华中科技大学远程教育高等数学阶段作业导数作业2
华中科技大学《高等数学》2021-2022学年第一学期期末试卷
2021～2022学年第一学期《高等数学》课程考试试卷(A 卷)一.单项选择题(每小题3分,6个小题共18分,将结果涂在答题卡上.)1.设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【B 】A.若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 B.若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛C.若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛.D.若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛.2.函数2()lim 1n n n x f x x →∞+=+的间断点及类型是【C 】A.1x =是第一类间断点，1x =-是第二类间断点B.1x =是第二类间断点，1x =-是第一类间断点C.1x =±均是第一类间断点D.1x =±均是第二类间断点分析⎪⎩⎪⎨⎧>=<=1||,11,2/31||,2)(x x x x f ，1-=x 时函数无定义，1±=x 为跳跃间断点.故选C.3.当0x +→等价的无穷小量是【C 】A.1-.B.1.C..D.1-.分析1-1-ln(1)~,ln(1~x x +--lnln(1)ln(1~x =+--112x -.故选C.4.设函数()f x 在0=x 处连续，下列命题错误的是【D 】A.若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B.若0()()limx f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C.若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在.D.若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在.5.曲线1ln(e )(0)y x x x=+>的渐近线条数为【】.A.0B .1C.2D.3分析1lim ln(e )x x x→+∞+=+∞，曲线无水平渐近线；01ln(e )lim ln(e )lim 0t x t x x t+→+∞→++==，曲线无铅直渐近线；()lim 1x f x k x →+∞==，0ln(e )11lim (())lim e x t t f x kx t +→+∞→+--==，曲线有斜渐近线1ey x =+.故选B .6.设2πsin ()e sin d x t xF x t t +=⎰，则)(x F 【A 】A.为正常数.B.为负常数.C.恒为零.D.不为常数.分析被积函数是以2π为周期的函数，故)(x F 为常数，且2πππsin sin sin sin π()esin d esin d (e e )sin d 0x ttt t xF x t t t t t t +--===->⎰⎰⎰.故选A.二.填空题（每小题4分,4个小题共16分,将计算结果写在答题卡上.）7.曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan t y tx 对应于1=t 处的法线方程为1πln 2024y x +--=.解当1=t 时，π1,ln 242x y ==，1|111|'1221=++===t t t t ty ，所以法线方程为1πln 21()24y x -=-⋅-，也就是1πln 2024y x +--=．8.曲线πsin 2cos (2π)2y x x x x =+-<<的拐点是π2-（，）.解sin cos 2sin '=+-y x x x x ,sin ''=-y x x ,令0''=y 得0=x ，πx =.根据左右两侧二阶导数符号改变情况，可知π2-（，）是拐点.9.曲线πln cos (0)6y x x =≤≤的弧长为1ln 32.解ππ6601sec d ln sec tan ln 32s x x x x x===+=⎰.10.2=xy 的麦克劳林公式中nx 项的系数是!)2(ln n a nn =.解由2=x y ，则()ln 22n n x y=⋅，()(0)ln 2n n y =，故麦克劳林公式中n x 项的系数为!)2(ln n a nn =.三．基本计算题（每小题7分,6个小题共42分,必须写出主要计算过程.）11．已知213lim 1x ax x b x →+-=-，求常数,a b 的值.解当1x →时，因分母10x -→，故分子230ax x +-→，（2分）即2a =.（3分）21123(1)(23)lim lim 511x x x x x x b x x →→+--+===--.（7分）12.设()f x 为连续函数，且满足)(x f =12(2)2()d x x f f x x -⋅+⎰,求)(x f .解因()f x 为连续函数，故可设1()d f x x a =⎰，且2()(2)2f x x x f a =-⋅+，（2分）1120011()d ((2)2)d (2)232a f x x x xf a x f a ==-+=-+⎰⎰，解得11(2)23a f =-，从而22()(1)(2)3f x x x f =---.（5分）令2x =22(2)2(21)(2)3f f =---5(2)3f ⇒=所以22525()(1)1333f x x x x x =---=-+.（7分）13.求极限11limn n i l n i -→∞==+∑.解111lim 1n n i l i n n-→∞==⋅+∑，（3分）故101d 1l x x =+⎰（5分）1ln(1)ln 20x =+=.（7分）14.计算定积分10.I x x =⎰解法一令sin x t =，则d cos d x t t =，（2分）ππ33222sin d sin cos d I t t t t t==⎰⎰（4分）π4220(cos cos )d(cos )t t t =-⎰π2530112(cos cos )5315t t =-=.（7分）或由Wallis 公式计算πππ323522202422sin cos d sin d d 35315I t t t t t t t ==-=-⋅=⎰⎰⎰.解法二t =，则d d x x t t -=，（2分）0221(1)d I t t t=--⎰（4分）1240112()d 3515t t t =-=-=⎰.（7分）15.设函数,0,()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，0λ>，求()d x f x x +∞-∞⎰.解()d x f x x +∞-∞⎰0d e d x x x xλλ+∞--∞=+⎰⎰（3分）dexx λ+∞-=-⎰0e e d x x x xλλ+∞-+∞-=-+⎰（5分）1exλλ+∞-=-1λ=（7分）16.求微分方程e 0xxy y '+-=，1)2(=y 的特解.解原方程改写为1e xy y x x'+=，所求通解为11d de e(e d )x xx x x y C x x-⎰⎰=+⎰（3分）1(e )x C x=+.（5分）或()e x xy '=直接得到e x xy C =+.将初始条件1)2(=y 带入，得22e C =-，特解为21(2e e )x y x=-+（7分）四.综合题（每小题7分,2个小题共14分,必须写出主要过程.）17.已知()f x 在,（-）∞+∞上连续，2()(1)2()d xf x x f t t =++⎰，求()(0)n f 的值2（）≥n .解一积分方程两边求导得()2(1)2()'=++f x x f x ，（2分）解得23()e2xf x C x =--，又(0)1f =，故253()e 22x f x x =--，（5分）2n ≥时，()5(0)22n n f =⋅.（7分）解二()2(1)2()'=++f x x f x （2分）()22()'''=+f x f x ，()2()'''''=f x f x （3分）()2()2()(2)-''=≥n n f x f x n （5分）(0)1(0)2+2=4(0)10f f f '''===，，,()21(0)102=52--=⋅⋅n n n f （7分）18.设抛物线2=++y ax bx c 过原点，当01≤≤x 时，0≥y ，又该抛物线与直线1=x 及x 轴围成平面图形的面积为13，求,,a b c 使该图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小.解由抛物线过原点知0=c ，（1分）且312131)(12=+=+⎰b a dx bx ax ，即)1(32a b -=，（3分）从而122220111V π()d π()523ax bx x a ab b =+=++⎰2214π()1352727a a =++（5分）由d 41π(0d 13527V a a =+=得45-=a ，又22d 4π0d 135V a =>，故当0,23,45==-=c b a 时，旋转体体积最小.（7分）五.证明题（每小题5分,2个小题共10分,必须写出主要过程.）19.证明方程ln 2021exx =-在区间0,（）+∞内只有两个不同的实根.证令()ln 2021exF x x =--，则lim ()x F x →+∞=+∞，+0lim ()x F x →=+∞.（2分）11e()e e x F x x x-'=-=⋅，(e)0F '=，当0e x <<时，()0'<F x ；当e x >时，()0'>F x ;所以()F x 在(0,e)内单调下降，在(e +)∞，内单调上升，(4分）(e)20210F =-<，由零点定理知，()F x 在(0,e)和(e +)∞，内分别有唯一的零点，故原方程在0,（）+∞内仅有两个不同的实根，分别在(0,e)和(e +)∞，内.（5分）20.设()f x ''在[]0,2上连续且()f x M ''≤，(1)0f =，证明：2()d .3M f x x ≤⎰证法一将()f x 在01x =展开为一阶泰勒公式21()(1)(1)(1)()(1)2!f x f f x f x ξ'''=+-+-，ξ介于x 与1之间（2分）注意(1)0f =，20(1)d 0,x x -=⎰222220011()d ()(1)d |()|(1)d 22f x x f x x f x x ξξ''''=-≤-⎰⎰（3分）322200(1)(1)d 2233M M x Mx x -=-≤=⎰.（5分）证法二记0()()d xF x f t t =⎰，将()F x 在01x =展开为二阶泰勒公式23(1)()()(1)(1)(1)(1)(1)26f f F x F f x x x ξ'''=+-+-+-，注意(1)0f =，分别令0,2x x ==，则1(0,1)ξ∃∈，2(1,2)ξ∈使31()(1)(0)(1)(01)26f f F F ξ'''=++-，32()(1)(2)(1)(21)26f f F F ξ'''=++-，二式相减，得2120()()()d (2)(0)6f f f x x F F ξξ''''+=-=⎰，由条件()f x M ''≤立即得20()d .3M f x x ≤⎰证法三先证结论：若f 二次可微，则(,)a b ξ∃∈使3()()d ()())224baa b f f x x f b a b a ξ''+=-+-⎰.（*）（可以用证法一，证法二，以下处理也有其特点）设3()()d ()(),()()2xaa x F x f t t f x a G x x a +=--=-⎰，则2()()()(),()3()222a x a x x aF x f x f fG x x a ++-'''=--=-由柯西中值定理(,)a b η∃∈使()()()()()()F b F a FG b G a G ηη'-='-,即2()()()()222()3()a a af f f F b G b a ηηηηη++-'--=-对分子用泰勒公式知存在(,)(,)2a ab ηξη+∈⊂，使2()()()()()22222a a a f a f f f ηηηξηη''++--'--=，故()()()24F b fG b ξ''=，即（*）式成立.利用题设条件()f x M ''≤，(1)0f =得230|()|()d (20).243f Mf x x ξ''=-≤⎰。
高等数学课件上第2-2初等函数的导数
解: [(xsi2nx)3]
(12sinx
3(xsi2nx)2
cosx)
=3(x+sin2x)2(1+sin2x)
例9. 设
ylncoesx)(,求 d y . dx来自解:dy dx
1 cos( e
x
)
(sine(x))
ex
extanex()
例10. 设 y ln x2 1 , 求 d y . dx
例6. 设 y(x211),0求 y
解: 令 u = x2 + 1, 则 y = u 10， y (u10)u ux 10u9 (x2 1)x 10(x21)92x 20x(x2 1)9.
例7. 设 yesinx ,求y.
解: 令 u = sin x, 则 y = e u，
1
sin2
x
csc2
x.
证: (tanx)csionsxx
(sixn )coxssixn(cx o)s
cos2 x
cos2 xsin2x cos2 x
1 cos 2
x
sec2
x.
2.2.2、反函数的求导法则
定理2.2.2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反,f函 1(y)在 数
推论:
1) 2)
(Cu)C u ( C为常数
(1) v
1v 1v v2
)
v v2
例1. y5x33lnx4ex ,求 y .
解:
y 53x2 3 1 x
4ex.
例2. yx(x 3 4 co x ss1 i)n ,求 y及 yx1.
高等数学作业题及参考答案
高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。
A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。
6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。
第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。
（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。
（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。
（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。
（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。
A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。
北邮网络学院高等数学阶段作业二
一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）1.曲线的拐点为（）A.B.C.D.不存在知识点: 第五章导数的应用学生答案: [B;]标准答案:B;得分: [5] 试题分值:5.0提示:2.设，则曲线在区间内沿X轴正向（）A.下降且为凹B.下降且为凸C.上升且为凹D.上升且为凸知识点: 第五章导数的应用学生答案: [A;]标准答案:A;得分: [5] 试题分值:5.0提示:3.设存在二阶导数，如果在区间内恒有（），则在内曲线上凹.A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答案: [C;]标准答案:C;得分: [5] 试题分值:5.0提示:4.若曲线有拐点,则一定有( )A.B.C.不存在D.或不存在知识点: 第五章导数的应用学生答案: [D;]标准答案:D;得分: [5] 试题分值:5.0提示:5.设，则为在上的（）A.极小值点但不是最小值点B.极小值点也是最小值点C.极大值点但不是最大值点D.极大值点也是最大值点知识点: 第五章导数的应用学生答案: [B;]标准答案:B;得分: [5] 试题分值:5.0提示:6.下列命题中正确的是（）A.若为的极值点，则必有B.若，则必为的极值点C.若为的极值点，可能不存在D.若在内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值知识点: 第五章导数的应用学生答案: [C;]标准答案:C;得分: [5] 试题分值:5.0提示:7.（）A. 1B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答案: [C;]标准答案:C;得分: [5] 试题分值:5.0提示:8.已知,则( )A.B.C.D.知识点: 第五章导数的应用学生答案: [C;]标准答案:C;得分: [5] 试题分值:5.0提示:9.(错误)若是的一个原函数，则( ) A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答案: [C;]标准答案:B;得分: [0] 试题分值:5.0提示:10.设是的一个原函数，则（）A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答案: [B;]标准答案:B;得分: [5] 试题分值:5.0提示:11.下列函数中，（）是的原函数.A.B.C.D.知识点: 第六章不定积分学生答案: [D;]标准答案:D;得分: [5] 试题分值:5.0提示:12.( )A.0B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 标准答案: C;案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:13.设，，，则（）A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[A;] 标准答案: A;案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:14.下列积分中，积分值为零的是（）A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[A;] 标准答案: A;案:得分: [5] 试题分值: 5.0 提示:15.( )A.0B. 1C. 2D. 4知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 标准答案: C;案:得分: [5] 试题分值: 5.0 提示:16.( )A.0B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[B;] 标准答案: B;案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:17.设（为常数），则（）A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[D;] 标准答案: D;案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:18.设函数在上是连续的，下列等式中正确的是（）A.B.C.D.知识点: 第七章定积分及其应用学生答[C;] 标准答案: C;案:得分: [5] 试题分值: 5.0提示:19.(错误)设函数在上连续，则（）A.小于零B.等于零C.大于零D.不能确定知识点: 第七章定积分及其应用学生答[D;] 标准答案: B;案:得分: [0] 试题分值: 5.0提示:20.设在闭区间上连续，（）A.等于零B.小于零C.大于零D.不能确定知识点: 第七章定积分及其应用学生答[A;] 标准答案: A;案:得分: [5] 试题分值: 5.0 提示:21.。
《高等数学基础》作业
成绩:咼等数学基础形成性考核册专业： ________ 建筑_____________学号： ____________________姓名：牛萌_____________河北广播电视大学开放教育学院（请按照顺序打印，并左侧装订）高等数学基础形考作业1:第1章函数 第2章极限与连续A.（一）单项选择题1.下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等.C.2•设函数 |的定义域为D. [HI ，则函数 的图形关于（C ）对称. A.坐标原点 C.忖轴 3•下列函数中为奇函数是（B. 轴 D. L=J )• A.C.4•下列函数中为基本初等函数是（A.B. D. B.C.D. )• )• L=J 5.下列极限存计算不正确的是（ B. D. A.C. 是无穷小量. B.D. B.匕J 在点£的某个邻域内有定义 D.B.（二）填空题1•函数的定义域是X>3•2.已知函数| 一| ，则三1在叵］处连续，则回4.若函数5•函数的间断点是耳.6•若 | x | ,则当［严|时，| x | 称为无穷小量。
（三）计算题1设函数求：I ■解：/(-2) = -2/(0) = 0f⑴=忍―2•求函数［Z1 的定义域.2x -1解：欲使函数有意义，必使坦兰」>0,x7 Y—1RP：----- > 1 亦即’ 2x -1 > xx解得巒数的定义域是.X>13•在半径为凶的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上, 试将梯形的面积表示成其高的函数.解：设梯形的高则D 虹二梯形的上底DC 亠7’ ,下底AB = 2R则梯形的面积 _________ (*疋-三+2R)工 s = -----7 二(VA* - x 2 + 7?)工 (0 < x < R)4•求 ]解：原式“im ・f F 详XT7$m （H4L ） 「 smCx +1） 1—— --------- 11 m —— ---------------x + 1 6•求 |乂|sin解J 曲应=31曲沁冥丄“讪空竺xlim 丄二亠心" ht 。
兰大网络教育高等数学2课程作业及问题详解
高等数学(2)课程作业_A一、单选题1. (4分)图6∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案 B2. (4分)图20-43∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案 D3. (4分)图26-23∙ A. (A) ∙ B. (B) ∙ C. (C) ∙ D. (D)知识点：二重积分收起解析答案 B4. (4分)图17-90∙ A. (A) ∙ B. (B) ∙ C. (C) ∙ D. (D)知识点：无穷级数收起解析答案 A5. (4分)图18-50 ∙ A. (A) ∙ B. (B) ∙ C. (C) ∙ D. (D)知识点：常微分方程收起解析答案 B6. (4分)图18-44∙ A. (A) ∙ B. (B) ∙ C. (C) ∙ D. (D)知识点：常微分方程收起解析答案 C∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案 A8. (4分)图16-20∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：多元函数及其微分学收起解析答案 A∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：常微分方程收起解析答案 B10. (4分)图15-16∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)纠错得分： 4知识点：曲线积分及其应用收起解析答案 A11. (4分)图17-87∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：无穷级数收起解析答案 A12. (4分)图14-21∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：曲线积分及其应用收起解析答案 D13. (4分)图26-20∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：多元函数微分学的应用收起解析答案 A14. (4分)图15-26∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：微分方程的一般概念与一阶微分方程收起解析答案 C∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案 C二、判断1. (4分)图18-84知识点：常微分方程收起解析答案正确2. (4分)图15-1知识点：无穷级数收起解析答案错误知识点：多元函数微分收起解析答案正确4. (4分)图15-12知识点：无穷级数收起解析答案正确5. (4分)图20-19知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案正确6. (4分)图19-2知识点：多元函数微分收起解析答案错误7. (4分)图19-5知识点：多元函数微分收起解析答案错误8. (4分)图26-5知识点：曲线积分与曲面积分收起解析答案正确9. (4分)图1-11知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案正确10. (4分)图17-24知识点：无穷级数收起解析答案错误。
《高等数学复习资料》高等数学大作业答案
第一章 函数与极限一、选择题1.B ；2.C ；3.D ；4.C ；5. A.二、填空题1. [-1，1];2. a ln 21; 3. 1 ; 4. -1； 5. 2 ，2三、计算下列极限1. 解：321lim 231-+-→x x x x =)3)(1()1)(1(lim 21+-++-→x x x x x x =31lim 21+++→x x x x =432. 解：213lim21-++--→x x xx x =)13)(2)(1()13)(13(lim 1x x x x x x x x x ++-+-++-+--→ =)13)(2)(1()1(2lim1x x x x x x ++-+---→=62-3. 解：65124lim 2323-++-∞→x x x x x =33651124lim xx x x x -++-∞→=44. 解： x x x cos 1)1ln(lim 20-+→=22lim 220=→xx x5. 解：xx x sin 20)31(lim +→=xx x x x sin 6310)31(lim ⋅→+=xx x x x x sin 6lim 3100)31(lim →⋅→+=e 66. 解：3ln =a四、证明题1．证明：11limlim11222122=+=++≤+≤+∞←∞←=∑n n nn n n n kn n n n n n nk 且11lim 12=+∴∑=∞→nk n k n2. 证明：由题意，得0)1(21<-=--=-+n n n n n n x x x x x x}{是单调递减的数列n x ∴。
以下证有下界，显然数列{}n x 有下界且为零。
设a x n n =∞→lim ，则a =a (1-a )， 0lim =∴∞→n n x3.证明：构造辅助函数x x f x F -=)()(，它在],[b a 上连续.若a a f =)( 或b b f =)(，则a =ξ或b =ξ，结论成立.若不然，则0)()(,0)()(<-=>-=b b f b F a a f a F . 根据连续函数零点定理，必存在],[b a ∈ξ，使ξξξ==)(,0)(f F .五、当1||<x 时，x x x x nn n =+-∞→2211lim；当1||=x 时， 011lim 22=+-∞→x x x n nn ；当1||>x 时，x x x x nnn -=+-∞→2211lim . 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=1||1||1||0)(x x x x x x f .由于1)(lim ,1)(lim ;1)(lim ,1)(lim 1111-==-==+-+--→-→→→x f x f x f x f x x x x .故 1±=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.第二章 导数与微分一、选择题1.B2.C3.B4.A5..C6.B7.B8.C二、填空题1.a ln -2. )cot ln 1(sin x x x x x ++3. dx -4. !n 三、求下列函数的导数1．解：由题意22'44122arccos x xxx x y ----=2422arccos x x x --= 2. 解：()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x g f 21arcsin ；()[]{}221x x x g f -='. 3．解：方程()()x x y xy =-+ln sin 两边同时对x 求导得：()11)(cos =--'+'+xy y y x y xy ， 又题意知当0=x 时1=y ，所以1|0==x dx dy4. 解：由题意xx x x x y 2'cos ln sin cos 2+-=，2222''cos sin cos 2sin cos 2ln cos 2ln sin 2xx x x x x x x x x x y +-+--=∴ 22c o s 2s i n 2l n 2c o s 2x xx x x x ---=5. 解：方程两边对x 求导，得0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy ,则ydx dy cos 22-= . 上式两边再对x 求导，得3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 6．解：2t dt dx dtdydx dt dt dy dx dy ==⋅=； t t dt dx t dt d dx dy dx d dxy d 412222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 7. 解：由题意xxx xeex y cos)1ln(1)cos 1ln(1)cos 1(++==+=法一：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+-=+-+-⋅=∴+212)cos 1ln()cos 1ln()cos 1(sin )cos 1()cos 1ln(cos 1sin 'x x x x x x x x x x xe y xxx 法二：等式两边取对数得 令)cos 1ln(1ln x xy +=，两边对x 求导得)c o s 1(s i n )c o s 1(1'12x x x x n xy y +-++-= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅+-=+++-=∴212)cos 1ln()cos 1(sin )cos 1(])cos 1ln()cos 1(sin ['x x x x x x xx x x x y y x四、综合题1. 解：因为()1-='n nx x f ，过点()1,1的切线方程为：()11-=-x n y .令n n y n 10-=⇒=ξ；故 e n n n nn n n 111lim 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→.2. 解：（1）连续性 )0(021lim cos 1lim )(lim 2000f x xx x x f x x x ===-=+++→→→ )0(0lim )(lim 20f x x f x x ===--→→ 处连续在0)(),0(0)(lim )(lim 00=∴===-+→→x x f f x f x f x x . （2）可导性 2121lim cos 1lim )0()(lim 220200==-=-+++→→→xxx x x f x f x x x 0lim )0()(lim 200==-+-→→x x xf x f x x .0)(),(')('处不可导在=∴≠∴-+x x f x f x f3．解：由题意：()()()A x xx x f x x x f x F x x x x =+=+=→→→→sin lim 2lim sin 2limlim 0000. 又 ()()()()100lim lim 00='=-=→→f xf x f x x f x x ，即3=A 为所求. 4．解：由题意得：3121h V π=，两边同时对t 求导：dtdhh dt dV 241π=，故 4=h 时，求得π21=dt dh .第三章 微分中值定理与导数应用一、选择题1、C2、C3、D4、B5、A6、B二、填空题1、12、)2,2(2-e3、1,0,1==-=x x x ；0=x4、00==x ,y5、()2,-∞-三、计算题1、解：212cos lim )(arcsin 1sin lim020=-=--→→x x e x x e x x x x . 2、解：()xx x cos 02tan lim -→π=()x x x etan ln cos lim 02-→π=()xx x esec tan ln lim02-→π=1202sin cos lim=-→xxx eπ3、解：222arctan 2lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→π=212414lim 2arctan 2lim 3422=-+-=--∞→-∞→x x x x x x x π. 4、解：])1ln(11[lim 0x x x +-→ )1ln()1ln(lim 0x x x x x +-+=→20)1ln(lim x x x x -+=→x x x x 211lim 0-+=→ 214221l i m 221l i m 0220-=+--=+--=→→x x x x x x x x5、解：令t x =21，则0→x 时，+∞→t . 0!50lim 50lim lim lim 4950100102=====+∞→+∞→+∞→-→t t t t t t x x e e t e t x e . 四、证明题1、证明：令F （x ）=xf (x ),由题意，显然F (x )在[a,b ]连续，在（a,b ）可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点ξ使)(')()()())((')()(ξξξξf f ab a af b bf a b F a F b F +=---=-即2、证明：存在性：设()15-+=x x x f ，显然()x f 在任意区间连续，又()010<-=f ，()011>=f ，由零点定理，方程015=-+x x 在)1,(0内至少有一根，即至少有一正根.唯一性：因()014>+='x x f ，()x f 在()+∞∞-,内单增，故015=-+x x 至多有一正根. 3、证明：,ln )(2t t f =令.],[)(理的条件上满足拉格朗日中值定在显然令b a t f ),,(b a ∈∴ξ存在.ln 2)(ln ln 22ξξξ='=--f a b a b 满足),,(ln 2)2e e x x x x g ∈=（令 可得（由22)ln 1(2ln 22)xx x x x g -=-='∴：.0)(,),(2<'∈x g e e x 时当.)(,),(2单调递减时x g e e x ∈∴,2e b a e <<<<ξ 又.2ln 242e e<<∴ξξ.,4ln ln 222结论得证e a b a b >--∴ 4、证明：设)0(211)(2>---=x x x e x f x,则0)0(=f ，得1)('',1)('-=--=x x e x f x e x f0)0()(0)(01)('',0='>'∴∞+'>-=∴>f x f x f e x f x x ）单调递增，，在（得0)0()(0)(=>∴∞+∴f x f x f ）单调递增，，在（∴222110211x x e x x e x x ++>>---即五、解：设),(y x P 到定点)0,2(A 的距离为S .()452)2(2222222+-=-+-=+-=x x x x x y x S ，()542-='x S . 令()02='S ，则45=x ；而()042>="S . 故45=x 为极小值点. P 点坐标为 ），（4545±.六、略.第四章 不定积分一、选择题：1、B2、D3、A4、A5、B6、C二、填空题：1、相互平行，2、C x x +-2213、()C x+18ln 184、C x +arcsin5、C x +)tan arctan(arc 三、计算下列不定积分：1、解：令⎰⎰⎰+-=+-===∴=∴=c x c t tdt dt t t dx xxt x t x cos 2cos 2sin 2sin sin ,22 2、解：原式=dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--12112121=dx x ⎰-12121dx x ⎰+-121213、解：原式=()()C x x xd x d x x +==⎰⎰2tan ln 21tan ln tan ln tan tan tan ln .4、解：令t x sin 2=⎰=∴t d ttsin 2cos 2sin 42原式⎰⎰+--=+-=-==C x x x C t t dt t tdt 242arcsin 22sin 2)2cos 22(sin 4225、解：t x tan =令，⎰⎰+⋅=+tt td x x dx 2222tan 1tan tan 1 ⎰⎰⎰⎰+-====⋅=C t t d tdt t t dt t t dt t t t sin 1sin sin 1sin cos tan sec sec tan sec 22222 C x x ++-=126、解：t x dx x x x dxsec 2,1)2(13422=+-+=++⎰⎰令C x x x C t t t t d tt dtt t t t t tdt dt t t t t d t +++++=++=++=++==⋅=--=∴⎰⎰⎰⎰⎰342ln tan sec ln )tan (sec tan sec 1tan sec )tan (sec sec sec tan tan sec )2(sec 1sec 122原式7、解：原式=dx x x x x x x xd 1ln 21ln 11ln 22⋅⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰ =dx x x x x ⎰+-22ln 2ln 1，仿上法得： C xx x dx x x x dx x x +--=+-=⎰⎰1ln 11ln 1ln 22，代入可得：dx x x⎰22ln =C x x x+++-]2ln 2[ln 12.8、原式=)(arctan )ln(arctan x d x ⎰=C x x x +-arctan )ln(arctan arctan9、解：原式=du u u de e e dx e e e xx xx xx ⎰⎰⎰-=-=-⋅222222111（设x e u =）=du u u du u u ⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2221arcsin 111. 对于du u ⎰-21用三角代换法得：C u u u du u ++-=-⎰arcsin 21121122. 所以dx e e xx⎰-231=C e e e x x x +--2121arcsin 21.10、解：⎰⎰-=dx x x x dx x )cos(ln )sin(ln )sin(ln])sin(ln )cos(ln [)sin(ln ⎰+-=dx x x x x x ⎰--=dx x x x x x )sin(ln )cos(ln )sin(lnC x x x x dx x +-==∴⎰2)cos(ln )sin(ln )sin(ln四、解： x x sin 是)(x f 的原函数， ∴2sin cos sin )(x x x x x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛=.C xx x x x x xdx x f x xf x xdf dx x f x +--=-=='⎰⎰⎰sin sin cos )()()()(2C x xx +-=sin 2cos .第五章 定积分一、选择题：1.. B2. D3. D4. C二、填空题：1．)())(()())((x m x m f x g x g f '⋅-'⋅ ; 2. a I = ; 3. 21I I < ; 4. 奇. 三、计算题：1. 解：原式=0cos 12232=-ππx.2. 解： ⎰⎰⎰-====+++-1010104)(1111a r c t a n 01|a r c t a n 22πe e de dx dx x x e e e e e x x x x x . 3. 解：,sin t x =令⎰⎰=-t td t dx x xsin cos sin 1220221π则dt t t 220cos sin ）（π⎰=16)4sin 32181(4cos 1812sin 412020220π）（πππ=-=-==⎰⎰t t dt t tdt 4. 解： ⎰⎰-=⎰⎰==-ππππ0022210022cos 1222]2cos [sin xdx x dx x dx x xdx x I x ， ⎰⎰⎰-==ππππ0022122122122sin 0|2sin 2sin 2cos xdx x x x d x xdx x=⎰⎰=-=ππππ0022121212cos 0|2cos 2cos xdx x x x xd ，4361ππ-=I . 5. 解: 令2-=t u 则du u f dt t f ⎰⎰-=-1131)()2(11100121137134)1()(------=+-=++=⎰⎰⎰e e du e du u du u f u . 6. 解：⎰⎰∞+∞+∞+-==e e e x x d x dx x x ln 1ln )(ln 1ln 1221]ln 1ln 1lim [=--=+∞→e x x 7. 解：2121221221arccos1)1(11))1(1(1x x d xdx x x =--=-=⎰⎰原式 4arccos lim 22arccos 1π=-=→x x8. 解：21cos 21lim 2cos lim 2tan cos lim tan cos lim 20220220022002-=-=⋅-=⋅-=++++→→→→⎰⎰x x x x x x x x x dtt dt t t x x x x x x 四、综合题：1. 证：令x t -=π则，⎰⎰⎰⎰==--=202022sin sin )(sin sin ππππππxdx tdt dt t xdx n nnn所以⎰⎰⎰⎰=+=20220sin 2sin sin sin πππππxdx xdx xdx xdx n nnn2. 证明：.0]0[)(）内可导显然，上连续，在（，在ππx F ，时，当0cos )(],0[>='∈-x e x F x x π ()cos 02x F x e x x π-'===由得驻点211(0)0;();()0.222ee F F F ππππ--++===>(),(0)2F F π比较得最大值为最小值为其中，00(sin cos )1()cos =.22t te t t e F e tdt ππππ----+==⎰ 第六章 定积分的应用一、选择题：1. C2. C二、计算题：1．解：对x y 62=两边求导得yy 3='，从而得曲线在点)3,23(处的法线斜率1-=k .法线方程为:029=-+y x ，故所围图形面积为：dy y y ⎰---392)629(=48.2．解:设所求面积为S ，则有对称性知)2cos 21)sin 2(21(246260⎰⎰+=πππθθθθd d S 23162cos )2cos 1(4660-+=+-=⎰⎰πθθθθπππd d 3. 解：dx y S ⎰'+=421πdx xx ⎰+=422cos sin 1πdx x ⎰=40sec π40tan sec ln πx x +=40tan sec ln πx x +=)21ln(+= 4．解：体积元为dy y dV 2)4(π=，所以πππ12|1161641412=-==⎰y dy yV .5. 解： .1ln x y x y ='∴= .1),(11)1,(ln x ey e x e y e x y =-=-=∴即的切线方程为过曲线.1ln 轴围成与，直线由曲线x x ey x y D ==∴体的体积为轴旋转一周所得的旋转绕x D ∴dx x e V e ⎰-=12ln 31ππex x x x x e 12]2ln 2ln [31+--=ππe ππ322-=第七章一、选择题 1.D A B C D A B B C B B B二、填空题 1．cx y = 2.054=+'-''y y y （i ±2是其两个特征根）3．x x e x e y 2)1(23-+= 4.C e e y x =- 5.C x xy +=ln sin 6.xe C x C 221)(+7. x x e C e C 221-+ 8. )2sin 2cos (21x C x C e x+三、计算题 1.解：代入一阶线性微分公式求解即可得：).(sin 2C x e y x +=2．解： 对应于齐次的特征方程为 022=-+r r ，得特征根2,121-==r r所以齐次的通解为 xx e C e C y 221-+= 由于i 20+不是特征根，故设非齐次的特解形式为 x B x A y 2sin 2cos += 代入非齐次方程，整理得 x x B A x A B 2sin 42sin )3(2cos )3(=+-- 即⎩⎨⎧-=+=-4303B A A B解得 56,52-=-=B A 所以非齐次的特解为 x x y 2sin 562cos 52--= 所以非齐次的通解为 x x e C e C y 221-+=x x 2sin 562cos 52--3. 解： ,),(dy dp p y dy dp y y p y ='=''='则令代入原方程得 p p dy dpp +=3整理得 dy dp p=+211， 解得 111212,,)arcsin(22C C e C C e C y C x -==+=其中4． 解：原方程可化简为yy y x dy dx 1ln 1=+ ,由一阶线性方程求解公式得}ln 21{ln 1}ln 21{ln 1}1{2221ln 11ln 1y C y C y C y dy e y C e x dy y y dyy y +=++=⎰+⎰=⎰-)ln 211(ln 11,23)(2y y x C e x +=∴=∴= 。
《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。