2-1 离散傅立叶变换DFT

结论
时域周期化，则频域离散化；
时域离散化，则频域周期化。 可见，以上4种形式的频谱,只有离散周期信号的频谱
函数可以由数字方法直接进行运算。 解决方法：离散傅立叶变换(DFT)。
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2.2 离散傅立叶变换(DFT)
问题： 序列只在0 k N-1范围非零，如何计算其频谱的离散值
N -1
1 x [k ] N
X [ m]
m 0

X [m]WN mk
0 k N - 1 IDFT
DFT
N -1
k 0
mk x[k ]W N
0 m N -1
记为： DFT正变换： X [m] DFT{x[k ]} DFT反变换： x[k ] IDFT X [m]} {
1 x[k ] N

m 0
N -1
X [ m] e
j
2 mk N
~[k ] R N [k ] x
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DFT的隐含周期性：
从三个方面来说明DFT具有隐含的周期性： (1)DFT和DTFT的关系上 (2)DFT和DFS的关系上 (3)由 W Nmk 的周期性
X ( j) x(t ) e- j t dt
X ( j)
-

x (t ) A
tA
-
t
2
t
2
t
2 t
2 t

(1)连续非周期信号的频谱 频谱特点：连续非周期谱
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(2)连续周期信号及其频谱
xT (t )
FS
n t At X (n0 ) Sa( 0 ) T0 2 x (t) T
的等间隔取样。
X [m] DFT{x[k ] } X (e j )

2 m N
, m 0,1,, N - 1
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DFT和DFS的关系：(截断)
X [ m]
x[k ] e
k 0
N -1
-j
2 km N
~ X [ m] R N [ m]
T
DN
WNN -1

2 WN ( N -1)
WNN -1 2 ( N -1) WN ( N -1) ( N -1) WN 1
1 1 D4 1 1
1 - j -1 j
1 -1 1 -1
1 j - 1 - j
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数字信号处理
原著： 北京交通大学电子信息学院 国家电子电工教学基地信号与系统系列课程组
改编：石家庄学院电气信息工程系
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第二章 离散傅立叶变换DFT
问题的提出(Discrete Fourier Transform) 信号的频域分析在信息技术领域广泛应用 为什么进行信号频谱的数值化分析? 1.许多实际信号不存在数学解析式 2.利用计算机数值计算,简单快捷
(1)连续非周期信号及其频谱 (2)连续周期信号及其频谱 (3)离散非周期信号及其频谱
(4)离散周期信号及其频谱
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(1)连续非周期信号及其频谱
x(t )
FT
X ( j ) At Sa(
t
2
)
1 x(t ) 2


-
X ( j ) e j t d

k
X ( e j )
X ( e j )
或
-



2

(3)离散非周期信号的频谱 频谱特点：周期为2，连续谱
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(4)离散周期信号及其频谱
~[k ] x
DFS
~ X ( m)
~[ k ] x
N -1 ~ ~ ~[k ] IDFS { X [m]} 1 x X [m] WN- mk N m 0
(2)如果是长序列(M点)做短点数N点DFT(M点,M>N)， 则将序列先N点周期化，再对序列取N点主值区间做N 点DFT。
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例：已知序列x1[k]={1,2,3}, x2[k]={1,2,3,4,5},分别对 x1[k] 、x2[k]进行4点DFT，实际是对哪些序列做4点
(4) x4 [k ] RN [k ]
0
0 N0 N - 1
(4) X 4 [m]
N 0 -1

k 0
mk 1 WN
e
-j

N
m ( N 0 -1)
sin(

N
N 0 m) m)
sin(
m 0,1,2... N - 1;

N
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(5) x5[k ] e
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第二章 离散傅立叶变换DFT
本章重点：
1.离散频谱(DFT)概念 2.DFT性质与计算 3.DFT应用(计算卷积、对连续信号的逼近)
4.Matlab程序实现
本章难点：
1.DFT与DTFT关系
2.信号频谱指标分析
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四种信号时域和频谱之间的关系
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(2) x2 [k ] [k - k0 ]
0 k0 N - 1
(2) X 2 [m]

k 0
N -1
mk [ k - k 0 ] WN
mk WN 0
[k - k ]
0 k 0
N -1
mk WN 0
m 0,1,2,...N - 1;
0 k0 N - 1
(5) x5[k ] e
j
2 N0 k N
0 N0 N - 1
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(1) x1[k ] [k ]
(1) X 1[ m]

k 0
N -1
mk [k ] WN
[k ]
k 0
N -1
1
m 0,1,2,...N - 1;
N -1 ~ mk X [m] DFS{~[k ]} ~[k ] WN x x k 0
N
k
~ X ( m)
或
~ X ( m)
(- )
0
1 2
3
m
m
0
1 2
( )
()
3
( )
N -1
(2 ) ()
(4)离散周期信号的频谱 频谱特点：周期为N的离散谱
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(3) x3[k ] 1 RN [k ]
(3) X 3[m] 1 W
k 0
N -1
mk N

1- e
-j
2 mN N 2 m N
1- e
-j
N 0
m0 m 1,2... N - 1;
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移，然后取主值序列。
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x[k ], N 5
2 k=1 3 k=2 k=0 1 k=3 k=4 5
0 1
2 3 4
k
x[(k )5 ]
4
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
k
x[(k 2)5 ]
4 k=1
5 k=2 k=0
3
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
k
x[(k 2)5]RN[k]
k=3
1 k=4 2
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(1)时域位移性质
DFTx[(k n) N ]RN [k ] W
(2)频域位移性质
- mn N
X [m]
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DFT矩阵
DFT矩阵形式为 X D N x, 其中
X X [0] x x[0]
1 1 1 1 1
1 WN 2 WN
X [1] x[1]
1
2 WN 4 WN

1
x[ N - 1] ,
T
X [ N - 1] ,
IDFT矩阵形式为
x D -1X, N
1 1 1 1 1
WN 1 WN 2
1
WN 2 WN 4
1
D-1 N

WN ( N -1)

WN 2( N -1)
WN ( N -1) 2 ( N -1) WN - ( N -1) ( N -1) WN 1
D
-1 N
1 DN N
用MATLAB产生DFT矩阵
dftmtx(N)函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
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x[k ] cos(2π rk / N ), N 16, r 4 利用MATLAB计算16点序列x[k]的16点和512点DFT
1 对比x[k ] N