拉压杆横截面上的正应力.
5-3拉伸(压缩)时横截面上的应力-正应力
B
F1
F2
Q
N F 20 KN 1 1 200 MPa BC杆： 1 2 A A mm 1 1 100
N F 17 . 32 KN 2 2 86 . 6 MPa 2 2 AB杆： A A 200 mm 2 2
2 p cos cos
为横截面正应力
p sin sin cos sin 2
2
第三节 拉伸（压缩）时横截面 上的应力——正应力
第三 节 拉伸或压缩杆横截面上的应力
1、应力的概念
为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力 称为应力。 在某个截面上，
与该截面垂直的应力称为正应力。 记为：
与该截面平行的应力称为剪应力。 记为：
应力的单位：Pa
2 1Pa 1N/ m
2 6 1 MPa 1 N /mm 10 Pa
P P cos 这是斜截面上与 p cos A A 轴线平行的应力
P
n pα
τα
t 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力
斜截面的外法线仍然为 n， 斜截面的切线设为 t 。
根据定义，沿法线方向的应力为正应力
利用投影关系，
沿切线方向的应力为剪应力
（2）、计算机各段的正应力
AB段：
3 F 50 10 1 MPa 125 MPa AB A 400 1
3 F 30 10 2 MPa 100 MPa BC段： BC A 300 2
3 F 10 10 3 MPa 33 . 3 MPa CD段： CD A 300 2
轴向拉压杆的应力
1
FN1 A1
103.9 103 N 300 106 m2
346MPa(拉）
2
FN 2 A2
120 103 N 1274.8 106 m2
94MPa(压）
30° F
2
(a)
FN1
A
30
FN 2 F
(b)
工程力学
cos
FN A
cos
cos
p cos cos2
p
sin
2
sin 2
2、符号规定
m n p
mt
⑴、α：斜截面外法线与x轴的夹角。
x 轴正向逆时针转到 n 轴“α”规定为正值；
x 轴正向顺时针转到 n 轴“α”规定为负值。 ⑵、σα：同“σ”的符号规定
⑶、τα：在保留段内任取一点，如果“τα”对其点之矩为顺 时针方向规定为正值，反之为负值。
工程力学
轴向拉压杆的应力
一、轴向拉压杆横截面上正应力的确定
推导的思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的
1、实验：
计算公式
变形前
F
F
受力后
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面 沿杆轴线作相对平移
8、公式Байду номын сангаас使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处（范围：不超过杆的横 向尺寸）--圣维南原理
二、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
m
m
n
(1) 内力确定：
F
F
O
FNα=FN=F
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
杆件的应力和强度设计(2)
强度计算
等截面杆： FN，max s
A
smax—拉(压)杆的最大工作应力， [s]—材料拉伸(压缩)时的许用应力。
强度条件的应用
三类常见的强度问题
•校核强度：已知外力，s ，A，判断
s max＝
FN A
max
？
s
是否能安全工作？
•截面设计：已知外力，s ，确定
F 4.25 kN
三、圆轴扭转应力
m
m
通过试验、观察变形、
作出假设（平面假设）
t
T
I
t max
T Wt
1）纵向线都倾斜了一个夹角， 且仍为直线 （有切应力）
2）圆周线间的间距没有改变 （无正应力）
3）圆周线的大小和形状均未改 变（切应力方向垂直于径向）
结论：圆轴扭转时，横截面上
只有切应力且垂直于径向。
合理安排梁的载荷
P
L
5L
6
6
Mmax
5 PL 36
q
L
Mmax
1 2
qL2
合理安排梁的约束
q
L
Mmax
1 8
qL2
P/ L
L
1 Mmax 8 PL
q
L 5
3 5
L
L 5
Mmax
1 qL2 40
3. 合理设计梁的外形
等强度梁：梁的每个横 截面上的最大正应力都 等于许用应力的梁。
smaxW Mzxxs
A FN，max
s
•确定承载能力：已知A，s ，确定
FN ＝As
例 一空心圆截面杆, 外径 D 20 mm ,内径 d 15 mm ,承受
1拉压杆横截面上的应力
1拉压杆横截面上的应力6.1.1 应力的概念同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。
但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。
这说明单凭轴力F N 并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。
要了解受力杆件在截面m-m 上的任意一点C 处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m 处截开，在截面上围绕C 点取微小面积ΔA ，ΔA 上分布内力的合力为Δp (图6-1a)，将Δp 除以面积ΔA ，即Ap p ∆∆=m （6-1） p m 称为在面积ΔA 上的平均应力，它尚不能精确表示C 点处内力的分布状况。
当面积无限趋近于零时比值Ap ∆∆的极限，才真实地反映任意一点C 处内力的分布状况，即 lim 0dAdp A p p A =∆∆=→∆ （6-2） 上式p 定义为C 点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。
其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。
通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b ），法向分量称为正应力，用σ 表示；切向分量称为切应力，用τ表示。
将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。
因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。
应力的单位为“帕”，用Pa 表示。
1Pa=1N/m 2, 常用单位为兆帕MPa ，1MPa=106Pa=1MN/mm 2=1N/mm 2，1GPa=109Pa 。
6.1.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab 和 cd ，然后在杆两端施加一对轴向拉力F 使杆发生变形，此时直线ab 、 cd分别平移至a 'b '、 c 'd '且仍保持为直线（图6-2a ）。
材料力学最新试题及答案
一、单选题1.构件的强度、刚度和稳定性 C 。
A.只与材料的力学性质有关B.只与构件的形状尺寸有关C.与二者都有关系D.与二者都无关2.一直拉杆如图所示，在P力作用下 D 。
A.横截面a上的轴力最大B.横截面b上的轴力最大C.横截面c上的轴力最大D.三个截面上的轴力一样大3.在杆件的某一截面上,各点的剪应力 C 。
A.大小一定相等B.方向一定平行C.均作用在同一平面内D.一定为零4.在下列杆件中,图 D 所示杆是轴向拉伸杆。
⁄为 D 。
5.图示拉杆承受轴向拉力P的作用，斜截面m-m的面积为A，则σ=P AA.横截面上的正应力B.斜截面上的剪应力C.斜截面上的正应力D.斜截面上全应力6.外力解除后,消失的变形和遗留的变形 A 。
A.分别称为弹性变形、塑性变形B.统称塑性变形C.分别称为塑性变形、弹性变形D.统称弹性变形7.一圆截面轴向拉、压杆若其直径增加一倍，则抗拉 D 。
A.强度和刚度分别是原来的2倍、4倍B.强度和刚度分别是原来的4倍、2倍C.强度和刚度是原来的2倍D. 强度和刚度是原来的4倍8.图中接头处的挤压面积等于 B 。
A.abB.cbC.lbD.lc9.单元体的受力状态如下图所示，已知上下两面的剪应力为τ则左右侧面上的剪应力为B 。
⁄ B.τ C.2τ D.0A.τ210.下图是矩形截面，则m-m线以上部分和以下部分对形心轴的两个静矩的 A 。
A.绝对值相等，正负号相同B.绝对值相等，正负号不同C.绝对值不等，正负号相同D.绝对值不等，正负号不同11.平面弯曲的变形特征是 D 。
A.弯曲时横截面仍保持为平面B.弯曲载荷均作用在同一平面内C.弯曲变形后的轴线是一条平面曲线D.弯曲变形后的轴线与载荷作用面同在一个平面内12.图示悬臂梁的AC段上，各个截面上的 A 。
A.剪力相同，弯矩不同B.剪力不同，玩具相同C.剪力和玩具均相同D.剪力和弯矩均不同13.当横向力作用于杆件的纵向对称面内时，关于杆件横截面上的内力与应力有以下四个结论。
拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律
拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理
一、杆件在一般情况下应力的概念
用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同 拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必 然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有 关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于 内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处 的集度，即为该点处的应力。
A 力平观在面察横假到截设：面。横上向的线分在布变是形均前匀后的均，为且直都线垂，直且于都横垂截直面于。杆的轴线，
只是其正间应距力增大，(缩其小计)算，式纵为向间距减小(增大)，所有正方形的
网格均变成大小相同的长方形。
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一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
机械工业出版社
同的。当=0时，横截面上的正应力达到最大值
max =
当 =45时，切应力达到最大值
max
=
2
当 =90时， 和均为零，表明轴向拉（压）杆在平
行于杆轴的纵向截面上无任何应力。
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＝ cos2
＝ sin 2
2
（6-3）
机械工业出版社
A11—1
A22—2
h h0 h
中段正应力大。
A2=(h-h0)b=(25-10)20mm2
=300mm2
F
b
b
FN
3）计算最大正应力
max
FN A2
20103 300
N/mm 2
66.7MPa
负号表示其应力为负（压力）。
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三、斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破坏有 F
机械工业出版社
解 1）作轴力图。用截 面法求得CD段和BC段的轴力
3.2轴向拉压杆横截面上的正应力
受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两 平面相对的位移了一段距离。
正应力
说明：轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分
布。
FN A
正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，
压应力为负。
例题讲解
例6.2一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为 A1 400mm2 , A2 300mm2 , A3 200mm2
AB
F1 50 103 MPa 125MPa A1 400
BC
F2 30 103 MPa 100MPa A2 300
CD
DE
F3 10 103 MPa 33.3MPa A2 300
F4 20 103 MPa 100MPa A3 200
小结
你学到了什么？
作业：习题3-3
谢谢聆听！
第三章 轴向拉伸和压缩
第二节 轴向拉压杆横截面上的正应力
一、应力
联想：粗绳和细绳
一根筷子和一把筷子 1、概念：单位面积上的内力称为应力 2、表示：σ（读西格玛） 3、单位：Pa（帕斯卡）Mpa（兆帕） 1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa=106N/m2=1N/mm2
二、横截面上的正应力
试求各横截面面法可求得阶梯杆各段的轴力为F1=50kN,
F2=-30kN, F3=10kN, F4=-20kN。轴力图如下。
2 2 A1 400mm2 , A2 300mm , A3 200mm
求各截面正应力：
AB段:
BC段: CD段: DE段:
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N A
正应力也被称为工作应力。 达到b时会产生的后果。 达到s时会产生的后果。
构件必须有一定的安全储备。 许用应力[]
[ ] o
[ ]
o
n
n>1,称为安全系数。 安全系数从规范和手册查到。
材料的极限应力， o。
脆性材料的极限应力o= b
2
N2 [ P] A A
Y 0 , N1 sin 45o [ P ] 0 X 0 , N 2 N1 cos45o 0
N1 2[ P]
y
15 kN
N1
N2 [ P ]
1
N1 A 2[ P] A
45o N2
C
[P]
[P]=Min{15,14.14} =14.14kN x
1 [ ]
1 B 45o 2 解∶
2[ P] [ ] A 2 [ ] [ ] A 2 C [ P] 2 100 106 200 106 [ P ] [ ] A 1.414 P 14.14 kN 100 106 150 106
A
B
C
max [ ]
N 4N max 2 A d 4N 4 266 103 d 6 53 .2 mm [ ] 3.14 120 10
P
支架 1、2杆的横截面积均为100mm2,许用拉应力[+]=200MPa, 许用压应力[-]=150MPa。计算许可荷载[P]。 A
max [ ]
活塞杆符合拉伸的强度要求。
吊环 =20o,P=500kN,[]=120MPa,求杆AB和AC的直径d. y 解∶ P Y 0 P cos 500 N 266 kN 2 cos 20 o
A x N
max [ ]
拉压许用应力[]。 拉压杆的强度条件。
塑性材料的极限应力o= s
用
max [ ]
可以解决的问题。 确定构件的承载能力。
校核构件的强度。
max [ ]
为构件设计截面。
max [ ]
max
N max A
max [ ]
N max max A N max A [ ]
N max [ ] A
作动筒 p
校核活塞杆的 强度。 Pmax=300kN, []=300MPa, 退刀槽处的直径 d=44mm.
P
退刀槽
P
P
3 300 10 N max Pmax 解∶ 197 MPa max 2 2 6 44 10 d A 4 4 [ ] 300MPa