用一个波函数表示。
波粒二象性是指粒子既具有粒子的特性，又具有波的特性。
这意味着微观世界的粒子在运动时可以像波一样表现出干涉、衍射等现象。
在量子力学中，粒子的运动是用波函数描述的，而波函数的演化是由薛定谔方程决定的。
薛定谔方程是描述量子力学的基本方程，它可以通过求解波函数来得到粒子的运动规律。
另一个重要的原理是量子态叠加原理。
叠加原理指的是如果一个粒子处于多个量子态的叠加态中，那么这个粒子可以同时处于这些量子态中，直到被观察者观察到后才会处于其中一个量子态。
2. 实验验证上述基本原理看起来极为抽象，但是在实验中却得到了充分的验证。
例如，量子叠加原理的实验验证通过杨氏双缝干涉实验来完成。
该实验使用激光将光分成两束，通过两个细缝照射到一张照相底片上。
观察照片后，可以看到由两个细缝发出的光波的干涉和衍射现象。
这表明在微观层面，粒子的运动方式确实可以像波一样展现出干涉和衍射等现象。
另一个实验是物理学家David Wineland和Serge Haroche进行的实验，他们分别在单个离子和单个光子上观察了量子态的叠加和纠缠现象。
通过对单个离子和单个光子的精确定位、精确激光控制和高精度测量，他们发现了量子态的纠缠和叠加现象，这一结果成为了量子计算机的基础之一。
3. 应用前景随着技术的发展，量子力学正在成为新一代技术的核心基石。
量子计算机是其中之一，它的主要原理是利用量子态的叠加和纠缠来实现计算。
相较于传统计算机，量子计算机具有更高的处理能力和更高的运算速度。
此外，量子通信也是一项创新的技术。
利用量子态的纠缠，在通信过程中可以实现绝对保密的信息传输。
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1 H ( X , P) [ P qA( X )] 2 qV ( X ) 2m
二、轨道角动量算符 1. 分量形式
轨道角动量算符 L 是与经典力学中的角动量 r p 相对应的算符 L X P
2. 动量算符
用P表示。动量算符的三个分量 P 1, P 2, P 3 与经典分析 力学中直角坐标下的正则动量对应。 正确的对应方法是先就所讨论的系统写出经典的拉
i ) ( L T V , 体系处在保守力场V 中， 格朗日函数 L(qi , q
T为动能），其中 q i 用直角坐标，此时正则动量 pi 的定
ij k k
i ijk ( Li Ak Ak Li )e j
ijk
因为 所以
[ Li , Ak ] i ikl Al
l
Li Ak Ak Li i ikl Al
l
代入上式，则 2 [ L , A] i ijk{Ak Li i ikl Al Ak Li }e j
13
令 f ( R ) R，则 [ P, R]与 R 对易 2 这样 [ P, R ] R[ P, R] [ P, R]R 2 因为 [ P, R ] 2iR 2R[ P, R] 2iR R 所以 [ P, R] i R 结合以上各式，有 2 [ P, R ] 2iR 4 2 [ P, R ] 4iR R 6 4 [ P, R ] 6iR R n n 2 有理由猜想 [ P, R ] niR R (n 1,2,3,)
kn lm
i
由于
lm kn
ij kn
X k Pn ij ml X m Pl
lm kn
（指标代换）
jl im
X m Pl jn ik X k Pn
8
代入上式
所以
[ Li , L j ] i ( in jk jn ik ) X k Pn
0 (l k 1) 1 (l k 2,3) 0 (l k , e.g . 23,32)
5
即 同理有
i
i1k i1l
lk lk lk
(l , k 1) (l , k 2) (l , k 3)
i i
i 2 k i 2l
此三式相加，得
i 3k i 3l
1 1 2 l k 1 or 2 or 3 ijk ijl lk ij 0
2 lk
﹟
6
2. 轨道角动量各分量间的对易关系
（ 1）
kl
[ Li , L j ] i ijk Lk
k mn
记住！
[证] [ Li , L j ] [ ikl X k Pl , jmn X m Pn ]]
§6.4 算符的构成 一、位置算符、动量算符和哈密顿算符 1. 位置算符 用 X1 X , X 2 Y , X 3 Z 表示一个例子直角坐标下的 位置算符。对单粒子来说，有 3 个自由度，这三者
是相互对易的厄米算符完备组。
以后约定，用单一字母X表示位置算符，用 X 表
示其矢量性。 注意矢量的两种含义： 1）Hilbert空间中的矢量，如 | , | 等 2）三维位形空间中的矢量，用箭头标出，如 X 、 x（小写表本征值） 1
kl mn
i[ ikl jmn lm X k Pn ikl jmn kn X m Pl ]
kl mn kl mn
7
i[ ikl jmn lm X k Pn ikl jmn kn X m Pl ]
kn lm lm kn
i[ ikl jln X k Pn ikl jmk X m Pl ]
[ Li Li , Aj ]e j
ij
i
j
{Li [ Li , Aj ] [ Li , Aj ]Li }e j
ij
18
[ L , A] {Li [ Li , Aj ] [ Li , Aj ]Li }e j
2 ij
{Lii ijk Ak i ijk Ak Li }e j
ijk
Li ijk X j Pk
此规律要记住！
ijk 称为Levi-Civita符号，其定义是
ijk
1 正序 123，231，312 1 乱序 132，321，213 0 其它（包括重复如 221）
4
容易验证 ijk 服从下列关系 以第一式的证明为例： 等式左边=
ij
ijk ijl
2 kl
jl km jm kl
i
ijk ilm
(
i
i1k i1l
i 2k i 2l i 3k i 3l )
对第一个求和
i
i1k i1l
11k 11l 21k 21l 31k 31l
义是
i ) L(qi , q pi i q
动量算符 Pi 就与经典的 pi 相对应。
pi mvi ; 无电磁场存在时，正则动量与机械动量一致， 当粒子在电磁场中运动时， pi mvi qAi .
2
3. 哈密顿算符
对单粒子，H算符的形式与经典分析力学中的哈密 顿函数 相对应，写为
2i ei X i i 2iX 2iR
12
ij ij ij
有时也写成
2 [ P, R ] 2iR 4 由此可知 2 [ P, R ] 4iR R 6 4 [ P, R ] 6iR R 2 [ P, R ]与 R 对易，或 又由第一式可知， 2 0 [R,[P, R ]] [ R, R[ P, R] [ P, R]R] R2[ P, R] [ P, R]R2 2 所以 [ P, R] 与 R 对易 这样 [ P, R] 必与 f ( R 2 )对易。
2
[ L , L] 0
2
[ Li Li , L j ]e j {Li [ Li , L j ] [ Li , L j ]Li }e j {i ijk Li Lk i ijk Lk Li }e j
ijk ij ij
{i ijk Li Lk i kji Li Lk }e j {i ijk Li Lk i kij Li Lk }e j
1 2 [ P , R ] i (2 P R 2i ) R 2 1 1 [ P , ] i 2 P R 3 R R
16
二、与轨道角动量 L 有关的对易关系
[ Li , L j ] i ijk Lk
前面已经介绍： [ Li , X j ] i ijk X k
i ijq nkq X k Pn
kn q
kn
i ijq Lq
q
﹟
用类似的方法可以证明：
[ Li , X j ] i ijk X k [ Li , Pj ] i ijk Pk
k k
注意：轨道角动量同所有矢量的对易关系都具有上
面的形式。
9
另外还有：
[证] [L , L] [L L, L]
3
L
的三个分量
L1 X 2 P L2 X 3 P L3 X1P2 X 2 P 3 X 3P 2, 1 X1P 3, 1
可以写成一个紧凑的形式 而
jk L 可以写成 L Li ei L1e1 L2e2 L3e3 ijk X i Pj ek i
2
用数学归纳法很容易证明（请课下证）。
14
下面看n取负值又如何。
n 1 0 [ P,1] [ P, R n ] R 1 n 1 n R [ P, n ] [ P, R ] n R R 1 1 n 1 [ P, n ] n [ P, R ] n 利用 [ P, R ] niR R R R 1 1 1 [ P , ] i R ni n 2 R R R R n n 2 所以式 [ P, R ] niR R (n 1,2,3,)
ijk l
19
[ L , A] i ijk{Ak Li i ikl Al Ak Li }e j
2 ijk l
2 2i ijk Ak Li e j (i) ijk ikl Al e j
ijk ijk l
2 2i kij Ak Li e j (i) ( ikj ikl Al )e j
kn l lm k
i[ ( lik ljn ) X k Pn ( kli kjm ) X m Pl ]
kn l lm k
（然后利用 ijk ilm jl km jm kl）
i[ ( in jk ij kn ) X k Pn ( jl im ml ij ) X m Pl ]
ijk ijk
0
﹟
10
§6.5 矢量算符的代数运算 一、与基本对易关系 [ X , P] i 有关的对易关系
2 讨论单粒子算符。设 R X X12 X 22 X 32 ，R是原
2
点与粒子的距离算符。 在量子力学中还常用到R 的
逆算符 R 1，且
1 R . R
1
det(R) 0 , 但 R 2有零本征值, 根据算符有逆的条件，
ikl jmn [ X k Pl , X m Pn ]]
kl mn