【苏科版】2014届中考数学第一轮夯实基础《第16讲 二次函数的应用》
【数学中考一轮复习】 二次函数最值应用(含解析)
专项训练 二次函数最值应用结合图象，分两类情形: （1）最值在顶点位置如图所示，P 为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的顶点，则二次函数的最值（开口向上有最小值，开口向下有最大值）为顶点P 的纵坐标ab ac 442-.（2）最值不在顶点位置如图所示，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为y 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象上的两点，则当x 1≤x ≤x 2时，二次函数的最大值为y 2，最小值为ab ac 442-.具体应结合开口方向，根据M ，N ，P 三个点的位置，通过比较y M ，y P ，y N ，确定二次函数的最值.如果在实际问题中，还要考虑取值的实际意义，综合进行分析，确定二次函数的最值. 类型一 面积中的最值应用1.把一根长为120 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个正方形.若设围成的一个正方形的边长为 x cm.（1）要使这两个正方形的面积的和等于650 cm 2，则剪出的两段铁丝长分别是多少？ （2）剪出的两段铁丝长分别是多少cm 时，这两个正方形的面积和最小？最小值是多少？2.如图所示，在足够大的空地上有一段长为100 m 的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m 的木栏.（1）若AD ＜20 m ，所围成的矩形菜园的面积为450 m 2，求所利用的旧墙AD 的长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值.3.如图所示，为美化中心城区环境，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地ABCD 上修建公园其中要留出宽度相等的三条小路，且两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分建成花圃.（1）若花圃总面积为448平方米，求小路宽为多少米？（2）已知某园林公司修建小路的造价y 1（元）和修建花圃的造价y 2（元）与修建面积s （平方米）之间的函数关系分别为y 1＝40s 和y 2＝35s ＋20000.若要求小路宽度不少于2米且不超过4米，求小路宽为多少米时修建小路和花圃的总造价最低？类型二 利润中的最值应用4.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间满足一次函数关系（其中10≤x ≤15，且x 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？5.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量y （单位:件）与线下售价x （单位:元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表:（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问:当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.6.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天（x为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为p ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+)3020(1251)200(452x x x x ,销售量y （千克）与x 之间的关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）类型三运动中的最值应用，7.周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图所示，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度h（单位:m）与飞行时间t（单位:s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t-5t2. （1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15 m？8.如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m处跳起投篮，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足解析式y＝ax2＋x＋c，当球运行的水平距离为1.5 m时，球离地面高度为3.3 m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内.已知篮圈中心离地面距离为3.05 m.（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手，问球出手时他跳离地面多高?9.如图所示，某足球运动员站在点O处练习射门将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位:m）与飞行时间t（单位:s）之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.（1）a＝_________；c＝___________.（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位:m）与飞行时间（单位:s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？巩固训练1.某宾馆共有80间客房宾馆负责人根据经验作出预测:今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝41x-42（x ≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ） A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间 2.如图所示，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m （篱笆的厚度忽略不计），当AB ＝_______m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.3.小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地.设小丽出发第x min 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1 m 、y 2 m.y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝-180x ＋2250，y2与x 之间的函数表达式是y 2＝-10x 2-100x ＋2000.（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为_________m ；（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？4.因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价-进价）参考答案1.解:（1）根据题意知:一个正方形的边长分别为x cm ， 则另一个正方形的边长为41（120-4x ）＝（30-x ）cm ， 且分成的铁丝一段长度为4x cm ，另一段为（120-4x ）cm ，x 2＋（30-x ）2＝650. 整理得:x 2-30x ＋125＝0，解得:x 1＝5，x 2＝25， 故这根铁丝剪成两段后的长度分别是20 cm ，100 cm ； （2）设这两个正方形的面积之和为y cm 2，y ＝x 2＋（30-x ）2＝2x 2-60x ＋900＝2（x-15）2＋450， ∴当x ＝15时，y 取得最小值，最小值为450cm 2，即剪成两段均为60 cm 的长度时面积之和最小，最小面积和为450 cm 2. 2.解:（1）设AB ＝x m ，则BC ＝（100-2x ）m.x （100-2x ）＝450. 解得，x 1＝5，x 2＝45，当x ＝5时，100-2x ＝90＞20，不合题意，舍去. 当x ＝45时，100-2x ＝10， 答:AD 的长为10m ；（2）设AD ＝a m ，面积为S m 2， S ＝a ·1250)50(2121002+-=-x a ， ∴当a ＝50时，S 取得最大值，此时S ＝1250. 答:矩形菜园ABCD 面积的最大值是1250 m 2.3.解:（1）设小路的宽为m 米，则可列方程（30-m ）（20-2m ）＝448； 解得:m 1＝2或m 2＝38（舍去）； 答:小路的宽为2米；（2）设小路的宽为x 米，总造价为w 元，则花圃的面积为（2x 2-80x ＋600）平方米，小路面积为（-2x 2＋80x ）平方米，所以w ＝40·（-2x 2＋80x ）＋35·（2x 2-80x ＋600）＋20000， 整理得:w ＝-10（x-20）2＋45000，∴当2≤x ≤4时，w 随x 的增大而增大.∴当x ＝2时，w 取最小值. 答:小路的宽为2米时修建小路和花圃的总造价最低.4.解:（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0），根据题意，得1⎩⎨⎧=+=+80149012b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=1505b k ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝-5x ＋150； （2）根据题意，得w ＝（x-10）（-5x ＋150）＝-5x 2＋200x-1500＝-5（x-20）2＋500 ∵a ＝-5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值.∴当x ＜20时，w 随x 的增大而增大.10≤x ≤15，且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值. 即w ＝-5×（15-20）2＋500＝375.答:当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是375元.5.解:（1）∵y 与x 满足一次函数的关系，∴设y ＝kx ＋b.将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：⎩⎨⎧b ＋13k ＝1100b ＋12k ＝1200，解得:⎩⎨⎧2400＝b 100-＝k ，∴y 与x 的函数关系式为:y ＝-100x ＋2400；（2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400（x-2-10）＋y （x-10） ＝400x-4800＋（-100x ＋2400）（x-10）＝-100（x-19）2＋7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元. 6.解:（1）当0＜x ≤20时，设y ＝k 1x ＋b 1，由图象得:⎩⎨⎧=+=402080111b k b ，解得⎩⎨⎧=-=80211b k ，∴y ＝-2x ＋80（0＜x ≤20）； 当20＜x ≤30时，设y ＝k 2x ＋b 2，由图象得:⎩⎨⎧=+=+803040202222b k b k ，解得⎩⎨⎧-==40422b k ，∴y ＝4x-40（20＜x ≤30）. 综上，y ＝⎩⎨⎧）；30≤x ＜2040-4x （），20≤x ＜080＋2x （（（2）设当月该农产品的销售额为w 元，则w ＝yp ， 当0＜x ≤20时，w ＝（-2x ＋80）（52x ＋4）＝-54x 2＋24x ＋320＝-54（x-15）2＋500 ∵-54＜0，由二次函数的性质可知:∴当x ＝15时，w 最大＝500.当20＜x ≤30时，W ＝（4x-40）（-51x ＋12）＝-54x 2＋56x-480＝-54（x-35）2＋500，∵-54＜0，20＜x ≤30，由二次函数的性质可知:当x ＝30时，W 最大＝（30-35）2＋500＝480.∵500＞480， ∴当x ＝15时，w 取得最大值，该最大值为500.答:当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元. 7.解:（1）h ＝20t-5t 2. ∵-5＜0，故h 有最大值，当t ＝）（5220-⨯＝2，此时h 的最大值为20，∴当t ＝2 s 时，最大高度是20 m ；（2）令h ≥15，则h ＝20t-5t 2≥15，解得:1≤t ≤3， ∴1≤t ≤3时，飞行高度不低于15 m.8.解:（1）依题意，抛物线y ＝ax 2＋x ＋c 经过点（1.5，3.3）和（4，3.05），∴⎩⎨⎧ 3.05＝c ＋4＋42×a 3.3＝c ＋1.5＋1.52×a ，解得⎩⎨⎧ 2.25＝c 0.2-＝a ，∴y ＝-0.2x 2＋x ＋2.25＝-0.2（x-2.5）2＋3.5.∴当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度为3.5 m ； （2）∵x ＝0时，y ＝2.25，∴2.25-0.25-1.8＝0.2 m. 即球出手时，他跳离地面0.2 m.9.解:（1）由题意得:函数y ＝at 2＋5t ＋c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴⎩⎨⎧c ＋0.8×5＋0.82a ＝3.5c ＝0.5，解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=211625c a ，∴抛物线的解析式为:y ＝-1625t2＋5t ＋21, 故答案为:-1625，21. （2）∵y ＝-1625t2＋5t ＋21，∴y ＝29)58(16252+--t . ∴当t ＝58时，y 最大＝4.5.∴当足球飞行的时间为58s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5 m ；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝-1625×2.82＋5×2.8＋21＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门. 巩固训练 1.B 2.1503.解:（1）∵y 1＝-180x ＋2250，y 2＝-10x 2-100x ＋2000， ∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250-2000＝250（m ）， 故答案为:250；（2）设小丽出发第x min 时，两人相距s m ，则s ＝（-180x ＋2250）-（-10x 2-100x ＋2000）＝10x 2-80x ＋250＝10（x-4）2＋90， ∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答:小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m. 4.解:（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为:y ＝kx ＋b ，将点（60，100），（70，80）代入一次函数表达式得:⎩⎨⎧+=+=b k b k 708060100，解得:⎩⎨⎧=-=2202b k ，故函数的表达式为:y ＝-2x ＋220；（2）设药店每天获得的利润为w 元，由题意得: W ＝（x-50）（-2x ＋220）＝2（x-80）2＋1800， ∵-2＜0，函数有最大值，∴当x ＝80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元.。
【苏科版】2014届中考数学第一轮夯实基础《第7讲 一元二次方程及其应用》
直接 开平 方法 因式 分解 法
一元二次方程的四种解法
适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的 方程
基本思想
把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0
方法规律
常用的方法主要运用提公因式法、平方差 公式、完全平方公式型因式分解
第7讲┃ 考点聚焦
第7讲┃ 归类示例
[解析] (1)由题意可得出3月份的用电量超过了a度，而4 月份的用电量在a度以内，那么可根据3月份的用电情况来 求a的值．可根据：不超过a度的缴费额＋3月份超过a度部 分的缴费额＝总的电费；列出方程，进而可求出a的值．然 后可根据4月份的用电量大致判断出a的取值范围，由此可 判定解出的a的值是否符合题意．(2)由(1)得a的值，把45代 入即可．
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价 －进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价
第7讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念． 例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0) ，则a－b的值为( A ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a) ＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0， 所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A
第7讲┃ 归类示例
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相 同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约 去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式 不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会 失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项， 提取公因式的方法求解．
《二次函数的应用》课件1(13页)(苏科版九年级下)
提示:日利润=(销售价-成本)×销售量
（1）设此一次函数解析式为 y kx b 。
1分
15k b 25 则 20k b 20
解得：k=－1，b＝40。
5分
所以一次函数解析式为 y x 40 。
6分
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为
w 元。则
某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增
加承租X(100≤x≤150)亩.预计,原种植的360亩水
稻今年每亩可收益440元,新增地今年每亩的收益
为(440-2x)元,试问:该种粮大户今年要增加承租
多少亩水稻,才能使总收益最大?最大收益是多少?
试一试：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
求二次函数y=-100x2+100x+200的最值？
生活化
?
议一议：
驶向胜利 的彼岸
求二次函数y=x(20-2x)的最值？
生活化
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙， 围成一个矩形的花圃，怎么样围法才 能使围成的花圃的面积最大？
附：如果花圃垂直于墙的一边长为xm， 花圃的面积为ym2，那么y=x(20-2x)
解决一个普通的二次函数的 最值问题与实际问题中的最值 问题最大的区别在哪里?
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：
x(元) 15
20
30
…
y(件) 252010 Nhomakorabea…
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函 数关系式；（6分） （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价 应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）
苏教九年级数学上册《二次函数应用》课件
F
+
( 1m2+1-2)2 = 1m2+1
2
F
1
4
4
-6
-4
-2
O
∴d1=d2,猜想正确。
N2
C4
6
8
10
-4
-2
O
2
c是抛物线 y 点P到点F（0，2）的距离为d2。
1 4
x2
上1的任意一点，记点P到x轴的距离为d1，
（1）猜想d1与d2的大小关系，并证明； （2）若直线PF交抛物线于另一个点Q（异于点P），
（2）当y=0时，-1/12x2+x+2=0
即 x2-12x-24=0。再求出X的值。
解法2：（1）∵抛物线的顶点为（6，5）
∴可设抛物线的解析式为 y=a（x-6）2+5。
∵抛物线经过点A（0，2）
∴2=a（0-6） 2 +5
∴a=- 1/12
故抛物线的解析式为y=- 1/12（x-6）2+5
即 y=-1/12x2+x+2
某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售, 在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上,对今 年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测,提 供了两个方面的信息,如图所示. 请你根据图象提供的信息解答: (1)在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元?(收益= 售价-成本) (2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?说明理由.
例7：已知如图，P是抛物线 y 点P到点F（0，2）的距离为d2。
1 4
x2
1上的任意一点，记点P到x轴的距离为d1，
（1）猜想d1与d2的大小关系，并证明； （2）若直线PF交抛物线于另一个点Q（异于点P），
2014届苏科版中考数学复习方案14二次函数的讲义图象及其性质19页
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2， 0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n) 的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定
系数a，最后将关系式化为一般形式
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第14课时┃归类探究
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第14课时┃归类探究
解 析 (1)根据配方法的步骤进行计算．
(2)由(1)得出抛物线的对称轴，顶点坐标列表，注意抛物线与x轴、 y轴的交点及顶点等特殊点的坐标，不要弄错．
(3)开口向上，在抛物线对称轴的左边，y随x的增大而减小．
(4)抛物线y＝x2－4x＋3与直线y＝2的交点的横坐标即为方程x2－ 4x＋3＝2的两根．
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c；
2．顶点式：y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)为顶点坐标；
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中(x1，0)，(x2，0)为 抛物线与x轴的交点．
一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个 点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另 一个点的坐标用交点式．
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归类探究
第14课时┃归类探究
解
设 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把 A(－5，0)，B(1，
0)，P －2，92的坐标代入，得
a＋b＋c＝0， ∴25a－5b＋c＝0，
4a－2b＋c＝92，
a＝－12， 解得b＝－2，
c＝52，
∴ 所求抛物线的关系式为 y＝－12x2－2x＋52.
第14课时┃归类探究
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归类探究
第14课时┃归类探究
解 析 根据题目要求，本题可选用多种方法求关系式．
2014年中考备考一轮复习导学案第15章二次函数及其应用
第15课 二次函数及其应用【课标要求】1、理解二次函数的意义2、会用描点法画出二次函数的图像3、会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴4、通过对实际问题的分析确定二次函数表达式5、理解二次函数与一元二次方程的关系6、会根据抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像来确定a 、b 、c 的符号【知识要点】1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；2. 顶点式的几种形式及关系：⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质：0 图像开 口 值，是4.二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ．第一课时【典型例题】【例1】.抛物线y ＝2x 2－4x ＋5的开口方向______，顶点坐标是__________，对称轴方程是直线x ＝___，当x ＝ 时，y 有最 值是 。
【例2】.二次函数 322++=x x y ，当x ＜－1时，y 随x 的增大而 。
【例3】抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 。
当y=8时x 对应的值是 。
【例4】抛物线243y x x =-+向右平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为（ ） A 、（4，-1） B 、（0，-3） C 、（-2，-3） D 、（-2，-1）【例5】已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则在“①a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ）A 、①②③④B 、④C 、①②③D 、①④ 【例6一条抛物线顶点是（1，2）且经过点（－2，－4），则它的函数解析式是 ；另一抛物线经过（0，1）、（1，0）和（2，4）三点，则它的函数解析式是 。
九年级数学二次函数的复习江苏科技版知识精讲
九年级数学二次函数的复习某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数的复习二. 教学目的：1. 理解二次函数的概念及性质，会画出二次函数的图象。
2. 会用待定系数法求二次函数的解析式，用配方法和公式法求抛物线的顶点坐标和对称轴。
3. 能利用二次函数关系式及有关性质解决比较复杂的问题。
三. 重点、难点：重点：理解二次函数的概念，能结合图像对实际问题中的函数关系进行分析。
难点：能用函数解决实际问题［课堂教学］ 一. 知识要点：知识点1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示.y b 2－4ac ＜0－4ac=0知识点2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的性质（一）a 的符号决定抛物线的开口方向、大小及最大值或最小值.a ＞0等价于开口向上等价于最小值（最低点的纵坐标） a ＜0等价于开口向下等价于最大值（最高点的纵坐标） a 越大，开口越小；a 越小，开口越大.（二）a ，b 决定抛物线的对称轴和顶点的位置.b ＝0等价于，对称轴是y 轴，顶点在y 轴上.a ，b 同号等价于对称轴在y 轴的左侧，顶点在第二或第三象限内. a ，b 异号等价于对称轴在y 轴的右侧，顶点在第一或第四象限内.（三）c 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置.c ＝0，等价于抛物线过原点.c ＞0，等价于抛物线交y 轴的正半轴. c ＜0，等价于抛物线交y 轴的负半轴.（四）a ，b ，c 的符号决定抛物线与x 轴交点的位置.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，△＞0.a ，b ，c 同号等价于A ，B 两点在x 轴的负半轴上.a ，c 同号且与b 异号等价于A ，B 两点在x 轴的正半轴. b ，c 同号且与a 异号等价于A ，B 两点在原点的两侧.（五）△＝b 2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴交点个数.△＞0，等价于抛物线与x 轴有两个交点. △＝0，等价于抛物线与x 轴只有一个交点. △＜0，等价于抛物线与x 轴没有交点.（六）抛物线的特殊位置与系数的关系.顶点在x 轴上等价于△＝0. 顶点在y 轴上等价于b ＝0. 顶点在原点，等价于b ＝c ＝0. 抛物线经过原点，等价于c ＝0.知识点3：二次函数关系式的形式及对称轴、顶点坐标.（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0），其对称轴为直线x ＝ab2-，顶点坐标为（ab2-，a b ac 442-）.（2）顶点式：y ＝a （x ＋h ）2＋k （a ，h ，k 是常数，且a ≠0），其对称轴为直线x ＝－h ，顶点坐标为（－h ，k ）.（3）交点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2），其中a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两个交点的横坐标，即一元二次方程的两个根.知识点4：抛物线的平移规律.基本口诀：上加下减，左加右减，具体操作如下（其中m ＞0，n ＞0，a ≠0）：（1）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿y 轴向上平移m 个单位，得y ＝ax 2＋bx ＋c ＋m. （2）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿y 轴向下平移m 个单位，得y ＝ax 2＋bx ＋c －m. （3）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿x 轴向左平移n 个单位，得y ＝a （x ＋n ）2＋b （x ＋n ）＋c.（4）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿x 轴向右平移n 个单位，得y ＝a （x －n ）2＋b （x －n ）＋c.知识点5：二次函数最值的求法.（1）配方法：将解析式化为y ＝a （x －h ）2＋k 的形式，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ，当a ＞0时，y 有最小值，即当x ＝h 时，y 最小值＝k;当a ＜0时，y 有最大值，即当x ＝h 时，y 最大值＝k. （2）公式法：直接利用顶点坐标公式.当a ＞0时，y 有最小值，即x ＝－b/2a 时，y 最小值＝4ac －b 2/4a 当a ＜0时，y 有最大值，即x ＝－b/2a 时，y 最大值＝4ac －b 2/4a（3）判别式法：结合抛物线的性质，利用根的判别式和不等式求最值.说明：二次函数实际问题求最值，一般是条件最值，应主动地求出自变量的取值X 围.知识点6：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系.（1）如图所示，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，它与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0）. x ＝x 1，x ＝x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解。
中考数学 二次函数的应用复习教案1 苏科版
二次函数的应用
函数、数形结合、建
练一练
某工厂为了存放材料，需要围一个周长
=__________米，才能使存放场地的面积最大
的宽为
米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花
学以致用
1.(05年台州)如图，用长为18cm的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃。
(1)设矩形的一边为x(m)，面积为y(m2)，求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；
例2.在Rt△AMN内部作一个矩形ABCD,矩形ABCD何时面积最大？为多少？
例 3.某建筑物的窗户如图所示它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长
的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到
练一练:窗的形状是矩形上面加一个半圆。
窗的周长等于6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？
4.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角
要使水槽的横断面积最大，它的侧面应该是多长？
例5.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，从点A出发，沿AB边向点B以
同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。
如果P、Q两点在分别到达
8cm2
的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自
的最小值。
桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m
1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
1
2.如图３，规格为60 cm×60 cm的正方形地砖在运输过程中受损，断去一角，量得。
为菱形，点
的面积为△
ABCD。
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第16讲┃ 归类示例
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结 合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与 几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三 角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何 知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何 知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题， 解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求 解．
例1
习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点， 其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝ a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
第16讲┃ 归类示例 (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自 变量x的取值范围)；
第16讲┃ 归类示例
解：(1)∵h＝2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h 过点(0，2)， ∴2＝a(0－6)2＋2.6， 1 解得 a＝－ ， 60 1 2 故 y 与 x 的关系式为：y＝－ (x－6) ＋2.6. 60
第16讲┃ 归类示例
第16讲┃ 归类示例
第16讲┃ 回归教材
回归教材
如何定价利润最大 教材母题 江苏科技版九下P34T10 某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价 格销售，每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售． 每月能卖出210件．假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件) 之间满足一次函数． (1)试求y与x之间的函数关系式； (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定 为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利 润是多少？
第16讲┃ 归类示例
图16－2
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1) 用每亩地每年发放种粮补贴金额乘以今 年种粮面积即可求出今年老王种粮可获得的补贴；(2) 设出一次函数关系式，结合图象中给出的两点坐标， 用待定系数法求出一次函数关系式；(3)根据每亩的售 粮收入加每亩地的种粮补贴减去每亩种粮成本，再乘 以种粮面积x亩，可得关于x的二次函数关系式，然后 利用二次函数的性质，即可求出当种粮面积为多少亩 时总利润最高及最高总利润．
第16讲┃ 回归教材
解：(1)y＝－30x＋960； (2)设每月的毛利润为w元．则 w＝(x－16)(－30x＋960) ＝－30x2＋1440x－960×16. 当x＝24时，w有最大值，w最大值＝1920元． 答：将售价定为24元时，每月的最大毛利润为1920元．
第16讲┃ 回归教材
中考变式
例2 [2013· 淮安]国家和地方政府为了提高农民种粮的 积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今 年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增 加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(元)与种 粮面积x(亩)之间的函数关系如图16－2所示： (1)今年老王种粮可获得补贴多少元？ (2)根据图象，求y与x之间的函数关系式； (3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种 粮总利润W(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式．当种粮 面积为多少亩时，总利润最高？并求出最高总利润．
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？ 请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值 范围．
图16－1
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据h＝2.6和函数图象经过点(0，2)，可用待定 系数法确定二次函数的关系式；(2)要判断球是否过球网， 就是求x＝9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43 ，则球能过网，反之则不能；要判断球是否出界，就是求抛 物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球 不出界，反之就会出界；要判断球是否出界，也可以求出x ＝18时对应的函数值，并与0相比较．(3)先根据函数图象过 点(0，2)，建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含 有字母系数h的形式，要求球一定能越过球网，又不出边界 时h的取值范围，结合函数的图象，就是要同时考虑当x＝9 时对应的函数y的值大于2.43，且当x＝18时对应的函数y的 值小于或等于0，进而确定h的取值范围．
第16讲┃ 回归教材
[解析] (1)上涨到x元后，所销售的件数是 [300－10(x－80)]；每件的销售利润为(x－60) ，所以y＝(x－60)·[300－10(x－80)]，整理得 y＝－10x2＋1700x－66000；(2)根据二次函数的 配方法可以求得最大利润．
第16讲┃ 回归教材
解：(1)设上涨后，每件单价为x元，则 y＝(x－60)[300－10(x－80)] ＝(x－60)(300－10x＋800) ＝(x－60)(1100－10x) ＝－10x2＋1700x－66000， 即y＝－10x2＋1700x－66000. (2)y＝－10x2＋1700x－66000 ＝－10(x－85)2＋6250. 因为－10＜0，所以当x＝85时，y有最大值，y最 大值＝6250. 即单价定为85元时，每月销售商品的利润最大， 最大利润为6250元．
2 2
第16讲┃ 归类示例
二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇 到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二 次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变 量在实际问题中的取值解决利润最大问题．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1. 二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉及 最大面积，最小距离等； 2. 在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围． 例3 [2013· 无锡] 如图16－3，在边长为24 cm的正方形纸 片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三 角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装 盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已 知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边 的两个端点，设AE＝BF＝x cm.
第16讲┃ 归类示例
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根 据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二 次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点 的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转 化为实际问题的答案．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之二 二次函数在营销问题方面的应用
命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
第16讲┃ 归类示例
解：(1)120×150＝18000(元)． 答：今年老王种粮可获得补贴18000元． (2)由图象知，y与x之间的函数是一次函数．设所求关系式 为：y＝kx＋b(k≠0)．将(205，1000)，(275，1280)两点坐标 代入，这样所求的y与x之间的函数关系式为y＝4x＋180. (3)W＝(2140＋120－y)x＝(2140＋120－4x－180)x＝－4x2 ＋2080x. b 2080 因为－4＜0，所以当x＝－ ＝－ ＝260(亩) 2a 2×（－4） 4ac－b 0－2080 时，W最大＝ ＝ ＝270400(元)． 4a 4×（－4） 答：当种粮面积为260亩时，总利润最高，最高总利润为 270400元．
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互 相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等 、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
第16讲┃ 归类示例
Байду номын сангаас
归类示例
► 类型之一 利用二次函数解决抛物线形问题 命题角度： 1. 利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、 跳水等抛物线形问题； 2. 利用二次函数解决拱桥、护栏等问题． [2012·安徽] 如图16－1，排球运动员站在点O处练
第16讲┃ 二次函数的应用
第16讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数的应用 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型， 这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际 问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润 、最节省方案等问题．
第16讲┃ 考点聚焦
考点2 建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题
[2013·徐州]某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以 单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1 元，该商品每月的销售量就减少10件． (1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)间的函 数关系式； (2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利 润为多少？
第16讲┃ 归类示例
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒 的体积V； (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大 ，试问x应取何值？
图16－3
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据已知得出这个正方体的底面边长a＝ 2x cm，EF＝ 2a＝ 2x(cm)，再利用AB＝24 cm，求出x进而可得出这个包装盒的体积V； (2)利用已知表示出包装盒的表面积，进而利用函数最值求出即可． 解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝ 2 x cm，EF＝ 2 a＝2x (cm)， ∴x＋2x＋x＝24 ，x＝6，a＝6 2 cm， V ＝a3＝(6 2)3＝432 2(cm3 )． (2)设包装盒的底面边长为y cm，高为h cm， 则y＝ 2x，h＝ 24－2x 2 ∴S＝4yh＋y2 ＝4 2x· 2(12－x)＋( 2x)2＝－6x2＋96x＝ －6(x－8)2＋ 384. ∵0<x<12，∴当x＝8时，S取得最大值384 cm2. ＝ 2(12－x)，