第七章 材料科学基础
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材料科学基础第七章(1)
• 7.1.2.3 内应力的变化：在回复阶段可部分消除，在再结晶阶段全部消除。
• 7.2 回复
• 7.2.1 回复过程中微观结构的变化机制：回复指冷变形金属加热时尚未发生 微米量级的组织变化前的微观结构及性能的变化过程，分低温回复，中温回 复和高温回复三种。
• 7.2.1.1 低温回复：冷变形金属在0.1Tm~0.3Tm温度范围内所产生回复称为低 温回复。低温时原子活动能量有限，主要局限于点缺陷运动。通过空位迁移 至晶界、位错或与间隙原子结合而消失，空位浓度显著下降。
• 冷变形金属开始发生再结晶的最低温度称为再结晶温度。可用金相法、硬度 法和X射线衍射法测定。
• 金相法：以显微镜观察到第一个新晶粒或晶界凸出形核而出现锯齿状边缘的 退火温度为再结晶温度。
• 硬度法：以硬度-退火温度曲线上硬度开始显著降低或软化50%的温度为再结 晶温度。
• 为了便于比较和使用，通常规定冷变形量大于70%的金属在1小时内能够完成 再结晶(体积分数>0.95)的最低温度为再结晶温度。
(7-3)
• 如果将同样的冷变形金属的性能在不同温度下回复到同样程度，则有：
• c0t1exp(-Q/RT1)= ln(x0/x)=c0t2exp(-Q/RT2)
• 即： t1/t2=exp[-Q(1/T2-1/T1)/R]
(7-4)
• 此式为用实验数据导出工艺参数的依据。
• 7.2.3 去应力退火：冷变形金属在回复阶段能消除大部分内应力，又能保持 冷变形的硬化效果，因此回复也称为去应力退火。
• 图7-11是经98%强冷轧的纯铜在不同温度下的等温 再结晶动力学曲线。等温下的再结晶速度开始很
小，随再结晶体积分数φV的增大而增加，并在 0.5处达到最大，然后又逐渐减小。具有典型的形
• 7.2 回复
• 7.2.1 回复过程中微观结构的变化机制：回复指冷变形金属加热时尚未发生 微米量级的组织变化前的微观结构及性能的变化过程，分低温回复，中温回 复和高温回复三种。
• 7.2.1.1 低温回复：冷变形金属在0.1Tm~0.3Tm温度范围内所产生回复称为低 温回复。低温时原子活动能量有限，主要局限于点缺陷运动。通过空位迁移 至晶界、位错或与间隙原子结合而消失，空位浓度显著下降。
• 冷变形金属开始发生再结晶的最低温度称为再结晶温度。可用金相法、硬度 法和X射线衍射法测定。
• 金相法：以显微镜观察到第一个新晶粒或晶界凸出形核而出现锯齿状边缘的 退火温度为再结晶温度。
• 硬度法：以硬度-退火温度曲线上硬度开始显著降低或软化50%的温度为再结 晶温度。
• 为了便于比较和使用，通常规定冷变形量大于70%的金属在1小时内能够完成 再结晶(体积分数>0.95)的最低温度为再结晶温度。
(7-3)
• 如果将同样的冷变形金属的性能在不同温度下回复到同样程度，则有：
• c0t1exp(-Q/RT1)= ln(x0/x)=c0t2exp(-Q/RT2)
• 即： t1/t2=exp[-Q(1/T2-1/T1)/R]
(7-4)
• 此式为用实验数据导出工艺参数的依据。
• 7.2.3 去应力退火：冷变形金属在回复阶段能消除大部分内应力，又能保持 冷变形的硬化效果，因此回复也称为去应力退火。
• 图7-11是经98%强冷轧的纯铜在不同温度下的等温 再结晶动力学曲线。等温下的再结晶速度开始很
小，随再结晶体积分数φV的增大而增加，并在 0.5处达到最大，然后又逐渐减小。具有典型的形
第七章_相平衡与相图
51
《材料科学基础》第七章
四、相图的建立
理论方法：根据热力学计算和分析法建立相图
利用已有的热力学参数，可作出不同温度、成分下各 相的吉布斯自由能曲线，确定不同温度、成分下平衡存在 的相的状态和成分，绘制出不同合金的相图；或者通过热 力学计算，求出有关数据，直接作出相图。计算机的广泛 使用为计算相图提供了有利的条件，从长远发展看，相图 的计算确定是有很大潜力的。 实验测定
二组元在液态无限溶解，固态有限溶解，有包晶反应的 包晶相图。
二组元在液态有限溶解，有偏晶或合晶反应的相图。
其它相图。
19
《材料科学基础》第七章
2. 相图的组成元素
组元
组成相图的独立组成物。组元可以是纯的 元素，如金属材料的纯金属，也可以是稳定 的化合物，如陶瓷材料的Al2O3，SiO2等。 相区 相图中代表不同相的状态的区域叫相区，相区可分为单相 区、双相区和三相区。单相区中液相一般以L表示，当有几个 固态单相区时，则由左向右依次以、、等符号表示。在两 个单相区之间有对应的两相区存在。
举例
46
《材料科学基础》第七章
举例
47
《材料科学基础》第七章
举例
48
《材料科学基础》第七章
总结
49
《材料科学基础》第七章
三、Al-Si合金的凝固
50
《材料科学基础》第七章
Al-Si合金典型显微组织 (a)白的区域是初次Al的 枝晶，黑的区域是A1+Si 组成的共晶组织 (b)共晶 组织; (c)块状粒子是初生 Si，黑针和亮基底是共晶 组织。
9
《材料科学基础》第七章
根据热力学定律，化学位差是组元在各相间转移的驱动 力，组元转移会引起体系自由能变化。在、两相平衡系统 中的平衡条件为 i＝i 即平衡时，同一组元在两相中的化学位相等。
《材料科学基础》第七章
四、相图的建立
理论方法：根据热力学计算和分析法建立相图
利用已有的热力学参数，可作出不同温度、成分下各 相的吉布斯自由能曲线，确定不同温度、成分下平衡存在 的相的状态和成分，绘制出不同合金的相图；或者通过热 力学计算，求出有关数据，直接作出相图。计算机的广泛 使用为计算相图提供了有利的条件，从长远发展看，相图 的计算确定是有很大潜力的。 实验测定
二组元在液态无限溶解，固态有限溶解，有包晶反应的 包晶相图。
二组元在液态有限溶解，有偏晶或合晶反应的相图。
其它相图。
19
《材料科学基础》第七章
2. 相图的组成元素
组元
组成相图的独立组成物。组元可以是纯的 元素，如金属材料的纯金属，也可以是稳定 的化合物，如陶瓷材料的Al2O3，SiO2等。 相区 相图中代表不同相的状态的区域叫相区，相区可分为单相 区、双相区和三相区。单相区中液相一般以L表示，当有几个 固态单相区时，则由左向右依次以、、等符号表示。在两 个单相区之间有对应的两相区存在。
举例
46
《材料科学基础》第七章
举例
47
《材料科学基础》第七章
举例
48
《材料科学基础》第七章
总结
49
《材料科学基础》第七章
三、Al-Si合金的凝固
50
《材料科学基础》第七章
Al-Si合金典型显微组织 (a)白的区域是初次Al的 枝晶，黑的区域是A1+Si 组成的共晶组织 (b)共晶 组织; (c)块状粒子是初生 Si，黑针和亮基底是共晶 组织。
9
《材料科学基础》第七章
根据热力学定律，化学位差是组元在各相间转移的驱动 力，组元转移会引起体系自由能变化。在、两相平衡系统 中的平衡条件为 i＝i 即平衡时，同一组元在两相中的化学位相等。
材料科学基础：第七章 表 面 与 界 面
大角晶界模型：
晶界力求与重合点阵 密排面重合，即使有偏 离，晶界会台阶化，使 大部分面积分段与密排 面重合，中间以小台阶 相连。
如图，AB、CD与重合 点阵密排面重合，中间 BC小台阶相连。
3． 小角度晶界：
对称倾侧晶界、不对称倾侧晶界、扭转晶界
3．小角度晶界—
对称倾侧晶界
由相隔一定距离刃 型位置垂直排列组成
如Cu-1Sn%合金，：Sn的偏析，Sn的原子半径比Cu大9%，发生严重点阵畸变。 当Sn处于晶界时畸变能明显降低
7.晶界偏聚---平衡偏聚：
B. 平衡偏聚公式 Cg=Co exp（dEs/RT）
Cg：晶界上溶质原子浓度，Co晶内溶质原子浓度， dEs晶界、晶内能量差
C. 平衡偏聚特点
a. 由公式可见一定溶质浓度在一定温度下对应一 定偏聚量
EC为位错中心能量,金属晶界能与晶粒位向差θ的 关系
晶界能---实线测量值、虚线计算值 小于15-
200 两者符合很好。EB在小角时与位向敏感，大 角度时为常数
晶界能---三个晶界平衡时有 E1/sinφ1=E2/sinφ2=E3/sinφ3
6.晶界能应用---少量第二相形状
A. A、第二相基体晶粒内
持……
化学工业：胶水，涂料，油漆，洗涤剂….. 写字，作画：纸张与墨水…. 食物消化：消化液与食物…… 建筑：砌砖，混疑土….. 烹调：灰面炸鸡……
7.晶界偏聚---平衡偏聚及非平衡偏聚
A. 平衡偏聚
平衡条件下由于溶质与溶剂原子尺寸相差很大，溶质原子在晶内、晶界的畸变能差很界--- 每个晶粒中直径10-100μm的晶块（亚晶粒）
之的界面
亚晶界---溶质原子优先聚集和第二相优先析
出的地方可阻碍位错运动，影响材料力学性能
材料科学基础 第七章 扩散与固相反应
0
e
2
d
0
第二种情况
C ( x, t )
Q 2 Dt
exp(
x
2
)
4 Dt
第三节
一、扩散推动力
扩散机理和扩散系数
根据热力学，扩散过程的发生与否与系统中化学势有根 本的关系，物质从高化学势流向低化学势是一个普遍规 律，一切影响扩散的外场（电场、磁场、应力场等）都 可以统一于化学势梯度之中。 因此，扩散推动力的本质是化学势梯度，而且只有当化 学势梯度为零时系统扩散方可达到平衡；浓度梯度不是 质点定向扩散推动力的实质。
由热力学理论可知，在多组分的多相系统中任一组分i由α
相迁移到相中，迁移量为dni mol，系统的吉布斯自由能 的变化为： dG dn dn
i i i i
要使上述迁移过程自发进行，必须是 ：
dG i dni i dni 0
因式中 dni＞0，所以：
不稳定扩散根据边界条件分为两种情况：
一是扩散物质浓度（C0）在晶体表面保持不变； 二是一定量（Q）的物质由表面向晶体内部扩散。
c c0
c
x
x
第一种情况
C ( x, t ) C0 erfc(
erf ( ) 2
x 2 Dt
)
2
e
2
d ,
erfc( ) 1
a、金属离子空位型
造成这种非化学计量空位的原因往往是环境中氧分压升 高迫使部分Fe2+ 、Ni2+ 、Mn2+ 等二价过渡金属离子变成 三价金属离子，如：
2M
M
材料科学基础-第七章_扩散讲解
两根浓度不同的合金棒料焊接在一起，在高温下保温一段时间后，浓度 分布发生变化。
浓度C
C = C2
C2 > C1
C = C1 x
C2
原始状态
最终状态
C1
距离 x
扩散对溶质原子分布的影响
第七章 扩散－§7.2 扩散定律
阿道夫·菲克（Adolf Fick）于1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的 第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截 面积的扩散物质流量（称为扩散通量J）与浓度梯度dC/dx成正比：
－x
0
＋x
t0
t1 t2
原子间结合力越大，排列越紧密，激活能越大，原子跃迁越困难。
对称的周期势场
第七章 扩散－§7.1 概述
倾斜的周期势场
激活原子的跃迁
对称和倾斜的势能曲线及激活原子的跃迁
对称的周期势场不会引起物质传输的宏观扩散效果。 倾斜的周期势场使原子自左向右跃迁的几率大于自右向左跃迁的几率。 扩散正是这种原子随机跃迁过程。
J q q
q－通过管壁的碳量
At 2πrlt
根据菲克第一定律：
D dC q dr 2rlt
解得：q D(2πlt) dC dln r
通过实验可求得q和碳含量沿筒壁的径 向分布，作出C－lnr曲线，即可求出D。
l
测定扩散系数的示意图
1000C时lnr与C的关系
第七章 扩散－§7.2 扩散定律
丝
Kirdendall 实验
不等量扩散导致Mo丝移动的现象称为柯肯达尔效应。
第七章 扩散－§7.1 概述
2.扩散现象的本质
固态扩散是大量原子随机跃迁的统计结果。
金属的周期势场
浓度C
C = C2
C2 > C1
C = C1 x
C2
原始状态
最终状态
C1
距离 x
扩散对溶质原子分布的影响
第七章 扩散－§7.2 扩散定律
阿道夫·菲克（Adolf Fick）于1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的 第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截 面积的扩散物质流量（称为扩散通量J）与浓度梯度dC/dx成正比：
－x
0
＋x
t0
t1 t2
原子间结合力越大，排列越紧密，激活能越大，原子跃迁越困难。
对称的周期势场
第七章 扩散－§7.1 概述
倾斜的周期势场
激活原子的跃迁
对称和倾斜的势能曲线及激活原子的跃迁
对称的周期势场不会引起物质传输的宏观扩散效果。 倾斜的周期势场使原子自左向右跃迁的几率大于自右向左跃迁的几率。 扩散正是这种原子随机跃迁过程。
J q q
q－通过管壁的碳量
At 2πrlt
根据菲克第一定律：
D dC q dr 2rlt
解得：q D(2πlt) dC dln r
通过实验可求得q和碳含量沿筒壁的径 向分布，作出C－lnr曲线，即可求出D。
l
测定扩散系数的示意图
1000C时lnr与C的关系
第七章 扩散－§7.2 扩散定律
丝
Kirdendall 实验
不等量扩散导致Mo丝移动的现象称为柯肯达尔效应。
第七章 扩散－§7.1 概述
2.扩散现象的本质
固态扩散是大量原子随机跃迁的统计结果。
金属的周期势场
《材料科学基础》
整理课件
w（Cu）为35%的Sn-Cu合金冷却到415℃时发生L+ε→η的包晶转变，如图 7.35（a）所示，剩余的液相冷却227℃又发生共晶转变，所以最终的平 衡组织为η+（η+Sn）。而实际的非平衡组织（见图7.35（b））却保留相 当数量的初生相ε（灰色），包围它的是η相（白色），而外面则是黑色 的共晶组织。
也有少数情况，比如α-β间表面能很大，或过冷度较大，β相可能 不依赖初生相α形核，而是在液相中直接形核，并在生长过程中α， β，液相三者始终相互接触，以至通过α和液相的直接反应来生成 β相。显然，这种方式的包晶反应速度比上述方式快得多。
整理课件
b.42.4%﹤w（Ag） ﹤66.3%的Pt-Ag合金（合金Ⅱ）
两相得相对含 量由杠杆法则 求得
初生相α的成分达到D点，液相成分达到C点。
W（L）=DP/DC×100%=
包晶转变结束后，液相和α相反应正好全部转变成β固 体。
随着温度继续下降，由于Pt在β相中的溶解度随温度的降低而沿PF线减小，因此将不断 从β固溶体中析出αⅡ。于是该合金的室温平衡组织为β+αⅡ，凝固过程如图7.31所示。
整理课件
另外，某些原来不发生包 晶反应的合金，如图7.36 中的合金Ⅰ，在快冷条件 下，由于初生相α凝固时 存在枝晶偏析而使剩余的 液相和α相发生包晶反应， 所以出现了某些平衡状态 下不应出现的相
应该指出，上述包晶反应不完全性主要与新相β包围α相的生长方式有关。因 此，当某些合金（如Al-Mn）的包晶相单独在液相中形核和长大时，其包晶转 变可迅速完成。包晶反应的不完全特性，特别容易在那些包晶转变温度较低 或原子扩散速率小的合金中出项。
整理课件
TWO.包晶合金的凝固及其平 衡组织
w（Cu）为35%的Sn-Cu合金冷却到415℃时发生L+ε→η的包晶转变，如图 7.35（a）所示，剩余的液相冷却227℃又发生共晶转变，所以最终的平 衡组织为η+（η+Sn）。而实际的非平衡组织（见图7.35（b））却保留相 当数量的初生相ε（灰色），包围它的是η相（白色），而外面则是黑色 的共晶组织。
也有少数情况，比如α-β间表面能很大，或过冷度较大，β相可能 不依赖初生相α形核，而是在液相中直接形核，并在生长过程中α， β，液相三者始终相互接触，以至通过α和液相的直接反应来生成 β相。显然，这种方式的包晶反应速度比上述方式快得多。
整理课件
b.42.4%﹤w（Ag） ﹤66.3%的Pt-Ag合金（合金Ⅱ）
两相得相对含 量由杠杆法则 求得
初生相α的成分达到D点，液相成分达到C点。
W（L）=DP/DC×100%=
包晶转变结束后，液相和α相反应正好全部转变成β固 体。
随着温度继续下降，由于Pt在β相中的溶解度随温度的降低而沿PF线减小，因此将不断 从β固溶体中析出αⅡ。于是该合金的室温平衡组织为β+αⅡ，凝固过程如图7.31所示。
整理课件
另外，某些原来不发生包 晶反应的合金，如图7.36 中的合金Ⅰ，在快冷条件 下，由于初生相α凝固时 存在枝晶偏析而使剩余的 液相和α相发生包晶反应， 所以出现了某些平衡状态 下不应出现的相
应该指出，上述包晶反应不完全性主要与新相β包围α相的生长方式有关。因 此，当某些合金（如Al-Mn）的包晶相单独在液相中形核和长大时，其包晶转 变可迅速完成。包晶反应的不完全特性，特别容易在那些包晶转变温度较低 或原子扩散速率小的合金中出项。
整理课件
TWO.包晶合金的凝固及其平 衡组织
7 《材料科学基础》第七章 材料中的相变
2. 二级相变
在临界T、P时，两相的化学势及一阶偏导数相等， 但化学势的二阶偏导数不相等。
1
恒压热容：
T P 2 T P
1
P T 2 P T
2 2 C P 2 1 T 2 T 2 T P P
2
V —— 新相的体积 ； △G
V
—— 单位体积中旧相和新相之间的自由能之差G液－G固；
A —— 新相的总表面积；γ —— 新相的界面能。
假设生成的新相晶胚呈球形，则：
4 3 G r n GV 4r 2 n 3 4 3 T r nH 4r 2 n 3 T0
不涉及化学反应，如液体蒸发、α-石英与α-磷石英间的 转变。
广义的相变：包括过程前后相组成发生变化的情况，相
变过程可能伴随多组分系统的化学反应。
相变类型很多，如V
L、V S、L S、S1 S2、L1 L2等。
相变可以表现为：
从一种结构转变为另一种结构。
例：V-L-S转变、同质多相转变
* Gk GK f
2 cos 1 cos 2 f
4
讨论： 1）θ = 0°，cosθ = 1，f（θ ）= 0，Δ Gh*= 0；
2）θ = 90°，cosθ ＝ 0 ，
核化势垒降低一半；
1 ， G GK 2
* k
3）θ =180°，cosθ = -1， Δ Gh*= Δ Gh 。
例：熔体析晶
无核相变(连续型相变)：通过扩散偏聚方式进行的
相变。亦称为斯宾纳多分解（Spinodal Decomposition）、 调幅分解。
例：玻璃分相、固溶体出溶
大学材料科学基础 第七章-相变
一、扩散控制长大
新相界面迁移速度快于溶质原子在母相中的扩散速度， 新相长大速度由扩散速度来决定。
设合金成分为Co，由母 相α中析出新相β，新相成分为 Cβ>Co，两相界面上的平衡浓 度为Ce<Co，如果在dt时间内 单位面积的新相向前生长了dx 距离，则新增体积1×dx中溶 质的增量为（Cβ－Ce）dx，这 些溶质需通过它们在母相中的 扩散来提供，
界面结构有三种：共格、半共格和非共格，对于非共格 界面，原子只要越过界面就能被新相所接受，成为新相的 一员，新相能够连续长大，因为两相间无确定的位向关系。 但对于共格和半共格界面，为保持新相和母相间的共格和 半共格关系，原子越过界面后不一定能够被新相所接受， 见图7－25。针对这一特点，提出台阶生长机制模型。 界面控制长大时新相生长速度： v ＝ k (Co－Ce) (1－y) / Cβ
金属钴Co中, α-Co (fcc) 向 β-Co (hcp) 转变， （111）α‖(0001) β , [101]α‖[1120] β 钢中淬火时，奥氏体转变成马氏体， The Nishiyama-Wasserman (N－W) relationship ： （111）fcc ‖(110) bcc , [101] fcc‖[001] bcc
The Kurdjumov-Sachs (K－S) relationship：
（111）fcc ‖(110) bcc ，[011] fcc‖[111] bcc
2．半共格界面 （ Semi-coherent interfaces ）
两个相的晶格常数不 可能完全相等，界面总 是存在一定的错配度， 随错配度的增大，界面 上的弹性应变能也随之 增大，当其超过新相的 弹性极限时，共格界面 就不能维持，代之以半 共格界面。在这种界面 上，大部分区域原子依 然保持共格，通过引入 刃型位错来调整晶格常 数不等所造成的界面原 子不匹配，这种位错称 为失配位错。
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（一） 稳态扩散中扩散第一方程的解
扩散第一方程可直接用于描述稳定扩散过程。 如测定扩散系数D。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
例题: 将一纯铁空心薄壁管在1000℃进行渗碳处理, 管长为L,半径为R，经过一定时间当管壁内任意一 点的碳浓度不再变化时，为稳态扩散。 此时通过管壁的碳量为一常量 管壁面积为
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
由于试样“无限”长，扩散时试样两端（x=∞处） 浓度保持不变，只是对焊面附近浓度发生变化。 用菲克第二定律结局这类问题时，可以确定初始 条件和边界条件为：
初始条件： 边界条件：
由上述条件及菲克第二定律方程式可得出扩散第 二方程的解为: （ 1）
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
Fick的经典实验
浓度为0
饱和溶液
Solid NaCl
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
一、稳态扩散与菲克第一定律
菲克第一定律描述了稳态扩散下情况下的物质扩散。
在稳态扩散的条件下，单位时间内通过垂直于扩
散方向的单位面积的扩散物质量（通称扩散通 量）与该截面处的浓度梯度成正比。 即
单位：扩散通量，J，原子数.m-2· s-1或kg . m-2· s-1 扩散系数，D，m2.s-1；
第一节 扩散定律
将两根扩散组元相同， 而浓度分别为C1、C2 （ C1＜C2）的固溶体长 棒对焊，加热到一定温度 使之进行扩散，固溶体长 棒中组元浓度分布随时间 的变化如左图所示。 随时间的延长，对焊界面两侧的浓度差别越来越小， 这表明在扩散偶中当扩散组元获得足够能量时就发生 迁移,导致对焊界面附近扩散组元浓度分布的变化。
第七章 固体材料中的原子扩散
第七章 固体材料中的原子扩散
扩散：由构成物质的微粒(离子、原子、分子)的 热运动而产生的物质迁移现象称为扩散。扩散
的宏观表现是物质的定向输送。 半导体掺杂 固溶体的形成 离子晶体的导电 固相反应 相变 烧结 材料表面处理
扩散
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
初始条件：t=0, x>0时，C=C0 边界条件： 由上述条件及菲克第二定律方程式可得出扩散第二 方程的解为: （ 2）
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
★实际意义：低碳钢的渗碳处理，材料的原始含碳 量为C0，热处理时外界条件保证其表面的碳含量始终 维持在Cs (碳势)，经过一段时间t后，求材料的表面 附近x处碳含量的情况。
通常有高斯解、误差函数解和正弦解等。
1 误差函数解及应用
适用于数学意义上无限长或半无限长物体的 非稳态扩散（扩散时两端成分不受影响） （1）无限长棒中的扩散模型
如图，将两个具有相同扩 散组元而其浓度不同的“无限” 长试样对焊，构成一扩散偶， 经加热到一定温度保温，其浓 度分布将随扩散时间及相对于 对焊界面的距离而变化。
实际应用时，若给定渗层厚度x处的浓度为定值C， 则上式可改写为：
上式左边为已知值，则
为定值，所以有
即规定浓度的渗层厚度正比于渗碳时间的平 方根。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
例1： 对一足够长的原始碳含量为wC=0.1%的低碳 钢棒在930℃下进行渗碳，设渗碳开始后棒材表面 碳含量即达到wC=1%且始终保持着一浓度,试求渗 碳进行4h后距表面为4X10-4m处的碳浓度C。（已 知D=1.61X10-12m2/s
半无限长物体指一个具有足够长度的扩散体。
设有一根足够长（厚）的低碳钢棒进行渗碳处理， 其原始碳浓度为C0，渗碳气氛的碳浓度为Cs，在t时 间内，试样表面扩散组元的浓度Cs被维持为常数，由 于试样足够长（厚），另一端（心部）不受影响。 假设一开始，其端面浓度即达到Cs并保持不变， 则初始条件和边界条件为：
q 扩散通量为： J 2RLt
dC 则： q D(2Lt ) d ln R 式中，q、L、t及碳含量沿管壁的径向分布均可 测量，因而可求出扩散系数D。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
（二）非稳态扩散中扩散第二方程的解
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
则在△t时间内留在单元体内的扩散物质量为：Biblioteka 而且由偏倒数定义得：
c J t x
结合扩散第一方程，则菲克第二定律表达式为
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
扩展到三维空间，有
三、扩散方程的实际应用
扩散是固体材料中物质的唯一传输方式，表面处理、 扩散退火、相变等很多过程与之相关。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
1、稳定扩散和不稳定扩散
稳定扩散：在扩散 系统中，若任一点 的浓度不随时间而 变化，即dc/dt=0。 这种扩散称稳定扩 散。
不稳定扩散：在扩 散系统中，扩散物 质的浓度随时间而 变化，即dc/dt≠0。 这种扩散称为不稳 定扩散。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
实际生产中，大多数的扩散过程是非稳态扩散， 即扩散物质的浓度随时间而变化。浓度可表示 为时间与位置的函数： dc c f (t , x) 0 dt 在此基础上可推导出适用于非稳态扩散的菲克第二 定律。 如图所示，设取单位面积 为A长度为△x的单元体，体积 为A△x，在dt的时间内通过截 面流入、流出的物质量为：
式中，
称为误差函数，其表达式为
由上式可以求出经过一段时间t后，距离界面为x处 的扩散组元的浓度C；或者求出给定的扩散距离x处 组元浓度为C时所需的时间t。 在x=0处，C= 在扩散过程中保持不变。
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
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（2）半无限长物体的扩散模型
c 浓度梯度， ，原子数.m-3或kg . m-3 x
第七章 固体材料中的原子扩散 §7.1 扩散定律
“-”号表示扩散方向为浓度梯 度的反方向，即扩散由高浓度 向低浓度区进行，在一定条件 下实现均匀化。
二、非稳态扩散与菲克第二定律 菲克第一定律适用于稳态扩散，即在扩散的过
程中各处的浓度不随时间的变化而改变，也就是 dc/dt = 0。