高中数学青年教师基本功考核试题(含答案)

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2016年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)

2016年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题参考答案13． 1- 14．19 15．12π16．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 解：(Ⅰ)因为22222112322cos 2224a c ac ac aca cb B ac ac ac +--+-==≥= 所以3cos 4B ≥……………………4分 (Ⅱ)因为()()()cos cos cos cos 2sin sin 1A C B A C A C A C -+=--+==，所以1sin sin 2A C =……………………6分又由22b ac =，得211sin sin sin 24B AC ==，又()0,B π∈，且3cos 04B ≥>,知B 为锐角故1sin 2B =，得6B π= ……………………10分 18. 解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． ……………………2分所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =- ……………………4分169512=． ……………………5分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………………8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………………9分所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）．……………………11分又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税，所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………………12分19.解：（1）证明：在直角PBC ∆中，4=PC ，3=BC ，3:5:=DC PD ．∴5=PB ，25=PD ，23=DC ． ……………………………………1分又︒=∠=∠90C PAD ，P P ∠=∠． ∴PAD ∆∽∆PCB ，即BCADPB PD PC PA ==． ∴5()4225PD PC PA PB ⋅⋅===，3=-=PA PB AB ，5()33252PD BC AD PB ⋅⋅===．而∆SAB 中，2==PA SA ，13=SB ． ……………………………………3分∴222SB AB SA =+，即AB SA ⊥． ……………………………………4分由翻折不变性知，AD SA ⊥，又A AD AB = ，∴⊥SA 平面ABCD ． ……………………………………6分（2）解法1（综合法）：在图2中，延长BA 、DC 相交于点P ．连接SP ，取SP 中点M ，连接MD MA 、，如图． ……………………………………6分由翻折不变性知，SA PA =，SD PD =． ∴SP MA ⊥，SP MD ⊥．∴AMD ∠为所求二面角的平面角． ……………………………………8分又AD SA ⊥，PB AD ⊥，A PB SA = ， ∴⊥AD 平面SPB ，又⊂MA 平面SPB ，∴MA AD ⊥． ……………………………………10分在直角SPA ∆中，2==SA PA ，M 为SP 中点． ∴22=SP ，2=MA ．在SPD ∆中，由（1）知25==SD PD ，M 为SP 中点．∴2MD ==． ∴cos MA AMP MD ∠==即平面SAB 与平面SCD 所成二面角的余弦值为17342． ……………………………………12分 BDA SPM（注：若不利用MA AD ⊥这一结论，也可以利用余弦定理求出AMP ∠cos ．）解法2（坐标法）：以A 为坐标原点建立如图的空间直角坐标系． ………………………………6分由（1）知，2=PA ，3=AB ，23=AD ，2=SA ． ∴(0,0,0)A 、)0,0,23(D 、)2,0,0(S 、126(,,0)55C ．∴3(,0,2)2SD =- ，126(,,2)55SC =- ， (8)∵AD SA ⊥，PB AD ⊥，A PB SA = ，∴⊥AD 平面SAB ，∴平面SAB 的法向量为3(,0,0)2AD = ． …………9分设平面SCD 的法向量为(,,)n x y z =，则有n SD n SC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，即32021262055x z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令1z =得，43x =，1y =-． ∴4(,1,1)3n =- ． ………………10分设平面SAB 与平面SCD 所成二面角的平面角为θ，则cos ||||AD n AD n θ⋅===⋅ ． ………………11分即平面SAB 与平面SCD 所成二面角的余弦值为17342． ………………12分 20. 【解析】(Ⅰ)方法一：当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得()2211(1)n n nS n S n n --=+-，即()1111n n n S nS nn -+-=- ……………………………………………2分所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. ……………………………………………3分所以()1nn S n n +=，即21n n S n =+ ……………………………………………4分代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+. ……………………………………………5分方法二：易知知:1231511,,2612a a a ===,猜想()111n a n n =-+,…………………………………3分下面用数学归纳法证明:①当1n =时，()1112111n a ==-⨯+，猜想成立； ……………………………………………5分 ②假设()*n k k =∈N,猜想也成立,即()111kak k =-+,则当1n k =+时,有()()()22111111k k k k k a S S k a k k k a k k +++=-=+-+-+- 整理得()122k k k a ka ++=+，从而()()1112212211k k k a ka k k k k k +⎛⎫+=+=-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭，于是()()11112k a k k +=-++ 即1n k =+时猜想也成立.所以对于任意的正整数n ,均有()111n a n n =-+. ……………………………………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………………………………8分当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭………9分当1=n 时,13522T =<成立； …………………………………………………11分当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上所述,命题得证. ………………………………………………………………………………12分方法三、（1）由1n n n S S a +-=求得1(2)2n n n a na ++=+，即1(2)(1)(1)n n n a n a ++-=-，令1n n b a =-，则1(2)n n n c nc ++=，即12n n c nc n +=+，所以3241123112342112234561(1)(1)n n n c c c c c n n c c c c c n n n n n n ---⨯=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==+++ ，而11112c a =-=-，1(1)n c n n =-+，所以11(1)n a n n =-+. （2）当2n ≥时，211n nn n +<+-， 2222121111(1)11(1)1n n n n b n n n n n n n n n n++∴==⋅<⋅==-++---，当1n =时，不等式成立；当2n ≥时，3111113151112223122n T n n n n<+-+-++-=+-=-- ，所以，当*n N ∈时，不等式成立.21. 解：函数f (x )的定义域为(0，+∞)． …………………………………………………………1分（Ⅰ）因为f´(x )=e x -t 1x-， …………………………………………………………2分因为x =1是f (x )的极值点，所以f´(1)=e 1-t －1=0，所以t =1． ………………………3分所以f´(x )=e x -11x-，由12''()0x f x e x --=+>，所以'()f x 在区间(0，+∞)上单调递增，所以x >1时，f´(x )>0；0<x <1时，f´(x )<0．此时，f (x )的减区间为(0，1)，增区间为(1，+∞)． …………………………………………5分（Ⅱ）当2t ≤时，2()e ln e ln x t x f x x x --=-≥-， ………………………6分设2()e ln x g x x -=-，则21'()e x g x x-=-，因为22''()e 0x g x x --=+>，所以'()g x 在(0,)+∞上单调递增， …………………………………………7分因为1'(1)10e g =-<，1'(2)102g =->， …………………………………………8分所以存在0(1,2)x ∈使得0'()0g x =，所以在0(0,)x 上'()0g x <，在0(,)x +∞上'()0g x >，所以()g x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，…………………………………………10分所以0()()g x g x ≥，因为0'()0g x =，即0201e x x -=，所以00ln 2x x =-，所以0200001()ln 2x g x e x x x -=-=+-…………………………………………11分因为0(1,2)x ∈，所以0001()2220g x x x =+->-=，所以()0f x >. …………………………………………12分22.题1统一结论：①定理1过有心二次曲线外一点P 引任一直线交曲线与,C D 两点，点Q 在此直线上，且满足=CP QD PD CQ ，则Q 的轨迹为点P 对曲线的切点弦AB .（如图6）反之：过有心二次曲线外一点P 引任一直线交曲线与,C D 两点，交切点弦于点Q ，则⎩（Ⅱ）方法一：设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y .由题设知,,,AP PB AQ QB均不为零，记AP AQ PB QB λ==,则0λ>且1λ≠又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=于是 1241x x λλ-=-， 1211y y λλ-=-121x x x λλ+=+， 121y y y λλ+=+从而 22212241x x x λλ-=-， ① 2221221y y y λλ-=-， ② 又点A 、B 在椭圆C 上，即221124x y +=……………③ 222224x y +=……………④（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424x y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上方法二：设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB均不为零。

江门市2013年普通高中青年教师基本功比赛数学试卷与评分参考

江门市2013年普通高中青年教师基本功比赛数学试题本试卷共4页，21小题，满分150分。

闭卷笔答，答卷用时120分钟．参考公式：⒈锥体的体积Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ⒉线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}R x x x x M ∈=+= , 02|2，{}R x x x x N ∈=-= , 02|2，则=N M A ．{}0 B ．{}2 , 0 C ．{}0 , 2- D ．{}2 , 0 , 2- 2．在平面直角坐标系中，已知点)3 , 2(A 、)2 , 1(B 、)5 , 2(-C ，则 A ．2π=∠A B ．2π=∠B C ．2π=∠C D ．以上都不对 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取1 名，抽到二年级女生的概率是19.0．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为A ．24B ．18C ．16D ．124．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1010=S ，4020=S ，则=30S A ．70 B ．80 C ．90 D ．100 5．某一双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等比数列，则该双曲线的离心率是A ．35B ．45C ．34D ．215+6．执行右面的程序框图，如果输入的]3 , 1[-∈t ，则输出的s 属于A ．]3 , 3[-B ．]4 , 3[-C ．]3 , 4[-D ．]5 , 2[-A 7．若函数c bx ax x x f +++=23)(有两个极值点1x 、2x ，且11)(x x f =，则关于x 的方程0)(2))((32=++b x af x f 的不同实根个数是 A ．6B ．5C ．4D ．38．设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀ , ，都有S ab ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的。

高中数学青年教师基本功考核笔试试题(含答案)

高中数学青年教师基本功考核笔试试题（含答案）考试时间：60分钟满分：100分一、选择题：（每题6分，共30分）1. 已知符号函数，则函数的零点个数为1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2()sgn(ln )ln f x x x =- ( )（A ）．（B ）．（C ）．（D ）．43212. 已知单位向量α，β，满足(α＋2β)(2α－β)＝1，则α与β夹角的余弦值为（）⋅（A ）（B ）（C ）（D ）13-1312153. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且，222b a ac c =-+，则90C A -=︒cos cos A C =（）（A ）（B（C ）（D ）4141-4. 函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为( )⎩⎨⎧≤≤+-<≤-+=)20(2)02(2)(2x x x x x f x (A).(B). (C). （D ）. 326+234+3246+2234+5．某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有（）（A ）504种（B ）960种（C ）1008种（D ）1056种二、填空题：（每题6分，共30分）6．抛物线的准线为，点在圆上，设抛物线上28y x =l Q 22:68210C x y x y ++++=任意一点到直线的距离为，则的最小值为．P l m ||m PQ +7. 已知，，，，，322322=+833833=+15441544=+t at a66=+（a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测a ，t 的值，则 .=+t a 8. 函数的定义域为，值域为()f x =+_________。

9. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足()x f R b a ∈,(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f ab af b bf a f a n N b n N n **=+==∈=∈ 下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列)1()0(f f =)(x f {}n a 为等差数列．其中正确的是．{}n b 10. 如下图所示，已知点F 的坐标为（3，0），点A B ，分别是某函数图象与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图象上的一动点．设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：355d x =-（05x ≤≤），给出以下四个结论：①3OB =；②5BF =；③5OA =；④2AF =．其中正确结论的序号是．第10题图三、解答题：（本大题共40分）11．（本小题满分20分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.a 2（1）证明: PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角的大小；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC？若存在，指明F 的位置并证明你的结论。

2023年2月高三教师基本功联考大赛数学试题

高三教师基本功联考大赛试题新高考(全国版)本卷共35题，满分255分一、选择题。

(本大题共11小题，每题5分，共55分，在每小题给出的四个选项种，只有一个选项符合要求)1. 已知复数z =a +bi a >0,b >0 满足z 2+z =z =3，则z 3+9z3的值为()(A).33(B).9(C).39(D).422.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1a >b >0 与圆M ：x 2+y -b 2=b 2，且直线l ：y =kx +m k ,m >0 与圆M 及椭圆C 均相切．若k ∈3,43 ，则椭圆C 离心率的取值范围为()(A).10515,63(B).10521,104(C).5618,34 (D).305,323.某同学进行一项投篮测试，若该同学出现连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则未通过测试．已知该同学每次投篮的成功率均为23，则该同学通过测试的概率为()(A).23(B).1627(C).2542(D).32514.已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，a +b =2，a -c =3，则b ⋅c 的取值范围为()(A).-12,6(B).-12,4(C).-10,6(D).-10,45.已知函数f x =x +1e x -1-x -1,x ∈-1,1 f 12x-32 ,x >1，若对于任意的非零实数k ，方程f x =kx +b 恒有且只有一个实数解，则b 的取值范围为()(A).-∞,1-e 2 ∪1+e 2,+∞(B).-∞,2-2e 2 ∪8,+∞(C).-∞,-2e 2 ∪10,+∞ (D).-∞,-e -e 2 ∪2e +1,+∞6.已知点P ，Q 分别为曲线C ：x 2+y 2+xy =8与圆M ：x -2 2+y 2=r 2r >0 上的动点，若存在点P ，Q ，使得三角形POQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则r 的取值范围为()(A).783,42+2(B).46-63,42+2(C).46-63,38 (D).783,38 7.已知函数f x =2x ，g x=-x +m m <22 ，定点A 0,2 ，直线y =a 与函数f x 和g x 的图象分别交于B ，C 两点，若AB +BC ≥10对任意a >0恒成立，则实数m 的取值范围为()(A).-∞,0(B).-∞,-2(C).-∞,-4(D).-∞,-68.已知函数f x =ln x +12ex 2-ax 存在两个极值点．若对任意满足f x 1 =f x 2 =f x 3 的x 1，x 2，x 3x 1<x 2<x 3 ，均有f e x 1<f e x 2<f e x 3，则实数a 的取值范围为()(A).2e ,e(B).2e ,2+1e(C).2e,1+1e(D).2e,2+1e9.已知△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ，则1sin A +1sin B -1sin C的最小值为()(A).333(B).11(C).27(D).35210.量子计算机是一类遵循量子力学规律进行高速数学和逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置．我国中国科学技术大学研究团队构建的62比特超导处理器“祖冲之号”，是世界范围内公开发表的首个比特数超过60的超导量子计算机领域的成果，并入选2021年度中国科学十大进展．量子比特是量子信息的计量单位，如果用0，1表示二进制数各位上的数字，那么一个量子比特可同时表示0，1两个状态，而两个量子比特可同时表示00，01，10，11四个状态，三个量子比特可同时表示000，001，010，011，100，101，110，111八个状态．若用x 表示不小于x 的最小整数，若要同时表示n n ∈ℕ* 个状态，则需要的量子比特数至少为()(A).log 2n +1 (B).log 2n +1 +1(C).log 2n(D).log 2n +111.“康威生命游戏”是由普林斯顿大学的教授约翰⋅何顿⋅康威(John Horton Conway )设计的一款计算机程序．程序界面是一个无限大的网格，程序开始时，在每个方格中放置一个生命细胞，每个生命细胞只有“生”或“死”两种状态，用黑色方格表示该细胞为“生” ，白色方格(空格)表示该细胞为“死” ，初始状态每个细胞随机地设定为“生”或“死”，然后根据一定的规则计算出下一代每个细胞的状态，画出下一代细胞的生死分布图，再计算出下一代每个细胞的状态，画出下一代细胞的生死分布图，以此类推．每个细胞迭代后的状态由该细胞本身的状态及周围8个细胞的状态所决定，规则如下表所示：当代细胞状态生生生死死周围存活细胞数0 或 12 或 3>33≠3迭代后细胞状态死生死生死若某种初始状态迭代了若干代(包含一代)之后能够回到初始状态，则称该初始状态具有周期性，则下列四种初始状态中(图中末画出的网格外侧均视为空格)，具有周期性的初始状态的个数为()(A).1(B).2(C).3(D).4二、选择题。

2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功试题参考答案(定稿)

2019年佛山市普通高中数学青年教师基本功解题能力展示试题参考答案13．79−14．31115． 16．4π 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =−=.由2212a b b =，可得222136a b b ==. 因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………2分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=.…………………………………3分于是当2n ≥时，n a =.将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n −=+，于是()241n b n =+. ………………………………………………4分由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n =+. ………………………………5分当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………6分（Ⅱ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+−.………………………8分方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<− ⎪+−+⎝⎭（2n ≥）. 因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<−⇔<⇔+<+− ⎪+−++−+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+−>⇔−+>, 所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+−++−<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …10分当1n =时，1277<.…………………………………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−+−−+−+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++−zF1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−+−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. …………………………………………………10分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. ………………………………………11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a …………………………12分方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==− ⎪+−−−+−+⎝⎭. 当4n ≥时,2111723441n n ++++−1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++−+−++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−−−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111272347147<+++<. …………………………………………………10分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……11分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<−++−+−+−n a a a a ……………………………12分 18. 【解析】(Ⅰ)因为//BC AD ,BC ⊄平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以//BC 平面ADE , 同理//CF 平面ADE , 又BCCF C =,所以平面//BCF 平面ADE ,又BF ⊂平面BCF ,所以//BF 平面ADE . …………………………………………4分 (Ⅱ)以A 为原点,建立空间直角坐标系A xyz −如图所示, 则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2A B C D E ,设()0CF h h =>,则()1,2,F h ,()1,1,0BD =−,()1,0,2BE =−,(1,2,2CE =−−设平面BDE 的法向量为(),,x y z =n ,则00BD BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n ,即020x y x z −+=⎧⎨−+=⎩,解得22x zy z=⎧⎨=⎩,令1z =,得()2,2,1=n ,设直线CE 与平面BDE 所成角为θ,则sin θ=4cos ,9CE CE CE ⋅<>==nn n ,所以直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. ……………………9分(Ⅲ)设(),,x y z =m 为平面BDF 的法向量,则00BD BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩m m ,即020x y y hz −+=⎧⎨+=⎩,解得2x yy z h =⎧⎪⎨=−⎪⎩,令y h =,得(),,2h h =−m ,依题意,1cos ,3⋅===⨯m n m n m n,解得87h =.所以线段CF 的长为87. …………………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………………5分（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =，所以11(3,3)P x y ．因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ−−=−−，123212323(),3().x x x x y y y y λλ−=−⎧⎨−=−⎩解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ−⎧=+⎪⎪⎨−⎪=+⎪⎩ 因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ−−+++=．即22222112212122296(1)()()()()1434343x y x y x x y y λλλλλ−−+++−+=1，因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34−，所以121234y y x x ⋅=−，即1212043x x y y +=．所以2291()1λλλ−+=，解得5λ=．所以||||5||BP BQ λ==． ……………………………12分20. 【解析】(Ⅰ)方法1:设方案一中每组的化验次数为X ,则X 的取值为1,6．………………………1分所以()510.990.951P X ===,()5610.990.049P X ==−=, ……………………………………2分所以X 的分布列为所以1EX =⨯分故方案一的化验总次数的期望为:1111 1.24513.695EX ⨯=⨯=次． ………………………………4分设方案二中每组的化验次数为Y ,则Y 的取值为1,12,所以()1110.990.895P Y ===,()111210.990.105P Y ==−=,……………………………………5分所以Y 的分布列为所以1EY =⨯分故方案二的化验总次数的期望为:55 2.15510.775EX ⨯=⨯=次． …………………………………7分因13.69510.775>,所以方案二工作量更少．……………………………………………………………8分方法2:也可设方案一中每个人的化验次数为X ,则X 的取值为15,65．方案二中每个人的化验次数为Y ,则Y 的取值为111,1211．同方法一可计算得0.249EX =,0.196EY =,因EX EY >,所以方案二工作量更少.(Ⅱ)设事件A :血检呈阳性；事件B :患疾病．…………………………………………………………9分则由题意有()0.01P A =,()0.004P B =,()0.99P A B =,…………………………………………10分由条件概率公式()()()P AB P A B P B =,得()()()0.0040.99P AB P B P A B ==⨯, ………………11分故()()()0.0040.990.3960.01P AB P B A P A ⨯===,所以血检呈阳性的人确实患病的概率为39.6%.…12分21. 【解析】（I ）当0a =时，()sin cos f x x x x =+，[,]x ππ∈−.'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+−=.当x 在区间[,]ππ−上变化时，'()f x ，()f x 的变化如下表所以()f x 的单调增区间为(,)2ππ−−，(0,)2π；()f x 的单调减区间为(,0)2π−， (,)2ππ.……………………………………………………………………………4分（II ）任取[,]x ππ∈−.2211()()sin()cos()()sin cos ()22f x x x x a x x x x ax f x −=−−+−+−=++=，所以()f x 是偶函数.'()cos (cos )f x ax x x x a x =+=+.当1a ≥时，cos 0a x +≥在[0,)π上恒成立，所以[0,)x π∈时，'()0f x ≥. 所以()f x 在[0,]π上单调递增.又因为(0)1f =，所以()f x 在[0,]π上有0个零点. 又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[,]ππ−上有0个零点. 当01a <<时，令'()0f x =，得cos x a =−. 由10a −<−<可知存在唯一0(,)2x ππ∈使得0cos x a =−.所以当0[0,)x x ∈时，'()0f x ≥，()f x 单调递增；当0(,)x x π∈时，'()0f x <，()f x 单调递减. 因为(0)1f =，0()1f x >，21()12f a ππ=−. ①当21102a π−>，即221a π<<时，()f x 在[0,]π上有0个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有0个零点. ②当21102a π−≤，即220a π<≤时，()f x 在[0,]π上有1个零点. 由()f x 是偶函数知()f x 在[,]ππ−上有2个零点. 综上，当220a π<≤时，()f x 有2个零点；当22a π>时，()f x 有0个零点.………………………………………………………………………………………12分22.写出来，谈的有想法就给分，采取加分原则.。

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。

1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。

完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。

教师数学功底考试试题

教师数学功底考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.5B. √2C. 3.14D. 0.33333...2. 一个等差数列的首项为3，公差为2，那么第五项是多少？A. 13B. 15C. 17D. 193. 如果一个函数f(x)满足f(x+y) = f(x) + f(y)，那么f(x)可能是以下哪个函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = 2xD. f(x) = x4. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ是多少？A. b^2 - 4acB. b^2 + 4acC. a^2 - 4bcD. a^2 + 4bc6. 一个正方体的体积为64立方单位，那么它的表面积是多少？A. 96平方单位B. 128平方单位C. 192平方单位D. 256平方单位7. 下列哪个图形的对称轴最多？A. 正方形B. 等边三角形C. 圆D. 正五边形8. 一个函数y = f(x)在点x=a处的切线斜率是3，那么f'(a)的值是多少？A. 2B. 3C. 4D. 59. 一个数列的前三项为1, 2, 4，那么这个数列的通项公式可能是？A. an = 2^(n-1)B. an = n^2C. an = n(n+1)/2D. an = 2n10. 一个函数y = f(x)在区间[a, b]上连续，那么以下哪个选项是正确的？A. f(x)在[a, b]上一定有最大值和最小值B. f(x)在[a, b]上可能有最大值和最小值C. f(x)在[a, b]上一定没有最大值和最小值D. f(x)在[a, b]上可能有最大值，但一定没有最小值二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第三项是________。

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高中数学青年教师基本功考核试题一、选择题：（每题5分，10小题，共50分）1．已知集合{}1916),(22=+=y x y x S ， {}1),(22=+=y x y x M ，则S 与M 的关系是 A ．M S ≠⊂ B ．S M ≠⊂ C ．Φ=M S D ．M M S =2．方程22520x x -+=的两个根可分别作为Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率３．若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值A ．－2B ．4C ．－6D ．6４．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是 A ．2log x B ．2log x - C ．2x- D ．2x -５．已知不等式(x+y)(1x + ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为A ．2B ．4C ．6D ．8６．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，这个问题被解决的概率是p ，则乙解决这个问题的概率是 A ．111p p p -- B ．)1)(1(11p p --- C ．1p p - D ．)1)(1(1p p -- ７．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1 的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为A ．32B ．33 C ．34 D ．23８．一线段的分割法是：使小的一段与大的一段长度的比值等于大的一段与整个线段长度的比值，设x 是小的一段与大的一段的比值，那么2122--++-x xx x 的值为A ．3B ．3C ．5D ．x 2 ９．如右图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A ．15 B ．25 C ．14 D ．1310．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如右图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。

已知最底层正方体的棱长为2，且此塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：（每题5分，8小题共40分） 11．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，则n a a a 242+++ 的值为12．设向量 OA 绕点O （O 为坐标原点）逆时针旋转2π得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则向量 OB = .13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于对称，则函数)(x g = .（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）14．函数)80sin(5)20sin(3+++=x x y 的最大值是15．已知直线1l ：y ＝x 2l ：ax －y ＝0（a R ∈），当这两条直线的夹角在)12,0(π内变动时，a 的取值范围是16．6个不同大小的数按如图形式随机排列，设 ★ ……第一行第一行这个数为M 1，M 2、M 3分别表示第二、 ★ ★ ……第二行三行中的最大数，则满足M 1<M 2<M 3的所有 ★ ★ ★ ……第三行排列的个数是 .17．已知函数(]()⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈+=1,0,0,1,)(x ax b x x b ax x f 其中.0,0>>b a 若)(lim 0x f x →存在且)(x f在（－1，1）上有最大值，则b 的取值范围是18．用标有1，2，3，15，40克的法码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么该天平所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有种。

三、解答题：（每小题20分，共60分） 19．（本题满分20分）已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f , 且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4215πx cos x sin f 的值.20．（本题满分20分）如图, 正三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面边长为a, 侧棱长为22a, 点D 在棱A 1C 1上. (Ⅰ) 若A 1D= DC 1, 求证: 直线BC 1∥平面AB 1D;(Ⅱ) 是否存点D, 使平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1, 若存在请确定点D 的位置, 若不存在, 请说明理由;(Ⅲ) 设集合Q = {θ | θ是二面角A !–AB !–D 平面角的大小}, 求证4π∈ Q.21．（本题满分20分）设集合E = {圆m C | 以 ( m, m 2 )为圆心, 且与x 轴相切}.(1) 若a C ∈ E, C b b C ∈E, 且a C 与b C 外切, 求实数a, b 所满足的关系式；(2) E 中是否存在着这样的元素a C , 它仅与E 中唯一元素b C 外切? 如果存在, 请求出所有的有序实数对(a , b ), 若不存在, 请说明理由.选作题：（本题满分20分，可作参考）直线n y x =+ ()N n n ∈≥且,3与x 轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为n a ，所围成区域（包括边界）的整点个数为n b （整点就是横、纵坐标均为整数的点）.（Ⅰ）求n a 及n b 的表达式；（Ⅱ）对区域内部的n a 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为n A ，对所围区域的n b 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为n B ，试比较n A 与n B 的大小.（第20题）答案一．选择题：1．C 两图形无公共点 2．Ａ两根为2或21 ３．C４．B 因为0,0>∴>x x x 原式可化为x xf 2log )1(=５．B ()2)1(111+=++≥+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a a x yy xa a y a x y x 431≥⇒≥+⇒a a６．A 设乙解决这个问题的概率为x ，则()()p x p -=--1111 ７．A 如图所示，正三角形ADE ∆的高EI=23，我们在EF 取点G,H 使得EG=0.5,FH=0.5,容易验证 GI ⊥ABCD 、GI ⊥EF ，在直角EGI ∆中， EI=23，EG=0.5，所以GI=22 多面体ABCDGH 的体积=)(21高正方形GI S ABCD ⨯⨯=22121⨯⨯=42 四面体EADG 的体积是)(31高EG S ADG ⨯⨯∆=214231⨯⨯=242 四面体CBFI 与EADG 的体积相同，所以多面体ABCDEF 的体积是42+2242⨯=32８．A AB BC BC AC x == ,x BC AC BC AB x +=+==111即11=-xx 322=+⇒-x x ９．A 过P 作AB 的平行线，由向量关系可得△ABP 与△ABC 的高之比为1比510．C 此塔形表面积是棱长为2的正方体的表面积加上上面的一些小正方体的侧面积为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯ 4121124241222222464222 391,382,364,328,24453423121=+==+==+==+==S S S S S S S S S因为5,39>∴>n S n 二．填空题：11．213-n 赋值法：令x ＝1或－1即可，注意0a ＝112．1123(,)55-设),(y x B ，则),(x y A -，列方程即可 13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于对称，则函数)(x g = .（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） (①x 轴，x 2log 3-- ②y 轴，)(log 32x -+) ③原点，)(log 32x --- ④直线32,-=x x y14．7 利用000602080+= 将y 展开得)20cos(235)20sin(21100+++=x x y 15．)3,1()1,33(⋃利用图形得)124tan()124tan(ππππ+<<-a 注意1≠a 16．240 因为6只能在第三行。

若5在第二行，则有14422123324=A C A C 种排法，若4在第二行，则5在第三行，有7222123313=A C A C 若3在第二行，则4、5在第一行，有24221233=A C A故满足题意得的排列个数是144＋72＋24＝24017． 10≤<b 由)(lim 0x f x →存在得)(lim )(lim 0x f x f x x -+→→=所以1=a而(]()⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈+=1,0,0,1,)(x ax bx x b ax x f 由)(x f 在（－1，1）上有最大值, 由数形结合可得10≤<b18．55 解：用1，2，3这三只法码，可称出区间[1,6]A =中的全部整克数,增加15克的法码后，量程扩充了区间[156,156][9,21]B =-+=，再增加40克的法码后，量程又扩充了三个区间：12[406,406][34,46],[4021,409][19,31]C C =-+==--=，3[4019,4021]C =++[49,61],=但区间B 与2C 有三个整数重复，计算上述各区间内的整数个数，则得能称出的不同克数共有6+13+（13+13+13）-3=55种。

三．解答题：19．已知函数()x f y =的图象关于直线3=x 对称，当320)1(=-f , 且523sin cos =-x x 时，试求⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+4215πx cos x sin f 的值. 略解：由cosx －sinx ＝523，可得cos （x+4π）＝53且sin2x ＝257 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+4215πx cos xsin ＝７又∵()x f y =是关于x ＝3对称的函数， ∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos 2sin 15πx x f ＝ f （7）＝ f （-1）＝32020．如图, 正三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面边长为a, 侧棱长为22a, 点D 在棱A 1C 1上。

(Ⅰ) 若A 1D= DC 1, 求证: 直线BC 1∥平面AB 1D;(Ⅱ) 是否存点D, 使平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1, 若存在请确定点D 的位置, 若不存在, 请说明理由; (Ⅲ) 设集合Q = {θ | θ是二面角A !–AB !–D 平面角的大小}, 求证4π∈ Q.略解：(Ⅰ)连B A 1交1AB 于E ，连DE ，由中位线易证DE ∥1BC(Ⅱ)不存在。