第一章_行_列_式_(修改)
《第一章行列式》
第一章 题型1.1利用行列式的性质和按行（列） 行列式展开定理计算行列式例1 （1996年，1, 2） 4阶行列式 (A) a 1a 2a 3a 4 — b 1b 2b 3b 4(C) aE-0b 2 a 3〉4 也屁 a 1 0 0 0 a2 b 2 0 b3 a 3 b4 0 0 (B) a 1a 2a 3a 4(D) (a 2a 3 -a 4 bi 0 0 b^bAb 2bs a 〔a 4 -bib4 答案：D 分析：考虑到行列式的零元素比较多，可根据行（列） 开计算 详解：按第一行展开得 展开定理直接按第一行展a 2b 2 0 原式=a 1 b 3 a 3 0 -b 〔 0 0 a 40 0 b 4 a 2 b 3 0 b 2 a 3 0 a 2 =a 〔a 4 b 3 b 2 a 3 - bma 2b 2b 3 a 3 题型1.2利用行列式和矩阵的运算性质计算行列式 例 1 （1988 年，1）设 4 阶矩阵 A=（a,「2,r 3,r 4 ）B =伊，「2,「3,「4）,其中 a,B,r 2,r 3,r 4均为四维歹0向量，且已知行列式|A=4, 答案：40 A + B=[a +、2?2,2?3,2*],于是仕+目= =8。
戏,匕,丫3尸4详解因为 =8(|「，2, 3, 4 评注1应当注意矩阵运算与行列式运算的差异, 评注2作为解题技巧，本题也可令A = 一4 〔0 0 _0 1 0 0 足题设条件，丁是同样可得到正确答案，即 I T ：, 2, 3, 4。
+0,2夺4| |) =8(| A + B|) = 40 般来说 #|A+|B 0 0 1 0 01 0 0 1 一1 I 。
0 -0 0 1 0 0 0 0 1 0 01 0 0 1 ，则A,B 满 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 00 2=40例2 （2005年，1）设«1«2«3均为三维列向量，记矩阵 1,・ 2, A = (%,C (2,C (3 ), B =(% +a 2 +0(3,% 十夕2 + 40(3,0(1 十四2+ 弘3),如果 A =1 ,一2 =a21、：1 ■ 322上2, a 2n 、：n , ：m =a m1：1 ' a m1： 2’a mn 「n ，A +B 彳=.答案：3 详解： A + B 「=A （B+A 」）B [ = |A|A 4 + B ||B"1=3题型1.3利用秩、特征值和相似矩阵等计算行列式例1 （1995年，1）设A 是n 阶矩阵，满足AA 「= E （E 是n 阶单位矩阵,A 是A 的转置矩阵），A <0 ,求A + E分析：已知矩阵等式 AA 「=E 求抽象矩阵A + E 的行列式，自然想到要利用此等那么B =答案：2 分析 即可 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算 详解 B =(：• 1 r 2 y 3, ； 1 • 2； 2- 4 3, 1 3 2 ' 9-3) 1 1 1 1 2 3 1 4 9_ 由题设，有 / 、（：1,： 2,： 3）丁是有B = A • =1 2 =2 详解 用行列式性质对列向量组化简得 B = ：、•「2 •「3,；1 2- 2 4「3,；1 3： 2 9 3 =E +c （2 +c （3,a 2 03,2^3 =2%,叫华 1本题相当丁矩阵B 的列向量组可由矩阵 股地，若 〜+为+幺户2+83*2+女=2评注 将其转化为用矩阵乘积形式表示。
第一章 行列式
第一章 行 列 式I 考试大纲要求1、考试内容：行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理。
2、考试要求：1）了解阶行列式的概念，掌握行列式的性质；2）会用行列式的性质和展开定理计算行列式。
II 重要知识点一、排列与逆序1、级排列：由个数组成的一个有序数组称为一个级排列或称元排列，级排列共有个。
2、逆序：在一个排列中，如果两个数的前后位置与它们的大小次序相反，即排在前面的数比后面的数大，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列中逆序的个数称为此排列的逆序数．用表示排列的逆序数。
排列的逆序数由其中每一个数所引起的逆序个数相加而得到。
若排列的逆序数是奇数，则称该排列为奇排列；逆序数为偶数，则称之为偶排列。
3、对换：把一个排列的某两个数的位置相互调换，其余各数不动，得到一个新的排列，这种调换称为一次对换。
4、有关排列和逆序的几个重要结论1）对换改变排列的奇偶性。
2）在全部的级排列中，奇排列和偶排列各占一半，各为个。
3）任意一个级排列经过若干次对换可变为自然顺序排列，且所作的对换次数与排列的奇偶性相同。
二、阶行列式1．行列式的定义二阶行列式的定义：三阶行列式的定义：阶行列式的定义：这里，是对所有级排列求和．故行列式等于取自不同行、不同列的个元素的乘积的代数和．每一项的正负号取决于组成该项的个元素的列标的逆序数(当其行标按自然顺序排列时)．即当是偶排列时，取正号，当是奇排列时，取负号．由于级排列共有项，所以阶行列式共有项．2、行列式的性质性质1 行列式的行和列互换，其值不变。
即行列式与它的转置行列式相等，。
性质2 用一个数乘以行列式的某一行(列)的各元素，等于该数乘以此行列式。
或者说行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式的前面。
推论 若行列式的某行(列)的元素全为零，则该行列式等于零。
性质3 如果行列式中某行(列)中各元素均为两项之和，则这个行列式等于两个行列式的和。
即：性质4 交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式的正负号改变。
线性代数(江西高校出版社)第一章习题课
D1 ai1 Ai1
ai1 Ai1
ai , j 1 Ai , j 1 aij 1 Aij ai , j 1 Ai , j 1
ai , j 1 Ai , j 1 aij Aij ai , j 1 Ai , j 1
ain Ain
7
24 A 24 24 4 12 7 180 .
2
【方法归纳】 本题属于抽象型行列式的计算问题，
求
解的关键是灵活运用行列式的基本性质.
13
1
x
x2
x n1
1
例7 设 P x 1
a1
a2
a12
a22
a1n1
a2n1 ，其中 a1 , a2 ,
30
2
1
2
2
2
3
n 1
1
n 1
2
n 1
3
1 an1 an21
, an1 是
ann11
互不相同的数.
(1)由行列式定义，说明 P x 是一个 n 1次多项式；
(2)由行列式性质,求 P x 0 的根.
14
解 (1)因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，
所以若
按行列式的第一行展开，
含有 x n1 的对应项的系数恰为
a1 j 1
a2 j 1
a1n
a2 n
an1
anj 1
ann
，
将D1按第j列拆分成两个行列式，再把第二个行列式按第j列
展开，得
19
D1
a11
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2 n
第一章 行列式 S3 行列式按行(列)展开
得
aaiijj
0
0
0
0
a1, j
a11
a1, j1
a1, j1
a1n
D (1)i1(1) j1 ai1, j ai1, j
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
anj
an1
a a n, j1
n, j1
aij (1)(i j)2 Mij aij (1)i j Mij aij Aij
11
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
17
假设（1）对于 n 1阶范德蒙行列式成立，
对(1)式，由下而上依次从每一行减去上一行的x1倍，得
定理2 n(n≥2)阶行列式的任一行（列）元与另一行（列）对应 元的代数余子式乘积之和为零。即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 或
a1 j A1t a2 j A2t
n
ain Akn ais Aks 0, (i k, i,k 1, 2, ,n) s1
n
anj Ant asj Ast 0, ( j t, j,t 1, 2, ,n) s1
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
线性代数第一章行的列变换
列倍乘
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍乘
1&2&3 4&5&6 7&8&9
列倍乘
01
end{bmatrix}$
02
乘以2得到
$begin{bmatrix}
03
列倍乘
2&4&6 14 & 16 & 18
THANKS
先求出原矩阵的行列式，然后求出 原矩阵的伴随矩阵，最后将伴随矩 阵的行列式除以原矩阵的行列式得 到逆矩阵。
初等行变换法
通过一系列初等行变换将原矩阵变 为单位矩阵，同时记录下每一步的 变换，最后得到逆矩阵。
06
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵按照某一 行展开，得到一个更 简单的方程组。
回代求解，得到方程 组的解。
8 & 10 & 12 end{bmatrix}$
列倍加
定义
将矩阵中的某一列加上另一个列。
公式
假设矩阵为$A$，要加上第$j$列得到新的矩阵$B$，则$B = A + A_{ j}$，其中$A_{ j}$表示第$j$列。
列倍加
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍加
1&2&3
1
4&5&6
行交换不改变矩阵的行列式值和秩。
行交换是可逆的，即交换任意两行后，可以通过再次交换这两行来恢复原始矩阵。
行倍乘
行倍乘是指将矩阵中的某一行 乘以一个非零常数。
行倍乘不改变矩阵的行列式值， 但会改变矩阵的秩。
第一章 行列式
第一章 行列式习题答案二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案1.计算下列二阶行列式 （1）23112=； （2）cos sin 1sin cos θθθθ-=；（3）1111121221212222a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b 1221122112211221a a a b b a b b （4）1112111221222122a ab b a a b b +1122112212211221a a b b a a b b2.计算下列三阶行列式（1）10312126231-=--；(2)11121322233233a a a a a a a 112233112332a a a a a a 1122332332a a a a a（3）a c bba cc b a3333a b c abc3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.123t 112217t（3）()()()12322524212n n n n ---当n 为偶数时，2nk ，排列为143425212221223412k k k k k kk k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 22(1)1313142n kkkkk kn其中11(1)(1)k k 为1434252122k k k k --+的逆序数；k 为21k与它前面数构成的逆序数；(1)(2)21k k为23,25,,2(21)k k kk 与它们前面数构成的逆序数的和；113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21nk ，排列为142345212223225412k k k k k kk k ++++++1122t k k(1)21k k 2213323432n kkkkk kn其中1122kk 为1423452122k k k k +++的逆序数；(1)21k k 为23,25,,2(21)kkkk 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22,,2k k与它们前面数构成的逆序数的和.4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5ij，()()23162431655t i j t ==为奇排列.5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -6.按定义计算下列行列式：（1）0001002003004000(4321)(1)2424（2）00000000000a c db (1342)(1)abcd abcd7. 求1230312()123122xx f x xxx-=的展开式中4x 和3x 的系数.4x 的系数为6；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x ，所以3x 的系数为(4231)(1)3(3)119t行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：（1）200819861964200919871965201019881966；解：32212008198619641110111r r r r D(2)123123123111a a a a a a a a a +++；解：2312323231(1)1111a a D a a a a a a a 各列加到第一列后提取公因式21312312331(1)0101r r r r a a a a a a 123(1)a a a（3）41232013201116011601110111031023500r r D213314116116(1)111027350818r r r 20（4）21120111011161126111211221110100c c D3141101100(1)26126116221223c c .（5）00100101D αβαβαβαβαβαβαβ++=++.()401100101D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++-+++ 32212D D D D D 4322342.证明：（1）011=++++=cb adb a dcd a c b d c b aD １１；证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有1111(1)01111a b c d a b b c a d b c Dabcd c d a b c d dabcda １１１１（2）33()ax by ay bzaz bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy ++++++=++++.证明：左式12axayazbybzbxay bzaz bx ax by ay bzaz bx ax by D D az bx ax by ay bzaz bx ax by ay bz=+++++++=+++++++311r br xy zx y z D a ay bzaz bx ax by a ay bz az bx ax byaz bx ax by ay bzazaxay-=+++=++++++23223r br x y z x y z x y z a ay bz az bx ax by a ay az ax a yz x zxyzxyzxy-=+++== 类似有1323322(1)r r r r yz x x y z D b zx y yz x xyzzxy ←−→←−→==-,所以33()ax by ay bzaz bxx y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy++++++=++++ 3.计算n 阶行列式（1）n D =ab b b b a bbb b a bb b b a...........................；各行加到第一行后提取公因式有：111...1...(1).....................nba b b D an b bba bb b b a211111 (10)0...0(1)00... 0...n r br r br ab an b ab a b1(1)n an b ab（2）12121212n na n a n D n a ++=+12(0)n a a a ≠.211212111212121211210012000nn nr r n r r r nr r a a nna na a a n a a aa a a a a a a -----+++++--==--1112221211n n n n i i a na ia a a a a a a a =⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 4.利用范德猛行列式计算：1111123414916182764D =.2222333311111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234==------=克拉默法则部分习题答案1.用克拉默法则解线性方程组（1）122313223(0)0bx ax abcx bx bc abc cx ax ；解：002350ba D cb abc ca，212023500ab a D bc c ba bc a22200350b ab D bc b ab c c a ，220250ba ab Dc bc abc c123,,x a x b x c（2）123412341234123432125323348246642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨-++-=⎪⎪--+=⎩.解：132125321734826164D --==----,1132135323444822164D --==----211212332034826264D --==---,3131125321734426124D ==---,132125338534846162D --==---12342,0,1,5x x x x =-===2.当λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++0 00433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解． 解：3410(1)(3)01D，（1）1且3时0D ，该齐次线性方程组只有零解。
第一章 行列式主要知识点网络图
11
例3 计算4阶行列式（加边法）
1+x 1 1 1− x 1 1 1 1 1 1 1 1
D=
1+y 1 1 1− y
,
解 显然当x=0或y=0时，D＝0，当x≠0和y ≠ 0时，利 x=0 y=0 D 0 x≠0 y 0 用展开定理，
1 1 0 1+x D= 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 x 1 0 1 0 1 0
n
i = j, i ≠ j. i = j, i ≠ j.
第1章
●定义法 ●递推法 ●加边法
计 算
●数学归纳法 ●公式法 ●拆项法 ●乘积法 ●析因子法
应 用
●克拉默法则 ●齐次线性方程组有非零解的充要条件
3
二、主要定理
1、行列式的展开定理.
第1章
a11
a12 ⋯ a1n
a21 a22 ⋯ a2n D= ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 an2 ⋯ ann
a11
0
⋯
0 0 ⋮
a22 ⋯ a2n a21 a22 ⋯ = ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 ⋯ ann
an1 an2 ⋯ ann
= a11a22 ⋯ann .
0 0 D= ⋮ ⋯ 0 a1n a11 a12 ⋯ a1n ⋯ a2n−1 a2n a21 a22 ⋯ 0 = ⋰ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋰ ⋮ an1 0 ⋯ 0
1-x 1 1 = -1 0 −x 0 0 1 1+y 1 -1 0 0 y 0 1 1 1-y -1 0 0 0 −y
12
1 1
1
1
1 0 = x2 y2. 0
0 x 0 0 = 0 0 -x 0 0 0 0 0 0 0
第一章-行-列-式---实验教学示范中心(精品文档)
第一章 行 列 式【课题】 第1 讲 排列及其逆序数、n 阶行列式的定义【学时数】 2【教学目的】1.理解排列及其逆序数的概念；2.熟练掌握二、三阶行列式的计算【教学重点】 二、三阶行列式的计算 【教学难点】 三阶行列式的展开式 【教学过程】§1.1 排列及其逆序数一、 排列与逆序的概念1、排列问：现在给 4,3,2,1，四个数字，能够组成多少个没有重复数字的四位数？42!4=个，4231就是一个，且是一个排列，1234称为标准排列．下面一般的给出定义定义 1.1.1 由,,2,1 n 这n 个数组成的一个有序数组称为一个n 阶排列，记为n p p p 21，其中排列n 12称为标准排列.n ,,, 21的n 阶排列共有 ()()1221!n n n n --⋅= 个.2、逆序数 定义1.1.2逆序 在一个n 阶排列中，当某二个数，较大的排在较小的前面，则称这两个数有一个逆序，逆序数 这个n 阶排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数.排列n p p p 21的逆序数记为()n p p p 21τ偶排列 当逆序数为偶数时，称这个排列为偶排列，奇排列 当逆序数为奇数时，称这个排列为奇排列.若()n i p i ,,3,2 =的前面有i t 个比它大的数，就说i p 的逆序数是i t . 则排列n p p p 21的逆序数为： ∑==+++ni i n t t t t 232 .例1 ()5031142315=+++=τ， 是奇排列； ()8331153412=+++=τ， 是偶排列； 问：()123450τ= ， 是偶排列.()012=n τ 是偶排列. 标准排列的逆序数为0.二、 对换及性质对换 在排列中, 对调任意两个元素, 其余元素位置不变, 而得到新排列的做法叫做对换，相邻两个元素的对换, 叫做相邻对换.现看 ()5031142315=+++=τ→()4021141325=+++=τ 为偶排列()8331153412=+++=τ→()9332154312=+++=τ 为奇排列性质1 一个排列中，任意对换两数，则排列改变奇偶性. 证 （见书 略）性质2偶排列变成标准排列的对换次数为偶数， 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数.例如 32154−−−→−对换3,112354−−−→−对换，4512345 证 （可略） 因为标准排列的逆序数为0，是偶数，再由定理1.1.1知对换一次，奇偶性改变一次，从而偶排列变为偶排列，其对换次数应为偶数，奇排列变为偶排列，其对换次数为奇数.§1.2 n 阶行列式的定义一、 二阶与三阶行列式1、二阶行列式用消元法解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+.,22221211212111b x a x a b x a x a （1）为消去未知数2x ,以第一个方程乘以22a 减去第二个方程乘以12a ,得()122221*********a b a b x a a a a -=-，类似地可消去1x ,得 ()211112*********a b a b x a a a a -=-， 当021122211≠-a a a a 时,求得.a a a a a b a b x ,a a a a ab a b x 211222112111122211222111222211--=--=(2)为了便于记忆,引入下面定义.定义1.2.1 由四个数22211211a ,a ,a ,a ,排成二行二列 (横排为行,竖排为列) 的数表22211211a a a a 所确定的表达式 21122211a a a a - 称为二阶行列式,记为2112221122211211a a a a a a a a D -==. (3)其中数()2,1;2,1==j i a ij 称为行列式(3)的元素,第一个下标i 称为行标, 第二个下标j 称为列标, 数ij a 表示是位于行列式的第i ,第j 列的元素.如图1.1中11a 至22a 的实联线称为主对角线, 12a 至21a 虚联线称为副对角线,于是二阶行列式的值等于主对角线上两个元素的乘积减去副对角线上二个元素的乘积, 这种计算方法称为二阶行列式的对角线法则.图1.1例1 计算二阶行列式 ()194155223＝＝＝---D .利用行列式的定义, (2)式中的分子也可写成二阶行列式,即.,221111211112222121212221b a b a a b a b a b a b b a a b =-=-若记 2211112222121122211211a ,,b a b D a b a b D a a a a D ===, 则(2)式, 即方程组(1)的解可写成.a a a a b a b a DDx ,a a a a ab a b DDx 22211211221111222221121122212111====注意, 这里的分母D 是方程组(1)中的未知数的系数按原次序排列而成的二阶行列式,1D 是用常数项21b ,b 替换D 中1x 的相应系数2111a ,a 而得到的二阶行列式, 2D 是用常数项21b ,b 替换D 中2x 的相应系数2212a ,a 而得到的二阶行列式.例2 解二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+.x x ,x x 642532121 解 由于31122140;24D ==--=-≠-()15120614;64D ==---=---235181028;26D ==--=--所以 ==D D x 1111414=--, 2142822=--==D D x . 下面类似的定义三阶行列式. 2、三阶行列式定义1.2.2 由932=个数排成三行三列的数表333231232221131211a a a a a a a a a (4)并记 111213212223313233a a a D a a a a a a =112233132132122331132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- (5)则(5)式称为数表(4)所确定的三阶行列式.三阶行列式所含6项的元素及符号可按图1.2记忆，即三阶行列式的值等于各实线上三个元素乘积之和减去各虚线上三个元素乘积之和. 这种计算方法称为三阶行列式的对角线法则.图1.2例3 计算三阶行列式2600)12(0)10(24601540321=----+-+=-=D从三阶行列式的展开式中，我们看出有如下的规律（现只用三阶行列式说明）： （1）三阶行列式是一个数，它为3！=6项的代数和.（2）每一项都是三个元素的乘积，这三个元素是取自不同行及不同列的元素，且每行每列只能有一个元素.（3）对于项321321p p p a a a ，其中321p p p 为数321,,的一个全排列，当()321p p p τ为偶数时321321p p p a a a 前面取正号；当()123p p p τ为奇数时321321p p p a a a 前面取负号；这样三阶行列式的每一项可以写成()321321321)(1p p p p p p a a a τ-.所以, 三阶行列式可写成()()3213213213332312322211312111p p p p p p a a a a a a a a a a a a τ∑-=.二、 n 阶行列式的定义定义1.2.3 由2n 个数, 排成n 行n 列的数表nnn n nn a a a a a a a a a212222111211并记()121211121()2212212121n n n p p p n p p np n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑. (6)称此式为上述n 行n 列的数表所确定的n 阶行列式.其中n p p p 21为n ,,, 21的一个排列，∑表示对一切n 阶排列求和；(6)式右边的和式称为n 阶行列式D 的展开式；显然D 的展开式中共有!n 项，其中每一项都是取自D 的不同行、不同列的n 个元素的乘积，而且每个乘积项前面所带符号的规律为：当逆序数()n p p p 21τ为偶数时取正号，而当逆序数()n p p p 21τ为奇数时取负号.行列式有时简记为()ij a D det =, ()n ,,,j ;n ,,,i a ij 2121==表示行列式D 中第i 行第j 列的元素.特别的, 当1=n 时，1111a a =称为一阶行列式，注意不要与绝对值记号相混淆. 主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角行列式. 例4 证明下三角行列式nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a D2211321333231222111000000==. 证 由行列式定义，其展开式的一般项为 n np p p a a a 2121,在D 中，第一行只有11a 可能不为0，则取11=p ；第二行中，只有2122,a a 可能不为0，而11a 已经取了，所以21a 不能取(与11a 同列)，故只能取22a ，即22=p ；这样继续下去，D 中可能不为0的项只有一项 ()()n 121τ-nn a a a 2211.又由于()012=n τ为偶数，符号取正，所以得nn a a a D 2211=.例如D =12053425102032100430002=•••=同理有上三角行列式nn nnnna a a a a a a a a a a D22112232211312110==.类似可推得nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a D 1,2,321,11,12,13,12,131,32,321,210000000000000------------=.a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n 1231212)1(1211112232221111131211)1(00000000 --------==主对角线以上和以下的元素都为0的行列式叫做对角行列式. 由上(下)三角行列式计算方法,可直接得n nλλλλλλ2121=；()()n n n nλλλλλλ2121211--=.从n 阶行列式定义知，其任一项由n 个元素相乘构成，而乘积有交换律. 如果把该项的列标的排列n p p p 21经过k 次对换变成标准排列n 12.这时其相应的行标排列n 12也经过k 次的对换后变成n s s s 21，即有n np p p a a a 2121=n s s s n a a a 2121.又由定理1.1.2知()n p p p 21τ与()n s s s 21τ有着相同的奇偶性，则有n n np p p p p p a a a 212121)()1(τ-n s s s s s s n n a a a 21)(2121)1(τ-=.这样，可以给出n 阶行列式的另一个定义.定义1.2.3′ n 阶行列式定义为∑-==n s s s s s s nnn n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(2122221112112121)1(τ.小结：本次课我们学习了排列及其逆序数的概念及的定义，重点要掌握二阶和三阶行列式的计算。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
(C)0, 2
(D)0,1
解 按 三 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则 得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ， 则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（ ）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解 按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章 行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （ ）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （ ）．
分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
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n − 1 个，故由行列式的定义可知，不同行不同列的 n 个元素相乘必为零，所以行列式为零。 a11 a12 a13 a14 a15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 0 0 0 = 0。 例 1.3 由行列式定义证明： D = a31 a32 a 41 a 42 0 0 0 a51 a52 0 0 0
1+ 2
1 1 −1 1 0 −1 (− 2 x ) 3 3x 1 = 2 x 3 3x − 3 1 = 2 x(3x − 3)(x + 1) ， 1 1 x 1 0 x
故 x 3 的系数为 6. 例1.2 证 试证如果 n 阶行列式 D 中等于零的元素个数超过 n 2 − n ，则行列式为零.
因为 n 阶行列式中共有 n 2 个元素，而已知超过 n 2 − n 个元素为零，则非零元素个数最多
y x # 0 0
0 y # 0 0
" 0 0 " 0 0 # # 。 " x y " 0 x
解：
此题因为零元素较多，故可通过降阶来计算行列式。按第一列展开可得
x Dn = x(− 1)
1+1
y % % Biblioteka x+ y (− 1)
n +1
y x
y n +1 n n = x + (− 1) y 。 % % x y
1
线性代数学习指导 － Unit 1 行列式
常用公式：
a11 " a1k " " " a " akk D = k1 c11 " c1k " " " cn1 " cnk
a11 " a1k b11 " b1n = " " " " " " = D1 D2 b11 " b1n ak1 " akk bn1 " bnn " " " bn1 " bnn
线性代数学习指导 － Unit 1 行列式
第一章
一、 内容提要：
行 列 式
行列式与同学们过去所熟悉的各种运算式都不同，是一种独特的“块状”运算式，其精髓在于 元素排列所形成的内在关系，可谓“方寸之间，气象万千” 。因此，首先必须理解和掌握这种运算式 所特有的定义和性质；其次是熟悉一批典型的例题及其算法，尤其是注意学会分析和利用行列式元 素排列的规律性。 1、排列与逆序： 由 1,2, " , n 个不同元素排成一行，称为这 n 个元素的一个排列,全部的排列个数为 n! .其中称
证 由行列式定义，5 阶行列式的展开式中任意一项为 (− 1)
t ( j1 j2 j3 j4 j5 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3 a4 j4 a5 j5 由于
j3 , j 4 , j5 中至少有一个数取到 3、4、5 中的某一个，再由 D 中元素的特点，说明 a3 j3 、 a4 j4 a5 j5 中
12" n 为标准序；一个排列若某两个元素的排列次序与标准序不同，就称为一个逆序；排列中
逆序的总数称为该排列的逆序数，逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排 列，一个排列经过一次元素对换，排列的奇偶性改变一次。 2、行列式的定义：
D=
a11 a21 # an1
a12 " a1n a22 " a2 n = ∑ (−1) t a1q1 a2 q2 " anqn # % # an 2 " ann
k 1 例 1.6 计算行列式 D 4 = 1 1
1 k 1 1
1 1 k 1
1 1 。 1 k 1 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 ＝ 1 k
解: D4
r1 + r2 + r3 + r4
k +3 k +3 k +3 k +3 k 1 1 1 ＝ ( k + 3) k 1 1 1 k 1 1 1
= ∑ (−1)t a p11a p2 2 " a pn n = ∑ (−1)t1 +t2 a p1q1 a p2q2 " a pn qn
常用公式：
a11
a12 " a1n a22
a11 " a2 n a21 = # % # ann an1
a11 a22 = # % an 2 " ann a1n = a 2 n −1 $ # a n1 " a n n −1
∑A
j =1
5
2j
＝
∑1 ⋅ A
j =1 2j
5
2j
，可视为按第三行展开，却乘了第二行相应元
素的代数余子式，根据拉普拉斯定理，知
∑A
j =1
5
= 0。 2a13 2a33 ，则 D1 = 2a23
a11 例 1.5 如果 D = a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 2a11 2a12 a 23 = M ≠ 0 ， D1 = 2a31 2a32 a33 2a21 2a22
1 1 1 1 0 k −1 0 0 ri − r1 ( k + 3) = ( k + 3)( k − 1) 3 。 i = 1,2,3 0 0 0 k −1 0 0 0 k −1 a x 计算 n 阶行列式 Dn = " a a x a
" a " a 。 " " x
例1.7
解 1：考虑到每一列元素之和相等，故将其余行全加到第一行，提出 x + (n − 1)a 后，化简得
×⎜ ⎜−
⎛ ⎝
1 0 1⎞ ⎟ ，都加到第 1 列，则可有： D = 0 y⎟ ⎠ 0 0
x1 + 1
2
1 1 x 0 0 −x 0 0 0 0
x1 x2
2
例1.10 计算 n 阶行列式 Dn =
x2 x1 # xn x1
" x1 xn x2 + 1 " x 2 x n 。 # # # 2 xn x2 " xn +1
(D )
。
( A)
2M ；
(B ) －2 M ；
3
(C )
8M ；
(D ) －8 M 。
线性代数学习指导 － Unit 1 行列式
分析：因为 D1 是 D 的每个元素都乘以 2，第二行与第三行对调而成。又因 D1 、 D 都是三阶行 列式。故 D1 = −8 D = −8M ，因此选 (D ) 。
r − r (i = 2,3, 4,5) i 1
1 −1 −1 −1 −1
1 1 x 0 0 −x 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 y 0 0 −y
当 xy = 0 时，显然 D = 0 。不妨设 xy ≠ 0 ，将第 2 列×
1 1 1 ，第 3 列× (− ) ，第 4 列× ，第 5 列 x x y 1 1 0 0 0 0 = x2 y2 y 0 0 −y
x + (n − 1)a a Dn = # a
x + (n − 1)a " x + (n − 1)a x a " # # # a " a
1 1 " 1 1 1 1 " a x " a x−a =[ x + (n − 1)a ] =[ x + (n − 1)a ] % # # # a a " x x−a
二、主要计算、证明题：
z z z z z 直接利用行列式定义或性质导出行列式的值； 利用性质将行列式简化成上（或下）三角形来计算行列式的值； 按照行列式的某一行（或列）展开，逐次降阶，或者将行列式升阶，算出行列式的值； 利用递推公式、数学归纳法、范德蒙行列式等方法计算行列式的值； 利用 Cramer 法则求解非齐次线性方程组；判断齐次方程组是否有非零解。
至少有一个元素为零，这样展开式中任意项都为零，因此 D = 0 .
2 −1 6 0 例 1.4 设 D = 1 1 5 10 −2 6
9 4 5 3 1 2 5 1 1 1 ， Aij 为 D 中 a ij 的代数余子式，则 ∑ A2 j =__0__ 。 j =1 0 −5 −3 7 0 −7
分析： D 中第三行全是 1,故
例1.9
1+ x 1 1 1 1 1− x 1 1 计算 4 阶行列式 D = 1 1 1+ y 1 1 1 1 1− y
解 此题可采用升阶法解，所谓升阶法是指根据行列式的特点，对行列式添加一行及一列，构 成一个高一阶的行列式，且保持它们的值相等。
1 1 1 1 1 0 1+ x 1 1 1 D= 0 1 1− x 1 1 0 1 1 1+ y 1 0 1 1 1 1− y
O
4、余子式、代数余子式概念； 行列式按一行（列）展开法则： n 阶行列式 D 的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子 式的乘积之和，等于 D 的值。 行列式某一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式之积的和等于零。 归纳成下面的 Laplace(拉普拉斯)定理：
∑a
j =1
n
ij
⎧D i = k ； Akj = ⎨ ⎩0 i ≠ k
T
a22 % ann a1n a2 n # a nn
= ∏ ai i ，
i =1
n
a1n a 2 n −1 $ a n1 =
a11 " a1 n -1 a 21 " a 2 n −1 # a n1 $
= ( −1)
n ( n −1 ) 2
a1n a2 n −1 " an1 。
3、行列式的五个性质及其推论： 性质 1 行列式与它的转置行列式相等，即 D = D ；