数理逻辑习题课

数理逻辑习题课
1. 证明 0||PROP =ℵ证明：
}n ≤{|n i i PROP P P PROP =∈i P 令且的构造长度0PROP PS =，
易见1{|n i i n PROP P P PROP +=∈，或
i P n PROP 中的一个命题经过命题函数C 得到，或 由¬i P n PROP 中的两个命题经过命题函数得到
*C 由}
其中为、、C 。

*C C ∧C ∨→从而，，
00||PROP =ℵ10||||3*||*||3**n n n n PROP PROP PROP PROP +≤+=ℵ+ℵℵ=000ℵ0=ℵ
所以，
0000||||***i i PROP PROP ∞
==≤ℵℵℵ∪ 又由于，故 PS PROP ⊂0||||PROP PS ≥=ℵ因此 0||PROP =ℵ
2. 证明以下命题永真
(()())()A B B C A C →∧→→→
(7)(6)→(4)(5)∧B C →A C
→A B C A B
→
T T T T T T T T T T F T F T F T T F T F T F F T T F F F T F F T F T T T T T T T F T F T F T F T F F T T T T T T F F F T T T T T
其中(i)指表格中第i 列所代表的公式
3. 证明以下命题可满足
()A B C →∧
^
()v P T =证：要证明上面的命题P 可满足，只要找到一个赋值v ，使得即可。

由观察可得，若时，(),(),()v A T v B T v C T ===^
()v P T =。

即原命题P 是可满足的。

或可从命题的中看出命题的所有成真指派：
-nf ∨∧()()()()
(()())(()())
()()()(A B C A B C
A C
B
C A C B B B C A A )
A B C A B C A B C A B C →∧¬∨∧¬∧∨∧¬∧∨¬∧∨∧∨¬∧¬∧¬∧∨¬∧∧∨¬∧∧∨∧∧
可以看到原命题有四种成真指派。

(),(),()v A F v B F v C T ===^
()v P T =。

如第一项表示时，
4. 求以下公式的和
-nf ∧∨-nf ∨∧(())P Q R P →→∧
解法一（真值表法）：
Q P Q →(4)R →(5)P ∧-nf ∨∧-nf ∧∨P R
T T T T T T
P Q R ∧∧
P Q ¬∨¬∨R
T T F T F F
P Q R ∧¬∧ T F T F T T P Q R ∧¬∧¬
T F F F T T P Q ∨¬∨¬R F T T T T F P Q ∨¬∨R F T F T F F P Q R ∨∨¬ F F T T T F P Q R ∨∨
F F F
T
F
F
由表知原命题的为
-nf ∨∧()()(P Q R P Q R P Q R ∧∧∨∧¬∧∨∧¬∧¬)) -nf ∧∨为
()()()()(P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ¬∨¬∨∧∨¬∨¬∧∨¬∨∧∨∨¬∧∨∨
解法二（等价转换法）：
(())(())(())(())()()
(()())(()())
()()()()()()()
P Q R P P Q R P P Q R P P Q R P P Q P R P P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R →→∧¬∨→∧¬¬∨∨∧∧¬∨∧∧¬∧∨∧∧¬∨¬∧∨∧∨¬∧∧¬∧∨∧¬∧¬∨∧∧∨∧¬∧∧¬∧∨∧¬∧¬∨∧∧ -nf ∨∧
(())(())()()(()())(()())()()()())R -nf (()())
()()()(()
P Q R P P Q R P P R Q R P
P R Q Q Q R P P P
P Q R P Q R P Q R P Q R P Q Q R R P Q R P Q R P Q R P Q P Q R →→∧∧¬∨∧∨∧¬∨∧∨∧¬∨∧¬∨∧¬∨∧∨∨∧∨¬∨∧∨¬∨∧¬∨¬∨∧∧¬∨∧¬∨∨∨∧∨¬∨∧¬∨¬∨∧∨¬∨¬∧∨∨¬ ∧∨
5. 在G 中证明'
()(A B A B )¬∨→¬∧¬A 证明： R ∨,,,,()()()()()
A A
B B A B A A B B A B A A B B A B A B A
A B B
A B A B A B A B ∨∨¬∨¬∨¬∨¬¬∨¬¬∨¬∧¬¬∨→¬∧¬A A A A A A A A A A R
→R
∧L
¬L
¬R ¬R ¬R ∨
6. 证明在中不可证，这里'
G ()P Q R ∨A →,,P Q R PS ∈
证明：反设在中可证，那么由的soundness 性质可知，()有效。

即对任何赋值， 。

()P Q R ∨A →'
G '
G P Q R
∨→v
()v P Q R ∨ B →然而可以找到赋值，使得当v
(),(),()v P T v Q F v R F ===时，。

矛盾！
(())v P Q R F ∨= →
()()(A B A B ¬∨¬∧¬
)7. 证明，即证明对任意赋值v ，有v ） A iff v B B B A B （要证明证明：对任意赋值，
v ()
(())(())()((),())()()(())(())()()((),())(()())()()
v A B iff v A B T iff H v A B T iff v A B F iff H v A v B F iff v A F and v B F
iff H v A T and H v B T iff v A T and v B T iff H v A v B T iff v A B T iff v A B ¬∨¬¬∧¬∨¬∨=∨=∨======¬=¬=¬¬=¬∧¬=¬∧¬B B
8. 在G 中导出规则MP ：
'
A
A B →A A A B
证：由引理1.3.4及→有
R A B A B
→A A
因此有推导树 A B
A
A B
B
→A A A A R →cut
9. 证明{,不是完备的。

}∧∨证明：反设{,是完备的，则可以由{,}∧∨}∧∨¬中的连接词构成的命题来表示。

即对任意原子公式，存在公式，P ,∧∨αα中只含有连接词，使得
P ¬α
此时对于任何赋值，有 v P ¬B iff v αB v
设为对α中出现的所有命题变项及P 都指派为T 的赋值，则以下对v α中连接词的个数做归纳可证明，即，这与,∧∨()v α=T ()v P F ¬=v αB m 矛盾。

P Q ∧Basis ，只能有或1m =P P α=∧或或或，由于
，则在赋值下有P Q ∨Q Q ∨P P ∨(),()v P T v Q T =()v T α==v 。

I.H. 设对任何m k ≤，总有
()v T α=Ind. Step 当时，只能有1m k =+12,αα12α=α∧α或12α=α∨α，其中中所包含的连接词的个数分别为和，于是有
1k 2k ,∧∨1211k k k +=++
故，由I.H.可知，，以及12,k k k ≤1()v α=T 2()v T α= ()v T α=故由或12α=α∧α12α=α∨α。

，有。