圆周长＼弧长

例 半径为4cm ，50°的圆心角所对应的弧长是多少？ 解：设弧长为l cm ，∵n=50°， R=4，∴l π=⋅π⋅=910180450（cm ）． 说明：弧长公式的简单应用．例 已知：弧长为l ，它所对应的圆心角为120°，求这条弧所对应的弦长． 解：如图，∠AOB=120°，的长=l ，则l R 32180R 120π=⋅π⋅=，∴R=π23l ，作OH ⊥AB 于H ，在Rt △AOH 中，∠A=30°， ∴AH=AO ·cos30°=π433l ，∴AB=2AH=π233 l ． 答：这条弧所对应的弦长为π233 l ． 说明：（1）灵活应用弧长公式、解直角三角形、锐角三角函数；（2）弧长公式l 180Rn π=中三个变量l 、n 、R ，知道其中任两个量，就可求出第三个量，其中n 没有单位，是圆心角的度数，l 与R 的单位一致．例 某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10cm 和30cm 的钢管，需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧．问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长(打结部分不计，结果化简后可用π和根式表示)?解： 设大、小管的轮廓线分别为⊙O l 和⊙O 2，如图所示．依题意，两圆外切，设切点为P ．两圆的外公切线与⊙O l 和⊙O 2分别切于A ，B ，E ，F ．连O l A ，O 2B ，作O 2C ⊥O l A 于点C ，则O l C=O l A-CA=O l A-O 2B=20，O l O 2=30+10=40． 在Rt △O l O 2C 中， 3202040C O O O C O 22212212=-=-=．∴AB=320． 又214020O O C O 211==，∴∠A O l O 2=60°，∠AO l E=120°． ∴的长=π=⋅π⋅4018030240．的长=π=⋅π⋅32018010120．∴钢丝的长=2AB+ 的长+的长=3202⨯π+40)3140340(320π+=π+ ∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要)3140340(π+（cm ）． ABO HRO 1O 2A B CmFP说明：本题综合应用圆与圆的有关知识．求公切线的长、弧长等知识． 例 （福州市，2002）如图：四边形ABCD 是正方形，曲线DA l B l C l D l ……叫做“正方形的渐开线”，其中、、、、…的圆心依次按A 、B 、C 、D 循环，它们依次连接．取AB=l ，则曲线DA l B l …C 2D 2的长是 (结果保留π)． 分析：的长=π=⋅π⋅21180190，的长=π，的长=π23，的长=π2，……找出规律，可求．答案：18π．说明：本题不仅应用弧长公式，更重要地是利用了归纳法．典型例题五例 如图，︒=∠120AOB ，⊙O '的半径为r ，⊙O '与、OA 、OB 相切于点C 、D 、E ，求的长.分析：要求的长，只需求出所在圆的半径即可.连结OC ，由⊙O '与相切知，C ，O '，O 三点共线，因r C O ='，故只需求O O '即可.为此连结E O '，则OE O'∆为∆Rt ，且r E O ='，︒='∠60OE O ，故O O '易求.解 连结OC ，E O '.⊙O '与相切于点C O '⇒在OC 上332rO O =' r O O C O OC )1332(+='+'=∴. A 1B 1C 1D 1A 2AB C D∴9)332(2180)1332(120r rππ+=+⋅=典型例题六例 已知如图，⊙O 与⊙O '外切于M 点，它们的外公切线AB 、CD 分别切⊙O '，⊙O 于A 、B 、C 、D ，且公切线AB 、CD 交于E 点，︒=∠120BOD求证：⊙O '的周长等于的长证明 连结E O '、OE 、A O 'EB Θ、ED 分别切⊙O 于B ，D ，切⊙O '于A 、CEO ∴平分BED ∠，O E '平分BED ∠，且EB A O ⊥'，EB OB ⊥，ED OD ⊥ E ∴、O '、O 在一条直线上，︒=∠120BOD Θ，︒=∠∴60BED ，︒=∠30OEB ，O E A O '='∴21，EO OB 21=. Θ⊙O 与⊙O '外切于M ， M ∴在⊙O '上.OM M O O O +'='∴，设r M O ='，则r M O A O ='='. r E O 2='∴，r EM 3=EO OM OB 21==Θ，r EM OM OB 3===∴于是的长r rl ππ21803120=⨯⨯=又⊙O 的周长r C π2= l C =∴.典型例题七例 圆心角60°，所对的弦长为a ，则它所对的弧长为_____. 解 ,302,60︒=︒=aa Θ.318060.,230sin a a l a R R aππ=⨯=∴==︒∴说明：本题考查弧长计算公式，解题关键是依题意计算出弦长与半径的关系.典型例题八例 如图，两皮带轮⊙1O 与⊙2O 外切于H ，它们的半径分别是10和30.（1）求外公切线AB ；（2）求皮带轮长.解 （1）过1O 作B O E O 21⊥于点E ，.401030,2010302221122=+=+==-=-=A O B O O O A O B O E O在Rt 21EO O ∆中，21sin 21221==∠O O E O O EO ， .3202040.60,120,30222121=-==︒=∠︒=∠︒=∠∴CD AB D BO C AO O EO说明：本题考查弧长计算公式，公切线长在实际问题中的应用，解题关键是建立实际问题的几何模型.典型例题九例 （1）如图，ABCD 是正方形，的圆心在B 处，是以AC 为直径的半圆，设a AB =，则月牙形图的周长是（ ）.A ．a π422+ B ．a π212+ C ．a π45D ．a π2221+ （2）如图，两个半径为1的⊙1O 和⊙2O 外切，⊙O 与这两个圆都外切，切点分别是C B A ,,，且︒=∠90O ，则的长为（ ）.A ．π2B ．π22C ．a π4122- D ．π2 解 （1）218090aa ππ==，连结AC ，则由勾股定理得a AC 2=，故的长a a ππ22221=⋅⋅=.选B. （2）设⊙O 的半径为x ，在Rt O O O 21∆中，O O O O 21=，由勾股定理得4)1()1(22=+++x x ，解得12-=x .于是的长ππ212180)12(90-=-=，的长＝的长＝4180145ππ=⨯⨯.选B.说明：本题考查弧长的计算，解题关键在综合应用相关知识（如勾股定理等）求解.填空题1. 周长12πcm 的⊙O ，其内接正六边形的边长是 ．2. 圆心角为30°，半径为R 的弧长为 ．3. 圆周长为6π，则60°圆心角所对应的弧长为 ．4. 在半径为1cm 的圆中，弧长为32π的弧所对应的圆周角为 ． 5. 在⊙O 中，如果120°的圆心角所对应的弧长为34π，则⊙O 的半径为 ．6. 如果⊙O 的半径3cm ，其中一弧长2πcm ，则这弧所对的弦长为 ．7. 已知︒100的圆心角所对的弧长为cm 5π，则该圆的半径为________8. 在半径为R 的圆中，如果圆心角等于π180度，那么这个角所对的弧长为_______9. 有一修路大队要修一段圆弧形便道，它的半径R 是m 36，圆弧所对的圆心角是︒60，则这段弯道约为m ___（精确到.1m 0，14.3=π）10. 扇形的圆心角为︒120，半径为3，那么扇形的弧长为______ 参考答案: 1. 6 cm ; 2. R 6π; 3. π ; 4. 60° ; 5. 2 ; 6. 33cm .7. cm 9 8. R 9. 7.37.π2选择题1．已知一弧的度数为︒36，半径为cm 2，则该弧长度（精确到.1cm 0）为（） A ．.1cm 1 B ．.2cm 1 C ．.3cm 1 D ．.4cm 12．若半径为cm 5的一段弧长等于半径为cm 2的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（） A ．︒18 B ．︒36 C ．︒72 D ．︒1443．在半径为cm 12的圆中，︒150的圆心角所对的弧长等于（） A ．cm 24π B ．cm 12π C ．cm 10π D ．cm 5π4．已知弧长cm 4=l ，它所对的圆心角为︒120，那么它所对的弧长为（） A ．cm 33B ．cm 23C ．cm 36D ．cm 265．在半径为1的⊙O 中，弦1=AB ，则AB 的长是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 参考答案：1．C 2. D 3. C 4. C 5. C.解答题1．计算半径为cm 5，︒60圆心角所对的弧长l 。

2．半径为cm 2，︒36的弧的长度是多少？3．如图，大⊙1O 的半径A O 1是小⊙2O 的直径，⊙1O 的另一半径C O 1交⊙2O 于B ，求证：和的长相等。

4．如图，在圆心角为︒120所对应的的两端作切线AP ，BP 相交于点P ，⊙O 与AP 、BP 及都相切。

求证：⊙O 的周长等于的长。

5. 如图，两根圆柱形钢件，它们的半径分别为6dm 和2dm ，现用一根绳子把它们捆紧，问至少需要多长的绳子(不计绳子接头部分)?6. 已知⊙O 与⊙O ’的半径分别为R=8，r=2，圆心距O 1O 2=12，若用皮带把两圆连结起来，求皮带的长度． 参考答案： 1．cm π352．cm π523．连B O 2.设︒=∠n B AO 1，则︒=∠n B AO 22，设R A O =2，则R A O 21=，4．设⊙O 的半径为r ，⊙O '的半径为R ，连A O '，B O '，则︒='∠120B O A ，过O 作A O OE '⊥于E ，则r R E O -='，r R O O +='，︒=+-60cos rR rR r R 3=∴.⊙O 的周长r C π2=，5. 38328+πdm ; 6. 31212+π.钢管捆扎问题已知由若干根钢管的外直径均为d ，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度． 请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：当n=2时，L2=（π+2）d．当n=3时，L3=（π+3）d．当n=4时，L4=（π+4）d．当n=5时，L5=（π+5）d．当n=6时，L6=（π+6）d．当n=7时，L7=（π+6）d．当n=8时，L8=（π+7）d．猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）d．证明略．四色猜想世界近代三大数学难题之一“四色猜想”来自英国．1852年毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了下种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色．”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢?他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试．兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展．1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教．哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证．但直到1965年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决．1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题．世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战．1878年——1880两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想已经解决了．11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的．不久，泰勒的证明也被人们否定了．后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。