3-1动量和动能定理

t2
t1
( F外1 F外2 )dt ( m1v1 m2 v2 ) ( m1v10 m2 v20 )

t2 n
t1
n n F外idt mi vi mi vi 0 i 1 i 1 i 1

t2 n
t1
n n F外idt mi vi mi vi 0 i 1 i 1 i 1
dp F dt
Fdt dp
单位：Ns
t1
t2 I Fdt
问：冲量是矢量，它的方向就是力的方向吗 ？
Fdt dp mdv v2 t2 Fdt mdv mv2 mv1
t1 v1
动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点 动量的增量。
合外力对质点所作的功,等 于质点动能的增量 .
F
W Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理 仅适用于惯性系 .
例 7 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下 端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直 线成 30 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与 竖直线成 10 角时合外力对小球所做的功及小球的速率 . 解:

系统动量守恒 , 即
pe p ν p N 0
pν
2 e
pN
2 12 ν
1
又因为
pe pν
pN ( p p )
22
代入数据计算得
pN 1.3610 kg m s pe arctan 61.9 pν
§3-4 动能定理
t0
质点系的动量定理
质点系

t2
t1
( F外1 F12 )dt m1v1 m1v10
t2 ( F外2 F21 )dt m2v2 m2v20
t1
F外1
F21 F12
m1
F外2
m2
因为内力 F12 F21 0 ，故
y
R
解:
dr dxi dyj
0 0 0 0
F F0 ( xi yj )
Wx Fx dx F0 xdx 0
o
x
W y F0 ydy 2F0 R
0
2R
2
W Wx Wy 2 F0 R
2
功率 —— 反映作功快慢程度的物理量 定义：单位时间内力所作的功称为功率。
答：因为鸡蛋和薄板间的摩擦力有限，若棒打击 时间很短， F t 0, P 0 所以鸡蛋就 f 蛋 掉在杯中.
例1
一质量为m的小球,以速率为v0、与水平面夹
角为60°的仰角作斜抛运动，不计空气阻力，小球从抛
出点到最高点这一过程中所受合外力的冲量大小
为
3mv0 2 ，冲量的方向是 沿 y 轴负方向 . 解： I mv mv0
什么条件下, 一对内力做功为零? 无相对位移 相互作用力与相对位移垂直
例5 一个质点在恒力 F 3i 5 j 9k ( N) 作用下 的位移为， r 4i 5 j 6k (m) 则这个力在该位移过
程中所作的功为：
（A）
( A) 67 J , ( C ) 17 J ,
W
x y z
sB
s
F dx F dy F d z
W Wx Wy Wz
注意： ① 功是标量(代数量)
W> 0 W<0 W=0
h
力对物体做功 物体反抗阻力做功 力作用点无位移 力与位移相互垂直
② 功是过程量 与力作用点的位移相关
v
地面系 WG≠0
mg
与参考系的选择相关
解
ex in Fi Fi
n
pe

p mi vi 恒矢量
即
pe pν p N 0
i 1
pν
pN
pe 1.2 10
22
kg m s
1
p 6.4 10
23
kg m s
1
pe
3 mv0 j 2 3 mv0 ,方向沿 y 轴负方向. 冲量大小： 2
1 1 3 m v0i m( v0 i v0 j ) 2 2 2
例2 一长为 l、密度均匀的柔软链条，其单位长度 的质量为λ． 将其卷成一堆放在地面上 ．若手提链条 的一端 ， 以匀速 v 将其上提．当一端被提离地面高度 为 y 时，求手的提力．
I p p0 mv mv0
说明：(1) 冲量的方向 I 与动量增量 p的方向一致。
(2) 动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。
分量形式：
I x Fx dt mv x mvx0
t0 t
t
I y Fy dt mv y mv y0
• 合力的功 = 分力的功的代数和
i
电梯系 WG = 0
W Fi dr Wi
一对相互作用力的功
一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零 dW F1 d r12 力作用点的位移不一定相同
v
m
M
f
s
C
f
v
N
C
s
N
WN WN 0
Wf Wf 0
W 平均功率 P t
瞬时功率
dW F dr P F v dt dt
P Fv cos
功率的单位(SI)： 瓦特W
1瓦特W 1焦耳 秒 1 J s 1
二质点的动能
——质点因有速度而具有的作功本领
1 p 2 Ek mv 2 2m
注意：
2
单位：焦耳(J)
• 动能是标量，是状态量 v 的单值函数，与运动 过程无关。 • 功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相同， 但功是过程量，动能是状态量。 • 功是能量变化的量度—动能定理
三 质点的动能定理
dr
v
dv F cos ma m dW F cos ds dt v2 v2 dv 1 1 2 2 W m ds mvdv mv2 mv1 v1 v1 dt 2 2
2
§3-2 动量守恒定律
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
p x mi vix 常量 p mi vi 常矢量
条件： Fi 0
当外力远小于内力， 且可以忽略不计 (如碰 撞、爆炸等)时，可近似 应用动量守恒定律
p y mi viy 常量 p z mi viz 常量
在 p 一定时
t2
Fdt
mv
mv1
F
t2
1
mv2
注意
t 越小，则 F 越大 .
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰撞事 件中，作用时间很短，冲力 很大 .
F Fm
F
t
Fdt F (t2 t1 )
o
t1
t2
t
问：为什么迅速地把盖在杯上的薄板从侧面打去， 鸡蛋就掉在杯中；慢慢地将薄板拉开，鸡蛋就会和薄 板一起移动？
( B) 91J , ( D) 67 J
分析： W F r
67 J
(4i 5 j 6k ) (3i 5 j 9k )
例6 质量为 2kg 的物体由静止出发沿直线运动, 作 用在物体上的力为 F = 6 t (N) . 试求在头 2 秒内, 此力对 物体做的功.
合外力的冲量
系统末动量
系统初动量
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量. 分量式：
t I F外i dt t0 p p0 p
思考: 内力的冲量起什么作用?
Ix Iy Iz

t2
t1 t2
F外x dt p x F外y dt p y F外z dt pz
dri
dr Βιβλιοθήκη *ABi*
1 F dr1
F1
Fi
• 变力的功
dW F dr
A
F cos
W
B
A
B F dr F cos ds
o sA
ds
F Fxi Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
解:
ax Fx m 3t
vx

0
dv 3tdt
0
t
dv a dt
vx 1.5t
2
2
2
dx vxdt 1.5t dt
W Fdx 9t dt 36.0 J
3 0
例 11 一质点在如图所示的坐标平面内作圆运动，有 一力 F F ( xi yj ) 作用在质点上，求质点从原点 0 运动到（0，2R）位置过程中，力所作的功.

v m
几点说明： 1. 动量的矢量性：系统的总动量不变是指系统内各物 体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的动量 不变。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
2. 系统动量守恒的条件：① 系统不受外力；
② 合外力=0； ③内力>>外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时 间极短的过程中，内力>>外力，可略去外力。

t1 t2
t1
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度