4.3.3余角和补角
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4.3.3余角和补角
西
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北
●B
40°
●A
东
南
典题精讲
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如图所示，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方
向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方
向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方
法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线. 北
射线OB的方向就是北偏东40°，● D
图中给出的各角，哪些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
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1.如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互 为补角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.
2 11 几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
∠1=180°-∠2
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图中给出的各角，那些互为补角？
2.识图填空： 如图所示，O是直线AB上的一点，
OC是∠AOB的平分线. (1)∠AOD的补角是_∠__B_O_D__. (2)∠AOD的余角是__∠__C_O_D___.
DC
A
O
B
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3.判断正误： (1)钝角没有余角,但一定有补角.( 正确 ) (2)一个锐角的余角一定比这个角大.( 错误 ) (3)若两个角互补,则一个为锐角,一个为钝角. ( 错误 ) (4)若一个角的余角是45°12′,则这个角的补角是
DE
F G 找出图中相等的角并说明理由。
答：∠AEF = ∠CFE，∠5 = ∠6。
理由如下：
∵ ∠AEF+ ∠4 = 180 °， ∠CFE+ ∠3 = 180 °，
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北
●B
40°
●A
东
南
典题精讲
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如图所示，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方
向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方
向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方
法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线. 北
射线OB的方向就是北偏东40°，● D
图中给出的各角，哪些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
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1.如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互 为补角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.
2 11 几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
∠1=180°-∠2
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图中给出的各角，那些互为补角？
2.识图填空： 如图所示，O是直线AB上的一点，
OC是∠AOB的平分线. (1)∠AOD的补角是_∠__B_O_D__. (2)∠AOD的余角是__∠__C_O_D___.
DC
A
O
B
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3.判断正误： (1)钝角没有余角,但一定有补角.( 正确 ) (2)一个锐角的余角一定比这个角大.( 错误 ) (3)若两个角互补,则一个为锐角,一个为钝角. ( 错误 ) (4)若一个角的余角是45°12′,则这个角的补角是
DE
F G 找出图中相等的角并说明理由。
答：∠AEF = ∠CFE，∠5 = ∠6。
理由如下：
∵ ∠AEF+ ∠4 = 180 °， ∠CFE+ ∠3 = 180 °，
4.3.3 余角和补角
85° 58°
45° 13° 27°37′ (90–x)°
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ (180–x)°
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_9_0_°__.
探究新知 知识点 2 余角和补角的性质
思考：∠1 与∠2， ∠1 与∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？
4.3 角
4.3.3 余角和补角
导入新知
如图坝底是由石块堆积而成， 要测出∠1的度数，你有什么简单 的方法吗？
要解决这问题，我们先来学习余角和补角.
素养目标
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解 决一些简单的实际问题.
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角 的性质，并能利用余角、补角的知识解决相 关问题.
AO
B
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD+∠COE = 1∠AOC+ 1 ∠BOC = 1(∠AOC+∠BOC ) =290°. 2
2
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
巩固练习
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B__O_E_，∠COD的余角是 _∠__C__O_E_、__∠__B__O_E___; （2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
1
2
3
= ∠2=180°–∠1
∠3=180°–∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等.
类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
4.3.3余角和补角的教案.3.3余角和补角
4.3.3 余角和补角教学目标：1、知识技能：（1）在具体的情景中认识一个角的余角和补角，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述；（2）掌握余角和补角的性质，并能初步进行简单的推理和计算。
2、过程与方法：进一步提高学生的几何语言表达能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行归纳。
3、情感态度与价值观：在具体的情景中，通过观察、交流、推理和归纳，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣。
学情分析：余角和补角是人教版七年级上册第4章《几何图形初步》第3节“角”中两个比较重要的基本概念，是后续学习图形与几何的预备知识。
通过对探索余角和补角的性质的学习，为今后证明角的相等提供了一种依据和方法。
在这之前学生已经学过角的相关概念、角的比较和度量，对角度之间的和差倍分运算、简单的几何语言有了初步的认识，推理证明过程的书写也有过初步的接触，但由于刚接触几何，对几何概念的理解和几何语言的书写还存在较多问题，对几何知识的运用还有一定的难度，普遍学生感到几何入门较难。
并且我班学生学习基础比较薄弱，识图能力较差，学生之间的基础知识、综合素质差异较大。
因此本节努力从学生最熟悉的情景入手，通过几何图形引入余角和补角的概念，然后通过做一做得到的结论推出余角和补角的性质，采取即时练习和分层练习，争取学生在原有的基础上能运用上述性质来解决问题，从而达到人人都有所收获的教学效果。
同时根据本班学生的特点和实际以及时间安排的关系，把课本例3安排在第二课时的综合练习中解决，重点难点：1、重点：余角和补角的概念和性质。
2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质并应用。
21教学过程： 一、 谈话导入：在前面我们学过了一些角，有些角两者之间有一定的联系，如在一幅三角板中，每一块都有一个角是90°，且另外两角为30°、60°和45°，45°那么它们两者之间有何关系呢？我们来学习4.3.3 余角和补角。
4.3.3余角和补角-方位角(教案)
在教学过程中，教师应关注以下细节，以确保学生理解透彻：
1.强化概念：通过多种方式（如图片、实物、动画等）展示余角和补角的概念，帮助学生形成直观的认识；
2.熟练运算：通过大量练习，让学生熟练掌握求余角和补角的方法，并能迅速准确地解答相关问题；
3.案例分析：结合实际案例，让学生了解方位角的应用，提高学生的实际操作能力；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余角、补角的性质和求法，以及方位角的表示方法。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余角、补角和方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器测量角度，这个操作将演示余角和补角的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角、补角和方位角的基本概念。余角是指两个角的和等于90度的两个角，补角是指两个角的和等于180度的两个角。方位角则表示物体相对于某一方向的角度。它们在几何、导航等领域具有重要应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，在地图上确定某一地点相对于北方的方位角，这个案例展示了方位角在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-余角的定义与性质；
-补角的定义与性质；
-求一个角的余角和补角；
-方位角的定义与表示方法；
-应用：利用余角和补角以及方位角解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察、思考和操作，使学生能够理解余角、补角和方位角的概念，形成空间观念；
2.提高学生的逻辑思维能力，让学生在求一个角的余角和补角的过程中，掌握推理和论证方法，发展演绎推理能力；
1.强化概念：通过多种方式（如图片、实物、动画等）展示余角和补角的概念，帮助学生形成直观的认识；
2.熟练运算：通过大量练习，让学生熟练掌握求余角和补角的方法，并能迅速准确地解答相关问题；
3.案例分析：结合实际案例，让学生了解方位角的应用，提高学生的实际操作能力；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余角、补角的性质和求法，以及方位角的表示方法。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余角、补角和方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器测量角度，这个操作将演示余角和补角的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角、补角和方位角的基本概念。余角是指两个角的和等于90度的两个角，补角是指两个角的和等于180度的两个角。方位角则表示物体相对于某一方向的角度。它们在几何、导航等领域具有重要应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，在地图上确定某一地点相对于北方的方位角，这个案例展示了方位角在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-余角的定义与性质；
-补角的定义与性质；
-求一个角的余角和补角；
-方位角的定义与表示方法；
-应用：利用余角和补角以及方位角解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察、思考和操作，使学生能够理解余角、补角和方位角的概念，形成空间观念；
2.提高学生的逻辑思维能力，让学生在求一个角的余角和补角的过程中，掌握推理和论证方法，发展演绎推理能力；
人教版数学七年级上册4.3.3：余角、补角的概念和性质(教案)
-难点在于将理论知识应用到解决具体问题时，如何识别问题中的余角和补角关系。
-难点在于在实际问题中灵活运用余角和补角的性质，进行角度的转换和计算。
举例：对于性质的掌握，可以通过以下步骤进行教学：
a.引导学生观察图形，直观感受余角和补角的关系。
b.通过具体例题，如“如果一个角的度数是40°，那么它的余角和补角分别是多少度？”，让学生尝试自己推导出答案。
另外，在学生小组讨论环节，虽然大部分学生能够积极参与，但仍有个别学生显得比较被动。为了提高这部分学生的参与度，我打算在接下来的课程中，多设计一些互动性强的活动，鼓励他们大胆发表自己的观点。
b.提供实际操作的机会，如让学生用量角器在纸上画出特定角度，并找出其补角或余角。
c.引导学生进行小组讨论，分享解题策略，以促进学生之间的相互学习和启发。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《余角、补角的概念和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要补全角度的情况？”比如，当我们用直角尺测量一个角度时，如何快速找出另一个角度的度数。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余角和补角的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我发现学生在案例分析部分表现得比较积极，能够跟着我的思路走。但在重点难点解析时，尤其是从角度和推导出补角或余角的度数这一部分，学生们的掌握程度不够理想。我意识到，对于这个难点的讲解，我可能需要再细化一些，用更简单易懂的语言和示例来进行解释。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的热情。通过分组讨论和实验操作，他们能够将所学的理论知识应用到实际问题中。但在讨论过程中，我也发现有些小组在问题的深入挖掘上还不够，可能需要我在今后的教学中多给予一些引导和启发。
-难点在于在实际问题中灵活运用余角和补角的性质，进行角度的转换和计算。
举例：对于性质的掌握，可以通过以下步骤进行教学：
a.引导学生观察图形，直观感受余角和补角的关系。
b.通过具体例题，如“如果一个角的度数是40°，那么它的余角和补角分别是多少度？”，让学生尝试自己推导出答案。
另外，在学生小组讨论环节，虽然大部分学生能够积极参与，但仍有个别学生显得比较被动。为了提高这部分学生的参与度，我打算在接下来的课程中，多设计一些互动性强的活动，鼓励他们大胆发表自己的观点。
b.提供实际操作的机会，如让学生用量角器在纸上画出特定角度，并找出其补角或余角。
c.引导学生进行小组讨论，分享解题策略，以促进学生之间的相互学习和启发。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《余角、补角的概念和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要补全角度的情况？”比如，当我们用直角尺测量一个角度时，如何快速找出另一个角度的度数。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余角和补角的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我发现学生在案例分析部分表现得比较积极，能够跟着我的思路走。但在重点难点解析时，尤其是从角度和推导出补角或余角的度数这一部分，学生们的掌握程度不够理想。我意识到，对于这个难点的讲解，我可能需要再细化一些，用更简单易懂的语言和示例来进行解释。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的热情。通过分组讨论和实验操作，他们能够将所学的理论知识应用到实际问题中。但在讨论过程中，我也发现有些小组在问题的深入挖掘上还不够，可能需要我在今后的教学中多给予一些引导和启发。
4.3.3_余角和补角教案
4.3.3_余角和补角教案
教学目标：
1、知识与技能：
⑴、在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。
⑵、了解方位角，能确定具体物体的方位。
2、过程与方法：
进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
3、情感态度与价值观：
体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。
重、难点及关键：
1、重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课的重点。
2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。
3、关键：了解推理的意义和推理过程是掌握性质的关键。
教学过程：
一、引入新课：
让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。
设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜。
二、新课讲解：
1、探究互为余角的定义：
如果两个角的和是90(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
即:1是2的余角或2是1的余角。
精心整理，仅供学习参考。
人教版数学七年级上册4.3.3余角和补角
4.3.3 余角和补角
情境引入
❖说一说
你知道一副三角尺中每一块三角尺中 各角的度数吗？
A D
B C
45°，45°，90°
E F
30°，60°，90°
1.互为余角的定义：
一般地，如果两个角的和等于90 °(直 角)，就说这两个角互为余角，简称两个角 互余.
∠1 =90°—∠2 几何语言表示为： 如果∠1+∠2= 90°， 那么∠1与∠2互余.
，
(2)请写出图中相等的锐角，
∠C= 42°，则∠A = ，理由是
.
一般地，如果两个角的和等于90 °(直角)，就说这两个角互为余角，简称两个角互余.
理由.请用一句话概括这一规律. 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，
如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°.
∠3 = 180°—∠4
第1组互余：
∠COD 和∠COE互为余角，
同理，第2组互余： ∠COD 和∠BOE互余， 第3组互余：∠AOD 和∠COE互余，
第4组互余：∠AOD 和∠BOE也互余. ∠AOD 和∠BOD互补，∠BOE 和∠AOE互补. ∠COD 和∠BOD互补，∠COE 和∠AOE互补.
训练提升
1.如图，点A、O、B在同一条直线上，
同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.
方向角为
.
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北
(南)偏东(西)××度.
通过这节课的学习，你有什么收获？
方向角为
.
(1) 射线 OA 表示的
∠AOD=∠COE=90°.
情境引入
❖说一说
你知道一副三角尺中每一块三角尺中 各角的度数吗？
A D
B C
45°，45°，90°
E F
30°，60°，90°
1.互为余角的定义：
一般地，如果两个角的和等于90 °(直 角)，就说这两个角互为余角，简称两个角 互余.
∠1 =90°—∠2 几何语言表示为： 如果∠1+∠2= 90°， 那么∠1与∠2互余.
，
(2)请写出图中相等的锐角，
∠C= 42°，则∠A = ，理由是
.
一般地，如果两个角的和等于90 °(直角)，就说这两个角互为余角，简称两个角互余.
理由.请用一句话概括这一规律. 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，
如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°.
∠3 = 180°—∠4
第1组互余：
∠COD 和∠COE互为余角，
同理，第2组互余： ∠COD 和∠BOE互余， 第3组互余：∠AOD 和∠COE互余，
第4组互余：∠AOD 和∠BOE也互余. ∠AOD 和∠BOD互补，∠BOE 和∠AOE互补. ∠COD 和∠BOD互补，∠COE 和∠AOE互补.
训练提升
1.如图，点A、O、B在同一条直线上，
同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.
方向角为
.
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北
(南)偏东(西)××度.
通过这节课的学习，你有什么收获？
方向角为
.
(1) 射线 OA 表示的
∠AOD=∠COE=90°.
人教版七年级上册数学4.3.3余角、补角的概念与性质(教案)
4.在小组合作交流中，提升数学交流、团队合作的能力，培养综合素质。
5.将余角、补角知识应用于生活实际，提高数学在实际生活中的运用意识，增强数学与现实联系的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点理解余角、补角的概念，掌握互余两角和互补两角的和分别为90°和180°。
-重点掌握余角、补角的性质，如余角相等、补角的各角相等，以及一个角的余角与补角之和是该角的2倍。
我还注意到，在实践活动和小组讨论中，学生们通过互相合作和交流，不仅加深了对知识点的理解，还提升了团队协作能力。看到他们积极展示自己的成果，我感到很欣慰。
然而，我也意识到在难点解析部分，可能需要更多的耐心和不同的教学方法。有些学生对角度的计算和应用性质解决具体问题感到吃力。在未来的教学中，我打算设计更多的阶梯式练习，帮助学生逐步克服这些难点。
-难点在于识别问题中的余角和补角关系，特别是在非标准情况下，如图形不直观或角度表示不明确时。
举例：在解决一个多步骤的问题时，如一个三角形内有两个角的度数未知，但知道其中一个角是另一个角的补角，学生需要先确定这两个角的关系，然后运用补角的性质求解。这个过程需要学生理解补角的定义，并能够将其与三角形内角和的性质相结合。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余角、补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对余角、补角的概念和性质的理解存在一些挑战。在讲解互余两角和互补两角的概念时，我注意到部分学生对于这些术语的定义感到困惑。为了帮助学生更好地理解，我采用了直观的图形演示和实际例子来说明，希望这样能够让他们在脑海中形成清晰的图像。
5.将余角、补角知识应用于生活实际，提高数学在实际生活中的运用意识，增强数学与现实联系的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点理解余角、补角的概念，掌握互余两角和互补两角的和分别为90°和180°。
-重点掌握余角、补角的性质，如余角相等、补角的各角相等，以及一个角的余角与补角之和是该角的2倍。
我还注意到，在实践活动和小组讨论中，学生们通过互相合作和交流，不仅加深了对知识点的理解，还提升了团队协作能力。看到他们积极展示自己的成果，我感到很欣慰。
然而，我也意识到在难点解析部分，可能需要更多的耐心和不同的教学方法。有些学生对角度的计算和应用性质解决具体问题感到吃力。在未来的教学中，我打算设计更多的阶梯式练习，帮助学生逐步克服这些难点。
-难点在于识别问题中的余角和补角关系，特别是在非标准情况下，如图形不直观或角度表示不明确时。
举例：在解决一个多步骤的问题时，如一个三角形内有两个角的度数未知，但知道其中一个角是另一个角的补角，学生需要先确定这两个角的关系，然后运用补角的性质求解。这个过程需要学生理解补角的定义，并能够将其与三角形内角和的性质相结合。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余角、补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对余角、补角的概念和性质的理解存在一些挑战。在讲解互余两角和互补两角的概念时，我注意到部分学生对于这些术语的定义感到困惑。为了帮助学生更好地理解，我采用了直观的图形演示和实际例子来说明，希望这样能够让他们在脑海中形成清晰的图像。
人教版初中数学七年级上册第四章4.3.3余角和补角
O
60°
上发现了客轮B.仿照表示灯塔方位的方法，
A
画出表示客轮B方向的射线.并说出你是怎样画出的.
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分 别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D方向的射 线.
如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东 60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船 在它的北偏东30°方向，你能从图中确定这艘船的位置吗？
练习 ： 看谁答得快:
∠α
∠α 的余角
∠α 的补角
30° 54° 90°
62°23′
ⅹ
60 °
150 °
36 °
126 °
00
另 比余外角：大同，（等并9）且0 °角大的90补°角
27 ° 37 ′
117 ° 37 ′
90 x
同一个角的余角和补角什么关系？
1、动手画一画:
1）已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
样的角称为方位角.
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体 的方向． 即用“北偏东多少度”“北偏西多少度” 或者“南偏东多少度”“南偏西多少度”来表示方向．
北 西北
西 O
西南 南
东北 东 东南
北
30°
西
东
O 60°
南
北例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A
在它南偏东60°方向上. ①在它北偏东40°方向
性质3：等角的补角相等
如图,∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余，并且∠1= ∠3，
2
1
3
4
请问：∠ 2与∠4相等吗?为什么？你还能得出什么结论？
答：相等。
∵∠1与∠2互余，可得∠2=90°- ∠1 ； 又∠3与∠4互余，可得∠4=90°- ∠3； 且∠1= ∠3，所以90°- ∠1=90°- ∠3 ； ∴∠2= ∠4
人教版七年级上册4.3.3余角和补角教案
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对余角和补角的概念和性质的理解程度有所不同。有的学生能够迅速抓住定义和性质的核心，而有的学生在这些方面显得有些吃力。这让我意识到，在教学过程中，需要针对不同水平的学生进行分层教学，以确保每个学生都能跟上课程的进度。
在讲授新课的过程中，我尝试通过生动的例子和实际操作，让学生们更直观地理解余角和补角的概念。从学生的反馈来看，这种方法效果不错，他们能够将抽象的几何知识具体化，更好地理解和记忆。但在讲解性质的部分，我感觉自己可能讲得有些快，没有给学生们足够的时间消化吸收。在以后的课堂中，我会注意放慢讲解速度，让学生有更多的时间去思考和提问。
二、核心素养目标
1.培养学生几何直观和空间想象能力，通过观察和画图，理解余角和补角的概念及其相互关系。
2.提升学生逻辑推理和问题解决能力，运用余角和补角的性质进行推理和计算，解决实际问题。
3.培养学生数学抽象和数学建模素养，从具体实例中抽象出余角和补角的规律，形成数学模型，并能应用于解决类似问题。
4.强化学生数学运算和数据分析能力，灵活运用公式和性质进行余角和补角的计算，分析数据，得出结论。
人教版七年级上册4.3.3余角和补角教案
一、教学内容
人教版七年级上册4.3.3余角和补角：本节课主要围绕余角和补角的概念、性质及计算方法展开。内容包括：
1.余角的定义：两个角的和等于90°时，这两个角互为余角。
2.补角的定义：两个角的和等于180°时，这两个角互为补角。
3.余角和补角的性质：
a.互为余角的两个角的和为90°；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余角和补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
在今天的课堂中，我发现学生们对余角和补角的概念和性质的理解程度有所不同。有的学生能够迅速抓住定义和性质的核心，而有的学生在这些方面显得有些吃力。这让我意识到，在教学过程中，需要针对不同水平的学生进行分层教学，以确保每个学生都能跟上课程的进度。
在讲授新课的过程中，我尝试通过生动的例子和实际操作，让学生们更直观地理解余角和补角的概念。从学生的反馈来看，这种方法效果不错，他们能够将抽象的几何知识具体化，更好地理解和记忆。但在讲解性质的部分，我感觉自己可能讲得有些快，没有给学生们足够的时间消化吸收。在以后的课堂中，我会注意放慢讲解速度，让学生有更多的时间去思考和提问。
二、核心素养目标
1.培养学生几何直观和空间想象能力，通过观察和画图，理解余角和补角的概念及其相互关系。
2.提升学生逻辑推理和问题解决能力，运用余角和补角的性质进行推理和计算，解决实际问题。
3.培养学生数学抽象和数学建模素养，从具体实例中抽象出余角和补角的规律，形成数学模型，并能应用于解决类似问题。
4.强化学生数学运算和数据分析能力，灵活运用公式和性质进行余角和补角的计算，分析数据，得出结论。
人教版七年级上册4.3.3余角和补角教案
一、教学内容
人教版七年级上册4.3.3余角和补角：本节课主要围绕余角和补角的概念、性质及计算方法展开。内容包括：
1.余角的定义：两个角的和等于90°时，这两个角互为余角。
2.补角的定义：两个角的和等于180°时，这两个角互为补角。
3.余角和补角的性质：
a.互为余角的两个角的和为90°；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余角和补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
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∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
45° 77°
62°23′
x
一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角.
动手画一画：
这一结论用文字怎么叙述？
同 (等) 角的余角相等
动手画一画：
这一结论用文字怎么叙述？
同 (等) 角的补角相等
如图： ∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90 °,∠A与∠BCD有什么大小关系？ 为什么？
2
活学活用 加深理解
1、已知 的补角是105°,则 的余角 是多少度？ 它的余角是150 2、如图两堵墙围一个角AOB,但人不能进 入围墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
A C
A
2
C
1
O
O2=1800-∠1 AOB=∠
B
B
点滴收获
●
本节课你学到了哪些知识？
通过这节课的学习后,你有什么 感受?
入 反 射 射 角 角
数学小知识A 1
6 7
B 2
8
9
3 4
5 C
40°
学以致用：如果∠5=40°,那么∠1应等于多 少度,才能保证蓝色球准确入袋？请说明理由.
D
如图A、O、 B在同一直线上, ∠AOC= ∠DOE= 90°， 若∠1＝2∠4，求∠2的度数。
如图A、O、 B在同一直线 上,∠AOC= ∠DOE= 90度 找出图中
互余的角：
D
C
相等的角：理由 互补的角：
A O
E B
（1）图中有哪几对互余的角？
∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90° ∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90° A C
2
D
B
（2）图中哪几对角是相等的角(直 角除外)？为什么？
●
填表 从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
∠α
5° 32° 45° 97° 62°23′
∠α的余角
85° 58° 45° 27°37′ 90° x
∠α的补角
175° 148° 135° 83° 117°37′ 180° x
x
注意：1、只有锐角有余角； 2、一个角的余角与它的补角相差90°.
O
几何语言表示为：
若∠1+∠2=180°， 则∠1与∠2互为补角 反过来： 若∠1与∠2互补， 那么∠1+∠2=180°
练习：如图，O是直线AB上一点， OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是____________ ②∠AOD的余角是____________ ③∠DOB的补角是____________
∠α 5° 32° 45° 77° 62°23′
∠α的余角 85°
∠α的补角 175°
58°
45° 13° 27°37′ 90° x
148°
135° 103° 117°37′ 180° x
x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
我来试一试：
∠α
5° 32°
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
海塘大坝要修复加固，施工前要求先测 大坝的倾斜角（即图中的∠1），坝底是 石块堆积而成,量角器无法伸入大坝底部 测量,聪明的你有什么简单的方法？
余角和补角
β
α
β
α
问题1： 以上定义中的“互为”是什么意思 ？ 问题2： 若1 2 3 180 ，那么∠1、 ∠2、∠3互为补角吗？
问题3： 互为余角、互为补角的两个角是否 一定有公共顶点？
互为余角
两个角 一般地，如果两个角的和等于 90° 互为 （直角），就说这两个角互为余角．即 其中每一个角都是另一个角的余角。
请你判断:
∠1、∠2互为余角 ∠1是∠2的余角， 或∠2是∠1的余角
(1)∠1+∠2=90°则∠1是余角.( ) (2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3、互为余角.( )
×
×
互为余角
0 一般地，如果两个角的和等于90 ，
就说这两个角互为余角．
几何语言表示为： 若∠1+∠2=90°， 那么∠1与∠2互为余角 或： 若∠1与∠2互余， 那么∠1+∠2=90°
互为补角
两个角 一般地，如果两个角的和等于 互为 180°（平角），就说这两个角互为补 角．即其中一个是另一个角的补角。
练习： 若∠1 + ∠2 =180 °, ( 则 ∠1和∠2互补 . ( 若∠1和∠2互补, ( 则 ∠1 + ∠2 =180 ° .( 若∠3 + ∠4 =90 °, ( 则 ∠3和∠4互余 .( 若∠3和∠4互余, ( 则 ∠3 + ∠4 =90 ° ( 已知 ) 互补定义 ) 已知 ) 互补定义 ) 已知 ) 互余定义 ) 已知 ) 互余定义 )
∠B=∠2 （同角的余角相等）
∠A=∠1 （同角的余角相等）
海塘大坝要修复加固，施工前要求先测出大坝 的倾斜角（即图中的∠1），坝底是石块堆积而 成,量角器无法伸入大坝底部测量,聪明的你有什么 简单的方法？
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海塘大坝要修复加固，施工前要求先测出大 坝的倾斜角（即图中的∠1），坝底是石块堆积而 成,量角器无法伸入大坝底部测量,聪明的你有什么 简单的方法？
D
C
2 A
1
3
E
4
B
游戏：折一折
算一算
1、 如图，把三角形的一角折叠得到折痕 EF，已知:∠EFB= 32 ，求: ∠EFC的 度数 A D B E F C