反比例函数知识点及举例

反比例函数知识梳理知识点ｌ． 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点:理解反比例函数的概念一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y ＝kx －１（k 为常数，0k ≠）的形式,那么称ｙ是x 的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点:(1）k 是常数，且ｋ不为零;(2)x k中分母x 的指数为1，如22y x=不是反比例函数。

(3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数．（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。

知识点2。

反比例函数的图象及性质重点:掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数xky =的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限.它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、ｙ轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.画反比例函数的图象时要注意的问题： (1)画反比例函数图象的方法是描点法；(２）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。

(3)由于在反比例函数中，x 和ｙ的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。

反比例函数的性质xky =)0k (≠的变形形式为k xy =（常数)所以: （1）其图象的位置是：当0k >时,x 、y 同号,图象在第一、三象限； 当0k <时,x 、y 异号,图象在第二、四象限。

(2）若点（ｍ，ｎ)在反比例函数xky =的图象上，则点(—m ，—ｎ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（３）当0k >时，在每个象限内,ｙ随x 的增大而减小；当0k <时，在每个象限内,y 随x 的增大而增大； 知识点３. 反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点:由条件来确定反比例函数解析式（１)反比例函数关系式的确定方法:待定系数法，由于在反比例函数关系式xky =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组ｘ、y 的对应值或图象上点的坐标,代入xky =中即可求出ｋ的值，从而确定反比例函数的关系式。

（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：xky =(0k ≠）; ②根据已知条件，列出含ｋ的方程; ③解出待定系数k 的值； ④把ｋ值代入函数关系式xky =中. 知识点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时,要注意将实际问题转化为数学问题。

②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。

③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。

知识点5.反比例函数综合最新考题综观20０９年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时,加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。

函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的,富有挑战性的。

” ２010年中考反比例函数复习策略： 1。

抓实双基，掌握常见题型； ２. 重视函数的开放性试题; 考查目标一。

反比例函数的基本题 例1在函数12y x =-中，自变量ｘ的取值范围是（ ）。

A 、x ≠0 B 、x ≥２ C 、x ≤２ D 、x ≠2 例2．反比例函数6y x=-图象上一个点的坐标是 。

考查目标二. 反比例函数的图象例1．根据物理学家波义耳166２年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p (ｐａ)与它的体积v （m 3）的乘积是一个常数k ，即p ｖ=k （k 为常数,k ＞0)，下列图象能正确反映p 与ｖ之间函数关系的是（ ）。

p pp p例2已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A （1x ,1y ），Ｂ（2x ，2y ）,且21x x <，则21y y -的值是 （ )A 、正数B 、 负数C 、非正数D 、不能确定 考查目标三、反比例函数图象的面积与k 问题例1、反比例函数xky =（k 0)在第一象限内的图象如图１所示，Ｐ为该图象上任一点，P Ｑ⊥x 轴，设△POQ 的面积为S ，则S 与ｋ之间的关系是（ ）A ．4k S =B.2kS = C ．Ｓ=ｋ D 。

Ｓｋ 例2．设P 是函数4p x=在第一象限的图像上任意一点，点P 关于原点的对称点为P',过P 作ＰA 平行于y 轴，过P’作P’A 平行于x 轴，PA 与P’A 交于A 点，则PAP '△的面积（ )A 。

等于2ﻩ B.等于４ﻩＣ.等于8 D 。

随P 点的变化而变化 考查目标四。

利用图象，比较大小 例1．已知三点111()P x y ，,222()P x y ，，3(12)P -，都在反比例函数ky x =的图象上,若10x <，20x >，则下列式子正确的是（ ）A.120y y << Ｂ．120y y <<C 。

120y y >>ﻩﻩ D.120y y >> 考查目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系例1．如图,A 、Ｂ是反比例函数ｙ=2x的图象上的两点.ＡC 、BD 都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D 。

A Ｂ的延长线交x 轴于点E 。

若C 、Ｄ的坐标分别为(1，0）、(4,0），则ΔＢＤＥ的面积与ΔACE 的面积的比值是（ ）A ．21 B.41 Ｃ。

81 D ．161例2．如图，二次函数mx mx y +++=)14(412(m 〈4）的图象与x 轴相交于点A 、Ｂ两点．（1）求点A 、B 的坐标（可用含字母m 的代数式表示);(2)如果这个二次函数的图象与反比例函数9y x=的图象相交于点C ，且∠ＢAC 的余弦值为45，求这个二次函数的解析式。

例题精讲突破点一:：反比例函数系数K 的几何意义 1.如图：双曲线ｙ＝xk(k>0，x>０)的图像上有两点P1（ｘ1，y1）和P2（ｘ2，ｙ2）,且x １〈ｘ2，分别过Ｐ１和P2向x 轴作垂线,垂足分别为B ，D.过点P1,P2向ｙ轴作垂线,垂足分别为A ，C.（1）若记四边形ＡP １BO 和四边形ＣP2DO 的面积分别为S １和Ｓ２，周长为C1和C2，试比较S1和Ｓ2,C １和C2的大小; （2）若P 是双曲线y=xk（k ＞0，ｘ〉0）的图像上一点，过点P 分别向x 轴,y 轴作垂线，垂足分别为M ，N.试问当点P 落在何处时，四边形PM ＯN 的周长最小？2.如图，已知A ，C 两点在双曲线y=x1上，点C 的横坐标比点A 的横坐标多2,A Ｂ垂直ｘ轴，ＣD 垂直x 轴,CE 垂直AB ，垂足分别是Ｂ,Ｄ,E. （1）当A 的横坐标是１时，求∆AEC 的面积Ｓ1； （2）当A 的横坐标是ｎ时，求∆AEC 的面积S ｎ； （3）当A 的横坐标分别是１，2，。

．。

．．。

10时，∆ＡEC 的面积相应的是Ｓ１，S2。

.．．．..。

S10，求S １+S2＋...．．．．．。

.。

．。

.。

+S10的值。

突破点二：反比例函数的增减性3，.已知A （a,ｙ１）．Ｂ（2ａ，y ２）是反比例函数ｙ＝xk（ｋ〉0）图像上的两点。

（1）比较y1与ｙ2的大小关系; （2）若A ，Ｂ两点在一次函数ｙ= —34x+b 第一象限的图像上如图所示,分别过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为C ，Ｄ，联结OA ，OB ，且S ∆O ＡB=8,求ａ的值; （3）在（2）的条件下,如果３m= —４x ＋2４， 3n=x32，求使得m>n 的x 的取值范围。

反比例函数与四边形已知边长为４的正方形AB ＣD ，顶点A 与坐标原点重合，一反比例函数图像过顶点C ，动点P 以每秒1个单位的速度从点A 出发沿AB 方向运动，动点Q 同时以每秒4个单位的速度从点D 出发沿正方形的边DC →C Ｂ→ＢA 方向运动,当点Ｐ与点Q 相遇时停止运动，设点P 的运动时间为t 。

（1）求出该反比例函数的表达式；（2）连结PD ，当以点Ｑ和正方形的某两个顶点组成的三角形和∆P ＡD 全等时，求点Q 的坐标;（3）用含t 的代数式表示以点Q,P ，D 为顶点的三角形的面积S ，并指出相应ｔ的取值范围。

反比例函数与三角形如图1,在平面直角坐标系中，等腰Rt ∆ＡＯB 的斜边OB 在x 轴上，直线y ＝３x －４经过等腰Rt ∆ＡＯB 直角顶点Ａ，交y 轴于点C,双曲线ｙ=xk(ｋ≠０,x 〉0）也恰好经过点Ａ。

（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2,过点O 作OD 垂直A Ｃ于点D ，求ＣＤ2—AD 2的值;（3）如图３,P 为x 轴上一动点。

在（１）中的双曲线上是否存在一点Q ，使得∆P ＡＱ是以点A 为直角顶点的等腰三角形,若存在,求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

反比例函数与运动型问题的综合应用如图，在平面直角坐标系中，直线y= －ｘ-5交ｘ轴于点Ａ，交y 轴于点B ，点P （0，－1)，D 是线段ＡB 上一动点，DC 垂直ｙ轴于点Ｃ，反比例函数y=xk的图像经过点D 。

（1）若C 为BP 的中点，求k 的值；（2）DH 垂直ＤC 交OA 与点Ｈ,若点Ｄ的横坐标为ｘ，四边形D ＨOC 的面积为y,求y 与x 之间的函数关系式;（3）将直线ＡB 沿y 轴正方向平移a 个单位（a 〉５）,交x 轴，y 轴于Ｅ，F 点，G 是ｙ轴负半轴上一点，Ｇ(０,－a+5),点M ，N 以相同的速度分别从Ｅ，G 两点同时出发,沿ｘ轴，y 轴向点O 运动(不到达O 点),同时静止，联结并延长FM 交EN 于点K ，联结O Ｋ，NM,当M,N 两点在运动过程中以下两个结论:1：角EFM=角MNK; 2:角FMO=角O ＫＮ。

其中只有一个结论是正确的，请判断并证明你的结论。

过关测试一、选择题：1、若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是( )A 、—1或1 Ｂ、小于21的任意实数 Ｃ、—１ Ｄ、不能确定 2、正比例函数kx y =和反比例函数xky =在同一坐标系内的图象为（ )A Bﻩﻩﻩﻩ CﻩDy=x（ｋ＜0)的图像上有Ａ(１，ｙ1）、B(－1，ｙ2）、3、在函数C （-２，y 3)三个点，则下列各式中正确的是（ ）(Ａ) y 1〈y 2〈ｙ3 (B) y 1＜y 3<y 2 (Ｃ） y 3＜y 2〈y 1 (D ） ｙ2〈y 3〈ｙ14、在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点,那么1k 和2k 的关系一定是( ）Ａ 1k 〈０，2k 〉0ﻩﻩ B 1k ＞0，2k 〈０ﻩﻩ C 1k 、2k 同号ﻩ D 1k 、2k 异号5、若点（x １,y １）、(ｘ２，y 2)是反比例函数xy 1-=的图象上的点，并且x 1＜x 2<，则下列各式中正确的是 （ ）A 、y 1＜y 2 Ｂ、y 1 〉ｙ2 C 、y 1= y 2 Ｄ、不能确定 二、填空题:１、反比例函数()0>=k xky 在第一象限内的图象如图,ＭP 垂直x 轴于点P,如果△MOP 的面积为1，那么k 2、已知y －2与x 成反比例，当x ＝3时,y =为 ;3、在体积为20的圆柱体中，底面积S 关于高h4、对于函数2y x=,当2x >时，y 的取值范围是＿＿＿_＿_y <<___＿＿_；当2x ≤时且0x ≠时，y 的取值范围是ｙ _＿_＿__1,或y _＿__＿_。