单元质量评估(一)

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单元质量评估(一)第一章推理与证明(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2011·湖北高考)若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补，记()ϕ=-,那么φ(a,b)=0是a与b互补的( )a,b a b(A)必要而不充分条件(B)充分而不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2.(1)已知p3+q3=2，求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2；(2)已知a，b∈R，|a|+|b|＜1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )(A)(1)与(2)的假设都错误(B)(1)与(2)的假设都正确(C)(1)的假设正确；(2)的假设错误(D)(1)的假设错误；(2)的假设正确3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面α，直线a平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )(A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错误 (D)非以上错误4.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) (A)f(x)+|g(x)|是偶函数 (B)f(x)-|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|+g(x)是偶函数 (D)|f(x)|-g(x)是奇函数5.已知函数f(x)满足：f(p ＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3， 则()()()()()()()()()()()()2222f1f 2f 2f 4f 3f 6f 4f 8f 1f 3f 5f 7++++＋＋＋等于( ) (A)36 (B)24 (C)18 (D)126.(2011·威海模拟)数列{a n }中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n =( ) (A)nn 1212-+ (B)nn 1212-- (C)()nn n 12+ (D)n 1112-－7.下面使用类比推理恰当的是( )(A)“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”(B)“(a ＋b)c ＝ac ＋bc ”类推出“a b ab c c c+＝＋” (C)“(a ＋b)c ＝ac ＋bc ”类推出“a b ab c cc+＝＋(c ≠0)”(D)“(ab)n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b)n ＝a n ＋b n ”8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是：( )(A)4n+2 (B)4n-2 (C)2n+4 (D)3n+39.设m ，n 为两条不同直线，α,β为两个不同平面，则下列命题正确的是( ) (A)m ∥n ，m ∥α，n ∥β，则α∥β (B)m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β (C)m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n (D)m ∥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β 10.观察式子：2222221311511171,1,1222332344++++++＜＜＜,…，则可归纳出式子为( ) (A)2221111123n 2n 1+++⋯+-＜ (B)2221111123n2n 1+++⋯++＜ (C)2221112n 1123n n-+++⋯+＜ (D)2221112n 123n2n 1+++⋯++＜11.函数y=log a (x+3)-1(a ＞0,a ≠1)的图像恒过定点A,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中m ，n ＞0,则12m n+的最小值为( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)812.(2011·临沂模拟)设函数()()122log x ,x 0f x log x ,x 0⎧⎪=⎨⎪-⎩＞，＜若f(m)＜f(-m)，则实数m 的取值范围是( ) (A)(-1,0)∪(1,0) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞) (C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13.写出用三段论证明f(x)=x 3+sin x(x ∈R)为奇函数的步骤是_______. 14.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________. 15.(2011·杭州模拟)现有一个关于平面图形 的命题：如图，在一个平面内有两个边长都 是a 的正方形，其中一个正方形的某个顶点 在另一个正方形的中心，则这两个正方形重 叠部分的面积恒为2a4，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个正方体的某个顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_______.16.(2011·浙江高考)若平面向量,|1,|1αβα=β≤ 满足，且以向量αβ，为邻边的平行四边形的面积为12,则α 与β的夹角θ的取值范围是_________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求证：)22a b 3ab a b ++≥++18.(12分)通过计算可得下列等式：22-12=2×1+1；32-22=2×2+1；42-32=2×3+1；…；(n+1)2-n 2=2×n+1. 将以上各式分别相加得：(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n ，即：1+2+3+…+n=()n n 12+.类比上述求法：请你推导12+22+32+…+n 2的计算公式.19.(12分)设函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)中，a,b,c 均为整数，且f(0),f(1)均为奇数.求证：f(x)=0无整数根.20.(12分)如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ， 且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 是BE 的中点.(1)求证：DF ∥平面ABC ； (2)求证：AF ⊥BD ；21.(12分)已知数列{a n}满足:a1=1,4a n+1-a n a n+1+2a n=9(n∈N+).(1)求a2,a3,a4;(2)由(1)的结果猜想a n用n表示的表达式；(3)用数学归纳法证明(2)的猜想.22.(12分)已知函数y=f(n)(n∈N*).设f(1)=2，且任意的n1，n2∈N*，有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2)(1)求f(2)、f(3)、f(4)的值；(2)试猜想f(n)的解析式，并给出证明.答案解析1.【解析】选C.若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0，则a,b中至少有一个为0，不妨设b=0，则()ϕ=-=a,b a b0,a,b a0ϕ==；反之，若()a b0=+≥,两边平方得a2+b2=a2+b2+2ab⇔ab=0，则a与b互补，故C正确.2.【解析】选D.反证法的假设应该全面，不重不漏；(1)命题中的假设应该是p+q>2.3.【解析】选A.直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线.4.【解析】选A.由题意f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).令F(x)=f(x)+|g(x)|,则F(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x), ∴F(x)是偶函数.故选A.5.【解析】选B.由f(p ＋q)＝f(p)f(q)， 令p ＝q ＝n ，得f 2(n)=f(2n)()()()()()()()()()()()()()()()()()()22f12f 42f 62f 8f 1f 3f 5f 72f 1f 32f 1f 52f 1f 72f 1f 3f 5f 7原式＝＋＋＋＝＋＋＋＝8f(1)＝24.6.【解析】选B.通过计算可得n123n n 13721S 1,S ,S S 242--====，猜测.7.【解析】选C.由类比推理的特点可知.8.【解析】选A.观察可知除第一个以外，每增加一个黑色地面砖，相应的白地面砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”.或由图可知，当n=1时，a 1=6,当n=2时，a 2=10,当n=3时，有a 3=14, 由此推测，第n 个图案中有白色地面砖的块数是：a n =4n+2.9.【解析】选B.对于A 项两个平面也可以相交，如m,n 都是与交线平行时,条件符合；对于C 项,与平面平行的直线之间可以是相交,也可以是异面；D 项中的直线n 垂直于平面β.10.【解析】选C.用n=2代入选项判断.11.独具【解题提示】函数恒过定点A ，且A 在直线上，这两个条件能找到m ，n 之间的关系，然后用不等式求解.【解析】选D.函数y=log a (x+3)-1(a ＞0,a ≠1)的图像恒过定点A(-2,-1)，(-2)〃m+(-1)〃n+1=0,2m+n=1,m,n ＞0,1212n 4m ()(2m n )448m n m nm n+=++=++≥+= . 12.独具【解题提示】先研究函数的奇偶性，后结合图像给出答案.【解析】选C.由题意可得，函数f(x)是奇函数，所以f(-m)=-f(m)，不等式f(m)＜f(-m)转化为2f(m)<0，结合函数的图像可得，-1<m<0或m>1. 13.【解析】根据奇函数的定义进行三段论的形式书写. 答案：满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数，大前提 f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x 3-sinx=-(x 3+sinx)=-f(x),小前提 所以f(x)=x 3+sinx 是奇函数.结论14.独具【解题提示】观察数列的变化规律是解决本题的核心内容.【解析】这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987…分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0…由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次. 答案：715.【解析】将正方形类比到正方体，则重叠部分的面积类比到重叠部分的体积为3a8.答案：3a8.独具【方法技巧】几何中的类比小提示16.【解析】设平行四边形的面积为S ，1S ||||sin ||sin 2115sin ,[,].2662||=αβθ=βθ=ππθ=≥θ∈β 由可得，故答案：5[,]66ππ17.独具【解题提示】利用综合法证明. 【证明】∵a 2+b 2≥2ab ，22a 3b 3+≥+≥，，将此三式相加得()))22222a b 32ab a b a b 3ab a b ++≥++∴++≥++18.【解析】经计算得23-13=3×12+3×1+1；33-23=3×22+3×2+1； 43-33=3×32+3×3+1； ……；(n+1)3-n 3=3×n 2+3×n+1. 将以上各式分别相加得(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n 2)+3×(1+2+3+…+n)+n.所以()()()3222211n 1123n n 11n 3n n n 12n 1326++++⋯+=+---=++ ［］.19.【证明】假设f(x)=0有整数根n ，则an 2+bn+c=0,(n ∈Z,a ≠0)，而f(0),f(1)均为奇数，即c 为奇数，a+b 为偶数，则a,b,c 同时为奇数或a,b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，an 2+bn 为偶数；当n 为偶数时，an 2+bn 也为偶数，即an 2+bn+c 为奇数，与an 2+bn+c=0矛盾. ∴f(x)=0无整数根.20.【证明】(1)取AB 的中点G ，连FG,可得FG ∥AE ，1FG A E2＝，又CD ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ， ∴CD ∥AE ，1C D A E2＝，∴FG ∥CD ，FG ＝CD ， ∵FG ⊥平面ABC ，∴四边形CDFG 是矩形，DF ∥CG ，CG 平面ABC ， DF平面ABC,∴DF ∥平面ABC ；(2)Rt △ABE 中，AE ＝2a ，AB ＝2a ，F 为BE 中点， ∴AF ⊥BE ，∵△ABC 是正三角形，∴CG ⊥AB ，∴DF ⊥AB ，又DF ⊥FG ，∴DF ⊥平面ABE ，DF ⊥AF ，∴AF ⊥平面BDF ，∴AF ⊥BD.21.【解析】(1)由a 1=1，及nn 1n92aa 4a +-=-，得 121232343123492a 7a ,4a 379292a 133a ,74a 543139292a 195a .134a 745713a 1,a ,a ,3519a .7-==--⨯-===---⨯-===--====所以(2)观察a 1,a 2,a 3,a 4的值，分母构成正奇数数列2n-1，分子构成首项为1，公差为6的等差数列，故猜想：n 6n 5a 2n 1-=-,n ∈N +.(3)用数学归纳法证明(2)的猜想.1°当n=1时，1615a 1211⨯-==⨯-，猜想正确.2°假设当n=k(k ≥1,k ∈N +)时，猜想正确，()()k kk 1k6k 5a .2k 192a a 4a 6k 5926k 152k 16k 52k 1142k 1+-=--=---+--==-+--- 即所以.这就是说n=k+1时猜想也成立.由1°、2°可知，猜想对任何正整数n 都正确.22.【解析】(1)∵f(1)=2，f(n 1+n 2)=f(n 1)〃f(n 2)∴f(2)=f(1+1)=f(1)〃f(1)=22=4f(3)=f(2+1)=f(2)〃f(1)=22〃2=23=8f(4)=f(3+1)=f(3)〃f(1)=23〃2=24=16(2)猜想：f(n)=2n方法一：①当n=1时，f(1)=21=2∴猜想正确；②假设当n=k(k ≥1)时猜想正确，即f(k)=2k 那么当n=k+1时，f(k+1)=f(k)〃f(1)=2k 〃2=2k+1这就是说当n=k+1时猜想正确，由①②知，对n ∈N *,f(n)=2n 正确 方法二：在f(n 1+n 2)=f(n 1)〃f(n 2)中，令n 1=n ，n 2=1得f(n+1)=f(n)〃f(1)()()()()()f n 1f n 1f 12f n f n ++∴==；即故{f(n)}是等比数列，其首项f(1)=2，公比q=2.由等比数列通项公式知f(n)=f(1)〃q n-1=2〃2n-1=2n .。