第六届广东省大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专类)
数学竞赛大纲(高职高专类)
广东省大学生数学竞赛考试大纲—高职高专类（讨论稿） 广东省大学生数学竞赛（高职高专类）竞赛内容为高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1、函数的概念及表示法。
2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、反函数、分段函数、隐函数、复合函数，基本初等函数的性质及其图形， 初等函数 函数关系的建立。
4、数列极限与函数极限的定义及其性质。
5、函数的左极限和右极限。
6、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较。
7、极限的四则运算。
8、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则， 两个重要极限：0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
9、函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性。
10、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理，介值定理)。
二、一元函数微分学1、导数和微分的概念，导数的几何意义。
2、导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数。
3、复合函数、反函数和隐函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性。
4、罗尔（Rolle ）定理，拉格朗日( Lagrange)中值定理，泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理。
5、洛必达（L'Hospital ）法则。
6、函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凸性，拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。
三、一元函数积分学1、原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式。
2、不定积分的换元积分法和分部积分法．3、定积分的概念和基本性质，定积分中值定理。
4、积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式。
5、定积分的换元积分法与分部积分法。
6、反常（广义）积分。
7、定积分在几何上的应用(如面积、体积和弧长求法)。
8、定积分在物理上的应用(如功、水压力和引力求法)。
四、向量代数与空间解析几何1、空间直角坐标系，两点间距离，向量的概念，向量的坐标表示，向量的运算（加减法与数乘，数量积与向量积），向量模，单位向量，方向余弦，两向量平行与垂直的充要条件。
优选年广东省+证书高职高考数学试卷真题和答案
2017年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试数 学班级 学号 姓名本试卷共4页，24小题，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：(本大题共15小题，每小题5分，满分75分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若集合{}0,1,2,3,4=M ，{}3,4,5=N ，则下列结论正确的是 ( ). A.⊆M N B. ⊆N M C. {}3,4=I M N D. {}0,1,2,5=U M N2. 函数()=f x 的定义域是 ( ). A. (,)-∞+∞ B. 3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D. ()0,+∞3.设向量(,4)=ra x ，(2,3)=-rb ， 若2•=r r a b 则 =x( ).A. 5-B. 2-C. 2D. 74. 样本5,4,6,7,3的平均数和标准差分别为 ( ).A. 5和2B. 56和3 D. 6不等式2560x x --≤的解集是 ( ). A. {}23x x -≤≤ B. {}16x x -≤≤C. {}61x x -≤≤D. {}16x x x ≤-≥或5. 设()f x 是定义在上的奇函数，已知当0≥x 时，23()4=-f x x x ，则(1)-=f （ ）. 下列函数在其定义域内单调递增的是 ( ) . A. 5- B. 3- C. 3 D. 56.已知角θ的顶点与原点重合，始边为x 轴的非负半轴，如果θ的终边与单位圆的交点为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭P ，则下列等式正确的是 ( ).A. 3sin 5θ= B. 4cos 5θ=- C. 4tan 3θ=- D. 3tan 4θ=- 7. “4>x ”，是“(1)(4)0-->x x ”的 ( ). A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 非充分非必要条件8. 下列运算不正确的是( ) .A. 22log 10log 51-=B. 222log 10log 5log 15+=C. 021=D. 108224÷=9. 函数()cos3cos sin 3sin =-f x x x x x 的最小正周期为 ( ). A.2πB. 23πC. πD. 2π10. 抛物线28=-y x 的焦点坐标是 ( ).A. (2,0)-B. (2,0)C. (0,2)-D. (0,2)11. 已知双曲线22216-=x y a 的离心率为2，则=a ( ).A. 6B. 312. 从某班的21名男生和20名女生中，任意选派一名男生和一名女生代表班级参加评教座谈会，则不同的选派方案共有 ( ).A. 41种B. 420种C. 520种D. 820种13. 已知数列{}n a 为等差数列，且12=a ，公差2=d ，若12,,k a a a 成等比数列，则=k ( ).A. 4B. 6C. 8D. 1014. 设直线l 经过圆22220+++=x y x y 的圆心，且在y 轴上的截距为1，则直线l 的斜率为 ( ).A. 2B. 2-C. 12D. 12-15. 已知函数=x y e 的图象与单调递减函数()=y f x ，()∈x R 的图象相交于点(),a b ，给出下列四个结论：则(1)ln =a b (2)ln =b a (3)()=f a b (4)当>x a 时，()<x f x e 。
2023年首届广东省大学生数学竞赛试卷经管类
广东省大学生数学竞赛试卷参照答案(经济管理类)一、(本题30分, 每题3分) 填空题1.已知 .则极限........ .2. 设 对于 满足方程 .若 在 获得极值, 则它是 .（填极大值还是极小值）3.极限...... .4.设函数 满足.则 _________.5. 极限 .6.由方程 确定了函数 .则......7.设 可微, , 若 , 则 .8.设函数()f x 持续, (0)2f =, 记22222()()d d (0)x y t F t f x y x y t +≤=+≥⎰⎰, 则(0)F ''= .9.设 是微分方程 旳三个不一样旳解, 且 不恒等于常数, 则微分方程旳通解....... .10. 级数 旳收敛区间为 .二、（本题10分）设函数 具有二阶持续导数, 且 , 证明：函数(),0()(0),0f x xg x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩具有一阶持续导数.三、（本题10分） 设()f x 在[0,1]上可导, 当01x ≤≤时, 0()2f x ≤≤; 且对区间(0,1)内所有x 有()2f x '≠, 证明: 在[0,1]上有且仅有一点,ξ 使得()2.f ξξ=四、（本题10分）设函数 在区间 上持续, 并设 , 求 .五、（本题10分）设 , 其中 为持续函数, 求 .六、（本题10分）设()f x 在区间[1,1]-上持续且为奇函数, 区域D 由曲线24y x =-与3y x =-、1x =所围成, 求()1()ln(d d D I f x y x y =++⎰⎰.七、（本题10分） 设()f x 在区间[0,1]上有持续导数, n 为正整数, 证明: 10(1)1()d n f x f x x o n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ()n →∞.八、（本题10分）设0a >, 鉴别级数(1)221(1)(1)(1)n n n n a a a a +∞=+++∑旳敛散性.。
广东数学竞赛试题及答案
广东数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪一项不是实数的属性？A. 有序性B. 可数性C. 完备性D. 连续性答案：B2. 若函数\( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求\( f(-2) \)的值。
A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D3. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且a + b > c，a + c > b，b + c > a，根据三角形的不等式定理，下列哪个选项是正确的？A. a > cB. b > aC. c > bD. 无法确定答案：D4. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定答案：B5. 已知数列1, 1/2, 1/3, 1/4, ...，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 几何数列D. 既不是等差数列也不是等比数列答案：D6. 一个正方体的体积为64，求其表面积。
A. 96B. 128C. 192D. 256答案：B7. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a > b，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的方程。
A. \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)B. \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \)C. \( \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \)D. \( \frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1 \)答案：A8. 一个函数的导数为\( f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求原函数\( f(x) \)。
A. \( x^3 - x^2 + x + C \)B. \( x^3 - x^2 + x - 2 \)C. \( x^3 - x^2 + x + 1 \)D. \( x^3 - x^2 + x - C \)答案：A9. 已知函数\( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \)，求\( g(\frac{\pi}{4}) \)的值。
广东大专高数试题及答案
广东大专高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数y=f(x)是奇函数，则下列说法正确的是（）。
A. f(-x) = f(x)B. f(-x) = -f(x)C. f(0) = 0D. f(x) = 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为（）。
A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A4. 函数y=ln(x)的导数是（）。
A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=________。
答案：3x^2-36. 已知函数y=x^2-4x+c，若其图像与x轴有交点，则c的取值范围为________。
答案：c≤47. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在点(2,0)处的切线方程为________。
答案：y=-3x+128. 函数y=e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C三、解答题（每题15分，共30分）9. 求函数y=x^2-4x+c在区间[0,2]上的最小值。
解：函数y=x^2-4x+c的导数为y'=2x-4。
令y'=0，解得x=2。
当0≤x<2时，y'<0，函数单调递减；当x>2时，y'>0，函数单调递增。
因此，函数在x=2处取得最小值，即y_min=c-4。
10. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
解：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e^lim(x→∞) (x*ln(1+1/x))。
由于lim(x→∞) (x*ln(1+1/x)) = lim(x→∞) (ln(1+1/x)/1/x) =lim(x→∞) (1/(1+1/x) * 1/x) = 0，所以原极限的值为e^0=1。
第六届广东省大学生数学竞赛试卷高职高专类
学院班级姓名学号(密封线内不答题)…………………………………密………………………………………………………封……………………………………………线……………………………………第六届广东省大学生数学竞赛试卷（高职高专类）考试时间：2016年10月22日上午9：00-11：30题号一二三四五六七八九总分分数阅卷审核一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．若数列{}n x 在(,)a a εε-+邻域内有无穷多个数列的点，其中ε为某一取定的正数，则()(A)数列{}n x 必有极限，但不一定等于a (B)数列{}n x 极限存在且一定等于a (C)数列{}n x 极限不一定存在(D)数列{}n x 一定不存在极限2.若极限a x f x x =→)(lim 0（常数），则函数)(x f 在点0x （）(A)有定义且a x f =)(0；(B)不能有定义；(C)有定义，但)(0x f 可以为任意数值；(D)可以有定义也可以没有定义3.设)100)(99()2)(1()(----=x x x x x x f ，则=')0(f （）(A)100(B)100！(C)-100(D)-100！4.设()f x 在(,)-∞+∞上的可积偶函数，则()()x c F x f t dt =⎰（）(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)不一定是奇函数5．设()f x 在[,]a b 上连续，以下哪一项不能得出()f x 在[,]a b 上恒为零（）(A)2[()]0b a f x dx =⎰；(B)对任何在[,]a b 上可积函数()x φ都有()()0b a x f x dx φ=⎰;(C)()0b a xf x dx =⎰;(D)()0b a f x dx =⎰二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.极限201sin lim sin x x x x→的值为.2.设()f x 的n 阶导数存在，且1()lim ()n n x f x f a x a-→∞=-，则1()n f a -=. 3.设()(1)arcsin 1x f x x x =-+，则(1)f '=.4.设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且对任何(,)x ∈-∞+∞，有3()540xc f t dt x =+⎰，则c =_____.5.若2()f x x =，则11()f x dx -=⎰__________.三、（本题10分）求极限3sin 0lim(12)x x x →+四、（本题10分）设函数21()32x f x x x +=-+，求()(),(1).n f x n ≥．五、（本题10分）求不定积分1(ln ln ).ln x dx x+⎰六、（本题10分）求极限()22222lim .sin (2)x u t x e du dt x -→-⎰⎰七、（本题10分）已知0()lim 1x f x x→=，且()0,f x ''>证明().f x x ≥八、（本题10分）设函数()f x 在区间[0,1]上二阶可导，且(0)(1)1,(1)1,f f f '===证明存在(0,1),() 2.f ξξ''∈=使九、（本题10分）由直线0,1y x ==及抛物线2y x =围成一个曲边三角形，在曲边三角形2y x =上求一点，使曲边在该点处的切线与直线0y =及1x =所围成的三角形面积最大.。
大专数学竞赛试题及答案
大专数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)，求\( f(-2) \)的值。
A. -1B. 0C. 1D. 22. 已知\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个实根，求\( a + b \)的值。
A. 2B. 3C. 4D. 53. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)5. 计算极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)。
A. 0B. 1C. 2D. 无穷大6. 已知\( \log_{2}8 = 3 \)，求\( 2^3 \)的值。
A. 4B. 8C. 16D. 327. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 14B. 17C. 20D. 238. 求函数\( g(x) = 4x - x^2 \)在\( x = 2 \)处的导数值。
A. -4B. -2C. 0D. 29. 已知\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，且\( a >0 \)，\( b > 0 \)，求\( a + b \)的最小值。
A. 2B. 3C. 4D. 510. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题2分，共20分）11. 若\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( 2ab = 6 \)，则\( (a - b)^2 \)的值为______。
广东大学生数学竞赛考试大纲—经管类讨论稿
广东省大学生数学竞赛考试大纲—经管类（讨论稿）广东省大学生数学竞赛（经管类）竞赛内容为大学本科管理类专业高等数学（或微积分）课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1、函数的概念及表示法。
2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、反函数、分段函数、隐函数、复合函数，基本初等函数的性质及其图形， 初等函数 函数关系的建立。
4、数列极限与函数极限的定义及其性质。
5、函数的左极限和右极限。
6、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较。
7、极限的四则运算。
8、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则， 两个重要极限： 0sin lim 1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
9、函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性。
10、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理，介值定理)。
二、一元函数微分学1、导数和微分的概念，导数的几何意义和经济意义，平面曲线的切线与法线。
2、导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数。
3、复合函数、反函数和隐函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性。
4、罗尔（Rolle ）定理，拉格朗日( Lagrange)中值定理，泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理。
5、洛必达（L'Hospital ）法则。
6、函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凸性，拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。
三、一元函数积分学1、原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式。
2、不定积分的换元积分法和分部积分法．3、定积分的概念和基本性质，定积分中值定理。
4、积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式。
5、定积分的换元积分法与分部积分法。
6、反常（广义）积分。
7、定积分的应用：用定积分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题。
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…第六届广东省大学生数学竞赛试卷（高职高专类）参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)题号12345答案C D B D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.0 2.0 3.4 4.-8 5.1三、解:因为3116sin 2sin (12)(12) x x x x x ⋅⋅+=+…………………………5分所以3116sin 2sin 00lim(12)lim(12) x x x x x x x ⋅⋅→→+=+…………………………8分6 =e …………………………10分四、解：由于2132()3221x f x x x x x +==--+--……………………3分()()()11()3()2()21n n n f x x x =---…………………………5分1132(1)!(2)(1)n n n n x x ++⎡⎤=--⎢⎥--⎣⎦…………………………10分五、解：由乘积导数公式及复合函数导数公式111(ln ln )ln ln ln ln ln ln x x x x x x x x '=+=+…………………………7分所以1(ln ln ).ln x dx x +⎰=ln ln x x +C…………………………10分六、解由洛必达法则，原式()22222lim (2)x u t x e du dt x -→=-⎰⎰……………4分2222lim (2)u x x e du x -→=-⎰……………7分
24122x e e
--==-……………10分
七、证明：由0x =时的麦克劳林公式，2()()(0)(0)2!f f x f f x x ξ'''=++………………4分
由已知，(0)0,(0)1,()0,f f f x '''==>……………8分故2()()2!f f x x x x ξ''=+≥成立.……………10分
八、证明：作辅助函数2()()(1),F x f x x x =--+………………4分
111(0)(1)0,()0(01),
F F F ξξξ=='=<<则由罗尔定理存在使得
…………………8分1(1)0,()0(1),()=f ()20f ()=2F F F ξξξξξξξξ'=''''''=<<-=''∈又由罗尔定理存在使得即所以， （0,1）
…………………10分
九、解：设切点00000(,),2()P x y y y x x x -=-切线方程…………………………2分
20002000021(1)(),0122x x x S x =-≤≤交轴于点A(
,0),交直线x=1于点B(1,2x -x ),则2x -x …………………………6分20000320,2()43
x x x '+
=⇒==令S =1-2x 舍…………………………8分2280,()3327S ''∴= S ()=-1<为极大值，故为所有三角形中面积最大者。
…………………………10分。