2018_2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系本章中考演练同步练习新版北师大版
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°、45°、60°角的三角函数值练习北师大版(2
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课时作业(三）［第一章 2 30°,45 °，60°角的三角函数值］一、选择题1．2018·大庆2cos60°＝（）A．1 B。
错误! C.错误! D.错误!2．计算sin240°＋cos240°的值为（)A．0 B。
错误! C．1 D．23．在△ABC中,若∠C＝90°，tan A＝3，则sin B的值为（）A.错误!B.错误!C。
错误!D。
错误!4．如图K－3－1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以点B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC,则cos∠AOC的值为（)图K－3－1A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!5．如果在△ABC中，∠A，∠B为锐角，且sin A＝cos B＝错误!,那么下列对△ABC最确切的描述是（)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形6．在△ABC中，∠A,∠B是锐角，且有｜tan B－3|＋（2sin A－错误!）2＝0，则△ABC的形状是（）链接听课例2归纳总结A．等腰（非等边）三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形7．如图K－3－2，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 错误!m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长3 错误!m，则鱼竿转过的角度是（）图K－3－2A．60°B．45°C．15°D．90°二、填空题8．点 M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是________．9．在Rt△ABC中,∠C＝90°，BC＝5 错误!,AC＝5 错误!，则∠A＝________°。
(典型题)初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．下列不等式成立的是（ ）A ．sin60°<sin45°<sin30°B ．cos30°<cos45°<cos60°C ．tan60°<tan45°<tan30°D ．sin30°<cos45°<tan60°2．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，有下列结论：①15BAE DAF ∠=∠=︒；②AC EF ⊥；③BE DF EF +=；④3AG GC =．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，则sin B ＝（ ）A ．512B ．1013C ．513D ．12134．如图，在Rt ABC 中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕直角边AC 的中点O 旋转，得到DEF ，连接AD ，若DE 恰好经过点C ，且DE 交AB 于点G ，则tan DAG ∠的值为（ ）A ．524B ．513C ．512D ．7245．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量树顶到地面的距离测量目标示意图 相关数据 30AB =米，28α∠=︒，45β∠=︒设树顶到地面的高度DC x =米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ） A ．()30tan 28x x =-︒B ．()30tan 28x x =+︒C ．30tan 28x x +=︒D ．30tan 28x x -=︒6．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．67．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB ，其设计图如图所示，BF ，ED 与地面平行，CD 的坡度为1:0.75i =，EF 的坡角为45︒，小王想利用所学知识测量基站顶部A 到地面的距离，若BF ED =，15CD =米，32EF =米，小王在山脚C 点处测得基站底部B 的仰角为37︒，在F 点处测得基站顶部A 的仰角为60︒，则基站顶部A 到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，参考数据：3 1.73≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）A ．21.5米B ．21.9米C ．22.0米D ．23.9米 8．如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x 的值为（ ）A ．2B ．3C 3D 3329．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使得BD=2DC ，连接AC ，如果5tanB 3=，则tan CAD ∠的值是（ ）A ．33B ．35C ．13D ．15 10．在ΔABC 中，∠C ＝90º，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．45 11．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，连接EO ．若AC=6，BD=8，则cos ∠AEO=（ ）A ．25B ．35C ．34D ．4512．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高4BC m =，则坡面AB 的长度是（ ）A ．433mB ．43mC ．23mD ．8m二、填空题13．已知α，β均为锐角，且满足cos 0.5tan 30αβ-+-=，则αβ+的度数为_______．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 边上一点，tan ∠ADE=34，M 为ED 的中点，过点M 作DE 的垂线，交边AD 于点P ，若点N 在射线PM 上，且由点E 、M 、N 组成的三角形与△AED 相似，则PN 的长为______．15．如图，在菱形纸片ABCD 中，3AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则tan EFG ∠的值为________．16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 的中点，BAC ∠的平分线交CD 于点E ，22CE =．把ACE △沿AC 对折，得到ACF ，点G 为AE 的中点，连结FG ，GB ．则四边形CFGB 的面积为_________．17．如图是某数学兴趣小组设计用手电简来测量某古城墙高度的示意图，在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝4m ，BP ＝6m ，PD ＝12m ，那么该古城墙CD 的高度是_____．18．计算22(cos 30sin 30)tan 60︒+︒⨯︒=___________．19．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝1213，BC ＝12，则AD 的长_____．20．在菱形ABCD 中，AB=4cm ，AB=BD ，则菱形ABCD 的面积是______．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，8BC =，30ABD ∠=︒，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为________．22．按要求完成下列各小题：（1）解方程：()2549x +=（2）计算：2sin 30cos 603tan 30+-23．（1）计算：()02cos45812 3.14π︒-+（2）解方程：2680x x ++= 24．如图1，直线y ＝34x 和直线y ＝﹣12x+5相交于点A ，直线y ＝﹣12x+5与x 轴交于点C ，点P 在线段AC 上，PD ⊥x 轴于点D ，交直线y ＝34x 于点Q ． （1）点A 的坐标为 ；（2）当QP ＝OA 时，求Q 点的坐标及△APQ 的面积；（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP 平分线交x 轴于点M ．①直接写出点M 的坐标 ； ②点N 在直线y ＝34x 的上方，当OQN 和OQM 全等时直接写出N 点坐标 ．25．吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地—一安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB 的高度，小明在纪念碑前D 处用测角仪测得顶端A 的仰角为60︒，底端B 的俯角为45︒；小明又在同一水平线上的E 处用测角仪测得顶端A 的仰角为30，已知8m DE =，求该纪念碑AB 的高度．（3 1.7≈，结果精确到0.1m ）26．如图在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为()6,n ．线段5OA =，E 为x 轴上一点，且4sin 5AOE ∠=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB 的面积；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：A 、sin60°sin45°，sin30°=12 ，故A 不成立；B 、cos30°=2，cos45°=2，cos60°=12，故B 不成立；C 、tan60°，tan45°=1，tan30°，故C 不成立；D 、sin30°=12，cos45°，tan60°D 成立； 故选：D ．【点睛】 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．2．C解析：C【分析】通过HL 证明ABE ADF ≌，从而得到,BAE DAF BE DF ∠=∠=由正方形的性质可以得出EC FC =，从而得出AC 垂直平分EF 可得结论①②正确，设EC x =，根据勾股定理，表示出等边三角形边长EF =，分别计算出AG ，CG ，再计算BE 、EF 的长，可比较BE DF +的长与EF 的长，即可判断结论③错误，结论④正确．【详解】四边形ABCD 是正方形， ,90AB AD B D ∴=∠=∠=︒ AEF 是等边三角形,60AE AF EAF ∴=∠=︒30BAE DAF ∴∠+∠=︒在Rt ABE △和Rt ADF 中AE AF AB AD=⎧⎨=⎩∴Rt ABE △≌Rt ADFBE DF ∴=BC CD =BC BE CD DF -=-∴，即CE CF =∴AC 是EF 的垂直平分线AC EF ∴⊥∴AC 平分EAF ∠160302EAC FAC ∴∠=∠=⨯︒=︒ 45BAC DAC ∠=∠=︒15BAE DAF ∠∠∴==︒故结论①②正确；sin 60sin 602sin 602AG AE EF CG =︒⋅=︒⋅=⨯⋅︒=AG ∴=故结论④正确；设EC x =，则FC x =由勾股定理得EF =122CG EF x ==，则2xAC CG AG CG =+=+=(12AB x +∴==()1122x x BE AB CE x +∴=-=-=))1212x BE DF x ∴+=⨯=≠ 故结论③错误综上所述结论①②④正确，结论③错误故选：C ．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定以性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题关键是熟练运用这些性质，利用勾股定理计算边的长度．3．D解析：D【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，求出AD长，再根据三角函数的意义计算即可．【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴BD=CD=5，AD=2212AB BD-=，sin B＝1213 ADAB=，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角函数，解题关键是作高构建直角三角形，利用三角函数的意义进行计算．4．D解析：D【分析】连接OG，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG，CD，AD的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：连接OG，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴222243AC BC+=+，∵点O是AC边的中点，∴OC=OA=OD=12AC=2， ∴∠GCO=∠ODC=∠BAC ，∠ADC=90°，∴AG=CG ，∴OG ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC=35BC AB =，cos ∠BAC=45AC AB =， ∴sin ∠OCG=35，cos ∠OCG=45， 在Rt △OCG 中，CG=5cos 2OC OCG =∠， 在Rt △ACD 中，CD=AC•cos ∠OCG=165，AD=AC•sin ∠OCG=125， ∴DG=CD-CG=165-52=710， ∴tan ∠DAG=771012245DG AD ==． 故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．5．B解析：B【分析】根据∠β=45°，得出BC ＝CD ＝x ，再根据28α∠=︒，用它的正切列方程即可．【详解】解：∵45β∠=︒，∴BC ＝CD ＝x ，∵AB ＝30，∴AC ＝x +30，∴tan28°＝30CD x AC x =+， ∴x ＝（x +30）tan28°，故选：B ．【点睛】 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．6．A解析：A【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF 的值，继而求得答案．【详解】解：如图：连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝12CD，BF＝12BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝12CF＝12BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝BFPF＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键7．B解析：B【分析】根据直角三角形的边角关系及坡度、坡角的定义求解．【详解】解：如图，分别过D、B作DM、BO垂直于地面于M、O两点，过F作FN垂直于直线ED 于点F，设DM=x ，则有：143,0.7534DM MC x MC ==∴=由勾股定理可得： 22222291516DM CM DC x x +=∴+=，， 解之得：x=12，∴DM=12，MC=9， ∵32EF =，EF 的坡角为45°，∴FN=NE=3，∴BO=FN+DM=3+12=15，OC=BO÷tan37°≈15÷0.75=20，∵BF=ED ，∴BF=（OC-MC-NE ）÷2=4,∴AB=BF×tan60°≈4×1.73=6.92,∴AO=AB+BO=6.92+15=21.92≈21.9（米），故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系、锐角三角函数的应用及坡度、坡角的定义是解题关键． 8．D解析：D【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB ，构造三角形ABC 与三角形ABE ，利用三角函数解直角三角形即可【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD 是6，BF=1BD 2=3，则边长AB 为3， 连AC 交BD 于E ，则AC ⊥BD ，由左视图得AE=CE=x ，在△ABC 中，AB=BC=3，∠ABC=120°，∴在Rt △ABE 中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=32，AE=AB•cos30°=33， 即x=332． 故选择：D.【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力．9．D解析：D【分析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由5tanB 3=，即53AD AB =，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，利用相似三角形的判定可证△CDE ∽△BDA ，由相似三角形的性质可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求得tan ∠CAD 的值． 【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵5tanB 3=，即53AD AB =， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ， ∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ，∴△CDE ∽△BDA ，∴12CE DE CD AB AD BD ===，∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ， ∴tan ∠CAD ＝15CE AE =． 故选：D ．【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．10．D解析：D【分析】利用勾股定理可求出AC 的长，根据余弦函数的定义即可得答案．【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴=4， ∴cosA=AC AB =45． 故选：D ．【点睛】考查勾股定理及锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题的关键.11．D解析：D【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求得BC=5，根据直角三角形斜边中线的性质证得OE=OA=OC ，证得∠AEO=∠EAO ，再利用同角的余角相等证得∠OBC=∠EAC ，利用锐角三角函数的定义即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，且AC=6，BD=8，∴AC ⊥BD ，OB=OD=4，OA=OC=3，∴==5，∵AE ⊥BC ，OA=OC ，∴OE=OA=OC ，∴∠AEO=∠EAO ，∵AE ⊥BC ，AC ⊥BD ，∴∠OBC+∠BCO =∠EAC+∠BCO ，∴∠OBC=∠EAC ，即∠AEO=∠OBC ，∴cos ∠AEO= cos ∠OBC =45OB BC =． 故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 12．D解析：D【分析】直接利用坡比的定义得出AC 的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】∵河堤横断面迎水坡AB 的坡比是 ∴BC AC = ∴4AC =解得：AC ＝故AB 8（m ），故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．二、填空题13．【分析】根据非负数的性质列出算式根据特殊角的三角函数值计算即可【详解】解：由题意得cosα-05=0tanβ-=0∴cosα=05tanβ=解得α=60°β=60°则α+β的度数为120°故答案为：解析：120︒【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：由题意得，c osα-0.5=0，tanβ，∴cosα=0.5，解得，α=60°，β=60°，则α+β的度数为120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查的是非负数的性质和特殊角的三角函数值，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．14．0或或【分析】首先根据tan ∠ADE=求得AE=3根据勾股定理求出DE=5由M 为ED 的中点得DM=EM=根据tan ∠ADE=求得PM=然后分三种情况根据相似三角形的性质即可求解【详解】解：∵正方形A解析：0或154或12524 【分析】 首先根据tan ∠ADE=34求得AE=3，根据勾股定理求出DE=5，由M 为ED 的中点得DM=EM=52，根据tan ∠ADE=34求得PM=158， 然后分三种情况，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4，tan ∠ADE=AE AD =34， AE=3，∴DE=22345+=，∵M 为ED 的中点，∴DM=EM=52， ∴在Rt △PMD 中，PM=DM∙an ∠ADE=52×34=158， 如图：点N 在线段PM 上，1EMN DAE △∽△时1MN EM AE DA =，即15234MN =， ∴1158MN =， ∴111515088PN PM MN =-=-=； 点N 在线段PM 的延长线上，2EMN DAE △∽△时2MN EM AE DA =，即25234MN =， ∴2158MN =， ∴22151515884PN PM MN =+=+=； 点N 在线段PM 的延长线上，3EMN EAD △∽△时3MN EM AD EA =，即35243MN =， ∴3103MN =， ∴3315101258324PN PM MN =+=+=． 故答案为：0或154或12524． 【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，利用正切值求边长，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．【分析】连接AE 交GF 于O 连接BEBD 则△BCD 为等边三角形设AF=x=EF 则BF=3-x 依据勾股定理可得Rt △BEF 中BF2+BE2=EF2解方程（3-x ）2+（）2=x2即可得到EF=再根据Rt【分析】连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，依据勾股定理可得Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，解方程（3-x ）2+2=x 2，即可得到EF=218，再根据Rt △EOF 中，=tan ∠EFG=233EO FO =． 【详解】 解：如图，连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，∵E 是CD 的中点，∴BE ⊥CD ，∴∠EBF=∠BEC=90°，Rt △BCE 中，CE=cos60°×3=1.5，BE=sin60°332 ∴Rt △ABE 中，372由折叠可得，AE ⊥GF ，EO=12374设AF=x=EF ，则BF=3-x ， ∵Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，∴（3-x ）2+3322=x 2， 解得x=218，即EF=218， ∴Rt △EOF 中，223218AF AO -= ∴tan ∠EFG=233EO FO = 233【点睛】 本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，对应边和对应角相等．解题时，常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 16．【分析】如图连接交于连接解直角三角形求出再根据求解即可【详解】解：如图连接交于连接是由翻折得到平分故答案为：【点睛】本题考查翻折变换解直角三角形等腰直角三角形的判定和性质三角形中线的性质等知识解题的 解析：1262+【分析】如图，连接EF 交AC 于T ，连接BE ．解直角三角形求出CT ，ET ，DE ，AD ，CD ，AC ，再根据()11222AFG AGB AFC ACB AEC EFC AEB CFGB ABCE S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆=--=+---四边形四边形求解即可． 【详解】解：如图，连接EF 交AC 于T ，连接BE ．ACF ∆是由ACE ∆翻折得到，EF AC ∴⊥， 90ACB ∠=︒，CA CB =，AD DB =， CD AB ∴⊥，1452ACD ACB ∠=∠=︒， 90CTE ∠=︒，45ECT CET ∴∠=∠=︒，22CT ET ∴===， ED AD ⊥，ET AC ⊥，AE 平分CAD ∠，2ET ED ∴==，222AD CD ∴==+224AC BC ==，AG EG =，AFG EFG S S ∆∆∴=，ABG EBG S S ∆∆=， AFG AGB CFGB ABCF S S S S ∆∆∴=--四边形四边形11(2)22AFC ACB AEC EFC AEB S S S S S ∆∆∆∆∆=+--- 21111111(224)(222)22[2(222)222222](442)22222222=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯1262=+，故答案为：1262+【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求四边形面积，属于中考常考题型．17．8米【分析】根据光的反射原理得到∠APB=∠CPD 在直角三角形中利用等角的正切值相等建立等式求解即可【详解】根据光的反射原理得到∠APB=∠CPD ∴tan ∠APB=tan ∠CPD ∴∴解得CD=8故应解析：8米.【分析】根据光的反射原理，得到∠APB=∠CPD ，在直角三角形中，利用等角的正切值相等建立等式求解即可.【详解】根据光的反射原理，得到∠APB=∠CPD ，∴tan ∠APB =tan ∠CPD ， ∴AB CD PB PD=， ∴4612CD =, 解得CD=8，故应填8米.【点睛】 本题考查了物理背景下的三角函数问题，熟练掌握光的反射原理，三角函数的定义是解题的关键.18．【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键【分析】根据特殊角的三角函数值，代入计算即可．【详解】()22cos 30sin 30tan 60︒+︒⨯︒，2212⎛⎫⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3144⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1=，=【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 19．8【分析】在Rt △ADC 中利用正弦的定义得sinC ＝＝则可设AD ＝12x 所以AC ＝13x 利用勾股定理计算出DC ＝5x 由于cos ∠DAC ＝sinC 得到tanB ＝接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到B 解析：8【分析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝ADAC＝1213，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sin C得到tan B＝1213，接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝23，然后利用AD＝12x进行计算．【详解】在Rt△ADC中，sin C＝ADAC＝1213，设AD＝12x，则AC＝13x，∴DC＝5x，∵cos∠DAC＝sin C＝1213，∴tan B＝1213，在Rt△ABD中，∵tan B＝ADBD＝1213，而AD＝12x，∴BD＝13x，∴13x+5x＝12，解得x＝23，∴AD＝12x＝8．故答案为8．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．20．【分析】根据菱形的性质结合AB=BD得到△ABD是等边三角形再利用锐角三角函数关系得出BE的长即可得出菱形的面积【详解】∵在菱形ABCD中AB=BD∴AB=AD=BD=4(cm)∴△ABD是等边三角解析：2【分析】根据菱形的性质结合AB=BD，得到△ABD是等边三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE 的长，即可得出菱形的面积．．【详解】∵在菱形ABCD中，AB=BD，∴AB=AD=BD=4(cm)，∴△ABD 是等边三角形，∴∠A=60°，过点B 作BE ⊥AD 于E ，∴BE=AB•sin60°=4323⨯=(cm)， ∴菱形ABCD 的面积S=AD×BE 42383=⨯=(2cm )，故答案为：283cm【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，得出BE 的长是解题关键．三、解答题21．【分析】 作点A 关于BD 的对称点A '，连接MA '，BA '，过 A '作A H AB '⊥于H ，则AM MN A M MN A H ''+=+≥，求出 A H '的长度即可解决问题．【详解】解：作点A 关于BD 的对称点A '，连接MA '，BA '，过 A '作A H AB '⊥于H ．∵BA BA '=，30ABD DBA '∠=∠=︒，∴60ABA '∠=︒，∴ABA '△是等边三角形，∵四边形ABCD 是矩形，∴8AD BC ==，在Rt ABD △中，83tan 30AD AB ==︒∵A H AB '⊥，∴43AH HB ==∴312A H '==，∵AM MN A M MN A H ''+=+≥，∴12AM MN +≥，∴AM MN +的最小值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查的是最短距离问题，等边三角形的判定与性质，本题关键根据轴对称的性质作出点A 的对称点，再根据垂线段最短求解，注意三角函数知识的运用．22．（1）12122x x =-=，；（2）14-【分析】（1）原方程移项后根据平方差公式分解因式，即可得到方程的解；（2）求出式中特殊角的三角函数值即可得到解答．【详解】（1）原方程可化为22x 570+-=（）， ()x 1220x +-=（）得:120x +=,或20x -=1212,2x x ∴=-=解：（2）原式=21122+-（） 11124=+- 14=- 【点睛】本题考查一元二次方程与特殊角三角函数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法及特殊角三角函数的值是解题关键．23．（1）2-；（2）12x =-，24x =-【分析】（1）先计算特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值，零指数幂，然后进行化简，即可得到答案；（2）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：（1）()02cos451 3.14π︒-+=211-=11-=2-；（2）2680x x ++=∴(2)(4)0x x ++=，∴12x =-，24x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值，零指数幂，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．24．（1）()4,3；（2）()8,6Q ；10；（3）()3,6，()1.4,4.8【分析】（1）把两个函数解析式联立方程组计算即可；（2）设P 的横坐标n ，根据勾股定理求出P ，Q 的坐标，计算即可；（3）①作MH OQ ⊥，根据勾股定理和三角函数值求出M 的坐标计算即可；②当四边形NOMQ 为平行四边形和当△NOQ 与△MOQ 关于OQ 对称时分别计算即可得到结果；【详解】（1）由题意可得： 34152y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 化简得：31542x x =-+， 解得：4x =， 把4x =代入y ＝34x 中，得3y =， ∴()4,3A ；故答案是()4,3；（2）如图，把0y =代入152y x =-+中，得到10x =， ∴()10,0C ，设P 的横坐标n ，把xn =代入152y x =-+得()154102y n n =-+≤≤， ∴1,52P n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 把xn =代入34y x =得34y n =， ∴3,4Q n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵()4,3A ，∴22435OA =+=，31555424PQ n n n ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭， ∵QP OA =， ∴5554n -=， ∴8n =，∴()8,6Q ，作AG x ⊥轴，则()△115841022APQ S PQ GD ==⨯⨯-=； （3）①作MH OQ ⊥，∵MQ 平分OQP ∠，∴HM DM =，设(),0M m （m ＞0），则OM m =，8DM m =-， ∴8HM m =-，∵sin HM QOD OM∠=，sin QD QOD OQ ∠=， ∴HM DQ OM OQ=，∵()8,6Q ，∴10OQ =，6DQ =， ∴8610m m-=， ∴5m =，∴()5,0M ；②如图，当四边形NOMQ 为平行四边形时，△△NQO MOQ ≅，则NQ 由OM 平移得到，()5,0M 平移到点()8,6Q ，则853-=，则横坐标加上3，606-=，则纵坐标加上6，∵()0,0O ，∴()13,6N ；当△NOQ 与△MOQ 关于OQ 对称时，△△NOQ MOQ ≅，设()2,N a b ， ∵6sin 0.610QD QOD QO ∠===， ∴0.6HM OM =， ∴0.65HM =， ∴3HM =，∴226N M HM ==，作2N F x ⊥轴，则2FN M QOD ∠=∠， ∴228cos 6 4.810FN MN QOD =∠=⨯=， 26sin 6 3.610PM N M QOD =∠=⨯=， 5 3.6 1.4OF MO FM =-=-=， ∴()2 1.4,4.8N ；综上所述，符合条件的N 点的坐标为()3,6，()1.4,4.8．【点睛】本题主要考查了一次函数综合应用，结合三角函数定义、勾股定理、三角形全等计算是解题的关键．25．8m【分析】设CD=x m ，解Rt △ACD 与Rt △DCB ，用含x 的代数式表示出AC 、CB ，然后根据△ACE 是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x 的值，进而可得AB ．【详解】解：设CD=x m ，∵∠ADC=60°，∠CDB=45°，∴AC=x•tan60=3x ，CB=x•tan45°=x （m ）， ∵∠AED=30°，DE=8m ，∴CE=3AC ，∴3×3x=x+8，解得x=4（m ），∴AB=3x+x=43+4≈10.8（m ）．答：该纪念碑AB 的高度约为10.8m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．26．（1）12y x =-，223y x =-+；（2）9 【分析】（1）过点A 作AH ⊥x 轴于H 点，由4sin 5AH ACE AO∠==，OA=5，根据正弦的定义可求出AH ，再根据勾股定理得到OH ，即得到A 点坐标（-3，4），把A （-3，4）代入y= ，确定反比例函数的解析式为y=- ；将B （6，n ）代入，确定点B 点坐标，然后把A 点和B 点坐标代入y=kx+b （k≠0），求出k 和b ．（2）先令y=0，求出C 点坐标，得到OC 的长，然后根据AOB BOC AOC SS S =+计算△AOB 的面积即可．【详解】解：（1）过A 作AH x ⊥轴交x 轴于H ，∴4sin 5AH ACE AO∠==，5OA =，∴4AH =，∴223OH OA AH ，∴()3,4A -，将()3,4A -代入m y x=，得12=-m ， ∴反比例函数的解析式为12y x =-， 将()6,B n 代入12y x=-，得2n =-， ∴()6,2B -， 将()3,4A -和()6,2B -分别代入()0y kx b k =+≠，得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线解析式：223y x =-+； （2）在直线223y x =-+中，令0y =，则有2203x -+=，解得3x =， ∴()3,0C ，即3OC =，∴13462AOC S =⨯⨯=△； 同理3BOC S =△，则9AOB BOC AOC S S S =+=△△△．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是作x 轴的垂线，解直角三角形求A 点坐标，用待定系数法求直线，双曲线的解析式．。
九年级数学下第一章---直角三角形的边角关系复习与训练
九年级数学下第一章---直角三角形的边角关系复习与训练一 、锐角三角函数的定义1.在Rt △ABC 中，∠C=900,直角三角形边角之间的关系： （1）三边关系：_________________(即_______定理)（2）三角关系：_____________________(即_______________定理)____________________（性质：直角三角形两锐角______）（3）边角关系（即tanA ，sinA,cosA 与边的关系）锐角∠A 的正弦： ∠A 的（ ）边 （ ） （ ）sinA= = =（ ）边 （ ） （ ）锐角∠A 的余弦： ∠A 的（ ）边 （ ） （ ）cosA= = =（ ）边 （ ） （ ）锐角∠A 的正切： ∠A 的（ ）边 （ ） （ ）tanA= = =∠A 的（ ）边 （ ） （ ）注：① 锐角A 的______、______、______都是∠A 的三角函数．．．．。
② 三角函数值是一个比值，没有．．．．．．．．．．．．．单位．．．．2.练习：1. 在Rt △ABC 中，∠C=900,AC=3,BC=4,求tanA 、sinA 和cosA 的值。
2. 在Rt △ABC 中，∠C=900, cosA=1312，AC=10, 求AB 、BC 的值。
3. 在Rt △ABC 中，∠C=900, cosA=0.6，BC=8, 求AB 、BC 的值。
4. 在Rt △ABC 中，∠C=900,sinA=43，求tanA 和cosA 的值。
5.如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC=5，BC=8,求tanB 、sinB 和cosB 。
AB C6. 在Rt △ABC 中，∠BCA=900,CD 是AB 边上的中线，BC=6,CD=5, 求sin ∠ACD,cos ∠ACD, tan ∠ACD ；BDA C7：坡度（坡比）与坡角：⑴坡面与水平面的夹角叫做________，⑵坡面的____________与____________的比称为坡度（或______）（用字母．．．．i ．表示）．．． ⑶坡度与坡角有什么关系？⑷正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑、工程技术等.正切经常用来描述山坡的_______、堤坝的_______.例：如图，有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高60m,那么山坡的坡度是：（ ） （ ） i=_______α= =（ ） （ ） 60米二、特殊角的锐角三角函数值 100米1.⑴在Rt △ABC 中，∠C=900, 若∠A=300,设BC=a,则AB=______ AC=________ ⑵在Rt △DEF 中，∠F=900, 若∠D=450,设DF=a,则EF=______ DE=________ B EA C D F 2.利用上图，可求出下列特殊角的锐角三角函数值．3.锐角三角函数的大小比较(1) 正弦、正切的锐角三角函数值随角度的增大而_____ ，随角度的减小而____ _． (2)余弦的锐角三角函数值随角度的增大而_____ ，随角度的减小而____ _。
2019版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形一课一练 基础闯关 (新
解直角三角形一课一练·基础闯关题组一已知两边解直角三角形1.(xx·历下区三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,如果AD=BC,那么tanB的值是世纪金榜导学号18574021( )A.1B.C.D.【解析】选C.∵AD是BC边上的中线,∴设BD=CD=x,则AD=BC=2x,在Rt△ACD中,AC===x,则tanB===.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,且a=4,b=8,则∠A的度数是( )A.27°B.30°C.60°D.63°【解析】选A.∵tanA==,∴∠A≈27°.【易错提醒】本题要注意a,b是两条直角边,不要误以为sinA=,而错选B.3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A,D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是世纪金榜导学号18574022( )A. B. C. D.【解析】选B.如图所示:设BC=x,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,根据题意得:AD=BC=x,AE=DE=AB=x,作EM⊥AD于点M,则AM=AD=x,在Rt△AEM中,cos∠EAD==.4.如图,AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,AD=4,AC=6,则sin∠EBC= ________.【解析】∵AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高,∴∠BDA=∠ADC=90°,∵∠CBE+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠CBE=∠DAC,∵∠ADC=90°,AD=4,AC=6,∴CD====2,∴sin∠DAC===,∴sin∠EBC=.答案:5.(xx·顺德区一模)如图,等腰△ABC的周长是36cm,底边为10cm,则底角的正切值是________.世纪金榜导学号18574023【解析】作AD⊥BC于点D,∵AB=AC,AD是高,BC=10cm,∴BD=DC=BC=5cm,AB=AC=13cm,在Rt△ADB中,由勾股定理得:AB2=AD2+BD2,∴AD=12cm,∴tanC==.答案:6.如图,在锐角三角形ABC中,AB=10,AC=2,sinB=.(1)求tanC.(2)求线段BC的长.【解析】(1)过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中,AB=10,sinB==,∴=,∴AD=6.在Rt△ACD中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2,∴CD2=(2)2-62=16,∴CD=4,∴tanC=.(2)在Rt△ABD中,AB=10,AD=6,∴由勾股定理得BD=8,由(1)得CD=4,∴BC=BD+CD=12.题组二已知一边一锐角解直角三角形1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( )A. B.4 C.8 D.4【解析】选D.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,cosB=,即cos30°=,∴BC=8×=4.2.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,若AC=6,∠C=45°,tan∠ABC=3,则BD等于( )世纪金榜导学号18574024 A.2 B.3C.3D.2【解析】选A.∵AC=6,∠C=45°,∴AD=AC·sin45°=6×=6,∵tan∠ABC=3,∴=3,∴BD=2.3.如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD,利用此图可求得tan75°的值是( )A.2-B.2+C.-2D.+1【解析】选B.∵AB=BD,∴∠A=∠ADB,∵∠DBC=∠A+∠ADB=30°,∴∠A=15°,∴∠ADC=75°,设CD=a,在Rt△BCD中,∵∠DBC=30°,∴BD=2a,BC=a,∴AC=AB+BC=BD+BC=2a+a=(2+)a,在Rt△ACD中,tan∠ADC=tan75°==2+.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=3,AC=10,则S△ABC等于世纪金榜导学号18574025( )A.3B.300C.D.150【解析】选D.∵tanA==3,∴BC=AC·tanA=10×3=30,∴S△ABC=AC·BC=×10×30=150.5.已知△ABC中,tanB=,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD∶CD=2∶1,则△ABC的面积为________.【解析】如图1所示:∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=4,∵AD⊥BC,tanB=,∴=,∴AD=BD=,∴S△ABC=BC·AD=×6×=8;如图2所示:∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=12,∵AD⊥BC,tanB=,∴=,∴AD=BD=8,∴S△ABC=BC·AD=×6×8=24;综上,△ABC的面积为8或24.答案:8或246.(xx·德州中考)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒.已知∠B=30°,∠C=45°.世纪金榜导学号18574026(1)求B,C之间的距离.(保留根号)(2)如果此地限速为80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)【解析】(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AD=10m.∵在Rt△ACD中,∠C=45°,∴Rt△ACD是等腰直角三角形.∴CD=AD=10m.在Rt△ABD中,tanB=,∵∠B=30°,∴=.∴BD=10(m).∴BC=BD+DC=(10+10)(m).答:B,C之间的距离是(10+10)m.(2)这辆汽车超速.理由如下:由(1)知BC=(10+10)m,又≈1.7,∴BC=27m.∴汽车速度v==30(m/s).又30m/s=108km/h,此地限速为80 km/h,∵108>80,∴这辆汽车超速.答:这辆汽车超速.如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.若∠A=60°,求BC的长.【解析】∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA=,∴∠E=30°,BE=tan60°·6=6,又∵∠CDE=90°,CD=4,sinE=,∠E=30°,∴CE=8,∴BC=BE-CE=6-8.【母题变式】[变式一]如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°, AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.若sinA=,求AD的长.【解析】∵∠ABE=90°,AB=6,sinA==,∴设BE=4x,则AE=5x,得AB=3x,∴3x=6,得x=2,∴BE=8,AE=10,∴tanE====,解得DE=,∴AD=AE-DE=10-=,即AD的长是.[变式二]如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°, AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.若∠A=45°,求四边形ABCD的面积.【解析】∵∠ABE=90°,AB=6,∠A=45°,∴AB=BE=6,∠E=45°,∵∠ADC=90°,∴CD=DE=4,∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=×6×6-×4×4=10.。
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第一章直角三角形的边角关系本章中考演练一、选择题1．2018·天津cos 30°的值等于()A .22B .32C ．1D . 3 2．2018·柳州如图1－Y －1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，则sin B ＝ACAB＝()图1－Y －1A .35B .45C .37D .343．2018·金华如图1－Y －2，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为()图1－Y －2A .tan αcos βB .sin βsin αC .sin αsin βD .cos βcos α4．2018·重庆如图1－Y －3，AB 是垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向行走20米到达点C ，再经过一段坡度(或坡比)为i ＝1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向行走40米到达点E(A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内)，在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45)()图1－Y －3A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米二、填空题5．2018·滨州在△ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，则sin B ＝________．6．2018·无锡已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝2 7，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于____________． 7．2018·潍坊如图1－Y －4，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A 处测得岛礁P 在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B 处，此时测得岛礁P 在北偏东30°方向上，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向上．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)图1－Y－4三、解答题8．2018·达州如图1－Y－5，在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，此时测得雕塑顶端点C的仰角为45°.则该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值)图1－Y－59．2018·衢州“五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图1－Y－6①所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直行多少米才能到达桥头D处．(精确到1米．参考数据：2≈图1－Y－610．2018·聊城随着我市农产品整体品牌形象“聊·胜一筹！”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1－Y－7①.线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC＝150°，在点D处测得点A、点C的仰角分别为9°，15.6°，如图②.求保温板AC的长是多少米．(精确到0.1米．参考数据：3≈1.732，sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16，sin15.6°≈0.27，cos15.6°≈0.96，tan15.6°≈0.28)图1－Y－711．2018·岳阳如图1－Y－8①是某小区入口实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM＝60°.(1)求点M到地面的距离．(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：3≈1.73)图1－Y－812．2018·绍兴如图1－Y－9，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接．图②是图①中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，BD＝40 cm.(1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；(2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离(精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732，6≈2.449)．图1－Y －9详解详析1．[答案] B 2．[答案] A[解析] 由勾股定理，得AB ＝AC2＋BC2＝32＋42＝5，则sin B ＝AC AB ＝35. 3．[解析] B 在Rt △ABC 中，AB ＝ACsin α， 在Rt △ACD 中，AD ＝ACsin β， ∴AB ∶AD ＝AC sin α∶AC sin β＝sin βsin α.故选B. 4．[解析] A 过点B 作BM ⊥ED 交ED 的延长线于点M ，过点C 作CN ⊥DM 于点N .在Rt △CDN 中，∵CN DN ＝10.75＝43，设CN ＝4k 米，DN ＝3k 米，∵CD ＝10米，∴(3k )2＋(4k )2＝100，∴k ＝2(负值已舍去)， ∴CN ＝8米，DN ＝6米． ∵四边形BMNC 是矩形，∴BM ＝CN ＝8米，BC ＝MN ＝20米，∴EM ＝MN ＋DN ＋DE ＝20＋6＋40＝66(米)． 在Rt △AEM 中，tan24°＝AM EM ，∴0.45≈8＋AB66，解得AB ≈21.7(米)．故选A. 5．[答案]2 55[解析] 如图所示：∵∠C ＝90°，tan A ＝12，∴设BC ＝x ，则AC ＝2x ，故AB ＝5x ，则sin B ＝AC AB＝2x 5x＝2 55.6．[答案] 15 3或10 3[解析] 作AD ⊥BC 交BC (或BC 的延长线)于点D ，(1)如图①，当AB ，AC 位于AD 异侧时，在Rt △ABD 中，∵∠B ＝30°，AB ＝10， ∴AD ＝AB sin B ＝5，BD ＝AB cos B ＝5 3. 在Rt △ACD 中，∵AC ＝2 7，∴CD ＝AC2－AD2＝（2 7）2－52＝3， 则BC ＝BD ＋CD ＝6 3，∴S △ABC ＝12·BC ·AD ＝12×6 3×5＝15 3. (2)如图②，当AB ，AC 在AD 的同侧时，由①知，BD ＝5 3，CD ＝3，AD ＝5， 则BC ＝BD －CD ＝4 3，∴S △ABC ＝12·BC ·AD ＝12×4 3×5＝10 3. 综上，△ABC 的面积是15 3或10 3.7．[答案]18＋6 35[解析] 过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .AB ＝60×1.5＝90(海里)，设PQ ＝MN ＝x 海里，由点P 在点A 的东北方向上可知，∠PAQ ＝45°，∴AQ ＝PQ ＝x 海里，BQ ＝(x －90)海里．在Rt △PBQ 中，∠PBQ ＝90°－30°＝60°，∴tan60°＝xx －90＝3，解得x ＝135＋45 3.在Rt △BMN 中，∠MBN ＝90°－60°＝30°，∴BM ＝2MN ＝2x ＝2×(135＋45 3)＝(270＋90 3)海里， ∴最短航行时间为270＋90 375＝18＋6 35(时)．8．解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，设CD ＝x 米，∵∠CBD ＝45°，∠BDC ＝90°， ∴BD ＝CD ＝x 米，∵∠A ＝30°，AD ＝AB ＋BD ＝(4＋x )米， ∴tan A ＝CD AD ，即33＝x 4＋x，解得x ＝2＋2 3， 因此，该雕塑的高度为(2＋2 3)米．9．[解析] 设BD ＝x 米，则可得AD 的长，分别在Rt △ACD 和Rt △BCD 中，表示出CD 的长度，然后根据等式，列出方程即可解决问题．解：设BD ＝x 米，则AD ＝(200＋x )米．在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝(200＋x )米． 在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝60°，∴CD ＝3BD ＝3x 米，∴200＋x ＝3x ，∴x ＝100(3＋1)＝100 3＋100≈273. 因此，小明还需沿绿道继续直行约273米才能到达桥头D 处．10．[解析] 过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，设AF ＝x 米，可得AC ＝2x 米，CF ＝3x 米，在Rt △ABD 中，由AB ＝EF ＝2米，知BD ＝2tan9°米，DE ＝BD －BE ＝(2tan9°－x )米，CE ＝EF ＋CF ＝(2＋3x )米，根据tan ∠CDE ＝CEDE列出关于x 的方程，解之可得． 解：如图所示，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，则四边形ABEF 是矩形， ∴AB ＝EF ＝2米，AF ＝BE . 设AF ＝x 米，则BE ＝x 米．∵∠BAC ＝150°，∠BAF ＝90°， ∴∠CAF ＝60°， 则AC ＝AFcos∠CAF＝2x 米，CF ＝AF tan ∠CAF ＝3x 米．在Rt △ABD 中，∵AB ＝2米，∠ADB ＝9°，∴BD ＝AB tan∠ADB ＝2tan9°米，则DE ＝BD －BE ＝(2tan9°－x )米，CE ＝EF ＋CF ＝(2＋3x )米． 在Rt △CDE 中，∵tan ∠CDE ＝CE DE， ∴tan15.6°＝2＋3x2tan9°－x ，解得x ≈0.7，即保温板AC 的长约是0.7米．11．解：(1)如图，过点M 作MN ⊥AB 交BA 的延长线于点N . 在Rt △OMN 中，∠NOM ＝60°，OM ＝1.2米，∴∠M ＝30°，∴ON ＝12OM ＝0.6米，∴NB ＝ON ＋OB ＝0.6＋3.3＝3.9(米)． 答：点M 到地面的距离是3.9米．(2)货车能安全通过．取CE ＝0.65米，EH ＝2.55米，则HB ＝3.9－2.55－0.65＝0.7(米)． 过点H 作GH ⊥BC ，交OM 于点G ，过点O 作OP ⊥GH 于点P ，则OP ＝HB ＝0.7米． ∵∠GOP ＝90°－60°＝30°，∴tan30°＝GP OP ＝33， ∴GP ＝33OP ≈1.73×0.73≈0.404(米)， ∴GH ≈3.3＋0.404＝3.704(米)＞3.5米，∴货车能安全通过．12．[解析] (1)由AC ＝DE ，AE ＝CD 可得四边形ACDE 是平行四边形，则CA ∥DE ，根据两直线平行，同位角相等，可求得∠DFB 的度数．(2)过点C 作CG ⊥AB 于点G ，在Rt △ACG 中，∠CAB ＝60°，AC ＝20 cm ，可求得AG ＝20cos60°＝10 cm ，CG ＝20sin60°＝10 3 cm ，在Rt △BCG 中，由CG ＝10 3 cm ，BC ＝30 cm ，可求得BG ＝10 6 cm ，进而可求得AB 的长度．解：(1)∵AC ＝DE ，AE ＝CD ， ∴四边形ACDE 是平行四边形， ∴CA ∥DE ，∴∠DFB ＝∠CAB ＝85°.(2)如图，过点C 作CG ⊥AB 于点G . 在Rt △ACG 中， ∵∠CAB ＝60°，∴AG ＝20cos60°＝10 cm ，CG ＝20sin60°＝10 3 cm. ∵BD ＝40 cm ，CD ＝10 cm ， ∴BC ＝30 cm.在Rt △BCG 中，BG ＝BC2－CG2＝10 6 cm ， ∴AB ＝AG ＋BG ＝10＋10 6≈34.5(cm)．。