超静定结构的概念和超静定结构次数的确定说课讲解
《材料力学》课程教案2
《材料力学》课程教案2（二）拉伸、压缩的超静定问题设教学安排 ● 新课引入如图所示的两杆组成的桁架结构受力，由于是平面汇交力系，可由静力平衡方程求出两杆内力。
如果为了提高构件安全性，再加一个杆，三杆内力还能由静力平衡方程求出吗？● 新课讲授一、 静定结构（一）提出问题1和2两杆组成桁架结构受力如图所示，角度已知，两杆抗拉刚度相同，2211A E A E =，求两杆中内力的大小。
（二）分析：求内力⇒截面法（1截2代3列平衡方程）⇒=∑0x 021=-ααSin F Sin F N N ⇒=∑0y 0321=-++F F Cos F Cos F N N N αα 两个方程，两个未知数，可以求解。
引出静定结构：约束反力(轴力）可以由静力平衡方程完全求出。
二、 超静定结构和超静定次数（一）继续提问在现实中为了增加构件的安全性，往往可以多加一个杆，在问题一的基础上在中间再加一个3杆，抗拉刚度为33A E ，如图所示，求3杆中内力的大小。
（二）分析：求内力⇒截面法（1截2代3列平衡方程） ①静平衡方程：平面汇交力系，只能列两个平衡方程⇒=∑0x21=-ααSin F Sin F N N⇒=∑0y 0321=-++F F Cos F Cos F N N N αα 两个方程，三个未知数，解不出。
引出超静定结构：约束反力(轴力）不能由静力平衡方程完全求出。
超静定次数：约束反力（轴力）多余平衡方程的个数。
上述问题属于一次超静定问题。
三、超静定结构的求解方法（一）继续提问，引导学生深入思考：超静定到底能不能求解？实际上F 一定，作用于每个杆上的力都是确定的。
还需再找一个补充方程，材料力学是变形体，受力会引起变形，力和力的关系看不出， 先把变形关系找到，再转化成力的关系。
（重点）②几何方程——变形协调方程：要找变形关系，关键是画变形图（难点）。
节点在中间杆上，左右两杆抗拉刚度相同，角度相同，即对称，因此中间杆仅沿竖直方向产生伸长，确定最终位置。
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
第十章 超静定结构
第十章超静定结构一、内容提要1、理解超静定结构中的一些基本概念，即：静定与超静定、超静定次数、多余约束、超静定系统（结构）、基本静定系以及相当系统等。
2、熟练掌握用力法求解超静定结构。
3、掌握对称与反对称性质并能熟练应用这些性质求解超静定结构。
4、了解连续梁的概念以及三弯矩方程。
二、基本内容1、超静定系统中的一些基本概念超静定结构或系统：用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统。
静定结构或系统：无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出的机构或结构系统。
多余约束：在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系。
外超静定：超静定结构的外部约束反力不能全由静力平衡方程求出的情况。
内超静定：超静定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况。
混合超静定结构：对于内、外超静定兼而有之的结构。
基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称为静定基）。
静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。
超静定次数：超静定结构的所有未知约束反力和内力的总数与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。
2、力法与正则方程力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。
应用力法求解超静定问题的步骤：1）根据问题，确定其是静定还是超静定问题，如为后者，则确定超静定次数。
2）确定哪些约束是多余约束，分析可供选择的基本静定系，并注意利用对称性，反对称性，选定合适的静定系统，在静定系上加上外力和多余约束力，形成相当系统。
3）比较相当系统与原系统，在多余约束处，确定变形协调条件，并列写正则方程（对有n个多余约束的结构）011212111=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ 022222121=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ.02211=∆++⋅⋅⋅++nF Rn nn R n R n F F F δδδ其中F Ri 表示n 个多余约束力，δij 表示F Rj ＝1引起i 处沿F Ri 方向的位移，∆iF 表示结构所有已知载荷产生的在i 处沿F Ri 方向的位移。
超静定结构总论课件
实例分析
赵州桥
中国著名的古代石拱桥，采用弹性连接 超静定结构，具有较好的抗震性能。
VS
金门大桥
美国著名的钢斜拉桥，采用平衡超静定结 构，具有较高的承载能力。
超静定结构的优缺点及应用
优点
稳定性强
超静定结构由于有多余约束，可以提 供额外的稳定性，使得结构在受到外 力作用时不易发生过大变形。
承载能力高
和计算能力，设计过程相对复杂。
维护困难 超静定结构的维护和检修需要专业的 技术和设备支持，维护成本和维护难
度相对较大。
成本高 由于超静定结构的构造复杂，需要更 多的材料和施工成本，因此其成本相 对较高。
延性较差 超静定结构的延性相对较差，在地震 等突然作用下容易发生脆性破坏。
应用领域
桥梁工程
超静定结构在桥梁工程中应用广泛，如连续梁桥、 拱桥等。
THANKS
感谢观看
各杆件间通过弹性连接传递力和变形， 具有较好的抗震性能。
按受力特性分 类
平衡超静定结构
结构在受力状态下能保持平衡状态，如斜拉桥。
稳定超静定结构
结构在受力状态下需要依靠自身稳定性保持平衡，如拱桥。
按材料特性分 类
钢超静定结构
采用钢材制作，具有较高的承载能力和塑性变形能力。
混凝土超静定结构
采用混凝土制作，具有较好的抗压能力和耐久性。
工程应用进展
大型工程应用
超静定结构在大型工程中得到了广泛应用，如大型桥梁、高层建筑 等，其优良的性能和稳定性得到了充分验证。
新型超静定结构体系
随着研究的深入，出现了多种新型超静定结构体系，如预应力超静 定结构、杂交超静定结构等，满足了多样化的工程需求。
跨学科应用
超静定结构在跨学科领域也得到了应用，如生物医学、航天航空等， 展现了广泛的应用前景和发展潜力。
超静定结构的超静定次数
超静定结构的超静定次数超静定结构是指在受力平衡条件下，由于约束条件数量大于自由度数量，使得结构不具有唯一的平衡位置。
超静定结构的超静定次数是指约束条件数量与自由度数量之差。
一、超静定结构的特点超静定结构具有以下特点：1. 约束条件数量大于自由度数量：超静定结构的约束条件数量大于自由度数量，使得结构不具有唯一的平衡位置。
这导致了结构的设计和分析变得更加困难。
2. 结构具有较高的刚度：由于超静定结构的约束条件数量较多，结构具有较高的刚度。
这使得超静定结构在承受荷载时能够更好地保持形状稳定性。
3. 结构能够承受更大的荷载：超静定结构由于具有较高的刚度，能够承受更大的荷载。
这使得超静定结构在工程实践中得到广泛应用。
二、超静定结构的应用超静定结构在工程实践中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 桥梁工程：超静定结构在桥梁工程中得到了广泛应用。
由于桥梁需要承受大量的荷载，超静定结构能够提供更高的刚度和稳定性，保证桥梁在使用过程中不发生塌陷或变形。
2. 建筑结构：超静定结构在建筑结构中也有重要的应用。
例如，高层建筑的框架结构通常采用超静定结构设计，以提高结构的稳定性和抗震性能。
3. 机械设备：超静定结构在机械设备中也有广泛的应用。
例如，汽车的悬挂系统和起重机的支撑结构都是超静定结构，能够提供更高的稳定性和承载能力。
三、超静定结构的分析方法超静定结构的分析方法主要包括以下几个步骤：1. 定义自由度和约束条件：首先确定结构的自由度和约束条件。
自由度是指结构中可以独立变形的数量，约束条件是指结构中限制自由度的条件。
2. 建立平衡方程：根据结构的受力平衡条件，建立结构的平衡方程。
平衡方程是超静定结构分析的基础，通过平衡方程可以求解结构的受力状态。
3. 引入支座反力：由于超静定结构的约束条件数量大于自由度数量，结构中存在未知的支座反力。
通过引入支座反力，可以将超静定结构转化为静定结构进行分析。
4. 求解支座反力：利用平衡方程和约束条件，求解支座反力。
超静定结构的概述
(a)
(b)
图 11-3
除上述主要特征外，超静定结构还具有整体性强、变形小、受力较为 均匀等特点，因而这种结构在实际工程中被广泛采用。例如，图11-4a 所 示的两跨连续梁较图11-4b 所示的两跨简支梁，在力 F 作用点处的弯矩和 挠度均为小。
（a） 静定结构
（b） 超静定结构
（c） 静定结构受力图
算上来说，静定结构的静力特征是用静力平衡条件就能求得全 部反力和内力；而超静定结构的静力特征是仅用静力平衡条件不能求得 全部反力和内力。例如，对图11-1a 所示的静定梁，其受力图如图11-1c 所示，梁的反力（FAx、FAy、FB）和内力（FN、FQ、M）分别由三个静 力平衡方程求得。 而对图 11-lb 所示的连续梁，其受力图如图 11-ld 所示， 梁的反力共有四个(FAx、FAy、Fx1、FB），其中Fx1称为多余约束所对应 的多余未知力，用三个静力平衡方程不可能将此四个反力全部求得，只 要有一个反力尚未确定，梁的内力就不能确定。因此，还须补充其他条 件，才能求解。
【例11-3】确定图11-13a 所示结构的超静定次数。
解：图11-13a 所示刚架，具有一个多余约束。若将横梁某处改为铰接， 即相当于去掉一个约束，得到如图11-13b 所示的静定结构，故原结构 n = l。
若去掉支座 B 处的水平支杆，则得图11-13c 所示的静定结构。 但是，若去掉支座 B 或支座 A 的竖向支杆，即成可变体系如图11-13d 所 示，显然这是不允许的，所以此刚架支座处的竖向支杆不能作为多余约束。
图 11-6
② 去掉一个单铰，相当于去掉两个约束 。 如图11-7a 所示的结构，去掉一个单铰而变成静定结构，如图11-7b 所示。 因 n = 2，故该结构为两次超静定 。
超静定结构的概念及超静定次数的确定(PPT)
04 超静定结构的实际应用
桥梁工程
桥梁工程中，超静定结构的应用可以增加结构的稳定性和安全性，提高桥梁的承 载能力。例如，连续梁桥采用超静定结构形式，可以减小梁体的振动和变形，提 高行车舒适性和安全性。
此外，超静定结构在桥梁工程中还可以用于抵抗风、地震等自然灾害的影响，提 高桥梁的抗震性能和抗风能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
渐进法
总结词
通过逐步逼近的方法求解超静定结构的位移和内力的方法。
详细描述
渐进法是一种基于迭代思想的求解方法，通过逐步逼近的方法求解超静定结构的位移和内力。该方法首先假设一 组初始解，然后逐步修正解的近似值，直到满足精度要求或达到预设的迭代次数为止。渐进法可以处理复杂的超 静定结构问题，具有较高的计算效率和精度。
建筑工程
在建筑工程中，超静定结构的应用可以提高结构的稳定性和 刚度，增强建筑物的承载能力和抗震性能。例如，高层建筑 采用超静定结构形式，可以减小风力、地震等外部荷载对建 筑物的影响，保证建筑物的安全性和稳定性。
此外，超静定结构在建筑工程中还可以用于优化建筑物的空 间布局和结构形式，提高建筑物的美观性和实用性。
超静定结构
在任何一组确定的平衡力系作用 下，需要用多余的约束条件才能 确定结构的平衡状态的体系。
超静定结构的特性
具有多余的约束
超静定结构有多余的约束，这些 多余的约束可以提供额外的稳定 性，使结构在受到外力作用时具
有更好的抵抗变形的能力。
存在内力
由于超静定结构的约束多余，当 受到外力作用时，会在结构内部 产生内力，这些内力有助于抵抗
判别准则二
如果一个结构的支座反力数目小于其约束数目， 则该结构为超静定结构。
判别准则三
如果一个结构的受力状态不能由静力平衡方程完 全确定，则该结构为超静定结构。
超静定结构的超静定次数
超静定结构的超静定次数超静定结构是指在外力作用下，结构内部的约束力大于外力的个数，从而使得结构处于静定状态的一种结构形式。
即结构内部的约束力可以完全抵消外力的作用，使得结构保持平衡。
超静定结构的超静定次数是指结构内部的约束力多于外力的个数。
超静定次数越高，结构的稳定性越好。
超静定结构的超静定次数取决于结构的约束性质和约束方式。
常见的超静定结构有悬挑梁、连续梁和桁架等。
这些结构的超静定次数可以通过力平衡方程和几何关系进行计算。
在设计超静定结构时，需要合理选择约束方式和约束点的位置，以提高结构的稳定性和承载能力。
悬挑梁是一种常见的超静定结构。
它由一根悬挑在空中的梁组成，一端固定在墙上，另一端悬空。
在外力作用下，悬挑梁的约束力可以完全抵消外力的作用，使得梁保持平衡。
悬挑梁的超静定次数为1，即悬挑梁有一个多余的约束力。
连续梁是另一种常见的超静定结构。
它由多个梁段组成，梁段之间通过铰接连接。
在外力作用下，连续梁的约束力可以完全抵消外力的作用，使得梁保持平衡。
连续梁的超静定次数为2，即连续梁有两个多余的约束力。
桁架是一种由杆件和节点组成的超静定结构。
杆件之间通过节点连接，形成一个刚性的空间网格结构。
在外力作用下，桁架的约束力可以完全抵消外力的作用，使得结构保持平衡。
桁架的超静定次数取决于节点的个数和杆件的个数。
一般情况下，桁架的超静定次数为3，即桁架有三个多余的约束力。
超静定结构的超静定次数越高，结构的稳定性越好。
在实际工程中，超静定结构常用于悬挑梁、连续梁和桁架等场合。
例如，在大跨度桥梁的设计中，常采用连续梁结构，以提高桥梁的稳定性和承载能力。
此外，在高层建筑的设计中，常采用悬挑梁结构，以增加建筑物的空间利用率。
超静定结构的设计需要考虑结构的约束性质和约束方式。
合理选择约束方式和约束点的位置，可以提高结构的稳定性和承载能力。
同时，超静定结构的设计还需要考虑结构的材料性质和施工工艺。
选择合适的材料和采用适当的施工方法，可以确保结构的安全性和经济性。
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图3中的固定端改为图4中的铰支座；图5中的刚性结点改为图6中的铰结点。
去掉一个固定端或将刚性联结切断如图7所示：去掉三个约束。
在确定超静定次数时，还应注意以下两点：
(1）不要把原结构拆成一个几何可变体系。所以要特别注意非多余约束不能去掉，比如(a)中的水平链杆支座不能去掉。
多余约束
多余约束的选取方案并不一定是唯一的，但是总数目是不变的。
多余未知力（多余力）
多余约束中产生的约束力是多余力，多余力的大小不能由静力平衡条件确定。
2.超静定次数的确定
多余约束的数目就是超静定次数
判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法。
去掉一根支座链杆或切断一根链杆：去掉一个约束。
去掉一个铰支座或联结两钢片的单铰：去掉两个约束。如图2所示。
超静定结构的概念和超静定结构次数的确定
1. 超静定结构的概念
从几何组成分析的角度来看，结构可以分为
静定结构：几何不变，无多余约束。
超静定结构：几何不变，有多余约束。
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ如图1所示，有一个多余约束：可去掉任一根支座链杆。
支座反力和内力仅由静力平衡条件无法全部唯一确定的、几何不变但有多余约束的体系，就是超静定结构
(2)要把所有多余约束全部去掉。如图8(a)所示结构，如果只去掉一根水平链杆支座得到如图8 (b)所示结构，则其中的闭合框仍具有三个多余约束，必须把闭合框再切开一个截面，如图8 (c)所示才成为静定结构，所以故原结构共有四个多余约束，是四次超静定。
图8(a)图8(b)图8(c)
这部分是后面力法的基础。大家要熟练掌握。如果给出一个超静定结构，要会判断结构的超静定次数。