2014届西南模高三数学快速提升__________中档题(4)(学生)

2014届西南模高三数学快速提升__________中档题（4）
1.在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且
8AB AC ⋅=≤≤，4S
(1)求x 的取值范围；
(2)就(1)中x 的取值范围，
求函数2
2()()2cos 4
f x x x π
=+
+最小
值．
2.已知函数42
()(1)1
x f x x x R x -=
≠-∈+，，数列{}n a 满足 1(1)a a a a R =≠-∈，，*1()()n n a f a n N +=∈．
(1)若数列{}n a 是常数列，求a 的值； (2)当14a =时，记*2
()1
n n n a b n N a -=∈-，
证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式n a ．
3. 已知函数21()log (01)1
a
m mx
f x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式
有意义的实数x 的集合)．
(1)求实数m 的值，并写出区间D ；
(2)若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3)当[)x A a b ∈=，(A D ≠
⊂，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b
、的值．
4.已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d
，且21d d =
(1)求动点P 所在曲线C 的方程；
(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；
2014届西南模高三数学快速提升_________中档题（4）答案
1解 . (1)∵8BAC x AC AB ∠=⋅=，
，4S ≤≤ 又1
sin 2
S bc x =
， ∴cos 84tan bc x S x ==，，即
1tan x ≤≤． ………4分 ∴所求的x 的取值范围是
4
3
x π
π
≤≤
. ………
(2)∵
4
3
x π
π
≤≤
，
2
2()()2cos 4
f x x x π
=+
+
2cos 21
2sin(2)16
x x x π
=++=++，
9分
∴
252366x πππ≤+≤
，1sin(2)26x π≤+≤. 11分
∴min max ()()2()()134
f x f f x f ππ
====，. 14分
2.解 (1)∵*1142
()()1
n n x f x a a a f a n N x +-===∈+，，（），数列{}n a 是常数列， ∴1n n a a a +==，即42
1
a a a -=+，解得2a =，或1a =． …
∴所求实数a 的值是1或2．
(2)∵*12
4()1
n n n a a b n N a -==
∈-，， ∴111142
2
21222423131
11
n n n n n n n n n a a a a b b a a a a +++---+-====----+，，即*
12()3n n b b n N +=∈．…分
∴数列
{}
n b 是以123
b =
为首项，公比为23q =的等比数列，于是
1*222
()()()333
n n n b n N -=
=∈． 由21n n n a b a -=-，即22()13n
n n a a -=-，解得*2
()2
3
()2()13
n n n a n N -=∈-． 6分
∴所求的通项公式*2
()2
3()()13
n n n a n N -=∈-．
3.解 (1) ∵()y f x =是奇函数，
∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121log log 011a
a m mx m mx
x x
---++=+-
化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间)， 必有
2
2
10
(21)10
m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1m =． ∴1()log (11)1a
x
f x D x
-==-+，，． (2) 当1a >时，函数1()log (11)1a
x
f x D x
-==-+在，上是单调减函数． 理由：令12
111x t x x
-==-+++． 易知1x +在(11)D =-，上是随x 增大而增大，2
1x
+在(11)D =-，上是随x 增大而减小，
故12
111x t x x
-==-+++在(11)D =-，上是随x 增大而减小． 8分
于是，当1a >时，函数1()log (11)1a x
f x D x
-==-+在，上是单调减函数． 10分
(3) ∵[)A a b D ≠
=⊂，，
∴
011a a b <<<≤，． 11分
∴依据(2)的道理，当01a <<时，函数1()log 1a
x
f x A x
-=+在上是增函数， 12分
即
1()1log 11a
a
f a a
-==+，，
解
得
(
21
)
a a =舍去． 14分 若1
b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为1[1log )1a b
b
-+，
，不满足函数值组成的集合是[1)+∞，的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)
∴必有
1b =． 16分
因此，所求实数a b 、
的值是11a b ==、． 4.解
(1)
设
动
点
为
()P x y ，，
1分
依据题意，有
=
，化简得2212x y +=． 因此，动点P 所在曲线C 的方程是：2
212
x y +=． 4分
(2) 点F 在以MN 为直径的圆的外部．
理由：由题意可知，当过点F 的直线l 的斜率为0时，不合题意，故可设直线l ：1x my =-，如图所示．
联立方程组2
212
1x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可化为22(2)210m y my +--=， 则点112
2()()A x y B x y ，、，的坐标满足1221222212m y y m y y m ⎧
+=⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
． 又1AM l ⊥、
1BN l ⊥，可得点1(2)M y -，、2(2)N y -，．
点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．
因
1(1)FM y =-，，
2(1)
FN y =-，，则
12(1)(1)1F M F N y
y y y
⋅
=
-⋅-=
+，，
=2
2
102m m +>+． 于是，MFN ∠为锐角，即点F 在以MN 为直径的圆的外部．。