2019年北京市高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：平面向量(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5北京高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：平面向量一、选择题1 ．（北京海淀一模理科）若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．12 ．（东城区一模理科）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（ ）A ．-a bB ．a +bC ．-b aD ．--a b3 ．（东城区一模理科）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos nn k θ=，则y x -等于 （ ）A ．1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- B ．1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- C ．1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- D ．1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 4 ．（房山区一模理科数学）在△ABC 中，,1AB AC AC ⊥=，点D 满足条件3BD BC=，则AC AD ⋅等于（ ）AB ．1C D ．125 ．（北京市东城区普通校高三3月联考数学（理）试题 ）已知平面向量(1,2)=a , (2,)m =-b , 且a ∥b , 则m 的值为（ ）A ．1-B ．C ．4-D ．4 6 ．（北京市海淀区北师特学校高三第四次月考理科数学）△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0， ||||OA AB =，则CA CB ⋅等于（ ）A ．32BC ．3D．7 ．（北京市顺义区高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知向量()()k ,2,1,2-==,且(2)a a b ⊥-,则实数=k（ ）A ．14-B ．6-C ．6D ．14 8 ．（北京市丰台区高三上学期期末考试 数学理试题 ）在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C在第二象限内，56AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是 （ ）A1B ．1C ．-1D．，19 ．（【解析】北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题 ）向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 （ ）A ．1-B ．12-C ．13-D ．110．（【解析】北京市石景山区高三上学期期末考试数学理试题 ）AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--11．（北京市房山区高三上学期期末考试数学理试题 ）对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅αβαβββ，若平面向量,a b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角(0,)3θπ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中，则a b = （ ）A ．21B ．C ．23 D ．23 二、填空题12．（北京大兴区一模理科）已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则()AE AF AC+?等于 ．13．（北京丰台区一模理科）在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E 是CD 的中点， 则CD BE ⋅= .14．（北京市延庆县一模数学理）已知1||=a ，2||=b ，向量a 与b 的夹角为60，则=+||b a .15．（北京西城区一模理科）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．16．（门头沟区一模理科）在边长为1的正方形ABCD 中，E 、F AE AF ⋅= ．17．（北京市东城区普通高中示范校高三3中，D 为BC 中点，若120BAC ∠=︒，1AB AC ⋅=-，则AD 的最小值是 .18．（北京市西城区高三上学期期末考试数学理科试题）已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．19．（北京市通州区高三上学期期末考试理科数学试题 ）在边长为的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是 ．20．（北京市昌平区高三上学期期末考试数学理试题 ）在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，那么()AB AC AD -∙=uu u r uu u r uuu r____________;若E 是AB 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.21．（【解析】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学理试题 ）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ．三、解答题北京高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：平面向量参考答案一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. A 5. C 6. 【答案】C【解析】由2OA AB AC ++=0得0OA AB OA AC OB OC +++=+=，所以OB OC CO =-=，即O 时BC 的中点，所以BC 为外接圆的直径,2BC =。
则90BAC ∠=，因为OA AB =，所以ABO ∆为正三角形，所以60,30ABO ACB ∠=∠=，且AC =所以cos30232CA CB CA CB ===，选C.7. 答案D 因为(2)a a b ⊥-,所以(2)0a a b ⋅-=,即220a a b -⋅=,所以25(4)0k ⨯--+=,解得14k=.选D.8. 【答案】D解：因为56A O Cπ∠=，所以5,6O AO C π<>=。
5,623OC OB πππ<>=-=。
则(,O C O A O B λμλμ=+=。
5(,)(1,0)cos6OC OA OC OA πλμ==，即2()32λ=⨯-。
(,)(0,1)cos3OC OB OC OB πλμ==，即1212μ=⨯=，所以1λμ==，选D. 9. 【答案】A解：由||⋅=a b a 得3425x +⨯==，即385x +=，解得1x =-，选A.10. 【答案】D解：因为(2,4),(1,3),AB AC ==所以(1,1)BC AC AB =-=--，即(1,1)AD BC ==--，选D.11. 【解析】C;因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a =,||12cos ||b a θ=,所以2||cos 2cos ||a ab b θθ==,且211(0,),cos 1,2cos 2322πθθθ∈∴<<∴<<故有312a b =或,选D.【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是1cos 12θ<=<,所以1214k k <<,所以1223k k =或,而0a b ≥>,所以123,1k k ==或122,1k k ==,于是32a b =,选D. 二、填空题 12.15213. -1； 14. 715. 32-16. 118. 【答案】1k =-解：(1,3)+(21)(2,31)ka b k k k +=-=-+，，因为向量c 与向量k +a b 共线，所以2(2)3(31)=0k k --+，解得1k =-。
19. 【答案】1[,1]2【 解析】因为D 在BC上，所以设,01BD x x =≤≤，则B D x B =。
所以21()1cos12012AB AD AB AB BD AB AB BD x x ⋅=⋅+=+⋅=+=-，因为01x ≤≤，所以111122x ≤-≤，即AB AD ⋅的取值范围数1[,1]2。
20. 【答案】2; [9,9]-解：2211()()2222AB AC AD CB AC CD CB CD CB -∙=+===⨯=uu u r uuu r uuu r uu r uuu r uu u r uu r uu u r uu r g g .将直角三角形放入直角坐标系中，则(0,4),(2,0),(1,2),(1,0)A B E D ,设(,)P x y ，则(1,4)(1,2)A D E P x y x y ⋅=---=-+u u ur u u rg ，令47z x y =-+，则1744z y x -=+，做直线14y x =，平移直线14y x =，由图象可知当直线1744zy x -=+经过点A 时，直线的截距最大，但此时z 最小，当直线 经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最大。
即z 的最下值为4479z =-⨯+=-，最大值为279z =+=，即99AD EP -≤⋅≤uuu r uu r 。
AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是[9,9]-。
21. 【答案】4解：,由题意知三角形为等腰直角三角形。
因为P 是斜边AB 上的一个三等分点，所以13AP AB =，所以13C P C AA P CA A=+=+，所以21184222cos135333CP CA CA AB CA =+=+⨯=，114222cos 45333CP CB CA CB AB CB =+=⨯=，所以84433CP CB CP CA ⋅+⋅=+=。
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集【海淀】18．（本小题满分14分）椭圆2212xy+=的左焦点为F，过点(2,0)M-的直线l与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求'AB的取值范围. 【东城】(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x yCa+=过点(2,1)P.（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A P'与C交于另一点B.设O为原点，判断直线与直线OP的位置关系，并说明理由.【朝阳】19.（本小题满分14分）AB过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .（Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =.【丰台】18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =.【西城】19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：的离心率为2，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值.【石景山】18. （本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【解析几何类题】汇集【海淀】18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；解：（Ⅰ） 因为,ab ==2221，所以,a bc ===11 所以离心率c e a ==（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y 显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+ 所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212 所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y - 所以|'|AB = 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+，12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+ 所以 |'|AB==因为k ≤<2102，所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x yB x y 当直线l 是x 轴时，|'|AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420， 所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y - 所以|'|AB =因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=222222)222t t t ====-+++ 因为t >22，所以|'|AB ∈ 综上，|'|AB的取值范围是. 【东城】(19)（本小题13分）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与C 交于另一点B .设O 为原点，判断直线与直线OP 的位置关系，并说明理由. （19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x y C a +=过点,，可得28a =. 所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率e ==. .........................4分 （Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，(,)(,).A AB B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，AB由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则 同理2288k 241B k x k +-=+，所以216k.41A Bx x k --=+ 21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，()28441A B A B ky y k x x k k --=+-=+有，因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.1.21,.2A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -==-==又故 所以直线与直线OP 平行. .............................13分【朝阳】19.（本小题满分14分）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G .（Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =. 19. （本小题满分14分）AB解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ……………4分（Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=. 则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+. 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+.()()21211(1)1(1)34E Gx k x k y y x x +-+-+=++ ()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+[]121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中，121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 【丰台】18．（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =. 18.（共14分）解：（Ⅰ）由题意得222112.c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y += ………………5分 （Ⅱ）设()()112212,,,(11)M x y N x y x x ≠≠且.由()224,1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222433264120k x k x k +-+-=依题意()()()2222=3244364120k k k ∆--⋅+⋅->，即2104k <<. 则2122212232,436412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………8分因为121211MF NF y yk k x x +=+-- ()()12124411k x k x x x --=+-- ()()()12121225811k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=--()()222212641232258434311k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--0=.所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OFA OFB ∠=∠. 因为OF AB ⊥，所以||||FA FB =. …………………14分【西城】19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2x y C a a +=>：，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值. 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分 解得2a =，c =C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C的内部，得m 又因为(2,0)A -，所以直线AM的斜率0(022AM m m k -==∈+， …………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)2AM k ∈.……………… 6分 （Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=.所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. …………… 7分 令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ yk x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -.由002()2y FP x =-+，002()2y FQ x =-- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值.……………… 14分【石景山】18. （本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．18.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，所以222p =，2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 点坐标为(1,0)．（Ⅱ）因为BMF △与ABF △的面积相等，所以BM AB =，所以B 为AM 的中点．设0000(,)(0)M x y x y ≠，则0(,0)A x -．所以直线l 的方程为000()2y y x x x =+，与抛物线24y x =联立得： 2000840x y y x y -+=， 2200002006464161604x x x x y x ∆=-=-= 所以直线l 是抛物线C 的切线．。
2019年北京市高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：复数(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5北京高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：复数一、选择题1 ．（北京大兴区一模理科）复数2(1i)-的值是（ ）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -2 ．（北京丰台区一模理科）复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3 ．（北京西城区一模理科）若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．24 ．（北京市东城区高三上学期期末考试数学理科试题）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （ ） A ．1- B ．1 CD．5 ．（北京市海淀区北师特学校高三第四次月考理科数学）已知复数i zz=-+11，则z 的虚部为 （）A ．1B ．1-C ．iD ．i -6 ．（北京市西城区高三上学期期末考试数学理科试题）在复平面内，复数5i2i-的对应点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7 ．（北京市顺义区高三第一次统练数学理科试卷（解析））在复平面内,复数ii+-221对应的点的坐标为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 D ．⎪⎭⎫⎝⎛53,54 8 ．（北京市通州区高三上学期期末考试理科数学试题 ）在复平面内，复数21ii-对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9 ．（【解析】北京市朝阳区高三上学期期末考试数学理试题 ）已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于 （ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-10．（【解析】北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题 ）复数21i -化简的结果为（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --11．（【解析】北京市石景山区高三上学期期末考试数学理试题 ）若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ．13i -- B ．i +2 C ．13i + D ．i +312．（北京市房山区高三上学期期末考试数学理试题 ）设,a b ∈R ，(1)(2)a bi i i +=-+（为虚数单位），则a b+的值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4二、填空题13．（北京海滨一模理科）在复平面上，若复数+ i a b （,a b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 14．（北京市延庆县一模数学理）若复数i m m m z)1()2(2+++-=（为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则=m .15．（东城区一模理科）复数(2i)i z =-的虚部是 .16．（房山区一模理科数学）已知复数z 满足(1)2z i i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z = . 17．（门头沟区一模理科）复数11izi-=+，则z = ． 18．（北京市昌平区高三上学期期末考试数学理试题 ）若221aii i=-+-，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是____________.北京高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：复数参考答案一、选择题 1. D 2. A 3. A 4. 解：因为i 1i a +-是纯虚数，所以设i,0,1ia bib b R +=≠∈-.所以(1)a i bi i b bi +=-=+，所以1a b ==，选B.5. 【答案】A【解析】由iz z=-+11得1(1)Z Z i +=-，设Z a bi =+，则1(1)(1)a bi a bi i a i b ++=--=-+，所以11a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以虚部为1，选A. 6. 【答案】B解：55(2)5(2)122(2)(2)5i i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B. 7. 答案A12(12)(2)52(2)(2)5i i i ii i i i ----===-++-,所以对应点的坐标为(0,1)-,选A. 8. 【答案】B【 解析】22(1)2(1)121(1)(1)2i i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B. 9. 【答案】A解：(1)(2)2(12)ai i a a i ++=-++，要使复数为纯虚数，所以有20,120a a -=+≠，解得2a =，选A.10. 【答案】A解：22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i ++===+--+，选A. 11. 【答案】A解：2133113Z i i Z i i -==-=--，选A.12. B二、填空题 13. 014. 2 15. 2 16. 1i -+ 17. 1 18. 【答案】4解：由221aii i=-+-得(22)(1)4ai i i i =-+-=，所以4a =。
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n+；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n+．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)（Ⅱ）记12(,,,)n x x x α= ，12(,,,)n y y y β= ，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=，所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++- 12nx x x =+++ 12ny y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++= 所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++- 1122n n x y x y x y n ≤++++++= ，当(1,1,,1)α= ，(0,0,,0)β= 时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- 1122()n n n x y x y x y =-+++ 注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个，当n 为偶数时，n n n αβ*≥-=.当22(1,1,,1,0,0,,0)n nαβ== 个个时，满足n ααββ*+*=，且2nαβ*=.所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以1122n n n αβ-+*≥-=.当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-= 个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+= 个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=.所以αβ*的最小值为12n -综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈ ，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈ 显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈= ，则122n x x x n +++≤- 则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈= ，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α= 满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω ，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.记12S T T = ，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.--..............................4分（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式.由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍.故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项..............................9分（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+，即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d ++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤，由于d *∈N ，所以22+11n n a b +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.n n A B ≤即成立.............................14分【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.20.（本小题满分13分）（Ⅰ）3a 的值可取27,30,33,36..…………3分（Ⅱ）由()151,2,n n a a n +≤+=⋅⋅⋅，对于任意的n ，有15(1)n a n a ≤-+.当14n a ≥-时，15(1)n a n a ≤-+，即5(1)4n a n n ≤-++，即61n a n ≤-.则6n a n <成立.因为n a 是n 的倍数，所以当14n a ≥-时，有5n a n ≤成立.若存在n 使5n a n >，依以上所证，这样的n 的个数是有限的，设其中最大的为N .则5N a N >,15(1)N a N +≤+成立，因为N a 是N 的倍数，故6N a N ≥.由+1565(1)5N N a a N N N ≥-≥-+=-,得10N ≤.因此当11n ≥时，5n a n ≤.…………8分（Ⅲ）由上问知1155a ≤，因为+15n n a a ≤+且n a 是n 的倍数，所以1091,,,a a a ⋅⋅⋅满足下面的不等式：1060a ≤，963a ≤，864a ≤，763a ≤，666a ≤，570a ≤，472a ≤，375a ≤，280a ≤，185a ≤.则1=85a ,2=80a ,3=75a ,472a =,570a =,666a =,763a =,864a =,963a =,1060a =,当11n ≥时，5n a n =这个数列符合条件.故所求1a 的最大值为85.………13分【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.20．（共13分）解：（Ⅰ）4,6,8,102,3,5,71,9,11,12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（答案不唯一） (4)分（Ⅱ）数阵{}i j m n b ⨯具有性质A .只需证明，对于任意的1,2,3,,i n = ，都有(1)i j i j b b +<，其中1,2,3,,1j n =- .下面用反证明法证明：假设存在(1)pq p q b b +>，则(1)(2),,,p q p q mq b b b ++ 都大于(1)p q b +，即在第q 列中，至少有1m p -+个数大于(1)p q b +，且(1)(1)(1)2(1)1(1)p q p q q q b b b b +-+++>>>> .根据题意，对于每一个(1)(1,2,,)t q b t p += ，都至少存在一个t i q a {}(1,2,3,,)t i m ∈ ，使得(1)t i q t q a b +<，即在第q 列中，至少有p 个数小于(1)p q b +.所以，第q 列中至少有11m p p m -++=+个数，这与第q 列中只有m 个数矛盾.所以假设不成立.所以数阵{}i j m n b ⨯具有性质A ....………….13分【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；数列1,5,9,13,17是4阶平衡数列.………………3分（Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N .考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=，所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数.…………5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+ 这k 项，其和为(1)12k k S +'=+，所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .………8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈- ，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ，因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈- .因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N - 的公倍数.………………9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6,7的倍数，即213287,,,a a a a a a --- 均为420的倍数（注：420为2,3,4,5,6,7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯= ，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项.………………11分如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6的倍数，即213276,,,a a a a a a --- 均为60的倍数（注：60为2,3,4,5,6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<< ，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤， ，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯= ≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i = ）时，167a a a +++ 取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873.………………13分【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n +；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n +．20.（本题（Ⅱ）（前两问答案不唯一，请酌情给分）（Ⅲ）不妨设A 为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为()C A ,考虑含n +1个元素的集合2222{1,2}B n n n n n =--- ，，，，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为212x x n <≤…7分也必有至少两个数处于同一列，设为212y y n <≤.①若211max(,)1x y n n -+≥则有222111()max(,)1n n n C A x y n n n +<-+≤≤（因为33+1n n >）.②若211max(,)1x y n n <-+，即211x y n n ==-，则22x y ≠，222min(,)1x y n -≤．所以22222min(,)1(1)(1)1()(1)xy n n n n C A n n n n n n n -+-+==---≤≤.即不论何种情况，总有1()n C A n +≤.…13分。
2019年北京市西城区高三年级一模数学(理)试题和答案
北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()UA B =（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4（B ）5（C ）7（D ）9输出 开始否 结束是4．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A ）52，7-（B ）52，52-（C ）7，52-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：W Oyx现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为 （A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（A（B ）3（C ）（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图 正(主)视图俯视图 221三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若1m =-，27b =，4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB =.（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求DABCEF出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量乙1 2 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t （st ），都有0st p =，则称数表A 为完美数表. （Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表； （Ⅰ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C5．C 6．A 7．B 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n --10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=，20β= 14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，……………… 3分 得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 11分得sin sina B Ab ===. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE . ……………… 2分 同理//AF 平面CDE ， 又因为ABAF A =，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 3分 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 4分 （Ⅱ）连接BD ,因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD . 则DE DB ⊥. 又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E =，所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥.故,,DA DB DE 两两垂直，所以以,,DA DB DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(0,0,2)E ，(1,0,1)F ，所以(0,1,2)BE =-,(1,0,1)EF =-，(0,1,0)=n 为平面DEF 的一个法向量.设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BE ⋅=m ，0EF ⋅=m ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1,2,1)=m . ………………8分所以6cos ,||||3⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63.………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，DA B C EyxzF所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩……………… 12分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， …………… 13分 解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. …………… 2分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. …………… 4分 （Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. ……………… 5分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. 8分 所以随机变量的分布列为：………… 9分X所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. …………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. ……… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. … 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. …………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B .所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 易得CB的方程为2)y x =-.则(4,M,(6,AM =,(3,AD =, 所以2AM AD =，即,,A D M 三点共线. ………… 7分 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. … 9分 由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. ……… 10分 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ………… 11分 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， ……… 12分 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=， 所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如： (3)分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示）， 则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. …………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====. …………… 9分又因为对于任意,s t （st ），都有0st p =， 所以22212n X X X ln +++=. ……………… 11分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ………… 13分。
北京市各区2019届高三期末数学(理)分类汇编之选择压轴题(含答案)
“L ”形骨牌国际象棋棋盘【海淀】（8）已知集合{(,)|150,150,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N . 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B∈∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）25（B ）49（C ）75 （D ）99 【西城】8. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L ”形骨牌，则 （A ）至多能剪成19块“L ”形骨牌（B ）至多能剪成20块“L ”形骨牌 （C ）一定能剪成21块“L ”形骨牌（D ）前三个答案都不对【东城】(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为 (A)(1,2) (B) (5,6) (C) (7,8) (D)(15,16)【朝阳】8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为 A.2 3C.13D.14【丰台】8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为C 1A 1（A（B ）1 （C（D ）2【石景山】8.已知函数()21,0,log ,0,ax x f x x x +⎧=⎨>⎩≤则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数的判断正确的是A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点C. 无论a 为何值，均有2个零点D. 无论a 为何值，均有4个零点 【昌平】（8）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是A ．B ．C ．5D ．8【大兴】（8）A ，B 两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：根据此表中的数据，有如下四个结论： ①A 1车型销量比B 1车型销量多；②A 品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%； ③B 品牌三种车型车总销量环比增长率可能为正；④A 品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B 品牌三种车型总销量环比增长率． 其中正确的结论个数是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【房山】C 123（8）已知点(4,0),(6,0)A B ，点P 在圆22(4)4x y +-=上运动，M 为线段BP 的中点，则使△OAM （O 为坐标原点）为直角三角形的点M 的个数为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4【通州】8.设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； ②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③设A ,B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设A ,B 是曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同的两点，则(),1A B ϕ>．其中真命题的个数为 A. 1 B.2 C.3 D. 4。
2019年高考理科数学北京卷(附参考答案和详解)
4!数学中 有 许 多 形 状 优 美/寓 意 美 好 的 曲 线# 曲线 .,#$0&$'!0"#"& 就是 其 中 之 一$如 图 %!给 出 下 列 三 个 结 论 ,
曲线 . 恰 好 经 过 & 个 整 点 $即 横/纵 坐 标
均 为 整 数 的 点 %-
第4题图
曲线 . 上任意一点到原点的距离都不超过槡$-
三 解 答 题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
!"!$本小题满 分 !+ 分%在 '+0. 中#''+#(()'$#5290'
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$!%求(#) 的 值 -
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!&!$本小题满分!)分%如图#在 四 棱 锥 12+0.5 中#1+& 平
面 +0.5#+5&.5#+5,0.#1+'+5'.5'$#0.'+!
曲线 . 所围成的&心形'区域的面积小于+! 其 中 #所 有 正 确 结 论 的 序 号 是
*% -%
! ! !,% ! ! !.%
$! ! %
第二部分
二 填 空 题本大题共&小题每 小 题 " 分共 +# 分!把 答 案
填在题中横线上
8!函数 *$#%'9/:$$# 的最小正周期是!!!!! !#!设 等 差 数 列!'-"的 前- 项 和 为,-#若'$ ' (+#," ' (!##
2019年北京市西城区高三年级一模数学(理)试题及答案(K12教育文档)
2019年北京市西城区高三年级一模数学(理)试题及答案(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年北京市西城区高三年级一模数学(理)试题及答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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北京市西城区高三统一测试数学（理科）2019.4第Ⅰ卷(选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．设全集U=R,集合{|02}A x x=<<，{3,1,1,3}B=--,则集合()UA B =（A){3,1}--（B）{3,1,3}--（C）{1,3}（D){1,1}-2．若复数1i2iz-=-，则在复平面内z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 3. 执行如图所示的程序框图,则输出的k(A）4(B）5（C）7（D)94．下列直线中，与曲线C :12,()24x t t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是(A ）20x y += （B)240x y +-= (C)20x y -=（D ）240x y --=5。
设 ,,a b m 均为正数，则“b a >"是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 （C ）充要条件(D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的。
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【导数类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【导数类题】汇集【海淀】19.（本小题满分14分）已知函数2()x a x f x e-=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.【东城】(18)（本小题13分）已知函数2()e 2x f x ax x x =--．(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．【朝阳】18.（本小题满分13分）已知函数2()e (1)(0)2x mf x x x m =-+≥.（Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【丰台】19．（本小题13分）设函数()sin cos ,[0,2f x a x x x x π=-∈．（Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．【西城】18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值；（Ⅱ）如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围．【石景山】19.（本小题13分）已知函数()()ln f x x a x =+．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【导数类题】汇集【海淀】19.（本小题满分14分）已知函数2()x a x f x -=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x >-对任意(0,)x ∈+∞成立.解：（Ⅰ）因为()x ax x f x -=e 2所以()'()x x a x af x -++=e 22当a =-1时，'()xx x f x --=e 21所以'()f -=e 11，而()f -=e21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =--（Ⅱ）法一：因为()'()x x a x a f x -++=e 22，令()'()x x a x af x -++==e 220得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0e f =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e 2222令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而(a a F ++--=>e e 122222注意到a x ++=>2202，所以(())f x x F =>-e 222，问题得证x(,)x 10x 1(,)x x 12x 2(,)x +∞2'()f x +0-0+()f x Z极大值]极小值Zx(,)x 30x 3(,)x +∞3'()f x -0+()f x ]极小值Z法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e e xax x -+>”即“x >0，2+12e e()0e x x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->”设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)x g x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e x h x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”x(,)011(,)+∞1'()h x -0+()h x ]极小值Z因为()'()xx a x af x -++=e 22，令'()f x =0得a a x x +-++==122222当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0e f =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222注意到a x ++=222和a >0，所以a x ++=>2222设()xxF x -=e 2，其中x >2所以()()'()xxx x F x --=-=e e 2121当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242而()--=-->e e e e2242240所以()()f x F x >->e222，问题得证x(,)x 10x 1(,)x x 12x 2(,)x +∞2'()f x +0-0+()f x Z极大值]极小值Z法四：因为a >0，所以当x >0时，()x xax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e 2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e 2所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而(--=-->e e e e2242240所以x >0时，2()eF x >-所以()()f x F x >>-e2【东城】(18)（本小题13分）已知函数2()e 2x f x ax x x =--．(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．（18）（共13分）x(,)022(,)+∞2'()F x -0+()F x ]极小值Z解：(Ⅰ)当1a =时，2()e 2x f x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-．.................4分(Ⅱ)当0x >时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10x a x -->恒成立，由于e 0x >，所以等价于当0x >时，1ex x a +>恒成立.令1(),0e x x g x x +=≥，则()e xxg x -'=.当0x ≥时，有()0.g x '≤所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1e xx g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.，综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞..............................13分【朝阳】18.（本小题满分13分）已知函数2()e (1)(0)2x mf x x x m =-+≥.（Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围.18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)当0m =时：()(1)e xf x x '=+，令()0f x '=解得1x =-，又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-..…………3分（Ⅱ）()(1)(e )xf x x m '=+-.当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =.(ⅰ)若1e m =，则1()(1)(e )0e x f x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或；当()0f x '<时，1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减.(ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或；当()0f x '<时，ln 1m x <<-.所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减..…………8分（Ⅲ）(1)当0m =时，()e xf x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <，当0x >时，()0f x >，所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.(2)当0m >时：（ⅰ）当1e m =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0e f -=-<，2(1)e 0ef =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.（ⅱ）当1e m >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<，只需讨论(1)e 2f m =-的符号：当1e e 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点；当e 2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点.(ⅲ)当10e m <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m m f m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述，e 02m ≤<..…………13分【丰台】19．（本小题13分）设函数()sin cos ,[0,2f x a x x x x π=-∈．（Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．19．（共13分）解：（Ⅰ）因为1a =，所以()sin cos ,f x x x x =-()sin f x x x '=.当[0,]2x π∈时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在区间[0,2π上单调递增，所以()(0)0f x f =≥....………….5分（Ⅱ）因为()sin cos ,[0,]f x a x x x x π=-∈，所以()(1)cos sin f x a x x x '=-+.①当1a =时，由（Ⅰ）知，()0f x ≥对[0,2x π∈恒成立；②当1a >时，因为[0,]2x π∈，所以()0f x '>.因此()f x 在区间[0,]2π上单调递增，所以()(0)0f x f =≥对[0,]2x π∈恒成立；③当1a <时，令()()g x f x '=，则()(2)sin cos g x a x x x '=-+，因为[0,2x π∈，所以()0g x '≥恒成立，因此()g x 在区间[0,]2π上单调递增，且(0)10()022g a g ππ=-<=>，，所以存在唯一0[0,]2x π∈使得0()0g x =，即0()0f x '=.所以任意0(0,)x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减.所以()(0)0f x f <=，不合题意....………….12分综上可知，a 的最小值为1....………….13分【西城】18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值；（Ⅱ）如果函数2()()=f x g x x 在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x ，………………1分因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0，………………2分由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=，解得1=a .………………4分（Ⅱ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x ，求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x ，………………5分因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同.……6分对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x ，由()0'=h x ，解得2=x ，………………7分当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x (1,2)2(2,e)所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增.又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--；max ()(1)22h x h a ==-.………………9分如果函数2()()=f x g x x 在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x .所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min 0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ；○1…………11分如果函数2()()=f x g x x 在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ，所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a .○2…………12分因为函数2()()=f x g x x 在区间(1,e)上不是单调函数，结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a .………………13分【石景山】19.（本小题13分）已知函数()()ln f x x a x =+．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．19.（本小题13分）解：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.(1)1,(1)0f f '==，所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-.（Ⅱ）()f x 有极小值⇔函数()f x '有左负右正的变号零点.()1()ln ln 1af x x x a x x x '=++=++令()()g x f x '=，则221()a x ag x x x x -'=-=令()0g x '=，解得x a =.,(),()x g x g x '的变化情况如下表：x (0,)a a (,)a +∞()g x '-0+()g x 减极小值ln 2a +增1若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()f x '不存在变号零点，不合题意.2若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，(1)10g a =+>.所以0(,1)x a ∃∈，使得0()0g x =；且当0(,)x a x ∈时，()0g x <，当0(,1)x x ∈时，()0g x >.所以当(,1)x a ∈时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：x 0(,)a x 0x 0(,1)x ()f x '–0+()f x 减极小值增所以20a e -<<.。
2019年北京高三数学一模汇编(文理通用部分)
28.若存在 x [0,1] 使不等式 a ≤ x 2 x 成立，则实数 a 的取值范围是__________________．
29.已知函数 f ( x ) x ， g ( x ) ax 2 x ，其中 a 0 .若 x1 [1, 2], x2 [1, 2] ，使得
b d bd 和 （ a , b , c, d N ） ，则 是 x 的更精确的不足近 a c ac 31 49 16 ，则第一次用“调日法”后得 是 的更为精 10 15 5
似值或过剩近似值．已知 3.14159 ，令 确的过剩近似值，即 为__________．
1 , 1 2 1 2
】
C. ,1
1 2
D. 1,
02．已知正 △ ABC 的边长为 4,点 D 为边 BC 的中点,点 E 满足 AE ED ,那么 EB EC 的值为【
17.若函数 f x 图象上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则点对 A, B 称为函数 f x 的“友好点对”，且
x 2 2ex m 1, x 0 点对 A, B 与 B , A 可看作同一个“友好点对”.若函数 f x （其中 e 为自然对 e2 x , x 0 x
2
2
D. 2 6 】
15.当 x 0,1 时,下列关于函数 y mx 1 的图象与 y x m 的图象交点个数,说法正确的是【 A.当 m 0,1 时，有两个交点 B.当 m 1, 2 时，没有交点 C.当 m 2,3 时，有且只有一个交点 D.当 m 3, 时，有两个交点
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2019 北京高考一模汇编：函数 01．下列函数中，值域为 R 且在区间 (0, ) 上单调递增的是 A. y x 2 2 x C. y x 3 1 02．下列函数中，在区间(0,∞)上为增函数的是 A． y B. y 2 x 1 D. y ( x 1) | x | 【 B． y ln x D． y 2 x 上单调递增的是 B． D．. 【 B.是偶函数，且在 R 上是增函数 D.是偶函数，且在 R 上是减函数 】 【 】 】 【 】
北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(理科)试题(含答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 0B ．12±C ．1±D ．22±4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数 8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 .13.在∆ABC 中，3b a =，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=--（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知函数2()xa x f x e-=． （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.232，12.0 13.3214.622，三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =-- 22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+- 其对称轴为4a t =- 当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===，21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===，353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为Y 0123P156155630561056115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD（Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)D A P C B -000200013020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,,),(,,)DP DB =-=013210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩3020令2z = ，则23,3y x =-=- ，所以(,,)n =-3232r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>==-=-235719219uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为5719（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以33(1,,)(2,1,0)22MF MB BF λ=+=-+-因为MFPC ，所以(0,3,3)MF PC μμ==-所以有120332332λλμμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,,a b c ===211所以离心率c e a ==22（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以22222281616|'|(21)(21)k k AB k k -=+++ 228(21)k =+22221k =+因为k ≤<2102，所以|'|(2,22]AB ∈ 法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时，|'|22AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=->，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB =222222168(1)(2)2t t t t t +-++ 4222222282222222(1)(2)222t t t t t t t ====-++++ 因为t >22，所以|'|(2,22)AB ∈综上，|'|AB 的取值范围是(2,22].19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e22，令()'()x x a x a f x -++==e 220 得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Z所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到a a x +++=>222402，所以(())f x x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)xg x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0xg x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”x(,)x 30 x 3(,)x +∞3'()f x -0 + ()f x]极小值Zx(,)011(,)+∞1'()h x -0 + ()h x]极小值Z因为()'()x x a x af x -++=e 22，令'()f x =0得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222 注意到a a x +++=22242和a >0，所以a a x +++=>222422设()x xF x -=e2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e 2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242 而()--=-->e e e e2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Zx(,)022(,)+∞2所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >- 所以()()f x F x >>-e220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n '()F x -0 + ()F x]极小值Z当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个， 所以1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=. （Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β=其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。